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Theorem swrdswrdlem 12664
Description: Lemma for swrdswrd 12665. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdswrdlem  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M
) ) ) )  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( M  +  K )  e.  ( 0 ... ( M  +  L ) )  /\  ( M  +  L )  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) ) )

Proof of Theorem swrdswrdlem
StepHypRef Expression
1 simpl1 999 . 2  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M
) ) ) )  ->  W  e. Word  V
)
2 elfz2 11691 . . . . . 6  |-  ( L  e.  ( K ... ( N  -  M
) )  <->  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  M )  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M
) ) ) )
3 elfz2nn0 11780 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M
) )  <->  ( K  e.  NN0  /\  ( N  -  M )  e. 
NN0  /\  K  <_  ( N  -  M ) ) )
4 elfz2nn0 11780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  <->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) )
5 nn0addcl 10843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( M  +  K
)  e.  NN0 )
65expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  K )  e. 
NN0 ) )
76adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  K
)  e.  NN0 )
)
87impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( M  +  K )  e.  NN0 )
98adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  /\  K  <_  L )  ->  ( M  +  K )  e.  NN0 )
10 elnn0z 10889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( K  e.  NN0  <->  ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K ) )
11 0red 9609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  0  e.  RR )
12 zre 10880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
1312adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  K  e.  RR )
14 zre 10880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  RR )
1514adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  L  e.  RR )
16 letr 9690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  K  /\  K  <_  L )  ->  0  <_  L
) )
1711, 13, 15, 16syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_  K  /\  K  <_  L
)  ->  0  <_  L ) )
18 elnn0z 10889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( L  e.  NN0  <->  ( L  e.  ZZ  /\  0  <_  L ) )
19 nn0addcl 10843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( M  +  L
)  e.  NN0 )
2019expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( L  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  L )  e. 
NN0 ) )
2118, 20sylbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  0  <_  L )  -> 
( M  e.  NN0  ->  ( M  +  L
)  e.  NN0 )
)
2221ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (
0  <_  L  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  L )  e.  NN0 ) ) )
2322adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  L  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  L
)  e.  NN0 )
) )
2417, 23syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_  K  /\  K  <_  L
)  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  L )  e.  NN0 ) ) )
2524expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  K  ->  ( K  <_  L  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  L
)  e.  NN0 )
) ) )
2625com34 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  K  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( K  <_  L  ->  ( M  +  L
)  e.  NN0 )
) ) )
2726impancom 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K )  -> 
( L  e.  ZZ  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( K  <_  L  ->  ( M  +  L
)  e.  NN0 )
) ) )
2810, 27sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( K  <_  L  ->  ( M  +  L )  e.  NN0 ) ) ) )
2928imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( K  <_  L  ->  ( M  +  L
)  e.  NN0 )
) )
3029impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( K  <_  L  ->  ( M  +  L )  e.  NN0 ) )
3130imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  /\  K  <_  L )  ->  ( M  +  L )  e.  NN0 )
32 nn0re 10816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  RR )
3332adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  K  e.  RR )
3433adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  K  e.  RR )
3514adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  L  e.  RR )
3635adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  L  e.  RR )
37 nn0re 10816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
3837adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  M  e.  RR )
3934, 36, 38leadd2d 10159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( K  <_  L  <->  ( M  +  K )  <_  ( M  +  L )
) )
4039biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  /\  K  <_  L )  ->  ( M  +  K )  <_  ( M  +  L
) )
419, 31, 403jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  /\  K  <_  L )  ->  (
( M  +  K
)  e.  NN0  /\  ( M  +  L
)  e.  NN0  /\  ( M  +  K
)  <_  ( M  +  L ) ) )
4241ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( K  <_  L  ->  ( ( M  +  K )  e.  NN0  /\  ( M  +  L )  e. 
NN0  /\  ( M  +  K )  <_  ( M  +  L )
) ) )
4342ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  L  ->  ( ( M  +  K )  e.  NN0  /\  ( M  +  L
)  e.  NN0  /\  ( M  +  K
)  <_  ( M  +  L ) ) ) ) )
4443com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( K  <_  L  ->  (
( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( M  +  K )  e. 
NN0  /\  ( M  +  L )  e.  NN0  /\  ( M  +  K
)  <_  ( M  +  L ) ) ) ) )
45443ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( K  <_  L  ->  (
( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( M  +  K )  e. 
NN0  /\  ( M  +  L )  e.  NN0  /\  ( M  +  K
)  <_  ( M  +  L ) ) ) ) )
464, 45sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  ( K  <_  L  ->  (
( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( M  +  K )  e. 
NN0  /\  ( M  +  L )  e.  NN0  /\  ( M  +  K
)  <_  ( M  +  L ) ) ) ) )
47463ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( K  <_  L  ->  (
( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( M  +  K )  e. 
NN0  /\  ( M  +  L )  e.  NN0  /\  ( M  +  K
)  <_  ( M  +  L ) ) ) ) )
4847com13 80 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  L  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( M  +  K )  e. 
NN0  /\  ( M  +  L )  e.  NN0  /\  ( M  +  K
)  <_  ( M  +  L ) ) ) ) )
4948ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( K  <_  L  ->  (
( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( M  +  K
)  e.  NN0  /\  ( M  +  L
)  e.  NN0  /\  ( M  +  K
)  <_  ( M  +  L ) ) ) ) ) )
50493ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0  /\  K  <_  ( N  -  M ) )  -> 
( L  e.  ZZ  ->  ( K  <_  L  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( M  +  K )  e. 
NN0  /\  ( M  +  L )  e.  NN0  /\  ( M  +  K
)  <_  ( M  +  L ) ) ) ) ) )
513, 50sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M
) )  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( K  <_  L  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( M  +  K
)  e.  NN0  /\  ( M  +  L
)  e.  NN0  /\  ( M  +  K
)  <_  ( M  +  L ) ) ) ) ) )
5251com13 80 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  <_  L  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  -> 
( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( M  +  K )  e. 
NN0  /\  ( M  +  L )  e.  NN0  /\  ( M  +  K
)  <_  ( M  +  L ) ) ) ) ) )
5352adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M ) )  -> 
( L  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( M  +  K )  e.  NN0  /\  ( M  +  L )  e. 
NN0  /\  ( M  +  K )  <_  ( M  +  L )
) ) ) ) )
5453com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (
( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M ) )  ->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
)  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( M  +  K )  e.  NN0  /\  ( M  +  L )  e. 
NN0  /\  ( M  +  K )  <_  ( M  +  L )
) ) ) ) )
55543ad2ant3 1019 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  M
)  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M )
)  ->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
)  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( M  +  K )  e.  NN0  /\  ( M  +  L )  e. 
NN0  /\  ( M  +  K )  <_  ( M  +  L )
) ) ) ) )
5655imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  M
)  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M ) ) )  ->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
)  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( M  +  K )  e.  NN0  /\  ( M  +  L )  e. 
NN0  /\  ( M  +  K )  <_  ( M  +  L )
) ) ) )
572, 56sylbi 195 . . . . 5  |-  ( L  e.  ( K ... ( N  -  M
) )  ->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  -> 
( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( M  +  K )  e. 
NN0  /\  ( M  +  L )  e.  NN0  /\  ( M  +  K
)  <_  ( M  +  L ) ) ) ) )
5857impcom 430 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M
) ) )  -> 
( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( M  +  K )  e. 
NN0  /\  ( M  +  L )  e.  NN0  /\  ( M  +  K
)  <_  ( M  +  L ) ) ) )
5958impcom 430 . . 3  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M
) ) ) )  ->  ( ( M  +  K )  e. 
NN0  /\  ( M  +  L )  e.  NN0  /\  ( M  +  K
)  <_  ( M  +  L ) ) )
60 elfz2nn0 11780 . . 3  |-  ( ( M  +  K )  e.  ( 0 ... ( M  +  L
) )  <->  ( ( M  +  K )  e.  NN0  /\  ( M  +  L )  e. 
NN0  /\  ( M  +  K )  <_  ( M  +  L )
) )
6159, 60sylibr 212 . 2  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M
) ) ) )  ->  ( M  +  K )  e.  ( 0 ... ( M  +  L ) ) )
62 elfz2nn0 11780 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) ) )
6330com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( K  <_  L  ->  (
( M  e.  NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( M  +  L )  e.  NN0 ) )
6463adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M ) )  -> 
( ( M  e. 
NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  -> 
( M  +  L
)  e.  NN0 )
)
6564impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M
) ) )  -> 
( M  +  L
)  e.  NN0 )
6665adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M ) ) )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) ) )  -> 
( M  +  L
)  e.  NN0 )
67 simpr2 1003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M ) ) )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  W )  e.  NN0 )
68 nn0re 10816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
6968, 37anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )
70 nn0re 10816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( # `  W
)  e.  RR )
7169, 70anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( # `  W
)  e.  NN0 )  ->  ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  ( # `
 W )  e.  RR ) )
72 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  ( # `
 W )  e.  RR )  /\  L  e.  RR )  ->  M  e.  RR )
73 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  ( # `
 W )  e.  RR )  /\  L  e.  RR )  ->  L  e.  RR )
74 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  ( # `
 W )  e.  RR )  /\  L  e.  RR )  ->  N  e.  RR )
7572, 73, 74leaddsub2d 10166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  ( # `
 W )  e.  RR )  /\  L  e.  RR )  ->  (
( M  +  L
)  <_  N  <->  L  <_  ( N  -  M ) ) )
76 readdcl 9587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54  |-  ( ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( M  +  L
)  e.  RR )
7776ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53  |-  ( M  e.  RR  ->  ( L  e.  RR  ->  ( M  +  L )  e.  RR ) )
7877adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52  |-  ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( L  e.  RR  ->  ( M  +  L
)  e.  RR ) )
7978adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  ( # `  W
)  e.  RR )  ->  ( L  e.  RR  ->  ( M  +  L )  e.  RR ) )
8079imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( ( ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  ( # `
 W )  e.  RR )  /\  L  e.  RR )  ->  ( M  +  L )  e.  RR )
81 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  ( # `  W
)  e.  RR )  ->  ( # `  W
)  e.  RR )
8281adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( ( ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  ( # `
 W )  e.  RR )  /\  L  e.  RR )  ->  ( # `
 W )  e.  RR )
83 letr 9690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( ( ( M  +  L
)  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  ( # `
 W )  e.  RR )  ->  (
( ( M  +  L )  <_  N  /\  N  <_  ( # `  W ) )  -> 
( M  +  L
)  <_  ( # `  W
) ) )
8483expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( ( ( M  +  L
)  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  ( # `
 W )  e.  RR )  ->  (
( M  +  L
)  <_  N  ->  ( N  <_  ( # `  W
)  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `
 W ) ) ) )
8580, 74, 82, 84syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49  |-  ( ( ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  ( # `
 W )  e.  RR )  /\  L  e.  RR )  ->  (
( M  +  L
)  <_  N  ->  ( N  <_  ( # `  W
)  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `
 W ) ) ) )
8685imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( ( ( ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  ( # `
 W )  e.  RR )  /\  L  e.  RR )  /\  ( M  +  L )  <_  N )  ->  ( N  <_  ( # `  W
)  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `
 W ) ) )
8786a1dd 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( ( ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  ( # `
 W )  e.  RR )  /\  L  e.  RR )  /\  ( M  +  L )  <_  N )  ->  ( N  <_  ( # `  W
)  ->  ( 0  <_  L  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) ) )
8887ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  ( # `
 W )  e.  RR )  /\  L  e.  RR )  ->  (
( M  +  L
)  <_  N  ->  ( N  <_  ( # `  W
)  ->  ( 0  <_  L  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) ) ) )
8975, 88sylbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  ( # `
 W )  e.  RR )  /\  L  e.  RR )  ->  ( L  <_  ( N  -  M )  ->  ( N  <_  ( # `  W
)  ->  ( 0  <_  L  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) ) ) )
9089com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  ( # `
 W )  e.  RR )  /\  L  e.  RR )  ->  ( N  <_  ( # `  W
)  ->  ( L  <_  ( N  -  M
)  ->  ( 0  <_  L  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) ) ) )
9171, 14, 90syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( # `  W )  e.  NN0 )  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( N  <_ 
( # `  W )  ->  ( L  <_ 
( N  -  M
)  ->  ( 0  <_  L  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) ) ) )
9291ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( # `  W
)  e.  NN0 )  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( N  <_  ( # `
 W )  -> 
( L  <_  ( N  -  M )  ->  ( 0  <_  L  ->  ( M  +  L
)  <_  ( # `  W
) ) ) ) ) )
9392com25 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( # `  W
)  e.  NN0 )  ->  ( 0  <_  L  ->  ( N  <_  ( # `
 W )  -> 
( L  <_  ( N  -  M )  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( M  +  L
)  <_  ( # `  W
) ) ) ) ) )
9493ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  W
)  e.  NN0  ->  ( 0  <_  L  ->  ( N  <_  ( # `  W
)  ->  ( L  <_  ( N  -  M
)  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `
 W ) ) ) ) ) ) )
9594com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( N  <_  ( # `
 W )  -> 
( 0  <_  L  ->  ( ( # `  W
)  e.  NN0  ->  ( L  <_  ( N  -  M )  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) ) ) ) ) )
9695ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( N  <_  ( # `  W
)  ->  ( 0  <_  L  ->  (
( # `  W )  e.  NN0  ->  ( L  <_  ( N  -  M )  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) ) ) ) ) ) )
9796com25 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( N  <_  ( # `  W
)  ->  ( 0  <_  L  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( L  <_  ( N  -  M )  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) ) ) ) ) ) )
98973imp 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN0  /\  N  <_ 
( # `  W ) )  ->  ( 0  <_  L  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( L  <_  ( N  -  M )  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) ) ) ) )
9998com15 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (
0  <_  L  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( L  <_  ( N  -  M )  ->  (
( N  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) ) ) ) )
10099adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  L  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( L  <_  ( N  -  M )  ->  ( ( N  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) ) ) ) )
10117, 100syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_  K  /\  K  <_  L
)  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( L  <_  ( N  -  M
)  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 W )  e. 
NN0  /\  N  <_  (
# `  W )
)  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `
 W ) ) ) ) ) )
102101expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  K  ->  ( K  <_  L  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( L  <_  ( N  -  M )  ->  ( ( N  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) ) ) ) ) )
103102com35 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  K  ->  ( L  <_  ( N  -  M )  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( K  <_  L  ->  ( ( N  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) ) ) ) ) )
104103com25 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  L  ->  ( L  <_  ( N  -  M )  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( 0  <_  K  ->  ( ( N  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) ) ) ) ) )
105104impd 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M )
)  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( 0  <_  K  ->  (
( N  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) ) ) ) )
106105com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  K  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( ( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M )
)  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 W )  e. 
NN0  /\  N  <_  (
# `  W )
)  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `
 W ) ) ) ) ) )
107106impancom 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K )  -> 
( L  e.  ZZ  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( ( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M )
)  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 W )  e. 
NN0  /\  N  <_  (
# `  W )
)  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `
 W ) ) ) ) ) )
10810, 107sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( M  e.  NN0  ->  (
( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M ) )  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 W )  e. 
NN0  /\  N  <_  (
# `  W )
)  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `
 W ) ) ) ) ) )
109108imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( ( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M )
)  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 W )  e. 
NN0  /\  N  <_  (
# `  W )
)  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `
 W ) ) ) ) )
110109impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( ( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M
) )  ->  (
( N  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) ) )
111110imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M
) ) )  -> 
( ( N  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) )
112111imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M ) ) )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) ) )  -> 
( M  +  L
)  <_  ( # `  W
) )
11366, 67, 1123jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M ) ) )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) ) )  -> 
( ( M  +  L )  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN0  /\  ( M  +  L
)  <_  ( # `  W
) ) )
114113exp41 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M )
)  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 W )  e. 
NN0  /\  N  <_  (
# `  W )
)  ->  ( ( M  +  L )  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN0  /\  ( M  +  L
)  <_  ( # `  W
) ) ) ) ) )
115114com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN0  /\  N  <_ 
( # `  W ) )  ->  ( ( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M
) )  ->  (
( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( M  +  L )  e. 
NN0  /\  ( # `  W
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1161153ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  (
( N  e.  NN0  /\  ( # `  W
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1174, 116sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  (
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118117com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN0  /\  N  <_ 
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11962, 118sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( # `  W
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( ( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M )
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120119imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
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( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M ) )  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  (
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1211203adant1 1014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
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( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M ) )  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  (
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122121com13 80 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M )
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123122ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( L  e.  ZZ  ->  (
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1241233ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( N  -  M
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1253, 124sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M
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 W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( M  +  L )  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN0  /\  ( M  +  L
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126125com3l 81 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (
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1271263ad2ant3 1019 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  M
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128127imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  M
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1292, 128sylbi 195 . . . . 5  |-  ( L  e.  ( K ... ( N  -  M
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130129impcom 430 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M
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132 elfz2nn0 11780 . . 3  |-  ( ( M  +  L )  e.  ( 0 ... ( # `  W
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133131, 132sylibr 212 . 2  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
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1341, 61, 1333jca 1176 1  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
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Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1767   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   RRcr 9503   0cc0 9504    + caddc 9507    <_ cle 9641    - cmin 9817   NN0cn0 10807   ZZcz 10876   ...cfz 11684   #chash 12385  Word cword 12515
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685
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