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Theorem swrdswrdlem 12800
Description: Lemma for swrdswrd 12801. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdswrdlem  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M
) ) ) )  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( M  +  K )  e.  ( 0 ... ( M  +  L ) )  /\  ( M  +  L )  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) ) )

Proof of Theorem swrdswrdlem
StepHypRef Expression
1 simpl1 1008 . 2  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M
) ) ) )  ->  W  e. Word  V
)
2 elfz2 11789 . . . . . 6  |-  ( L  e.  ( K ... ( N  -  M
) )  <->  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  M )  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M
) ) ) )
3 elfz2nn0 11883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M
) )  <->  ( K  e.  NN0  /\  ( N  -  M )  e. 
NN0  /\  K  <_  ( N  -  M ) ) )
4 elfz2nn0 11883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  <->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) )
5 nn0addcl 10905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( M  +  K
)  e.  NN0 )
65adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( M  +  K )  e.  NN0 )
76adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  /\  K  <_  L )  ->  ( M  +  K )  e.  NN0 )
8 elnn0z 10950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( K  e.  NN0  <->  ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K ) )
9 0red 9643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  0  e.  RR )
10 zre 10941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
1110adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  K  e.  RR )
12 zre 10941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  RR )
1312adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  L  e.  RR )
14 letr 9726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  K  /\  K  <_  L )  ->  0  <_  L
) )
159, 11, 13, 14syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_  K  /\  K  <_  L
)  ->  0  <_  L ) )
16 elnn0z 10950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( L  e.  NN0  <->  ( L  e.  ZZ  /\  0  <_  L ) )
17 nn0addcl 10905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( M  +  L
)  e.  NN0 )
1817expcom 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( L  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  L )  e. 
NN0 ) )
1916, 18sylbir 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  0  <_  L )  -> 
( M  e.  NN0  ->  ( M  +  L
)  e.  NN0 )
)
2019ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (
0  <_  L  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  L )  e.  NN0 ) ) )
2120adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  L  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  L
)  e.  NN0 )
) )
2215, 21syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_  K  /\  K  <_  L
)  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  L )  e.  NN0 ) ) )
2322expd 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  K  ->  ( K  <_  L  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  L
)  e.  NN0 )
) ) )
2423com34 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  K  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( K  <_  L  ->  ( M  +  L
)  e.  NN0 )
) ) )
2524impancom 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K )  -> 
( L  e.  ZZ  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( K  <_  L  ->  ( M  +  L
)  e.  NN0 )
) ) )
268, 25sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( K  <_  L  ->  ( M  +  L )  e.  NN0 ) ) ) )
2726imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( K  <_  L  ->  ( M  +  L
)  e.  NN0 )
) )
2827impcom 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( K  <_  L  ->  ( M  +  L )  e.  NN0 ) )
2928imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  /\  K  <_  L )  ->  ( M  +  L )  e.  NN0 )
30 nn0re 10878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  RR )
3130adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  K  e.  RR )
3231adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  K  e.  RR )
3312adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  L  e.  RR )
3433adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  L  e.  RR )
35 nn0re 10878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
3635adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  M  e.  RR )
3732, 34, 36leadd2d 10207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( K  <_  L  <->  ( M  +  K )  <_  ( M  +  L )
) )
3837biimpa 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  /\  K  <_  L )  ->  ( M  +  K )  <_  ( M  +  L
) )
397, 29, 383jca 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  /\  K  <_  L )  ->  (
( M  +  K
)  e.  NN0  /\  ( M  +  L
)  e.  NN0  /\  ( M  +  K
)  <_  ( M  +  L ) ) )
4039exp31 607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  L  ->  ( ( M  +  K )  e.  NN0  /\  ( M  +  L
)  e.  NN0  /\  ( M  +  K
)  <_  ( M  +  L ) ) ) ) )
4140com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( K  <_  L  ->  (
( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( M  +  K )  e. 
NN0  /\  ( M  +  L )  e.  NN0  /\  ( M  +  K
)  <_  ( M  +  L ) ) ) ) )
42413ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( K  <_  L  ->  (
( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( M  +  K )  e. 
NN0  /\  ( M  +  L )  e.  NN0  /\  ( M  +  K
)  <_  ( M  +  L ) ) ) ) )
434, 42sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  ( K  <_  L  ->  (
( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( M  +  K )  e. 
NN0  /\  ( M  +  L )  e.  NN0  /\  ( M  +  K
)  <_  ( M  +  L ) ) ) ) )
44433ad2ant3 1028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( K  <_  L  ->  (
( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( M  +  K )  e. 
NN0  /\  ( M  +  L )  e.  NN0  /\  ( M  +  K
)  <_  ( M  +  L ) ) ) ) )
4544com13 83 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  L  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( M  +  K )  e. 
NN0  /\  ( M  +  L )  e.  NN0  /\  ( M  +  K
)  <_  ( M  +  L ) ) ) ) )
4645ex 435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( K  <_  L  ->  (
( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( M  +  K
)  e.  NN0  /\  ( M  +  L
)  e.  NN0  /\  ( M  +  K
)  <_  ( M  +  L ) ) ) ) ) )
47463ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0  /\  K  <_  ( N  -  M ) )  -> 
( L  e.  ZZ  ->  ( K  <_  L  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( M  +  K )  e. 
NN0  /\  ( M  +  L )  e.  NN0  /\  ( M  +  K
)  <_  ( M  +  L ) ) ) ) ) )
483, 47sylbi 198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M
) )  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( K  <_  L  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( M  +  K
)  e.  NN0  /\  ( M  +  L
)  e.  NN0  /\  ( M  +  K
)  <_  ( M  +  L ) ) ) ) ) )
4948com13 83 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  <_  L  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  -> 
( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( M  +  K )  e. 
NN0  /\  ( M  +  L )  e.  NN0  /\  ( M  +  K
)  <_  ( M  +  L ) ) ) ) ) )
5049adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M ) )  -> 
( L  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( M  +  K )  e.  NN0  /\  ( M  +  L )  e. 
NN0  /\  ( M  +  K )  <_  ( M  +  L )
) ) ) ) )
5150com12 32 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (
( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M ) )  ->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
)  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( M  +  K )  e.  NN0  /\  ( M  +  L )  e. 
NN0  /\  ( M  +  K )  <_  ( M  +  L )
) ) ) ) )
52513ad2ant3 1028 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  M
)  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M )
)  ->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
)  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( M  +  K )  e.  NN0  /\  ( M  +  L )  e. 
NN0  /\  ( M  +  K )  <_  ( M  +  L )
) ) ) ) )
5352imp 430 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  M
)  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M ) ) )  ->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
)  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( M  +  K )  e.  NN0  /\  ( M  +  L )  e. 
NN0  /\  ( M  +  K )  <_  ( M  +  L )
) ) ) )
542, 53sylbi 198 . . . . 5  |-  ( L  e.  ( K ... ( N  -  M
) )  ->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  -> 
( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( M  +  K )  e. 
NN0  /\  ( M  +  L )  e.  NN0  /\  ( M  +  K
)  <_  ( M  +  L ) ) ) ) )
5554impcom 431 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M
) ) )  -> 
( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( M  +  K )  e. 
NN0  /\  ( M  +  L )  e.  NN0  /\  ( M  +  K
)  <_  ( M  +  L ) ) ) )
5655impcom 431 . . 3  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M
) ) ) )  ->  ( ( M  +  K )  e. 
NN0  /\  ( M  +  L )  e.  NN0  /\  ( M  +  K
)  <_  ( M  +  L ) ) )
57 elfz2nn0 11883 . . 3  |-  ( ( M  +  K )  e.  ( 0 ... ( M  +  L
) )  <->  ( ( M  +  K )  e.  NN0  /\  ( M  +  L )  e. 
NN0  /\  ( M  +  K )  <_  ( M  +  L )
) )
5856, 57sylibr 215 . 2  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M
) ) ) )  ->  ( M  +  K )  e.  ( 0 ... ( M  +  L ) ) )
59 elfz2nn0 11883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) ) )
6028com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( K  <_  L  ->  (
( M  e.  NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( M  +  L )  e.  NN0 ) )
6160adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M ) )  -> 
( ( M  e. 
NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  -> 
( M  +  L
)  e.  NN0 )
)
6261impcom 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M
) ) )  -> 
( M  +  L
)  e.  NN0 )
6362adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M ) ) )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) ) )  -> 
( M  +  L
)  e.  NN0 )
64 simpr2 1012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M ) ) )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  W )  e.  NN0 )
65 nn0re 10878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
6665, 35anim12i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )
67 nn0re 10878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( # `  W
)  e.  RR )
6866, 67anim12i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( # `  W
)  e.  NN0 )  ->  ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  ( # `
 W )  e.  RR ) )
69 simpllr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  ( # `
 W )  e.  RR )  /\  L  e.  RR )  ->  M  e.  RR )
70 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  ( # `
 W )  e.  RR )  /\  L  e.  RR )  ->  L  e.  RR )
71 simplll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  ( # `
 W )  e.  RR )  /\  L  e.  RR )  ->  N  e.  RR )
7269, 70, 71leaddsub2d 10214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  ( # `
 W )  e.  RR )  /\  L  e.  RR )  ->  (
( M  +  L
)  <_  N  <->  L  <_  ( N  -  M ) ) )
73 readdcl 9621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54  |-  ( ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( M  +  L
)  e.  RR )
7473ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53  |-  ( M  e.  RR  ->  ( L  e.  RR  ->  ( M  +  L )  e.  RR ) )
7574adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52  |-  ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( L  e.  RR  ->  ( M  +  L
)  e.  RR ) )
7675adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  ( # `  W
)  e.  RR )  ->  ( L  e.  RR  ->  ( M  +  L )  e.  RR ) )
7776imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( ( ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  ( # `
 W )  e.  RR )  /\  L  e.  RR )  ->  ( M  +  L )  e.  RR )
78 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  ( # `  W
)  e.  RR )  ->  ( # `  W
)  e.  RR )
7978adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( ( ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  ( # `
 W )  e.  RR )  /\  L  e.  RR )  ->  ( # `
 W )  e.  RR )
80 letr 9726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( ( ( M  +  L
)  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  ( # `
 W )  e.  RR )  ->  (
( ( M  +  L )  <_  N  /\  N  <_  ( # `  W ) )  -> 
( M  +  L
)  <_  ( # `  W
) ) )
8180expd 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( ( ( M  +  L
)  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  ( # `
 W )  e.  RR )  ->  (
( M  +  L
)  <_  N  ->  ( N  <_  ( # `  W
)  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `
 W ) ) ) )
8277, 71, 79, 81syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49  |-  ( ( ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  ( # `
 W )  e.  RR )  /\  L  e.  RR )  ->  (
( M  +  L
)  <_  N  ->  ( N  <_  ( # `  W
)  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `
 W ) ) ) )
8382imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( ( ( ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  ( # `
 W )  e.  RR )  /\  L  e.  RR )  /\  ( M  +  L )  <_  N )  ->  ( N  <_  ( # `  W
)  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `
 W ) ) )
8483a1dd 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( ( ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  ( # `
 W )  e.  RR )  /\  L  e.  RR )  /\  ( M  +  L )  <_  N )  ->  ( N  <_  ( # `  W
)  ->  ( 0  <_  L  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) ) )
8584ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  ( # `
 W )  e.  RR )  /\  L  e.  RR )  ->  (
( M  +  L
)  <_  N  ->  ( N  <_  ( # `  W
)  ->  ( 0  <_  L  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) ) ) )
8672, 85sylbird 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  ( # `
 W )  e.  RR )  /\  L  e.  RR )  ->  ( L  <_  ( N  -  M )  ->  ( N  <_  ( # `  W
)  ->  ( 0  <_  L  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) ) ) )
8786com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  /\  ( # `
 W )  e.  RR )  /\  L  e.  RR )  ->  ( N  <_  ( # `  W
)  ->  ( L  <_  ( N  -  M
)  ->  ( 0  <_  L  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) ) ) )
8868, 12, 87syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( # `  W )  e.  NN0 )  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( N  <_ 
( # `  W )  ->  ( L  <_ 
( N  -  M
)  ->  ( 0  <_  L  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) ) ) )
8988ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( # `  W
)  e.  NN0 )  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( N  <_  ( # `
 W )  -> 
( L  <_  ( N  -  M )  ->  ( 0  <_  L  ->  ( M  +  L
)  <_  ( # `  W
) ) ) ) ) )
9089com25 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( # `  W
)  e.  NN0 )  ->  ( 0  <_  L  ->  ( N  <_  ( # `
 W )  -> 
( L  <_  ( N  -  M )  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( M  +  L
)  <_  ( # `  W
) ) ) ) ) )
9190ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  W
)  e.  NN0  ->  ( 0  <_  L  ->  ( N  <_  ( # `  W
)  ->  ( L  <_  ( N  -  M
)  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `
 W ) ) ) ) ) ) )
9291com24 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( N  <_  ( # `
 W )  -> 
( 0  <_  L  ->  ( ( # `  W
)  e.  NN0  ->  ( L  <_  ( N  -  M )  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) ) ) ) ) )
9392ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( N  <_  ( # `  W
)  ->  ( 0  <_  L  ->  (
( # `  W )  e.  NN0  ->  ( L  <_  ( N  -  M )  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) ) ) ) ) ) )
9493com25 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( N  <_  ( # `  W
)  ->  ( 0  <_  L  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( L  <_  ( N  -  M )  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) ) ) ) ) ) )
95943imp 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN0  /\  N  <_ 
( # `  W ) )  ->  ( 0  <_  L  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( L  <_  ( N  -  M )  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) ) ) ) )
9695com15 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (
0  <_  L  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( L  <_  ( N  -  M )  ->  (
( N  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) ) ) ) )
9796adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  L  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( L  <_  ( N  -  M )  ->  ( ( N  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) ) ) ) )
9815, 97syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_  K  /\  K  <_  L
)  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( L  <_  ( N  -  M
)  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 W )  e. 
NN0  /\  N  <_  (
# `  W )
)  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `
 W ) ) ) ) ) )
9998expd 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  K  ->  ( K  <_  L  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( L  <_  ( N  -  M )  ->  ( ( N  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) ) ) ) ) )
10099com35 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  K  ->  ( L  <_  ( N  -  M )  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( K  <_  L  ->  ( ( N  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) ) ) ) ) )
101100com25 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  L  ->  ( L  <_  ( N  -  M )  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( 0  <_  K  ->  ( ( N  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) ) ) ) ) )
102101impd 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M )
)  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( 0  <_  K  ->  (
( N  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) ) ) ) )
103102com24 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  K  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( ( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M )
)  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 W )  e. 
NN0  /\  N  <_  (
# `  W )
)  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `
 W ) ) ) ) ) )
104103impancom 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K )  -> 
( L  e.  ZZ  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( ( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M )
)  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 W )  e. 
NN0  /\  N  <_  (
# `  W )
)  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `
 W ) ) ) ) ) )
1058, 104sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( M  e.  NN0  ->  (
( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M ) )  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 W )  e. 
NN0  /\  N  <_  (
# `  W )
)  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `
 W ) ) ) ) ) )
106105imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( ( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M )
)  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 W )  e. 
NN0  /\  N  <_  (
# `  W )
)  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `
 W ) ) ) ) )
107106impcom 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( ( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M
) )  ->  (
( N  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) ) )
108107imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M
) ) )  -> 
( ( N  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) )
109108imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M ) ) )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) ) )  -> 
( M  +  L
)  <_  ( # `  W
) )
11063, 64, 1093jca 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M ) ) )  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) ) )  -> 
( ( M  +  L )  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN0  /\  ( M  +  L
)  <_  ( # `  W
) ) )
111110exp41 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M )
)  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 W )  e. 
NN0  /\  N  <_  (
# `  W )
)  ->  ( ( M  +  L )  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN0  /\  ( M  +  L
)  <_  ( # `  W
) ) ) ) ) )
112111com24 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN0  /\  N  <_ 
( # `  W ) )  ->  ( ( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M
) )  ->  (
( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( M  +  L )  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN0  /\  ( M  +  L
)  <_  ( # `  W
) ) ) ) ) )
1131123ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  (
( N  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M ) )  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  (
( M  +  L
)  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN0  /\  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) ) ) ) )
1144, 113sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  (
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115114com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN0  /\  N  <_ 
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11659, 115sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( # `  W
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( ( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M )
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117116imp 430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ( 0 ... ( # `  W
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( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M ) )  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  (
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1181173adant1 1023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
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119118com13 83 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M )
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120119ex 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( L  e.  ZZ  ->  (
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1211203ad2ant1 1026 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( N  -  M
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1223, 121sylbi 198 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M
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123122com3l 84 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (
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1241233ad2ant3 1028 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  M
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1262, 125sylbi 198 . . . . 5  |-  ( L  e.  ( K ... ( N  -  M
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1311, 58, 1303jca 1185 1  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
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Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    e. wcel 1870   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   RRcr 9537   0cc0 9538    + caddc 9541    <_ cle 9675    - cmin 9859   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ...cfz 11782   #chash 12512  Word cword 12643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783
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