MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdvalodm2 Structured version   Unicode version

Theorem swrdvalodm2 12644
Description: Value of the subword extractor outside its intended domain. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdvalodm2  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( B  <_  A  \/  ( # `  W
)  <  B  \/  A  <  0 )  -> 
( W substr  <. A ,  B >. )  =  (/) ) )

Proof of Theorem swrdvalodm2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3orass 976 . . 3  |-  ( ( B  <_  A  \/  ( # `  W )  <  B  \/  A  <  0 )  <->  ( B  <_  A  \/  ( (
# `  W )  <  B  \/  A  <  0 ) ) )
2 pm2.24 109 . . . . 5  |-  ( B  <_  A  ->  ( -.  B  <_  A  -> 
( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( W substr  <. A ,  B >. )  =  (/) ) ) )
3 swrdval 12624 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( W substr  <. A ,  B >. )  =  if ( ( A..^ B ) 
C_  dom  W , 
( x  e.  ( 0..^ ( B  -  A ) )  |->  ( W `  ( x  +  A ) ) ) ,  (/) ) )
43ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  B  <_  A  /\  ( (
# `  W )  <  B  \/  A  <  0 ) ) )  /\  -.  B  <_  A )  ->  ( W substr  <. A ,  B >. )  =  if ( ( A..^ B ) 
C_  dom  W , 
( x  e.  ( 0..^ ( B  -  A ) )  |->  ( W `  ( x  +  A ) ) ) ,  (/) ) )
5 wrdf 12534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W  e. Word  V  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> V )
6 fdm 5741 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> V  ->  dom  W  =  ( 0..^ (
# `  W )
) )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e. Word  V  ->  dom  W  =  ( 0..^ (
# `  W )
) )
8 lencl 12543 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
9 3anass 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  <->  ( ( # `
 W )  e. 
NN0  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) ) )
10 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -.  B  <_  A )  ->  A  e.  ZZ )
11 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -.  B  <_  A )  ->  B  e.  ZZ )
12 zre 10880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
13 zre 10880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  RR )
14 ltnle 9676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A )
)
1512, 13, 14syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A )
)
1615biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -.  B  <_  A )  ->  A  <  B )
1710, 11, 163jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -.  B  <_  A )  ->  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  < 
B ) )
1817expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( -.  B  <_  A  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  < 
B ) ) )
1918adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( -.  B  <_  A  /\  ( ( # `  W
)  <  B  \/  A  <  0 ) )  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  < 
B ) ) )
2019com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( -.  B  <_  A  /\  ( (
# `  W )  <  B  \/  A  <  0 ) )  -> 
( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B ) ) )
21203adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( -.  B  <_  A  /\  ( ( # `  W )  <  B  \/  A  <  0
) )  ->  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  < 
B ) ) )
2221imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  B  <_  A  /\  ( ( # `  W
)  <  B  \/  A  <  0 ) ) )  ->  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  < 
B ) )
23 ssfzo12 11885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  <  B )  ->  (
( A..^ B ) 
C_  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( 0  <_  A  /\  B  <_  ( # `  W
) ) ) )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  B  <_  A  /\  ( ( # `  W
)  <  B  \/  A  <  0 ) ) )  ->  ( ( A..^ B )  C_  (
0..^ ( # `  W
) )  ->  (
0  <_  A  /\  B  <_  ( # `  W
) ) ) )
25 nn0re 10816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( # `  W
)  e.  RR )
26 lenlt 9675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR )  -> 
( B  <_  ( # `
 W )  <->  -.  ( # `
 W )  < 
B ) )
2713, 25, 26syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  ( # `
 W )  <->  -.  ( # `
 W )  < 
B ) )
28 pm2.21 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( -.  ( # `  W
)  <  B  ->  ( ( # `  W
)  <  B  ->  B  <_  A ) )
2927, 28syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  ( # `
 W )  -> 
( ( # `  W
)  <  B  ->  B  <_  A ) ) )
30293adant2 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  ( # `  W
)  ->  ( ( # `
 W )  < 
B  ->  B  <_  A ) ) )
3130com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( B  <_  ( # `  W
)  ->  ( (
( # `  W )  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( # `  W )  <  B  ->  B  <_  A ) ) )
3231adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 0  <_  A  /\  B  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( # `  W )  <  B  ->  B  <_  A ) ) )
3332com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  W )  <  B  ->  ( (
( # `  W )  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( 0  <_  A  /\  B  <_  ( # `  W ) )  ->  B  <_  A ) ) )
3433a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  W )  <  B  ->  ( -.  B  <_  A  ->  (
( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( 0  <_  A  /\  B  <_  ( # `  W ) )  ->  B  <_  A ) ) ) )
35 0red 9609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( A  e.  ZZ  ->  0  e.  RR )
3635, 12lenltd 9742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
0  <_  A  <->  -.  A  <  0 ) )
37 pm2.21 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( -.  A  <  0  -> 
( A  <  0  ->  B  <_  A )
)
3836, 37syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
0  <_  A  ->  ( A  <  0  ->  B  <_  A ) ) )
39383ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
0  <_  A  ->  ( A  <  0  ->  B  <_  A ) ) )
4039com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 0  <_  A  ->  (
( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  <  0  ->  B  <_  A ) ) )
4140adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 0  <_  A  /\  B  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  <  0  ->  B  <_  A ) ) )
4241com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  <  0  ->  (
( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( 0  <_  A  /\  B  <_  ( # `  W ) )  ->  B  <_  A ) ) )
4342a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  <  0  ->  ( -.  B  <_  A  -> 
( ( ( # `  W )  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_  A  /\  B  <_  ( # `
 W ) )  ->  B  <_  A
) ) ) )
4434, 43jaoi 379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( # `  W
)  <  B  \/  A  <  0 )  -> 
( -.  B  <_  A  ->  ( ( (
# `  W )  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( 0  <_  A  /\  B  <_  ( # `  W ) )  ->  B  <_  A ) ) ) )
4544impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( -.  B  <_  A  /\  ( ( # `  W
)  <  B  \/  A  <  0 ) )  ->  ( ( (
# `  W )  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( 0  <_  A  /\  B  <_  ( # `  W ) )  ->  B  <_  A ) ) )
4645impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  B  <_  A  /\  ( ( # `  W
)  <  B  \/  A  <  0 ) ) )  ->  ( (
0  <_  A  /\  B  <_  ( # `  W
) )  ->  B  <_  A ) )
4724, 46syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  B  <_  A  /\  ( ( # `  W
)  <  B  \/  A  <  0 ) ) )  ->  ( ( A..^ B )  C_  (
0..^ ( # `  W
) )  ->  B  <_  A ) )
489, 47sylanbr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  /\  ( -.  B  <_  A  /\  ( ( # `  W
)  <  B  \/  A  <  0 ) ) )  ->  ( ( A..^ B )  C_  (
0..^ ( # `  W
) )  ->  B  <_  A ) )
4948con3dimp 441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( # `  W )  e.  NN0  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  /\  ( -.  B  <_  A  /\  ( ( # `  W
)  <  B  \/  A  <  0 ) ) )  /\  -.  B  <_  A )  ->  -.  ( A..^ B )  C_  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
50 sseq2 3531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( dom 
W  =  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  (
( A..^ B ) 
C_  dom  W  <->  ( A..^ B )  C_  (
0..^ ( # `  W
) ) ) )
5150notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( dom 
W  =  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  ( -.  ( A..^ B ) 
C_  dom  W  <->  -.  ( A..^ B )  C_  (
0..^ ( # `  W
) ) ) )
5249, 51syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dom 
W  =  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  (
( ( ( (
# `  W )  e.  NN0  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  /\  ( -.  B  <_  A  /\  ( ( # `  W )  <  B  \/  A  <  0
) ) )  /\  -.  B  <_  A )  ->  -.  ( A..^ B )  C_  dom  W ) )
5352expd 436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom 
W  =  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  (
( ( ( # `  W )  e.  NN0  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  /\  ( -.  B  <_  A  /\  ( ( # `  W
)  <  B  \/  A  <  0 ) ) )  ->  ( -.  B  <_  A  ->  -.  ( A..^ B )  C_  dom  W ) ) )
5453exp4c 608 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom 
W  =  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( -.  B  <_  A  /\  ( (
# `  W )  <  B  \/  A  <  0 ) )  -> 
( -.  B  <_  A  ->  -.  ( A..^ B )  C_  dom  W ) ) ) ) )
557, 8, 54sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e. Word  V  ->  (
( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( -.  B  <_  A  /\  ( ( # `  W
)  <  B  \/  A  <  0 ) )  ->  ( -.  B  <_  A  ->  -.  ( A..^ B )  C_  dom  W ) ) ) )
56553impib 1194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( -.  B  <_  A  /\  ( ( # `  W )  <  B  \/  A  <  0
) )  ->  ( -.  B  <_  A  ->  -.  ( A..^ B ) 
C_  dom  W )
) )
5756imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  B  <_  A  /\  ( (
# `  W )  <  B  \/  A  <  0 ) ) )  ->  ( -.  B  <_  A  ->  -.  ( A..^ B )  C_  dom  W ) )
5857imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  B  <_  A  /\  ( (
# `  W )  <  B  \/  A  <  0 ) ) )  /\  -.  B  <_  A )  ->  -.  ( A..^ B )  C_  dom  W )
59 iffalse 3954 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( A..^ B ) 
C_  dom  W  ->  if ( ( A..^ B
)  C_  dom  W , 
( x  e.  ( 0..^ ( B  -  A ) )  |->  ( W `  ( x  +  A ) ) ) ,  (/) )  =  (/) )
6058, 59syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  B  <_  A  /\  ( (
# `  W )  <  B  \/  A  <  0 ) ) )  /\  -.  B  <_  A )  ->  if ( ( A..^ B
)  C_  dom  W , 
( x  e.  ( 0..^ ( B  -  A ) )  |->  ( W `  ( x  +  A ) ) ) ,  (/) )  =  (/) )
614, 60eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  B  <_  A  /\  ( (
# `  W )  <  B  \/  A  <  0 ) ) )  /\  -.  B  <_  A )  ->  ( W substr  <. A ,  B >. )  =  (/) )
6261ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( -.  B  <_  A  /\  ( (
# `  W )  <  B  \/  A  <  0 ) ) )  ->  ( -.  B  <_  A  ->  ( W substr  <. A ,  B >. )  =  (/) ) )
6362expcom 435 . . . . . 6  |-  ( ( -.  B  <_  A  /\  ( ( # `  W
)  <  B  \/  A  <  0 ) )  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( -.  B  <_  A  -> 
( W substr  <. A ,  B >. )  =  (/) ) ) )
6463com23 78 . . . . 5  |-  ( ( -.  B  <_  A  /\  ( ( # `  W
)  <  B  \/  A  <  0 ) )  ->  ( -.  B  <_  A  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( W substr  <. A ,  B >. )  =  (/) ) ) )
652, 64jaoi3 968 . . . 4  |-  ( ( B  <_  A  \/  ( ( # `  W
)  <  B  \/  A  <  0 ) )  ->  ( -.  B  <_  A  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( W substr  <. A ,  B >. )  =  (/) ) ) )
66 swrdlend 12636 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  A  ->  ( W substr  <. A ,  B >. )  =  (/) ) )
6766com12 31 . . . 4  |-  ( B  <_  A  ->  (
( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( W substr  <. A ,  B >. )  =  (/) ) )
6865, 67pm2.61d2 160 . . 3  |-  ( ( B  <_  A  \/  ( ( # `  W
)  <  B  \/  A  <  0 ) )  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( W substr  <. A ,  B >. )  =  (/) ) )
691, 68sylbi 195 . 2  |-  ( ( B  <_  A  \/  ( # `  W )  <  B  \/  A  <  0 )  ->  (
( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( W substr  <. A ,  B >. )  =  (/) ) )
7069com12 31 1  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( B  <_  A  \/  ( # `  W
)  <  B  \/  A  <  0 )  -> 
( W substr  <. A ,  B >. )  =  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 972    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3481   (/)c0 3790   ifcif 3945   <.cop 4039   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   dom cdm 5005   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   RRcr 9503   0cc0 9504    + caddc 9507    < clt 9640    <_ cle 9641    - cmin 9817   NN0cn0 10807   ZZcz 10876  ..^cfzo 11804   #chash 12385  Word cword 12515   substr csubstr 12519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-hash 12386  df-word 12523  df-substr 12527
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator