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Theorem swrdspsleq 12668
Description: Two words have a common subword (starting at the same position with the same length) iff they have the same symbols at each position. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Aug-2018.) (Proof shortened by AV, 7-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
swrdspsleq  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  (
( W substr  <. M ,  N >. )  =  ( U substr  <. M ,  N >. )  <->  A. i  e.  ( M..^ N ) ( W `  i )  =  ( U `  i ) ) )
Distinct variable groups:    i, M    i, N    U, i    i, V   
i, W

Proof of Theorem swrdspsleq
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 1000 . . . 4  |-  ( ( N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V ) )
2 simpr2 1001 . . . 4  |-  ( ( N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)
3 simpl 455 . . . 4  |-  ( ( N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  ->  N  <_  M )
4 swrdsb0eq 12666 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  M )  ->  ( W substr  <. M ,  N >. )  =  ( U substr  <. M ,  N >. ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1226 . . 3  |-  ( ( N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( W substr  <. M ,  N >. )  =  ( U substr  <. M ,  N >. ) )
6 ral0 3922 . . . . . . 7  |-  A. i  e.  (/)  ( W `  i )  =  ( U `  i )
7 nn0z 10883 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  ZZ )
8 nn0z 10883 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
9 fzon 11823 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  M  <->  ( M..^ N )  =  (/) ) )
107, 8, 9syl2an 475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  <_  M  <->  ( M..^ N )  =  (/) ) )
1110biimpa 482 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  M )  ->  ( M..^ N
)  =  (/) )
1211raleqdv 3057 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  M )  ->  ( A. i  e.  ( M..^ N ) ( W `  i
)  =  ( U `
 i )  <->  A. i  e.  (/)  ( W `  i )  =  ( U `  i ) ) )
136, 12mpbiri 233 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  M )  ->  A. i  e.  ( M..^ N ) ( W `  i )  =  ( U `  i ) )
1413ex 432 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  <_  M  ->  A. i  e.  ( M..^ N ) ( W `  i )  =  ( U `  i ) ) )
15143ad2ant2 1016 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  ( N  <_  M  ->  A. i  e.  ( M..^ N ) ( W `  i
)  =  ( U `
 i ) ) )
1615impcom 428 . . 3  |-  ( ( N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  ->  A. i  e.  ( M..^ N ) ( W `
 i )  =  ( U `  i
) )
175, 162thd 240 . 2  |-  ( ( N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( ( W substr  <. M ,  N >. )  =  ( U substr  <. M ,  N >. )  <->  A. i  e.  ( M..^ N ) ( W `  i )  =  ( U `  i ) ) )
18 swrdcl 12638 . . . . . 6  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( W substr  <. M ,  N >. )  e. Word  V )
19 swrdcl 12638 . . . . . 6  |-  ( U  e. Word  V  ->  ( U substr  <. M ,  N >. )  e. Word  V )
20 eqwrd 12573 . . . . . 6  |-  ( ( ( W substr  <. M ,  N >. )  e. Word  V  /\  ( U substr  <. M ,  N >. )  e. Word  V
)  ->  ( ( W substr  <. M ,  N >. )  =  ( U substr  <. M ,  N >. )  <-> 
( ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  =  (
# `  ( U substr  <. M ,  N >. ) )  /\  A. j  e.  ( 0..^ ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) ) ) ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j ) ) ) )
2118, 19, 20syl2an 475 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  ->  ( ( W substr  <. M ,  N >. )  =  ( U substr  <. M ,  N >. )  <->  ( ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  =  ( # `  ( U substr  <. M ,  N >. ) )  /\  A. j  e.  ( 0..^ ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) ) ) ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j ) ) ) )
22213ad2ant1 1015 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  (
( W substr  <. M ,  N >. )  =  ( U substr  <. M ,  N >. )  <->  ( ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  =  ( # `  ( U substr  <. M ,  N >. ) )  /\  A. j  e.  ( 0..^ ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) ) ) ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j ) ) ) )
2322adantl 464 . . 3  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( ( W substr  <. M ,  N >. )  =  ( U substr  <. M ,  N >. )  <->  ( ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  =  ( # `  ( U substr  <. M ,  N >. ) )  /\  A. j  e.  ( 0..^ ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) ) ) ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j ) ) ) )
24 swrdsbslen 12667 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  ( # `
 ( W substr  <. M ,  N >. ) )  =  ( # `  ( U substr  <. M ,  N >. ) ) )
2524adantl 464 . . . 4  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  =  ( # `  ( U substr  <. M ,  N >. ) ) )
2625biantrurd 506 . . 3  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( A. j  e.  ( 0..^ ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) ) ) ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j )  <-> 
( ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  =  (
# `  ( U substr  <. M ,  N >. ) )  /\  A. j  e.  ( 0..^ ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) ) ) ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j ) ) ) )
27 nn0re 10800 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
28 nn0re 10800 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
29 ltnle 9653 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  <  N  <->  -.  N  <_  M )
)
30 ltle 9662 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  <  N  ->  M  <_  N )
)
3129, 30sylbird 235 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( -.  N  <_  M  ->  M  <_  N
) )
3227, 28, 31syl2an 475 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( -.  N  <_  M  ->  M  <_  N
) )
33323ad2ant2 1016 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  ( -.  N  <_  M  ->  M  <_  N ) )
34 simpl1l 1045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  /\  M  <_  N )  ->  W  e. Word  V )
35 simpl 455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  M  e.  NN0 )
36353ad2ant2 1016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  M  e.  NN0 )
3736adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  /\  M  <_  N )  ->  M  e.  NN0 )
387, 8anim12i 564 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
39383ad2ant2 1016 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
4039anim1i 566 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  /\  M  <_  N )  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N
) )
41 df-3an 973 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  <_  N ) )
4240, 41sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  /\  M  <_  N )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
43 eluz2 11088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
4442, 43sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  /\  M  <_  N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
4537, 44jca 530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  /\  M  <_  N )  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
) )
46 simpl 455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
)  ->  N  <_  (
# `  W )
)
47463ad2ant3 1017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  N  <_  ( # `  W
) )
4847adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  /\  M  <_  N )  ->  N  <_  ( # `  W
) )
4934, 45, 483jca 1174 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  /\  M  <_  N )  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  N  <_  (
# `  W )
) )
50 swrdlen2 12664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  ( # `
 ( W substr  <. M ,  N >. ) )  =  ( N  -  M
) )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  /\  M  <_  N )  ->  ( # `
 ( W substr  <. M ,  N >. ) )  =  ( N  -  M
) )
5251oveq2d 6286 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  /\  M  <_  N )  ->  (
0..^ ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) ) )  =  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )
5352raleqdv 3057 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  /\  M  <_  N )  ->  ( A. j  e.  (
0..^ ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) ) ) ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j )  <->  A. j  e.  (
0..^ ( N  -  M ) ) ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j ) ) )
54 0zd 10872 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  0  e.  ZZ )
55 zsubcl 10902 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  -  M
)  e.  ZZ )
568, 7, 55syl2anr 476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  -  M
)  e.  ZZ )
57563ad2ant2 1016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  ( N  -  M )  e.  ZZ )
587adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  M  e.  ZZ )
59583ad2ant2 1016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  M  e.  ZZ )
60 fzoshftral 11904 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( N  -  M
)  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j )  <->  A. i  e.  (
( 0  +  M
)..^ ( ( N  -  M )  +  M ) ) [. ( i  -  M
)  /  j ]. ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j ) ) )
6154, 57, 59, 60syl3anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  ( A. j  e.  (
0..^ ( N  -  M ) ) ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j )  <->  A. i  e.  (
( 0  +  M
)..^ ( ( N  -  M )  +  M ) ) [. ( i  -  M
)  /  j ]. ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j ) ) )
6261adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  /\  M  <_  N )  ->  ( A. j  e.  (
0..^ ( N  -  M ) ) ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j )  <->  A. i  e.  (
( 0  +  M
)..^ ( ( N  -  M )  +  M ) ) [. ( i  -  M
)  /  j ]. ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j ) ) )
63 nn0cn 10801 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
64 nn0cn 10801 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  CC )
65 addid2 9752 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  CC  ->  (
0  +  M )  =  M )
6665adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( 0  +  M
)  =  M )
67 npcan 9820 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( ( N  -  M )  +  M
)  =  N )
6866, 67oveq12d 6288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( ( 0  +  M )..^ ( ( N  -  M )  +  M ) )  =  ( M..^ N
) )
6963, 64, 68syl2anr 476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( 0  +  M )..^ ( ( N  -  M )  +  M ) )  =  ( M..^ N
) )
70693ad2ant2 1016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  (
( 0  +  M
)..^ ( ( N  -  M )  +  M ) )  =  ( M..^ N ) )
7170adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  /\  M  <_  N )  ->  (
( 0  +  M
)..^ ( ( N  -  M )  +  M ) )  =  ( M..^ N ) )
7271raleqdv 3057 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  /\  M  <_  N )  ->  ( A. i  e.  (
( 0  +  M
)..^ ( ( N  -  M )  +  M ) ) [. ( i  -  M
)  /  j ]. ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j )  <->  A. i  e.  ( M..^ N ) [. (
i  -  M )  /  j ]. (
( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j ) ) )
73 ovex 6298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  -  M )  e. 
_V
74 sbceqg 3823 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( i  -  M )  e.  _V  ->  ( [. ( i  -  M
)  /  j ]. ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j )  <->  [_ ( i  -  M
)  /  j ]_ ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  [_ (
i  -  M )  /  j ]_ (
( U substr  <. M ,  N >. ) `  j
) ) )
75 csbfv2g 5884 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  -  M )  e.  _V  ->  [_ (
i  -  M )  /  j ]_ (
( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  [_ (
i  -  M )  /  j ]_ j
) )
76 csbvarg 3842 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  -  M )  e.  _V  ->  [_ (
i  -  M )  /  j ]_ j  =  ( i  -  M ) )
7776fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  -  M )  e.  _V  ->  (
( W substr  <. M ,  N >. ) `  [_ (
i  -  M )  /  j ]_ j
)  =  ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  ( i  -  M ) ) )
7875, 77eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  -  M )  e.  _V  ->  [_ (
i  -  M )  /  j ]_ (
( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  ( i  -  M ) ) )
79 csbfv2g 5884 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  -  M )  e.  _V  ->  [_ (
i  -  M )  /  j ]_ (
( U substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  [_ (
i  -  M )  /  j ]_ j
) )
8076fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  -  M )  e.  _V  ->  (
( U substr  <. M ,  N >. ) `  [_ (
i  -  M )  /  j ]_ j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  ( i  -  M ) ) )
8179, 80eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  -  M )  e.  _V  ->  [_ (
i  -  M )  /  j ]_ (
( U substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  ( i  -  M ) ) )
8278, 81eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( i  -  M )  e.  _V  ->  ( [_ ( i  -  M
)  /  j ]_ ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  [_ (
i  -  M )  /  j ]_ (
( U substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  <->  ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `
 ( i  -  M ) )  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  (
i  -  M ) ) ) )
8374, 82bitrd 253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  -  M )  e.  _V  ->  ( [. ( i  -  M
)  /  j ]. ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j )  <-> 
( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  (
i  -  M ) )  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  ( i  -  M ) ) ) )
8473, 83mp1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  /\  M  <_  N )  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( [. ( i  -  M
)  /  j ]. ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j )  <-> 
( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  (
i  -  M ) )  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  ( i  -  M ) ) ) )
85 swrdfv2 12665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  N  <_  ( # `  W
) )  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  ( i  -  M ) )  =  ( W `  i ) )
8649, 85sylan 469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  /\  M  <_  N )  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  ( i  -  M ) )  =  ( W `  i ) )
87 simpl1r 1046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  /\  M  <_  N )  ->  U  e. Word  V )
88 simpl3r 1050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  /\  M  <_  N )  ->  N  <_  ( # `  U
) )
8987, 45, 883jca 1174 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  /\  M  <_  N )  ->  ( U  e. Word  V  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )
90 swrdfv2 12665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( U  e. Word  V  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )  /\  N  <_  ( # `  U
) )  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  ( i  -  M ) )  =  ( U `  i ) )
9189, 90sylan 469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  /\  M  <_  N )  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  ( i  -  M ) )  =  ( U `  i ) )
9286, 91eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  /\  M  <_  N )  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( (
( W substr  <. M ,  N >. ) `  (
i  -  M ) )  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  ( i  -  M ) )  <-> 
( W `  i
)  =  ( U `
 i ) ) )
9384, 92bitrd 253 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  /\  M  <_  N )  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( [. ( i  -  M
)  /  j ]. ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j )  <-> 
( W `  i
)  =  ( U `
 i ) ) )
9493ralbidva 2890 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  /\  M  <_  N )  ->  ( A. i  e.  ( M..^ N ) [. (
i  -  M )  /  j ]. (
( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j )  <->  A. i  e.  ( M..^ N ) ( W `
 i )  =  ( U `  i
) ) )
9572, 94bitrd 253 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  /\  M  <_  N )  ->  ( A. i  e.  (
( 0  +  M
)..^ ( ( N  -  M )  +  M ) ) [. ( i  -  M
)  /  j ]. ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j )  <->  A. i  e.  ( M..^ N ) ( W `
 i )  =  ( U `  i
) ) )
9662, 95bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  /\  M  <_  N )  ->  ( A. j  e.  (
0..^ ( N  -  M ) ) ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j )  <->  A. i  e.  ( M..^ N ) ( W `
 i )  =  ( U `  i
) ) )
9753, 96bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  /\  M  <_  N )  ->  ( A. j  e.  (
0..^ ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) ) ) ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j )  <->  A. i  e.  ( M..^ N ) ( W `
 i )  =  ( U `  i
) ) )
9897ex 432 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  ( M  <_  N  ->  ( A. j  e.  (
0..^ ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) ) ) ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j )  <->  A. i  e.  ( M..^ N ) ( W `
 i )  =  ( U `  i
) ) ) )
9933, 98syld 44 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  ( -.  N  <_  M  -> 
( A. j  e.  ( 0..^ ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) ) ) ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j )  <->  A. i  e.  ( M..^ N ) ( W `
 i )  =  ( U `  i
) ) ) )
10099impcom 428 . . 3  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( A. j  e.  ( 0..^ ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) ) ) ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j )  <->  A. i  e.  ( M..^ N ) ( W `
 i )  =  ( U `  i
) ) )
10123, 26, 1003bitr2d 281 . 2  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( ( W substr  <. M ,  N >. )  =  ( U substr  <. M ,  N >. )  <->  A. i  e.  ( M..^ N ) ( W `  i )  =  ( U `  i ) ) )
10217, 101pm2.61ian 788 1  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  (
( W substr  <. M ,  N >. )  =  ( U substr  <. M ,  N >. )  <->  A. i  e.  ( M..^ N ) ( W `  i )  =  ( U `  i ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   _Vcvv 3106   [.wsbc 3324   [_csb 3420   (/)c0 3783   <.cop 4022   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481    + caddc 9484    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082  ..^cfzo 11799   #chash 12390  Word cword 12521   substr csubstr 12525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-hash 12391  df-word 12529  df-substr 12533
This theorem is referenced by:  2swrdeqwrdeq  12672  clwwlkf1  25001  pfxsuffeqwrdeq  32653
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