MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrds1 Structured version   Unicode version

Theorem swrds1 12639
Description: Extract a single symbol from a word. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
swrds1  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >. )  =  <" ( W `  I
) "> )

Proof of Theorem swrds1
StepHypRef Expression
1 swrdcl 12609 . . . 4  |-  ( W  e. Word  A  ->  ( W substr  <. I ,  ( I  +  1 )
>. )  e. Word  A )
21adantr 465 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >. )  e. Word  A
)
3 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  W  e. Word  A )
4 elfzouz 11801 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  I  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
54adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  I  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
6 elfzoelz 11797 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  I  e.  ZZ )
76adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  I  e.  ZZ )
8 uzid 11096 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ZZ  ->  I  e.  ( ZZ>= `  I )
)
9 peano2uz 11134 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ( ZZ>= `  I
)  ->  ( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  I )
)
107, 8, 93syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  I ) )
11 elfzuzb 11682 . . . . . 6  |-  ( I  e.  ( 0 ... ( I  +  1 ) )  <->  ( I  e.  ( ZZ>= `  0 )  /\  ( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  I ) ) )
125, 10, 11sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  I  e.  ( 0 ... ( I  + 
1 ) ) )
13 fzofzp1 11877 . . . . . 6  |-  ( I  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( I  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )
1413adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( I  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
15 swrdlen 12613 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0 ... ( I  + 
1 ) )  /\  ( I  +  1
)  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  ( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >.
) )  =  ( ( I  +  1 )  -  I ) )
163, 12, 14, 15syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  ( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >.
) )  =  ( ( I  +  1 )  -  I ) )
177zcnd 10967 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  I  e.  CC )
18 ax-1cn 9550 . . . . 5  |-  1  e.  CC
19 pncan2 9827 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( I  + 
1 )  -  I
)  =  1 )
2017, 18, 19sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( I  + 
1 )  -  I
)  =  1 )
2116, 20eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  ( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >.
) )  =  1 )
22 eqs1 12584 . . 3  |-  ( ( ( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >. )  e. Word  A  /\  ( # `  ( W substr  <. I ,  ( I  +  1 )
>. ) )  =  1 )  ->  ( W substr  <.
I ,  ( I  +  1 ) >.
)  =  <" (
( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >. ) `  0
) "> )
232, 21, 22syl2anc 661 . 2  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >. )  =  <" ( ( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >. ) `  0
) "> )
24 0z 10875 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
25 snidg 4053 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  0  e.  { 0 } )
2624, 25ax-mp 5 . . . . . 6  |-  0  e.  { 0 }
2720oveq2d 6300 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( 0..^ ( ( I  +  1 )  -  I ) )  =  ( 0..^ 1 ) )
28 fzo01 11865 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ 1 )  =  {
0 }
2927, 28syl6eq 2524 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( 0..^ ( ( I  +  1 )  -  I ) )  =  { 0 } )
3026, 29syl5eleqr 2562 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
0  e.  ( 0..^ ( ( I  + 
1 )  -  I
) ) )
31 swrdfv 12614 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  (
0 ... ( I  + 
1 ) )  /\  ( I  +  1
)  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  /\  0  e.  ( 0..^ ( ( I  + 
1 )  -  I
) ) )  -> 
( ( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >. ) `  0
)  =  ( W `
 ( 0  +  I ) ) )
323, 12, 14, 30, 31syl31anc 1231 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >. ) `  0
)  =  ( W `
 ( 0  +  I ) ) )
33 addid2 9762 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  CC  ->  (
0  +  I )  =  I )
3433eqcomd 2475 . . . . . 6  |-  ( I  e.  CC  ->  I  =  ( 0  +  I ) )
3517, 34syl 16 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  I  =  ( 0  +  I ) )
3635fveq2d 5870 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W `  I
)  =  ( W `
 ( 0  +  I ) ) )
3732, 36eqtr4d 2511 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >. ) `  0
)  =  ( W `
 I ) )
3837s1eqd 12576 . 2  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  <" ( ( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >.
) `  0 ) ">  =  <" ( W `  I ) "> )
3923, 38eqtrd 2508 1  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >. )  =  <" ( W `  I
) "> )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {csn 4027   <.cop 4033   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    - cmin 9805   ZZcz 10864   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11672  ..^cfzo 11792   #chash 12373  Word cword 12500   <"cs1 12503   substr csubstr 12504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-hash 12374  df-word 12508  df-s1 12511  df-substr 12512
This theorem is referenced by:  swrdlsw  12640  swrdccatwrd  12656  wrdeqcats1  12662  wrdeqs1cat  12663  swrds2  12846
  Copyright terms: Public domain W3C validator