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Theorem swrdswrd 28011
Description: A subword of a subword. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdswrd  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M ) ) )  ->  ( ( W substr  <. M ,  N >. ) substr  <. K ,  L >. )  =  ( W substr  <. ( M  +  K
) ,  ( M  +  L ) >.
) ) )

Proof of Theorem swrdswrd
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 swrdcl 11721 . . . . . 6  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( W substr  <. M ,  N >. )  e. Word  V )
213ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( W substr  <. M ,  N >. )  e. Word  V )
32adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M
) ) ) )  ->  ( W substr  <. M ,  N >. )  e. Word  V
)
4 elfzelfzelfz 27981 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M
) ) )  ->  K  e.  ( 0 ... L ) )
54adantl 453 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M
) ) ) )  ->  K  e.  ( 0 ... L ) )
6 elfzuz 11011 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M
) )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
76adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  K  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
) )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
8 fzss1 11047 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( K ... ( N  -  M
) )  C_  (
0 ... ( N  -  M ) ) )
97, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  K  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
) )  ->  ( K ... ( N  -  M ) )  C_  ( 0 ... ( N  -  M )
) )
109sseld 3307 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  K  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
) )  ->  ( L  e.  ( K ... ( N  -  M
) )  ->  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
) ) )
1110impr 603 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M
) ) ) )  ->  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) ) )
12 3ancomb 945 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  <->  ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) ) )
1312biimpi 187 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) ) )
1413adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M
) ) ) )  ->  ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) ) )
15 swrdlen 11725 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  =  ( N  -  M ) )
1614, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M
) ) ) )  ->  ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  =  ( N  -  M ) )
1716oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M
) ) ) )  ->  ( 0 ... ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) ) )  =  ( 0 ... ( N  -  M )
) )
1811, 17eleqtrrd 2481 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M
) ) ) )  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) ) ) )
19 swrdval2 11722 . . . 4  |-  ( ( ( W substr  <. M ,  N >. )  e. Word  V  /\  K  e.  (
0 ... L )  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) ) ) )  ->  ( ( W substr  <. M ,  N >. ) substr  <. K ,  L >. )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  K ) ) 
|->  ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  (
x  +  K ) ) ) )
203, 5, 18, 19syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M
) ) ) )  ->  ( ( W substr  <. M ,  N >. ) substr  <. K ,  L >. )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  K ) ) 
|->  ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  (
x  +  K ) ) ) )
21 fvex 5701 . . . . . 6  |-  ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  ( x  +  K ) )  e.  _V
22 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  K ) )  |->  ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `
 ( x  +  K ) ) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  K ) ) 
|->  ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  (
x  +  K ) ) )
2321, 22fnmpti 5532 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  K ) )  |->  ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `
 ( x  +  K ) ) )  Fn  ( 0..^ ( L  -  K ) )
2423a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M
) ) ) )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  K ) ) 
|->  ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  (
x  +  K ) ) )  Fn  (
0..^ ( L  -  K ) ) )
25 swrdswrdlem 28010 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M
) ) ) )  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( M  +  K )  e.  ( 0 ... ( M  +  L ) )  /\  ( M  +  L )  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) ) )
26 swrdvalfn 28007 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( M  +  K
)  e.  ( 0 ... ( M  +  L ) )  /\  ( M  +  L
)  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( W substr  <. ( M  +  K ) ,  ( M  +  L
) >. )  Fn  (
0..^ ( ( M  +  L )  -  ( M  +  K
) ) ) )
2725, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M
) ) ) )  ->  ( W substr  <. ( M  +  K ) ,  ( M  +  L ) >. )  Fn  ( 0..^ ( ( M  +  L )  -  ( M  +  K ) ) ) )
28 elfzelz 11015 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  M  e.  ZZ )
29 elfzelz 11015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( K ... ( N  -  M
) )  ->  L  e.  ZZ )
30 elfzelz 11015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M
) )  ->  K  e.  ZZ )
31 zcn 10243 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
3231adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( L  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  M  e.  CC )
33 zcn 10243 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  CC )
3433ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( L  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  L  e.  CC )
35 zcn 10243 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
3635ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( L  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  K  e.  CC )
37 pnpcan 9296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  CC  /\  L  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  (
( M  +  L
)  -  ( M  +  K ) )  =  ( L  -  K ) )
3837eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  CC  /\  L  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( L  -  K )  =  ( ( M  +  L )  -  ( M  +  K
) ) )
3932, 34, 36, 38syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( L  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  ( L  -  K )  =  ( ( M  +  L
)  -  ( M  +  K ) ) )
4039expcom 425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( L  -  K
)  =  ( ( M  +  L )  -  ( M  +  K ) ) ) )
4129, 30, 40syl2anr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M
) ) )  -> 
( M  e.  ZZ  ->  ( L  -  K
)  =  ( ( M  +  L )  -  ( M  +  K ) ) ) )
4228, 41syl5com 28 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M ) ) )  ->  ( L  -  K )  =  ( ( M  +  L
)  -  ( M  +  K ) ) ) )
43423ad2ant3 980 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M ) ) )  ->  ( L  -  K )  =  ( ( M  +  L
)  -  ( M  +  K ) ) ) )
4443imp 419 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M
) ) ) )  ->  ( L  -  K )  =  ( ( M  +  L
)  -  ( M  +  K ) ) )
4544oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M
) ) ) )  ->  ( 0..^ ( L  -  K ) )  =  ( 0..^ ( ( M  +  L )  -  ( M  +  K )
) ) )
4645fneq2d 5496 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M
) ) ) )  ->  ( ( W substr  <. ( M  +  K
) ,  ( M  +  L ) >.
)  Fn  ( 0..^ ( L  -  K
) )  <->  ( W substr  <.
( M  +  K
) ,  ( M  +  L ) >.
)  Fn  ( 0..^ ( ( M  +  L )  -  ( M  +  K )
) ) ) )
4727, 46mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M
) ) ) )  ->  ( W substr  <. ( M  +  K ) ,  ( M  +  L ) >. )  Fn  ( 0..^ ( L  -  K ) ) )
48 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
)  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M ) ) ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( L  -  K ) ) )  ->  y  e.  ( 0..^ ( L  -  K ) ) )
49 fvex 5701 . . . . . . 7  |-  ( W `
 ( ( y  +  K )  +  M ) )  e. 
_V
50 oveq1 6047 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  +  K )  =  ( y  +  K ) )
5150oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  +  K
)  +  M )  =  ( ( y  +  K )  +  M ) )
5251fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( W `  ( (
x  +  K )  +  M ) )  =  ( W `  ( ( y  +  K )  +  M
) ) )
53 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  K ) )  |->  ( W `  ( ( x  +  K )  +  M
) ) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  K ) )  |->  ( W `  ( ( x  +  K )  +  M ) ) )
5452, 53fvmptg 5763 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( 0..^ ( L  -  K
) )  /\  ( W `  ( (
y  +  K )  +  M ) )  e.  _V )  -> 
( ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  K ) ) 
|->  ( W `  (
( x  +  K
)  +  M ) ) ) `  y
)  =  ( W `
 ( ( y  +  K )  +  M ) ) )
5548, 49, 54sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
)  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M ) ) ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( L  -  K ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( 0..^ ( L  -  K
) )  |->  ( W `
 ( ( x  +  K )  +  M ) ) ) `
 y )  =  ( W `  (
( y  +  K
)  +  M ) ) )
56 elfzoelz 11095 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0..^ ( L  -  K ) )  ->  y  e.  ZZ )
57 zcn 10243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  CC )
5857, 31, 353anim123i 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
y  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  K  e.  CC ) )
59583expa 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( y  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  K  e.  CC ) )
60 bcxmaslem2 12569 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  (
y  +  ( M  +  K ) )  =  ( ( y  +  K )  +  M ) )
6160eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  (
( y  +  K
)  +  M )  =  ( y  +  ( M  +  K
) ) )
6259, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( y  +  K )  +  M )  =  ( y  +  ( M  +  K ) ) )
6362exp31 588 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( ( y  +  K
)  +  M )  =  ( y  +  ( M  +  K
) ) ) ) )
6463com13 76 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( y  e.  ZZ  ->  ( ( y  +  K
)  +  M )  =  ( y  +  ( M  +  K
) ) ) ) )
6530, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M
) )  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( y  e.  ZZ  ->  ( ( y  +  K
)  +  M )  =  ( y  +  ( M  +  K
) ) ) ) )
6665adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M
) ) )  -> 
( M  e.  ZZ  ->  ( y  e.  ZZ  ->  ( ( y  +  K )  +  M
)  =  ( y  +  ( M  +  K ) ) ) ) )
6728, 66syl5com 28 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M ) ) )  ->  ( y  e.  ZZ  ->  ( (
y  +  K )  +  M )  =  ( y  +  ( M  +  K ) ) ) ) )
68673ad2ant3 980 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M ) ) )  ->  ( y  e.  ZZ  ->  ( (
y  +  K )  +  M )  =  ( y  +  ( M  +  K ) ) ) ) )
6968imp 419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M
) ) ) )  ->  ( y  e.  ZZ  ->  ( (
y  +  K )  +  M )  =  ( y  +  ( M  +  K ) ) ) )
7056, 69syl5com 28 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0..^ ( L  -  K ) )  ->  ( (
( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M
) ) ) )  ->  ( ( y  +  K )  +  M )  =  ( y  +  ( M  +  K ) ) ) )
7170impcom 420 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
)  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M ) ) ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( L  -  K ) ) )  ->  ( (
y  +  K )  +  M )  =  ( y  +  ( M  +  K ) ) )
7271fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
)  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M ) ) ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( L  -  K ) ) )  ->  ( W `  ( ( y  +  K )  +  M
) )  =  ( W `  ( y  +  ( M  +  K ) ) ) )
7355, 72eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
)  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M ) ) ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( L  -  K ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( 0..^ ( L  -  K
) )  |->  ( W `
 ( ( x  +  K )  +  M ) ) ) `
 y )  =  ( W `  (
y  +  ( M  +  K ) ) ) )
7413ad3antrrr 711 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M
) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M )
) ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( L  -  K
) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( L  -  K
) ) )  -> 
( W  e. Word  V  /\  M  e.  (
0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) ) )
75 elfz2nn0 11038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M
) )  <->  ( K  e.  NN0  /\  ( N  -  M )  e. 
NN0  /\  K  <_  ( N  -  M ) ) )
76 elfz2 11006 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( L  e.  ( K ... ( N  -  M
) )  <->  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  M )  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M
) ) ) )
77 elfzo0 11126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  K ) )  <->  ( x  e. 
NN0  /\  ( L  -  K )  e.  NN  /\  x  <  ( L  -  K ) ) )
78 nn0re 10186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( x  e.  NN0  ->  x  e.  RR )
7978ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( x  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  x  e.  RR )
80 nn0re 10186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  RR )
8180adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( x  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  K  e.  RR )
82 zre 10242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  RR )
8382ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( x  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  L  e.  RR )
84 ltaddsub 9458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( x  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  (
( x  +  K
)  <  L  <->  x  <  ( L  -  K ) ) )
8584bicomd 193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( x  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  (
x  <  ( L  -  K )  <->  ( x  +  K )  <  L
) )
8679, 81, 83, 85syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( x  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( x  <  ( L  -  K
)  <->  ( x  +  K )  <  L
) )
87 nn0addcl 10211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( x  +  K
)  e.  NN0 )
8887ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( x  e.  NN0  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( x  +  K )  e. 
NN0 ) )
8988adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( x  +  K
)  e.  NN0 )
)
9089impcom 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( x  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( x  +  K )  e.  NN0 )
9190ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN0  /\  (
x  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )
)  /\  ( x  +  K )  <  L
)  /\  ( N  -  M )  e.  NN0 )  /\  L  <_  ( N  -  M )
)  ->  ( x  +  K )  e.  NN0 )
92 elnn0z 10250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( x  +  K )  e.  NN0  <->  ( ( x  +  K )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( x  +  K
) ) )
93 0re 9047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  0  e.  RR
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( x  +  K
)  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  0  e.  RR )
95 zre 10242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( x  +  K )  e.  ZZ  ->  (
x  +  K )  e.  RR )
9695adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( x  +  K
)  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( x  +  K
)  e.  RR )
9782adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( x  +  K
)  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  L  e.  RR )
98 lelttr 9121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( x  +  K
)  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( ( 0  <_ 
( x  +  K
)  /\  ( x  +  K )  <  L
)  ->  0  <  L ) )
9994, 96, 97, 98syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( x  +  K
)  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_ 
( x  +  K
)  /\  ( x  +  K )  <  L
)  ->  0  <  L ) )
10093a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0 )  ->  0  e.  RR )
10182adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0 )  ->  L  e.  RR )
102 nn0re 10186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( ( N  -  M )  e.  NN0  ->  ( N  -  M )  e.  RR )
103102adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0 )  ->  ( N  -  M
)  e.  RR )
104 ltletr 9122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  L  e.  RR  /\  ( N  -  M )  e.  RR )  ->  (
( 0  <  L  /\  L  <_  ( N  -  M ) )  ->  0  <  ( N  -  M )
) )
105100, 101, 103, 104syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0 )  ->  ( ( 0  < 
L  /\  L  <_  ( N  -  M ) )  ->  0  <  ( N  -  M ) ) )
106 elnnnn0b 10220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( ( N  -  M )  e.  NN  <->  ( ( N  -  M )  e.  NN0  /\  0  < 
( N  -  M
) ) )
107106simplbi2 609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( N  -  M )  e.  NN0  ->  ( 0  <  ( N  -  M )  ->  ( N  -  M )  e.  NN ) )
108107adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0 )  ->  ( 0  <  ( N  -  M )  ->  ( N  -  M
)  e.  NN ) )
109105, 108syld 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0 )  ->  ( ( 0  < 
L  /\  L  <_  ( N  -  M ) )  ->  ( N  -  M )  e.  NN ) )
110109exp4b 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (
( N  -  M
)  e.  NN0  ->  ( 0  <  L  -> 
( L  <_  ( N  -  M )  ->  ( N  -  M
)  e.  NN ) ) ) )
111110com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (
0  <  L  ->  ( ( N  -  M
)  e.  NN0  ->  ( L  <_  ( N  -  M )  ->  ( N  -  M )  e.  NN ) ) ) )
112111adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( x  +  K
)  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 0  <  L  ->  ( ( N  -  M )  e.  NN0  ->  ( L  <_  ( N  -  M )  ->  ( N  -  M
)  e.  NN ) ) ) )
11399, 112syld 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( x  +  K
)  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_ 
( x  +  K
)  /\  ( x  +  K )  <  L
)  ->  ( ( N  -  M )  e.  NN0  ->  ( L  <_  ( N  -  M
)  ->  ( N  -  M )  e.  NN ) ) ) )
114113exp3a 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( x  +  K
)  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  (
x  +  K )  ->  ( ( x  +  K )  < 
L  ->  ( ( N  -  M )  e.  NN0  ->  ( L  <_  ( N  -  M
)  ->  ( N  -  M )  e.  NN ) ) ) ) )
115114a1d 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( x  +  K
)  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( x  e. 
NN0  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 0  <_  ( x  +  K )  ->  (
( x  +  K
)  <  L  ->  ( ( N  -  M
)  e.  NN0  ->  ( L  <_  ( N  -  M )  ->  ( N  -  M )  e.  NN ) ) ) ) ) )
116115ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( x  +  K )  e.  ZZ  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( ( x  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( 0  <_  (
x  +  K )  ->  ( ( x  +  K )  < 
L  ->  ( ( N  -  M )  e.  NN0  ->  ( L  <_  ( N  -  M
)  ->  ( N  -  M )  e.  NN ) ) ) ) ) ) )
117116com24 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( x  +  K )  e.  ZZ  ->  (
0  <_  ( x  +  K )  ->  (
( x  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( ( x  +  K )  <  L  ->  ( ( N  -  M )  e.  NN0  ->  ( L  <_  ( N  -  M )  ->  ( N  -  M
)  e.  NN ) ) ) ) ) ) )
118117imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( x  +  K
)  e.  ZZ  /\  0  <_  ( x  +  K ) )  -> 
( ( x  e. 
NN0  /\  K  e.  NN0 )  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( (
x  +  K )  <  L  ->  (
( N  -  M
)  e.  NN0  ->  ( L  <_  ( N  -  M )  ->  ( N  -  M )  e.  NN ) ) ) ) ) )
11992, 118sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( x  +  K )  e.  NN0  ->  ( ( x  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( L  e.  ZZ  ->  ( ( x  +  K )  <  L  ->  ( ( N  -  M )  e.  NN0  ->  ( L  <_  ( N  -  M )  ->  ( N  -  M
)  e.  NN ) ) ) ) ) )
12087, 119mpcom 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( L  e.  ZZ  ->  ( ( x  +  K )  <  L  ->  ( ( N  -  M )  e.  NN0  ->  ( L  <_  ( N  -  M )  ->  ( N  -  M
)  e.  NN ) ) ) ) )
121120impancom 428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( ( x  +  K )  <  L  ->  ( ( N  -  M )  e.  NN0  ->  ( L  <_  ( N  -  M )  ->  ( N  -  M
)  e.  NN ) ) ) ) )
122121impcom 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( x  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( (
x  +  K )  <  L  ->  (
( N  -  M
)  e.  NN0  ->  ( L  <_  ( N  -  M )  ->  ( N  -  M )  e.  NN ) ) ) )
123122imp41 577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN0  /\  (
x  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )
)  /\  ( x  +  K )  <  L
)  /\  ( N  -  M )  e.  NN0 )  /\  L  <_  ( N  -  M )
)  ->  ( N  -  M )  e.  NN )
124 nn0re 10186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( x  +  K )  e.  NN0  ->  ( x  +  K )  e.  RR )
12587, 124syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( x  +  K
)  e.  RR )
126125ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( x  e.  NN0  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( x  +  K )  e.  RR ) )
127126adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  NN0  ->  ( x  +  K
)  e.  RR ) )
128127impcom 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( x  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( x  +  K )  e.  RR )
129128adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  ( x  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  /\  ( N  -  M )  e. 
NN0 )  ->  (
x  +  K )  e.  RR )
13083adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  ( x  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  /\  ( N  -  M )  e. 
NN0 )  ->  L  e.  RR )
131102adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  ( x  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  /\  ( N  -  M )  e. 
NN0 )  ->  ( N  -  M )  e.  RR )
132 ltletr 9122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( x  +  K
)  e.  RR  /\  L  e.  RR  /\  ( N  -  M )  e.  RR )  ->  (
( ( x  +  K )  <  L  /\  L  <_  ( N  -  M ) )  ->  ( x  +  K )  <  ( N  -  M )
) )
133129, 130, 131, 132syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  ( x  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  /\  ( N  -  M )  e. 
NN0 )  ->  (
( ( x  +  K )  <  L  /\  L  <_  ( N  -  M ) )  ->  ( x  +  K )  <  ( N  -  M )
) )
134133exp4b 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( x  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( ( N  -  M )  e.  NN0  ->  ( (
x  +  K )  <  L  ->  ( L  <_  ( N  -  M )  ->  (
x  +  K )  <  ( N  -  M ) ) ) ) )
135134com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( x  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( (
x  +  K )  <  L  ->  (
( N  -  M
)  e.  NN0  ->  ( L  <_  ( N  -  M )  ->  (
x  +  K )  <  ( N  -  M ) ) ) ) )
136135imp41 577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN0  /\  (
x  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )
)  /\  ( x  +  K )  <  L
)  /\  ( N  -  M )  e.  NN0 )  /\  L  <_  ( N  -  M )
)  ->  ( x  +  K )  <  ( N  -  M )
)
137 elfzo0 11126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( x  +  K )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  <->  ( ( x  +  K )  e. 
NN0  /\  ( N  -  M )  e.  NN  /\  ( x  +  K
)  <  ( N  -  M ) ) )
13891, 123, 136, 137syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ( K  e.  NN0  /\  (
x  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )
)  /\  ( x  +  K )  <  L
)  /\  ( N  -  M )  e.  NN0 )  /\  L  <_  ( N  -  M )
)  ->  ( x  +  K )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )
139138exp41 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( x  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( (
x  +  K )  <  L  ->  (
( N  -  M
)  e.  NN0  ->  ( L  <_  ( N  -  M )  ->  (
x  +  K )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) ) ) ) )
14086, 139sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( x  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( x  <  ( L  -  K
)  ->  ( ( N  -  M )  e.  NN0  ->  ( L  <_  ( N  -  M
)  ->  ( x  +  K )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) ) ) ) )
141140ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ( x  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( x  <  ( L  -  K )  ->  ( ( N  -  M )  e.  NN0  ->  ( L  <_  ( N  -  M )  ->  ( x  +  K
)  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) ) ) ) ) ) )
142141com24 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ( N  -  M )  e.  NN0  ->  ( x  <  ( L  -  K )  ->  (
( x  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( L  <_ 
( N  -  M
)  ->  ( x  +  K )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) ) ) ) ) )
143142imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0 )  ->  ( x  <  ( L  -  K )  ->  ( ( x  e. 
NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( L  <_  ( N  -  M )  ->  (
x  +  K )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) ) ) ) )
144143com13 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( x  <  ( L  -  K )  ->  ( ( K  e. 
NN0  /\  ( N  -  M )  e.  NN0 )  ->  ( L  <_ 
( N  -  M
)  ->  ( x  +  K )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) ) ) ) )
145144impancom 428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( L  -  K ) )  -> 
( L  e.  ZZ  ->  ( ( K  e. 
NN0  /\  ( N  -  M )  e.  NN0 )  ->  ( L  <_ 
( N  -  M
)  ->  ( x  +  K )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) ) ) ) )
1461453adant2 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( L  -  K
)  e.  NN  /\  x  <  ( L  -  K ) )  -> 
( L  e.  ZZ  ->  ( ( K  e. 
NN0  /\  ( N  -  M )  e.  NN0 )  ->  ( L  <_ 
( N  -  M
)  ->  ( x  +  K )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) ) ) ) )
14777, 146sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  K ) )  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  ( N  -  M )  e.  NN0 )  ->  ( L  <_  ( N  -  M )  ->  (
x  +  K )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) ) ) ) )
148147com14 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( L  <_  ( N  -  M )  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  K ) )  -> 
( x  +  K
)  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) ) ) ) ) )
149148adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M ) )  -> 
( L  e.  ZZ  ->  ( ( K  e. 
NN0  /\  ( N  -  M )  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  K ) )  ->  ( x  +  K )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) ) ) ) )
150149com12 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (
( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M ) )  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  ( N  -  M )  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  ( 0..^ ( L  -  K
) )  ->  (
x  +  K )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) ) ) ) )
1511503ad2ant3 980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  M
)  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M )
)  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  ( N  -  M )  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  ( 0..^ ( L  -  K
) )  ->  (
x  +  K )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) ) ) ) )
152151imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  ( N  -  M
)  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( K  <_  L  /\  L  <_  ( N  -  M ) ) )  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  ( N  -  M )  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  ( 0..^ ( L  -  K
) )  ->  (
x  +  K )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) ) ) )
15376, 152sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( L  e.  ( K ... ( N  -  M
) )  ->  (
( K  e.  NN0  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  K ) )  -> 
( x  +  K
)  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) ) ) ) )
154153com12 29 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0 )  ->  ( L  e.  ( K ... ( N  -  M ) )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  K ) )  ->  ( x  +  K )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) ) ) )
1551543adant3 977 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0  /\  K  <_  ( N  -  M ) )  -> 
( L  e.  ( K ... ( N  -  M ) )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  K ) )  ->  ( x  +  K )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) ) ) )
15675, 155sylbi 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M
) )  ->  ( L  e.  ( K ... ( N  -  M
) )  ->  (
x  e.  ( 0..^ ( L  -  K
) )  ->  (
x  +  K )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) ) ) )
157156imp 419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M
) ) )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( L  -  K ) )  -> 
( x  +  K
)  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) ) ) )
158157adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M
) ) ) )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  K ) )  ->  ( x  +  K )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) ) )
159158adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
)  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M ) ) ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( L  -  K ) ) )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  K ) )  ->  ( x  +  K )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) ) )
160159imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M
) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M )
) ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( L  -  K
) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( L  -  K
) ) )  -> 
( x  +  K
)  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) ) )
161 swrdfv 11726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  (
0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  /\  ( x  +  K
)  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) ) )  -> 
( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  (
x  +  K ) )  =  ( W `
 ( ( x  +  K )  +  M ) ) )
16274, 160, 161syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M
) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M )
) ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( L  -  K
) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( L  -  K
) ) )  -> 
( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  (
x  +  K ) )  =  ( W `
 ( ( x  +  K )  +  M ) ) )
163162mpteq2dva 4255 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
)  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M ) ) ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( L  -  K ) ) )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  K ) ) 
|->  ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  (
x  +  K ) ) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  K
) )  |->  ( W `
 ( ( x  +  K )  +  M ) ) ) )
164163fveq1d 5689 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
)  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M ) ) ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( L  -  K ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( 0..^ ( L  -  K
) )  |->  ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  ( x  +  K ) ) ) `  y )  =  ( ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  K ) )  |->  ( W `  ( ( x  +  K )  +  M
) ) ) `  y ) )
16525adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
)  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M ) ) ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( L  -  K ) ) )  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( M  +  K )  e.  ( 0 ... ( M  +  L )
)  /\  ( M  +  L )  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) ) )
16631, 33, 353anim123i 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  CC  /\  L  e.  CC  /\  K  e.  CC ) )
1671663expa 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  CC  /\  L  e.  CC  /\  K  e.  CC ) )
168167, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( L  -  K )  =  ( ( M  +  L
)  -  ( M  +  K ) ) )
169168exp31 588 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( L  -  K )  =  ( ( M  +  L )  -  ( M  +  K
) ) ) ) )
170169com3l 77 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( L  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( L  -  K )  =  ( ( M  +  L )  -  ( M  +  K
) ) ) ) )
17129, 170syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( L  e.  ( K ... ( N  -  M
) )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( L  -  K )  =  ( ( M  +  L )  -  ( M  +  K
) ) ) ) )
17230, 171mpan9 456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M
) ) )  -> 
( M  e.  ZZ  ->  ( L  -  K
)  =  ( ( M  +  L )  -  ( M  +  K ) ) ) )
17328, 172syl5com 28 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M ) ) )  ->  ( L  -  K )  =  ( ( M  +  L
)  -  ( M  +  K ) ) ) )
1741733ad2ant3 980 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M ) ) )  ->  ( L  -  K )  =  ( ( M  +  L
)  -  ( M  +  K ) ) ) )
175174imp 419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M
) ) ) )  ->  ( L  -  K )  =  ( ( M  +  L
)  -  ( M  +  K ) ) )
176175oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M
) ) ) )  ->  ( 0..^ ( L  -  K ) )  =  ( 0..^ ( ( M  +  L )  -  ( M  +  K )
) ) )
177176eleq2d 2471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M
) ) ) )  ->  ( y  e.  ( 0..^ ( L  -  K ) )  <-> 
y  e.  ( 0..^ ( ( M  +  L )  -  ( M  +  K )
) ) ) )
178177biimpa 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
)  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M ) ) ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( L  -  K ) ) )  ->  y  e.  ( 0..^ ( ( M  +  L )  -  ( M  +  K
) ) ) )
179 swrdfv 11726 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( M  +  K
)  e.  ( 0 ... ( M  +  L ) )  /\  ( M  +  L
)  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( ( M  +  L )  -  ( M  +  K )
) ) )  -> 
( ( W substr  <. ( M  +  K ) ,  ( M  +  L ) >. ) `  y )  =  ( W `  ( y  +  ( M  +  K ) ) ) )
180165, 178, 179syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
)  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M ) ) ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( L  -  K ) ) )  ->  ( ( W substr  <. ( M  +  K ) ,  ( M  +  L )
>. ) `  y )  =  ( W `  ( y  +  ( M  +  K ) ) ) )
18173, 164, 1803eqtr4d 2446 . . . 4  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
)  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M ) ) ) )  /\  y  e.  ( 0..^ ( L  -  K ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( 0..^ ( L  -  K
) )  |->  ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  ( x  +  K ) ) ) `  y )  =  ( ( W substr  <. ( M  +  K
) ,  ( M  +  L ) >.
) `  y )
)
18224, 47, 181eqfnfvd 5789 . . 3  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M
) ) ) )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  K ) ) 
|->  ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  (
x  +  K ) ) )  =  ( W substr  <. ( M  +  K ) ,  ( M  +  L )
>. ) )
18320, 182eqtrd 2436 . 2  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M
) ) ) )  ->  ( ( W substr  <. M ,  N >. ) substr  <. K ,  L >. )  =  ( W substr  <. ( M  +  K ) ,  ( M  +  L ) >. )
)
184183ex 424 1  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( K  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  /\  L  e.  ( K ... ( N  -  M ) ) )  ->  ( ( W substr  <. M ,  N >. ) substr  <. K ,  L >. )  =  ( W substr  <. ( M  +  K
) ,  ( M  +  L ) >.
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   <.cop 3777   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    Fn wfn 5408   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946    + caddc 8949    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999  ..^cfzo 11090   #chash 11573  Word cword 11672   substr csubstr 11675
This theorem is referenced by:  swrdswrd0  28013
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-hash 11574  df-word 11678  df-substr 11681
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