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Theorem swrdspsleq 12363
Description: Two words have a common subword (starting at the same position with the same length) iff they have the same symbols at each position. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdspsleq  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  (
( W substr  <. M ,  N >. )  =  ( U substr  <. M ,  N >. )  <->  A. i  e.  ( M..^ N ) ( W `  i )  =  ( U `  i ) ) )
Distinct variable groups:    i, M    i, N    U, i    i, V   
i, W

Proof of Theorem swrdspsleq
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  ->  W  e. Word  V )
21adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  W  e. Word  V )
3 nn0z 10690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  ZZ )
43adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  M  e.  ZZ )
54adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  M  e.  ZZ )
6 nn0z 10690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
76adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
87adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  N  e.  ZZ )
9 swrdlend 12346 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  M  ->  ( W substr  <. M ,  N >. )  =  (/) ) )
102, 5, 8, 9syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  <_  M  ->  ( W substr  <. M ,  N >. )  =  (/) ) )
1110imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  /\  N  <_  M )  -> 
( W substr  <. M ,  N >. )  =  (/) )
12 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  ->  U  e. Word  V )
1312adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  U  e. Word  V )
14 swrdlend 12346 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  M  ->  ( U substr  <. M ,  N >. )  =  (/) ) )
1513, 5, 8, 14syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  <_  M  ->  ( U substr  <. M ,  N >. )  =  (/) ) )
1615imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  /\  N  <_  M )  -> 
( U substr  <. M ,  N >. )  =  (/) )
1711, 16eqtr4d 2478 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  /\  N  <_  M )  -> 
( W substr  <. M ,  N >. )  =  ( U substr  <. M ,  N >. ) )
1817ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  <_  M  ->  ( W substr  <. M ,  N >. )  =  ( U substr  <. M ,  N >. ) ) )
19183adant3 1008 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  ( N  <_  M  ->  ( W substr  <. M ,  N >. )  =  ( U substr  <. M ,  N >. ) ) )
2019impcom 430 . . 3  |-  ( ( N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( W substr  <. M ,  N >. )  =  ( U substr  <. M ,  N >. ) )
21 ral0 3805 . . . . . . 7  |-  A. i  e.  (/)  ( W `  i )  =  ( U `  i )
22 fzon 11592 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  M  <->  ( M..^ N )  =  (/) ) )
233, 6, 22syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  <_  M  <->  ( M..^ N )  =  (/) ) )
2423biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  M )  ->  ( M..^ N
)  =  (/) )
2524raleqdv 2944 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  M )  ->  ( A. i  e.  ( M..^ N ) ( W `  i
)  =  ( U `
 i )  <->  A. i  e.  (/)  ( W `  i )  =  ( U `  i ) ) )
2621, 25mpbiri 233 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  M )  ->  A. i  e.  ( M..^ N ) ( W `  i )  =  ( U `  i ) )
2726ex 434 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  <_  M  ->  A. i  e.  ( M..^ N ) ( W `  i )  =  ( U `  i ) ) )
28273ad2ant2 1010 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  ( N  <_  M  ->  A. i  e.  ( M..^ N ) ( W `  i
)  =  ( U `
 i ) ) )
2928impcom 430 . . 3  |-  ( ( N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  ->  A. i  e.  ( M..^ N ) ( W `
 i )  =  ( U `  i
) )
3020, 292thd 240 . 2  |-  ( ( N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( ( W substr  <. M ,  N >. )  =  ( U substr  <. M ,  N >. )  <->  A. i  e.  ( M..^ N ) ( W `  i )  =  ( U `  i ) ) )
31 swrdcl 12336 . . . . . 6  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( W substr  <. M ,  N >. )  e. Word  V )
32 swrdcl 12336 . . . . . 6  |-  ( U  e. Word  V  ->  ( U substr  <. M ,  N >. )  e. Word  V )
33 eqwrd 12286 . . . . . 6  |-  ( ( ( W substr  <. M ,  N >. )  e. Word  V  /\  ( U substr  <. M ,  N >. )  e. Word  V
)  ->  ( ( W substr  <. M ,  N >. )  =  ( U substr  <. M ,  N >. )  <-> 
( ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  =  (
# `  ( U substr  <. M ,  N >. ) )  /\  A. j  e.  ( 0..^ ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) ) ) ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j ) ) ) )
3431, 32, 33syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  ->  ( ( W substr  <. M ,  N >. )  =  ( U substr  <. M ,  N >. )  <->  ( ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  =  ( # `  ( U substr  <. M ,  N >. ) )  /\  A. j  e.  ( 0..^ ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) ) ) ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j ) ) ) )
35343ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  (
( W substr  <. M ,  N >. )  =  ( U substr  <. M ,  N >. )  <->  ( ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  =  ( # `  ( U substr  <. M ,  N >. ) )  /\  A. j  e.  ( 0..^ ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) ) ) ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j ) ) ) )
3635adantl 466 . . 3  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( ( W substr  <. M ,  N >. )  =  ( U substr  <. M ,  N >. )  <->  ( ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  =  ( # `  ( U substr  <. M ,  N >. ) )  /\  A. j  e.  ( 0..^ ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) ) ) ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j ) ) ) )
3713ad2ant1 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  W  e. Word  V )
3837adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  ->  W  e. Word  V )
39 nn0re 10609 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
40 nn0re 10609 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
41 ltnle 9475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  <  N  <->  -.  N  <_  M )
)
4239, 40, 41syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  <  N  <->  -.  N  <_  M )
)
43 fzossfz 11591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0..^ N )  C_  (
0 ... N )
44 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e. 
NN0 )
45 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  <  N  ->  M  <  N )
4644, 6, 453anim123i 1173 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <  N )  ->  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  ZZ  /\  M  < 
N ) )
47 elfzo0z 11610 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( 0..^ N )  <->  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N
) )
4846, 47sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <  N )  ->  M  e.  ( 0..^ N ) )
49483expa 1187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  ->  M  e.  ( 0..^ N ) )
5043, 49sseldi 3375 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  ->  M  e.  ( 0 ... N ) )
5150ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  <  N  ->  M  e.  ( 0 ... N ) ) )
5242, 51sylbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( -.  N  <_  M  ->  M  e.  ( 0 ... N ) ) )
53523ad2ant2 1010 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  ( -.  N  <_  M  ->  M  e.  ( 0 ... N ) ) )
5453impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  ->  M  e.  ( 0 ... N ) )
55 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
56 lencl 12270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
5756adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  ->  ( # `  W
)  e.  NN0 )
58 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
)  ->  N  <_  (
# `  W )
)
5955, 57, 583anim123i 1173 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( N  <_ 
( # `  W )  /\  N  <_  ( # `
 U ) ) )  ->  ( N  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) ) )
60593com12 1191 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 W )  e. 
NN0  /\  N  <_  (
# `  W )
) )
61 elfz2nn0 11501 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) ) )
6260, 61sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )
6362adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
64 swrdlen 12340 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  =  ( N  -  M ) )
6538, 54, 63, 64syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  =  ( N  -  M ) )
66123ad2ant1 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  U  e. Word  V )
6766adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  ->  U  e. Word  V )
68463expa 1187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  ->  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <  N
) )
6968, 47sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  ->  M  e.  ( 0..^ N ) )
7043, 69sseldi 3375 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  M  <  N )  ->  M  e.  ( 0 ... N ) )
7170ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  <  N  ->  M  e.  ( 0 ... N ) ) )
7242, 71sylbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( -.  N  <_  M  ->  M  e.  ( 0 ... N ) ) )
73723ad2ant2 1010 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  ( -.  N  <_  M  ->  M  e.  ( 0 ... N ) ) )
7473impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  ->  M  e.  ( 0 ... N ) )
75 lencl 12270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e. Word  V  ->  ( # `
 U )  e. 
NN0 )
7675adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  ->  ( # `  U
)  e.  NN0 )
77 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
)  ->  N  <_  (
# `  U )
)
7855, 76, 773anim123i 1173 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( N  <_ 
( # `  W )  /\  N  <_  ( # `
 U ) ) )  ->  ( N  e.  NN0  /\  ( # `  U )  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  U
) ) )
79783com12 1191 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 U )  e. 
NN0  /\  N  <_  (
# `  U )
) )
80 elfz2nn0 11501 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( # `  U
) )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ( # `  U )  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  U
) ) )
8179, 80sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `
 U ) ) )
8281adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `  U
) ) )
83 swrdlen 12340 . . . . . 6  |-  ( ( U  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  U
) ) )  -> 
( # `  ( U substr  <. M ,  N >. ) )  =  ( N  -  M ) )
8467, 74, 82, 83syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( # `  ( U substr  <. M ,  N >. ) )  =  ( N  -  M ) )
8565, 84eqtr4d 2478 . . . 4  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  =  ( # `  ( U substr  <. M ,  N >. ) ) )
8685biantrurd 508 . . 3  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( A. j  e.  ( 0..^ ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) ) ) ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j )  <-> 
( ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  =  (
# `  ( U substr  <. M ,  N >. ) )  /\  A. j  e.  ( 0..^ ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) ) ) ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j ) ) ) )
87 0zd 10679 . . . . 5  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
0  e.  ZZ )
88 lencl 12270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W substr  <. M ,  N >. )  e. Word  V  -> 
( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  e.  NN0 )
8931, 88syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( # `
 ( W substr  <. M ,  N >. ) )  e. 
NN0 )
90 nn0z 10690 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  e.  NN0  ->  (
# `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  e.  ZZ )
9189, 90syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( # `
 ( W substr  <. M ,  N >. ) )  e.  ZZ )
9291adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  ->  ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  e.  ZZ )
93923ad2ant1 1009 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  ( # `
 ( W substr  <. M ,  N >. ) )  e.  ZZ )
9493adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  e.  ZZ )
9543ad2ant2 1010 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  M  e.  ZZ )
9695adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  ->  M  e.  ZZ )
97 fzoshftral 11657 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( 0..^ ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) ) ) ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j )  <->  A. i  e.  (
( 0  +  M
)..^ ( ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  +  M ) ) [. ( i  -  M
)  /  j ]. ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j ) ) )
9887, 94, 96, 97syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( A. j  e.  ( 0..^ ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) ) ) ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j )  <->  A. i  e.  (
( 0  +  M
)..^ ( ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  +  M ) ) [. ( i  -  M
)  /  j ]. ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j ) ) )
99 nn0cn 10610 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  CC )
10099addid2d 9591 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( 0  +  M )  =  M )
101100adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0  +  M
)  =  M )
1021013ad2ant2 1010 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  (
0  +  M )  =  M )
103102adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( 0  +  M
)  =  M )
10465oveq1d 6127 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  +  M
)  =  ( ( N  -  M )  +  M ) )
105 nn0cn 10610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
10699, 105anim12ci 567 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  CC  /\  M  e.  CC ) )
107 npcan 9640 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( ( N  -  M )  +  M
)  =  N )
108106, 107syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( N  -  M )  +  M
)  =  N )
1091083ad2ant2 1010 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  (
( N  -  M
)  +  M )  =  N )
110109adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( ( N  -  M )  +  M
)  =  N )
111104, 110eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  +  M
)  =  N )
112103, 111oveq12d 6130 . . . . 5  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( ( 0  +  M )..^ ( (
# `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  +  M ) )  =  ( M..^ N ) )
113 ovex 6137 . . . . . . 7  |-  ( i  -  M )  e. 
_V
114 sbceqg 3698 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  -  M )  e.  _V  ->  ( [. ( i  -  M
)  /  j ]. ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j )  <->  [_ ( i  -  M
)  /  j ]_ ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  [_ (
i  -  M )  /  j ]_ (
( U substr  <. M ,  N >. ) `  j
) ) )
115 csbfv2g 5748 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  -  M )  e.  _V  ->  [_ (
i  -  M )  /  j ]_ (
( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  [_ (
i  -  M )  /  j ]_ j
) )
116 csbvarg 3721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  -  M )  e.  _V  ->  [_ (
i  -  M )  /  j ]_ j  =  ( i  -  M ) )
117116fveq2d 5716 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  -  M )  e.  _V  ->  (
( W substr  <. M ,  N >. ) `  [_ (
i  -  M )  /  j ]_ j
)  =  ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  ( i  -  M ) ) )
118115, 117eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  -  M )  e.  _V  ->  [_ (
i  -  M )  /  j ]_ (
( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  ( i  -  M ) ) )
119 csbfv2g 5748 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  -  M )  e.  _V  ->  [_ (
i  -  M )  /  j ]_ (
( U substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  [_ (
i  -  M )  /  j ]_ j
) )
120116fveq2d 5716 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  -  M )  e.  _V  ->  (
( U substr  <. M ,  N >. ) `  [_ (
i  -  M )  /  j ]_ j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  ( i  -  M ) ) )
121119, 120eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  -  M )  e.  _V  ->  [_ (
i  -  M )  /  j ]_ (
( U substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  ( i  -  M ) ) )
122118, 121eqeq12d 2457 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  -  M )  e.  _V  ->  ( [_ ( i  -  M
)  /  j ]_ ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  [_ (
i  -  M )  /  j ]_ (
( U substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  <->  ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `
 ( i  -  M ) )  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  (
i  -  M ) ) ) )
123114, 122bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( i  -  M )  e.  _V  ->  ( [. ( i  -  M
)  /  j ]. ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j )  <-> 
( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  (
i  -  M ) )  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  ( i  -  M ) ) ) )
124113, 123mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  /\  i  e.  ( (
0  +  M )..^ ( ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  +  M
) ) )  -> 
( [. ( i  -  M )  /  j ]. ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j )  <-> 
( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  (
i  -  M ) )  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  ( i  -  M ) ) ) )
12560adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( N  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) ) )
126125, 61sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
12738, 54, 126, 64syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  =  ( N  -  M ) )
128127oveq1d 6127 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  +  M
)  =  ( ( N  -  M )  +  M ) )
129128, 110eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  +  M
)  =  N )
130103, 129oveq12d 6130 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( ( 0  +  M )..^ ( (
# `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  +  M ) )  =  ( M..^ N ) )
131130eleq2d 2510 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( i  e.  ( ( 0  +  M
)..^ ( ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  +  M ) )  <->  i  e.  ( M..^ N ) ) )
13238, 54, 1263jca 1168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( W  e. Word  V  /\  M  e.  (
0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) ) )
133132adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  -> 
( W  e. Word  V  /\  M  e.  (
0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) ) )
13479adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( N  e.  NN0  /\  ( # `  U
)  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  U
) ) )
135134, 80sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `  U
) ) )
13667, 54, 1353jca 1168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( U  e. Word  V  /\  M  e.  (
0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  U
) ) ) )
137136adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  -> 
( U  e. Word  V  /\  M  e.  (
0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  U
) ) ) )
138133, 137jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  -> 
( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  U ) ) ) ) )
139 pncan3 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( M  +  ( N  -  M ) )  =  N )
14099, 105, 139syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  +  ( N  -  M ) )  =  N )
141140eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  =  ( M  +  ( N  -  M ) ) )
142141oveq2d 6128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M..^ N )  =  ( M..^ ( M  +  ( N  -  M ) ) ) )
143142eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( i  e.  ( M..^ N )  <->  i  e.  ( M..^ ( M  +  ( N  -  M
) ) ) ) )
144143biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  -> 
i  e.  ( M..^ ( M  +  ( N  -  M ) ) ) )
1453, 6anim12ci 567 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )
146 zsubcl 10708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  -  M
)  e.  ZZ )
147145, 146syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  -  M
)  e.  ZZ )
148147adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  -> 
( N  -  M
)  e.  ZZ )
149144, 148jca 532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  -> 
( i  e.  ( M..^ ( M  +  ( N  -  M
) ) )  /\  ( N  -  M
)  e.  ZZ ) )
150149ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( i  e.  ( M..^ N )  -> 
( i  e.  ( M..^ ( M  +  ( N  -  M
) ) )  /\  ( N  -  M
)  e.  ZZ ) ) )
1511503ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  (
i  e.  ( M..^ N )  ->  (
i  e.  ( M..^ ( M  +  ( N  -  M ) ) )  /\  ( N  -  M )  e.  ZZ ) ) )
152151adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( i  e.  ( M..^ N )  -> 
( i  e.  ( M..^ ( M  +  ( N  -  M
) ) )  /\  ( N  -  M
)  e.  ZZ ) ) )
153152imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  -> 
( i  e.  ( M..^ ( M  +  ( N  -  M
) ) )  /\  ( N  -  M
)  e.  ZZ ) )
154 fzosubel3 11622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  ( M..^ ( M  +  ( N  -  M ) ) )  /\  ( N  -  M )  e.  ZZ )  ->  (
i  -  M )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )
155153, 154syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  -> 
( i  -  M
)  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) ) )
15699adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  M  e.  CC )
1571563ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  M  e.  CC )
158157adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  ->  M  e.  CC )
159 elfzoelz 11574 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  i  e.  ZZ )
160159zcnd 10769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( M..^ N
)  ->  i  e.  CC )
161158, 160anim12ci 567 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  -> 
( i  e.  CC  /\  M  e.  CC ) )
162 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  (
0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  /\  ( U  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  U
) ) ) )  ->  ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) ) )
163162anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  U ) ) ) )  /\  ( i  -  M )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )  /\  ( i  -  M )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) ) )
164163adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )  /\  ( U  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 U ) ) ) )  /\  (
i  -  M )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )  /\  (
i  e.  CC  /\  M  e.  CC )
)  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )  /\  ( i  -  M )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) ) )
165 swrdfv 12341 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  (
0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  /\  ( i  -  M
)  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) ) )  -> 
( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  (
i  -  M ) )  =  ( W `
 ( ( i  -  M )  +  M ) ) )
166164, 165syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )  /\  ( U  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 U ) ) ) )  /\  (
i  -  M )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )  /\  (
i  e.  CC  /\  M  e.  CC )
)  ->  ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  ( i  -  M ) )  =  ( W `  ( ( i  -  M )  +  M
) ) )
167 npcan 9640 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( ( i  -  M )  +  M
)  =  i )
168167adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )  /\  ( U  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 U ) ) ) )  /\  (
i  -  M )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )  /\  (
i  e.  CC  /\  M  e.  CC )
)  ->  ( (
i  -  M )  +  M )  =  i )
169168fveq2d 5716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )  /\  ( U  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 U ) ) ) )  /\  (
i  -  M )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )  /\  (
i  e.  CC  /\  M  e.  CC )
)  ->  ( W `  ( ( i  -  M )  +  M
) )  =  ( W `  i ) )
170166, 169eqtrd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )  /\  ( U  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 U ) ) ) )  /\  (
i  -  M )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )  /\  (
i  e.  CC  /\  M  e.  CC )
)  ->  ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  ( i  -  M ) )  =  ( W `  i ) )
171 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  (
0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  /\  ( U  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  U
) ) ) )  ->  ( U  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  U ) ) ) )
172171anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) )  /\  ( U  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  U ) ) ) )  /\  ( i  -  M )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )  ->  ( ( U  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 U ) ) )  /\  ( i  -  M )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) ) )
173172adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )  /\  ( U  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 U ) ) ) )  /\  (
i  -  M )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )  /\  (
i  e.  CC  /\  M  e.  CC )
)  ->  ( ( U  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 U ) ) )  /\  ( i  -  M )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) ) )
174 swrdfv 12341 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( U  e. Word  V  /\  M  e.  (
0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  U
) ) )  /\  ( i  -  M
)  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) ) )  -> 
( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  (
i  -  M ) )  =  ( U `
 ( ( i  -  M )  +  M ) ) )
175173, 174syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )  /\  ( U  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 U ) ) ) )  /\  (
i  -  M )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )  /\  (
i  e.  CC  /\  M  e.  CC )
)  ->  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  ( i  -  M ) )  =  ( U `  ( ( i  -  M )  +  M
) ) )
176168fveq2d 5716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )  /\  ( U  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 U ) ) ) )  /\  (
i  -  M )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )  /\  (
i  e.  CC  /\  M  e.  CC )
)  ->  ( U `  ( ( i  -  M )  +  M
) )  =  ( U `  i ) )
177175, 176eqtrd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )  /\  ( U  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 U ) ) ) )  /\  (
i  -  M )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )  /\  (
i  e.  CC  /\  M  e.  CC )
)  ->  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  ( i  -  M ) )  =  ( U `  i ) )
178170, 177eqeq12d 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )  /\  ( U  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 U ) ) ) )  /\  (
i  -  M )  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )  /\  (
i  e.  CC  /\  M  e.  CC )
)  ->  ( (
( W substr  <. M ,  N >. ) `  (
i  -  M ) )  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  ( i  -  M ) )  <-> 
( W `  i
)  =  ( U `
 i ) ) )
179138, 155, 161, 178syl21anc 1217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  /\  i  e.  ( M..^ N ) )  -> 
( ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `
 ( i  -  M ) )  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  (
i  -  M ) )  <->  ( W `  i )  =  ( U `  i ) ) )
180179ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( i  e.  ( M..^ N )  -> 
( ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `
 ( i  -  M ) )  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  (
i  -  M ) )  <->  ( W `  i )  =  ( U `  i ) ) ) )
181131, 180sylbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( i  e.  ( ( 0  +  M
)..^ ( ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  +  M ) )  -> 
( ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `
 ( i  -  M ) )  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  (
i  -  M ) )  <->  ( W `  i )  =  ( U `  i ) ) ) )
182181imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  /\  i  e.  ( (
0  +  M )..^ ( ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  +  M
) ) )  -> 
( ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `
 ( i  -  M ) )  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  (
i  -  M ) )  <->  ( W `  i )  =  ( U `  i ) ) )
183124, 182bitrd 253 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  /\  i  e.  ( (
0  +  M )..^ ( ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  +  M
) ) )  -> 
( [. ( i  -  M )  /  j ]. ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j )  <-> 
( W `  i
)  =  ( U `
 i ) ) )
184112, 183raleqbidva 2954 . . . 4  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( A. i  e.  ( ( 0  +  M )..^ ( (
# `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  +  M ) ) [. ( i  -  M )  / 
j ]. ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `
 j )  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  <->  A. i  e.  ( M..^ N ) ( W `  i )  =  ( U `  i ) ) )
18598, 184bitrd 253 . . 3  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( A. j  e.  ( 0..^ ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) ) ) ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  j
)  =  ( ( U substr  <. M ,  N >. ) `  j )  <->  A. i  e.  ( M..^ N ) ( W `
 i )  =  ( U `  i
) ) )
18636, 86, 1853bitr2d 281 . 2  |-  ( ( -.  N  <_  M  /\  ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) ) )  -> 
( ( W substr  <. M ,  N >. )  =  ( U substr  <. M ,  N >. )  <->  A. i  e.  ( M..^ N ) ( W `  i )  =  ( U `  i ) ) )
18730, 186pm2.61ian 788 1  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  U  e. Word  V )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  W
)  /\  N  <_  (
# `  U )
) )  ->  (
( W substr  <. M ,  N >. )  =  ( U substr  <. M ,  N >. )  <->  A. i  e.  ( M..^ N ) ( W `  i )  =  ( U `  i ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736   _Vcvv 2993   [.wsbc 3207   [_csb 3309   (/)c0 3658   <.cop 3904   class class class wbr 4313   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   CCcc 9301   RRcr 9302   0cc0 9303    + caddc 9306    < clt 9439    <_ cle 9440    - cmin 9616   NN0cn0 10600   ZZcz 10667   ...cfz 11458  ..^cfzo 11569   #chash 12124  Word cword 12242   substr csubstr 12246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-card 8130  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-hash 12125  df-word 12250  df-substr 12254
This theorem is referenced by:  2swrdeqwrdeq  12368  clwwlkf1  30484
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