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Theorem swrdspsleq 12623
Description: Two words have a common subword (starting at the same position with the same length) iff they have the same symbols at each position. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdspsleq  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  (
( W substr  <. M ,  N >. )  =  ( U substr  <. M ,  N >. )  <->  A. i  e.  ( M..^ N ) ( W `  i )  =  ( U `  i ) ) )
Distinct variable groups:    i, M    i, N    U, i    i, V   
i, W

Proof of Theorem swrdspsleq
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  ->  W  e. Word  V )
21adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  W  e. Word  V )
3 nn0z 10876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  ZZ )
43adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  M  e.  ZZ )
54adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  M  e.  ZZ )
6 nn0z 10876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
76adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
87adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  N  e.  ZZ )
9 swrdlend 12606 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  M  ->  ( W substr  <. M ,  N >. )  =  (/) ) )
102, 5, 8, 9syl3anc 1223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  <_  M  ->  ( W substr  <. M ,  N >. )  =  (/) ) )
1110imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  /\  N  <_  M )  -> 
( W substr  <. M ,  N >. )  =  (/) )
12 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  ->  U  e. Word  V )
1312adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  U  e. Word  V )
14 swrdlend 12606 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  M  ->  ( U substr  <. M ,  N >. )  =  (/) ) )
1513, 5, 8, 14syl3anc 1223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  <_  M  ->  ( U substr  <. M ,  N >. )  =  (/) ) )
1615imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  /\  N  <_  M )  -> 
( U substr  <. M ,  N >. )  =  (/) )
1711, 16eqtr4d 2504 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  /\  N  <_  M )  -> 
( W substr  <. M ,  N >. )  =  ( U substr  <. M ,  N >. ) )
1817ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  <_  M  ->  ( W substr  <. M ,  N >. )  =  ( U substr  <. M ,  N >. ) ) )
19183adant3 1011 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  ( N  <_  M  ->  ( W substr  <. M ,  N >. )  =  ( U substr  <. M ,  N >. ) ) )
2019impcom 430 . . 3  |-  ( ( N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( W substr  <. M ,  N >. )  =  ( U substr  <. M ,  N >. ) )
21 ral0 3925 . . . . . . 7  |-  A. i  e.  (/)  ( W `  i )  =  ( U `  i )
22 fzon 11804 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  M  <->  ( M..^ N )  =  (/) ) )
233, 6, 22syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  <_  M  <->  ( M..^ N )  =  (/) ) )
2423biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  M )  ->  ( M..^ N
)  =  (/) )
2524raleqdv 3057 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  M )  ->  ( A. i  e.  ( M..^ N ) ( W `  i
)  =  ( U `
 i )  <->  A. i  e.  (/)  ( W `  i )  =  ( U `  i ) ) )
2621, 25mpbiri 233 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  M )  ->  A. i  e.  ( M..^ N ) ( W `  i )  =  ( U `  i ) )
2726ex 434 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  <_  M  ->  A. i  e.  ( M..^ N ) ( W `  i )  =  ( U `  i ) ) )
28273ad2ant2 1013 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  ( N  <_  M  ->  A. i  e.  ( M..^ N ) ( W `  i
)  =  ( U `
 i ) ) )
2928impcom 430 . . 3  |-  ( ( N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  ->  A. i  e.  ( M..^ N ) ( W `
 i )  =  ( U `  i
) )
3020, 292thd 240 . 2  |-  ( ( N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( ( W substr  <. M ,  N >. )  =  ( U substr  <. M ,  N >. )  <->  A. i  e.  ( M..^ N ) ( W `  i )  =  ( U `  i ) ) )
31 swrdcl 12596 . . . . . 6  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( W substr  <. M ,  N >. )  e. Word  V )
32 swrdcl 12596 . . . . . 6  |-  ( U  e. Word  V  ->  ( U substr  <. M ,  N >. )  e. Word  V )
33 eqwrd 12534 . . . . . 6  |-  ( ( ( W substr  <. M ,  N >. )  e. Word  V  /\  ( U substr  <. M ,  N >. )  e. Word  V
)  ->  ( ( W substr  <. M ,  N >. )  =  ( U substr  <. M ,  N >. )  <-> 
( ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  =  (
# `  ( U substr  <. M ,  N >. ) )  /\  A. j  e.  ( 0..^ ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) ) ) ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j ) ) ) )
3431, 32, 33syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  ->  ( ( W substr  <. M ,  N >. )  =  ( U substr  <. M ,  N >. )  <->  ( ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  =  ( # `  ( U substr  <. M ,  N >. ) )  /\  A. j  e.  ( 0..^ ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) ) ) ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j ) ) ) )
35343ad2ant1 1012 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  (
( W substr  <. M ,  N >. )  =  ( U substr  <. M ,  N >. )  <->  ( ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  =  ( # `  ( U substr  <. M ,  N >. ) )  /\  A. j  e.  ( 0..^ ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) ) ) ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j ) ) ) )
3635adantl 466 . . 3  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( ( W substr  <. M ,  N >. )  =  ( U substr  <. M ,  N >. )  <->  ( ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  =  ( # `  ( U substr  <. M ,  N >. ) )  /\  A. j  e.  ( 0..^ ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) ) ) ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j ) ) ) )
3713ad2ant1 1012 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  W  e. Word  V )
3837adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  ->  W  e. Word  V )
39 nn0re 10793 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
40 nn0re 10793 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
41 ltnle 9653 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  <  N  <->  -.  N  <_  M )
)
4239, 40, 41syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  <  N  <->  -.  N  <_  M )
)
43 fzossfz 11803 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0..^ N )  C_  (
0 ... N )
44 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e. 
NN0 )
45 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  <  N  ->  M  <  N )
4644, 6, 453anim123i 1176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <  N )  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  ZZ  /\  M  < 
N ) )
47 elfzo0z 11822 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( 0..^ N )  <->  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N
) )
4846, 47sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <  N )  ->  M  e.  ( 0..^ N ) )
49483expa 1191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  ->  M  e.  ( 0..^ N ) )
5043, 49sseldi 3495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  ->  M  e.  ( 0 ... N ) )
5150ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  <  N  ->  M  e.  ( 0 ... N ) ) )
5242, 51sylbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( -.  N  <_  M  ->  M  e.  ( 0 ... N ) ) )
53523ad2ant2 1013 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  ( -.  N  <_  M  ->  M  e.  ( 0 ... N ) ) )
5453impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  ->  M  e.  ( 0 ... N ) )
55 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
56 lencl 12515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
5756adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  ->  ( # `  W
)  e.  NN0 )
58 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
)  ->  N  <_  (
# `  W )
)
5955, 57, 583anim123i 1176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( N  <_ 
( # `  W )  /\  N  <_  ( # `
 U ) ) )  ->  ( N  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) ) )
60593com12 1195 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 W )  e. 
NN0  /\  N  <_  (
# `  W )
) )
61 elfz2nn0 11757 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) ) )
6260, 61sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )
6362adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
64 swrdlen 12600 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  =  ( N  -  M ) )
6538, 54, 63, 64syl3anc 1223 . . . . 5  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  =  ( N  -  M ) )
66123ad2ant1 1012 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  U  e. Word  V )
6766adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  ->  U  e. Word  V )
68463expa 1191 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  ->  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N
) )
6968, 47sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  ->  M  e.  ( 0..^ N ) )
7043, 69sseldi 3495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  ->  M  e.  ( 0 ... N ) )
7170ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  <  N  ->  M  e.  ( 0 ... N ) ) )
7242, 71sylbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( -.  N  <_  M  ->  M  e.  ( 0 ... N ) ) )
73723ad2ant2 1013 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  ( -.  N  <_  M  ->  M  e.  ( 0 ... N ) ) )
7473impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  ->  M  e.  ( 0 ... N ) )
75 lencl 12515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e. Word  V  ->  ( # `
 U )  e. 
NN0 )
7675adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  ->  ( # `  U
)  e.  NN0 )
77 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
)  ->  N  <_  (
# `  U )
)
7855, 76, 773anim123i 1176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( N  <_ 
( # `  W )  /\  N  <_  ( # `
 U ) ) )  ->  ( N  e.  NN0  /\  ( # `  U )  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  U
) ) )
79783com12 1195 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 U )  e. 
NN0  /\  N  <_  (
# `  U )
) )
80 elfz2nn0 11757 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( # `  U
) )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ( # `  U )  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  U
) ) )
8179, 80sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `
 U ) ) )
8281adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `  U
) ) )
83 swrdlen 12600 . . . . . 6  |-  ( ( U  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  U
) ) )  -> 
( # `  ( U substr  <. M ,  N >. ) )  =  ( N  -  M ) )
8467, 74, 82, 83syl3anc 1223 . . . . 5  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( # `  ( U substr  <. M ,  N >. ) )  =  ( N  -  M ) )
8565, 84eqtr4d 2504 . . . 4  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  =  ( # `  ( U substr  <. M ,  N >. ) ) )
8685biantrurd 508 . . 3  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( A. j  e.  ( 0..^ ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) ) ) ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j )  <-> 
( ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  =  (
# `  ( U substr  <. M ,  N >. ) )  /\  A. j  e.  ( 0..^ ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) ) ) ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j ) ) ) )
87 0zd 10865 . . . . 5  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
0  e.  ZZ )
88 lencl 12515 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W substr  <. M ,  N >. )  e. Word  V  -> 
( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  e.  NN0 )
8931, 88syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( # `
 ( W substr  <. M ,  N >. ) )  e. 
NN0 )
90 nn0z 10876 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  e.  NN0  ->  (
# `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  e.  ZZ )
9189, 90syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( # `
 ( W substr  <. M ,  N >. ) )  e.  ZZ )
9291adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  ->  ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  e.  ZZ )
93923ad2ant1 1012 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  ( # `
 ( W substr  <. M ,  N >. ) )  e.  ZZ )
9493adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  e.  ZZ )
9543ad2ant2 1013 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  M  e.  ZZ )
9695adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  ->  M  e.  ZZ )
97 fzoshftral 11880 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( 0..^ ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) ) ) ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j )  <->  A. i  e.  (
( 0  +  M
)..^ ( ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  +  M ) ) [. ( i  -  M
)  /  j ]. ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j ) ) )
9887, 94, 96, 97syl3anc 1223 . . . 4  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( A. j  e.  ( 0..^ ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) ) ) ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j )  <->  A. i  e.  (
( 0  +  M
)..^ ( ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  +  M ) ) [. ( i  -  M
)  /  j ]. ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j ) ) )
99 nn0cn 10794 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  CC )
10099addid2d 9769 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( 0  +  M )  =  M )
101100adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0  +  M
)  =  M )
1021013ad2ant2 1013 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  (
0  +  M )  =  M )
103102adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( 0  +  M
)  =  M )
10465oveq1d 6290 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  +  M
)  =  ( ( N  -  M )  +  M ) )
105 nn0cn 10794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
10699, 105anim12ci 567 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  CC  /\  M  e.  CC ) )
107 npcan 9818 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( ( N  -  M )  +  M
)  =  N )
108106, 107syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( N  -  M )  +  M
)  =  N )
1091083ad2ant2 1013 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  (
( N  -  M
)  +  M )  =  N )
110109adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( ( N  -  M )  +  M
)  =  N )
111104, 110eqtrd 2501 . . . . . 6  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  +  M
)  =  N )
112103, 111oveq12d 6293 . . . . 5  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( ( 0  +  M )..^ ( (
# `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  +  M ) )  =  ( M..^ N ) )
113 ovex 6300 . . . . . . 7  |-  ( i  -  M )  e. 
_V
114 sbceqg 3818 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  -  M )  e.  _V  ->  ( [. ( i  -  M
)  /  j ]. ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j )  <->  [_ ( i  -  M
)  /  j ]_ ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  [_ (
i  -  M )  /  j ]_ (
( U substr  <. M ,  N >. ) `  j
) ) )
115 csbfv2g 5894 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  -  M )  e.  _V  ->  [_ (
i  -  M )  /  j ]_ (
( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  [_ (
i  -  M )  /  j ]_ j
) )
116 csbvarg 3841 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  -  M )  e.  _V  ->  [_ (
i  -  M )  /  j ]_ j  =  ( i  -  M ) )
117116fveq2d 5861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  -  M )  e.  _V  ->  (
( W substr  <. M ,  N >. ) `  [_ (
i  -  M )  /  j ]_ j
)  =  ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  ( i  -  M ) ) )
118115, 117eqtrd 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  -  M )  e.  _V  ->  [_ (
i  -  M )  /  j ]_ (
( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  ( i  -  M ) ) )
119 csbfv2g 5894 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  -  M )  e.  _V  ->  [_ (
i  -  M )  /  j ]_ (
( U substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  [_ (
i  -  M )  /  j ]_ j
) )
120116fveq2d 5861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  -  M )  e.  _V  ->  (
( U substr  <. M ,  N >. ) `  [_ (
i  -  M )  /  j ]_ j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  ( i  -  M ) ) )
121119, 120eqtrd 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  -  M )  e.  _V  ->  [_ (
i  -  M )  /  j ]_ (
( U substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  ( i  -  M ) ) )
122118, 121eqeq12d 2482 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  -  M )  e.  _V  ->  ( [_ ( i  -  M
)  /  j ]_ ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  [_ (
i  -  M )  /  j ]_ (
( U substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  <->  ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `
 ( i  -  M ) )  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  (
i  -  M ) ) ) )
123114, 122bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( i  -  M )  e.  _V  ->  ( [. ( i  -  M
)  /  j ]. ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j )  <-> 
( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  (
i  -  M ) )  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  ( i  -  M ) ) ) )
124113, 123mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  /\  i  e.  ( (
0  +  M )..^ ( ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  +  M
) ) )  -> 
( [. ( i  -  M )  /  j ]. ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j )  <-> 
( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  (
i  -  M ) )  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  ( i  -  M ) ) ) )
12560adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( N  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) ) )
126125, 61sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
12738, 54, 126, 64syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  =  ( N  -  M ) )
128127oveq1d 6290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  +  M
)  =  ( ( N  -  M )  +  M ) )
129128, 110eqtrd 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  +  M
)  =  N )
130103, 129oveq12d 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( ( 0  +  M )..^ ( (
# `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  +  M ) )  =  ( M..^ N ) )
131130eleq2d 2530 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( i  e.  ( ( 0  +  M
)..^ ( ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  +  M ) )  <->  i  e.  ( M..^ N ) ) )
13238, 54, 1263jca 1171 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( W  e. Word  V  /\  M  e.  (
0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) ) )
133132adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  -> 
( W  e. Word  V  /\  M  e.  (
0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) ) )
13479adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( N  e.  NN0  /\  ( # `  U
)  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  U
) ) )
135134, 80sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `  U
) ) )
13667, 54, 1353jca 1171 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( U  e. Word  V  /\  M  e.  (
0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  U
) ) ) )
137136adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  -> 
( U  e. Word  V  /\  M  e.  (
0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  U
) ) ) )
138133, 137jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  -> 
( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  U ) ) ) ) )
139 pncan3 9817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( M  +  ( N  -  M ) )  =  N )
14099, 105, 139syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  +  ( N  -  M ) )  =  N )
141140eqcomd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  =  ( M  +  ( N  -  M ) ) )
142141oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M..^ N )  =  ( M..^ ( M  +  ( N  -  M ) ) ) )
143142eleq2d 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( i  e.  ( M..^ N )  <->  i  e.  ( M..^ ( M  +  ( N  -  M
) ) ) ) )
144143biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  -> 
i  e.  ( M..^ ( M  +  ( N  -  M ) ) ) )
1453, 6anim12ci 567 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )
146 zsubcl 10894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  -  M
)  e.  ZZ )
147145, 146syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  -  M
)  e.  ZZ )
148147adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  -> 
( N  -  M
)  e.  ZZ )
149144, 148jca 532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  -> 
( i  e.  ( M..^ ( M  +  ( N  -  M
) ) )  /\  ( N  -  M
)  e.  ZZ ) )
150149ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( i  e.  ( M..^ N )  -> 
( i  e.  ( M..^ ( M  +  ( N  -  M
) ) )  /\  ( N  -  M
)  e.  ZZ ) ) )
1511503ad2ant2 1013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  (
i  e.  ( M..^ N )  ->  (
i  e.  ( M..^ ( M  +  ( N  -  M ) ) )  /\  ( N  -  M )  e.  ZZ ) ) )
152151adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( i  e.  ( M..^ N )  -> 
( i  e.  ( M..^ ( M  +  ( N  -  M
) ) )  /\  ( N  -  M
)  e.  ZZ ) ) )
153152imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  -> 
( i  e.  ( M..^ ( M  +  ( N  -  M
) ) )  /\  ( N  -  M
)  e.  ZZ ) )
154 fzosubel3 11834 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( M..^ ( M  +  ( N  -  M ) ) )  /\  ( N  -  M )  e.  ZZ )  ->  (
i  -  M )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )
155153, 154syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  -> 
( i  -  M
)  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) ) )
15699adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  M  e.  CC )
1571563ad2ant2 1013 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  M  e.  CC )
158157adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  ->  M  e.  CC )
159 elfzoelz 11786 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  i  e.  ZZ )
160159zcnd 10956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  i  e.  CC )
161158, 160anim12ci 567 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  -> 
( i  e.  CC  /\  M  e.  CC ) )
162 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  (
0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  /\  ( U  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  U
) ) ) )  ->  ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) ) )
163162anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  U ) ) ) )  /\  ( i  -  M )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )  /\  ( i  -  M )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) ) )
164163adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )  /\  ( U  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 U ) ) ) )  /\  (
i  -  M )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )  /\  (
i  e.  CC  /\  M  e.  CC )
)  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )  /\  ( i  -  M )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) ) )
165 swrdfv 12601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  (
0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  /\  ( i  -  M
)  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) ) )  -> 
( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  (
i  -  M ) )  =  ( W `
 ( ( i  -  M )  +  M ) ) )
166164, 165syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )  /\  ( U  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 U ) ) ) )  /\  (
i  -  M )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )  /\  (
i  e.  CC  /\  M  e.  CC )
)  ->  ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  ( i  -  M ) )  =  ( W `  ( ( i  -  M )  +  M
) ) )
167 npcan 9818 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( ( i  -  M )  +  M
)  =  i )
168167adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )  /\  ( U  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 U ) ) ) )  /\  (
i  -  M )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )  /\  (
i  e.  CC  /\  M  e.  CC )
)  ->  ( (
i  -  M )  +  M )  =  i )
169168fveq2d 5861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )  /\  ( U  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 U ) ) ) )  /\  (
i  -  M )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )  /\  (
i  e.  CC  /\  M  e.  CC )
)  ->  ( W `  ( ( i  -  M )  +  M
) )  =  ( W `  i ) )
170166, 169eqtrd 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )  /\  ( U  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 U ) ) ) )  /\  (
i  -  M )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )  /\  (
i  e.  CC  /\  M  e.  CC )
)  ->  ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  ( i  -  M ) )  =  ( W `  i ) )
171 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  (
0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  /\  ( U  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  U
) ) ) )  ->  ( U  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  U ) ) ) )
172171anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  U ) ) ) )  /\  ( i  -  M )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )  ->  ( ( U  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 U ) ) )  /\  ( i  -  M )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) ) )
173172adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )  /\  ( U  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 U ) ) ) )  /\  (
i  -  M )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )  /\  (
i  e.  CC  /\  M  e.  CC )
)  ->  ( ( U  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 U ) ) )  /\  ( i  -  M )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) ) )
174 swrdfv 12601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( U  e. Word  V  /\  M  e.  (
0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  U
) ) )  /\  ( i  -  M
)  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) ) )  -> 
( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  (
i  -  M ) )  =  ( U `
 ( ( i  -  M )  +  M ) ) )
175173, 174syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )  /\  ( U  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 U ) ) ) )  /\  (
i  -  M )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )  /\  (
i  e.  CC  /\  M  e.  CC )
)  ->  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  ( i  -  M ) )  =  ( U `  ( ( i  -  M )  +  M
) ) )
176168fveq2d 5861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )  /\  ( U  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 U ) ) ) )  /\  (
i  -  M )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )  /\  (
i  e.  CC  /\  M  e.  CC )
)  ->  ( U `  ( ( i  -  M )  +  M
) )  =  ( U `  i ) )
177175, 176eqtrd 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )  /\  ( U  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 U ) ) ) )  /\  (
i  -  M )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )  /\  (
i  e.  CC  /\  M  e.  CC )
)  ->  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  ( i  -  M ) )  =  ( U `  i ) )
178170, 177eqeq12d 2482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )  /\  ( U  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 U ) ) ) )  /\  (
i  -  M )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )  /\  (
i  e.  CC  /\  M  e.  CC )
)  ->  ( (
( W substr  <. M ,  N >. ) `  (
i  -  M ) )  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  ( i  -  M ) )  <-> 
( W `  i
)  =  ( U `
 i ) ) )
179138, 155, 161, 178syl21anc 1222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  -> 
( ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `
 ( i  -  M ) )  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  (
i  -  M ) )  <->  ( W `  i )  =  ( U `  i ) ) )
180179ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( i  e.  ( M..^ N )  -> 
( ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `
 ( i  -  M ) )  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  (
i  -  M ) )  <->  ( W `  i )  =  ( U `  i ) ) ) )
181131, 180sylbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( i  e.  ( ( 0  +  M
)..^ ( ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  +  M ) )  -> 
( ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `
 ( i  -  M ) )  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  (
i  -  M ) )  <->  ( W `  i )  =  ( U `  i ) ) ) )
182181imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  /\  i  e.  ( (
0  +  M )..^ ( ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  +  M
) ) )  -> 
( ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `
 ( i  -  M ) )  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  (
i  -  M ) )  <->  ( W `  i )  =  ( U `  i ) ) )
183124, 182bitrd 253 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  /\  i  e.  ( (
0  +  M )..^ ( ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  +  M
) ) )  -> 
( [. ( i  -  M )  /  j ]. ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j )  <-> 
( W `  i
)  =  ( U `
 i ) ) )
184112, 183raleqbidva 3067 . . . 4  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( A. i  e.  ( ( 0  +  M )..^ ( (
# `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  +  M ) ) [. ( i  -  M )  / 
j ]. ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `
 j )  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  <->  A. i  e.  ( M..^ N ) ( W `  i )  =  ( U `  i ) ) )
18598, 184bitrd 253 . . 3  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( A. j  e.  ( 0..^ ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) ) ) ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j )  <->  A. i  e.  ( M..^ N ) ( W `
 i )  =  ( U `  i
) ) )
18636, 86, 1853bitr2d 281 . 2  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( ( W substr  <. M ,  N >. )  =  ( U substr  <. M ,  N >. )  <->  A. i  e.  ( M..^ N ) ( W `  i )  =  ( U `  i ) ) )
18730, 186pm2.61ian 788 1  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  (
( W substr  <. M ,  N >. )  =  ( U substr  <. M ,  N >. )  <->  A. i  e.  ( M..^ N ) ( W `  i )  =  ( U `  i ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   _Vcvv 3106   [.wsbc 3324   [_csb 3428   (/)c0 3778   <.cop 4026   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481    + caddc 9484    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9794   NN0cn0 10784   ZZcz 10853   ...cfz 11661  ..^cfzo 11781   #chash 12360  Word cword 12487   substr csubstr 12491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-hash 12361  df-word 12495  df-substr 12499
This theorem is referenced by:  2swrdeqwrdeq  12628  clwwlkf1  24458
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