MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrds1 Structured version   Unicode version

Theorem swrds1 12746
Description: Extract a single symbol from a word. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
swrds1  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >. )  =  <" ( W `  I
) "> )

Proof of Theorem swrds1
StepHypRef Expression
1 swrdcl 12714 . . . 4  |-  ( W  e. Word  A  ->  ( W substr  <. I ,  ( I  +  1 )
>. )  e. Word  A )
21adantr 466 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >. )  e. Word  A
)
3 simpl 458 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  W  e. Word  A )
4 elfzouz 11868 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  I  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
54adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  I  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
6 elfzoelz 11864 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  I  e.  ZZ )
76adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  I  e.  ZZ )
8 uzid 11117 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ZZ  ->  I  e.  ( ZZ>= `  I )
)
9 peano2uz 11156 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ( ZZ>= `  I
)  ->  ( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  I )
)
107, 8, 93syl 18 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  I ) )
11 elfzuzb 11738 . . . . . 6  |-  ( I  e.  ( 0 ... ( I  +  1 ) )  <->  ( I  e.  ( ZZ>= `  0 )  /\  ( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  I ) ) )
125, 10, 11sylanbrc 668 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  I  e.  ( 0 ... ( I  + 
1 ) ) )
13 fzofzp1 11951 . . . . . 6  |-  ( I  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( I  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )
1413adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( I  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
15 swrdlen 12718 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0 ... ( I  + 
1 ) )  /\  ( I  +  1
)  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  ( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >.
) )  =  ( ( I  +  1 )  -  I ) )
163, 12, 14, 15syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  ( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >.
) )  =  ( ( I  +  1 )  -  I ) )
177zcnd 10985 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  I  e.  CC )
18 ax-1cn 9541 . . . . 5  |-  1  e.  CC
19 pncan2 9826 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( I  + 
1 )  -  I
)  =  1 )
2017, 18, 19sylancl 666 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( I  + 
1 )  -  I
)  =  1 )
2116, 20eqtrd 2456 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  ( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >.
) )  =  1 )
22 eqs1 12689 . . 3  |-  ( ( ( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >. )  e. Word  A  /\  ( # `  ( W substr  <. I ,  ( I  +  1 )
>. ) )  =  1 )  ->  ( W substr  <.
I ,  ( I  +  1 ) >.
)  =  <" (
( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >. ) `  0
) "> )
232, 21, 22syl2anc 665 . 2  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >. )  =  <" ( ( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >. ) `  0
) "> )
24 0z 10892 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
25 snidg 3960 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  0  e.  { 0 } )
2624, 25ax-mp 5 . . . . . 6  |-  0  e.  { 0 }
2720oveq2d 6258 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( 0..^ ( ( I  +  1 )  -  I ) )  =  ( 0..^ 1 ) )
28 fzo01 11938 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ 1 )  =  {
0 }
2927, 28syl6eq 2472 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( 0..^ ( ( I  +  1 )  -  I ) )  =  { 0 } )
3026, 29syl5eleqr 2507 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
0  e.  ( 0..^ ( ( I  + 
1 )  -  I
) ) )
31 swrdfv 12719 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  (
0 ... ( I  + 
1 ) )  /\  ( I  +  1
)  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  /\  0  e.  ( 0..^ ( ( I  + 
1 )  -  I
) ) )  -> 
( ( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >. ) `  0
)  =  ( W `
 ( 0  +  I ) ) )
323, 12, 14, 30, 31syl31anc 1267 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >. ) `  0
)  =  ( W `
 ( 0  +  I ) ) )
33 addid2 9760 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  CC  ->  (
0  +  I )  =  I )
3433eqcomd 2428 . . . . . 6  |-  ( I  e.  CC  ->  I  =  ( 0  +  I ) )
3517, 34syl 17 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  I  =  ( 0  +  I ) )
3635fveq2d 5822 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W `  I
)  =  ( W `
 ( 0  +  I ) ) )
3732, 36eqtr4d 2459 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >. ) `  0
)  =  ( W `
 I ) )
3837s1eqd 12681 . 2  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  <" ( ( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >.
) `  0 ) ">  =  <" ( W `  I ) "> )
3923, 38eqtrd 2456 1  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >. )  =  <" ( W `  I
) "> )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   {csn 3934   <.cop 3940   ` cfv 5537  (class class class)co 6242   CCcc 9481   0cc0 9483   1c1 9484    + caddc 9486    - cmin 9804   ZZcz 10881   ZZ>=cuz 11103   ...cfz 11728  ..^cfzo 11859   #chash 12458  Word cword 12597   <"cs1 12600   substr csubstr 12601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-rep 4472  ax-sep 4482  ax-nul 4491  ax-pow 4538  ax-pr 4596  ax-un 6534  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2552  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2713  df-rex 2714  df-reu 2715  df-rmo 2716  df-rab 2717  df-v 3018  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3698  df-if 3848  df-pw 3919  df-sn 3935  df-pr 3937  df-tp 3939  df-op 3941  df-uni 4156  df-int 4192  df-iun 4237  df-br 4360  df-opab 4419  df-mpt 4420  df-tr 4455  df-eprel 4700  df-id 4704  df-po 4710  df-so 4711  df-fr 4748  df-we 4750  df-xp 4795  df-rel 4796  df-cnv 4797  df-co 4798  df-dm 4799  df-rn 4800  df-res 4801  df-ima 4802  df-pred 5335  df-ord 5381  df-on 5382  df-lim 5383  df-suc 5384  df-iota 5501  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6204  df-ov 6245  df-oprab 6246  df-mpt2 6247  df-om 6644  df-1st 6744  df-2nd 6745  df-wrecs 6976  df-recs 7038  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-card 8318  df-cda 8542  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10554  df-2 10612  df-n0 10814  df-z 10882  df-uz 11104  df-fz 11729  df-fzo 11860  df-hash 12459  df-word 12605  df-s1 12608  df-substr 12609
This theorem is referenced by:  swrdlsw  12747  swrdccatwrd  12763  wrdeqcats1OLD  12769  wrdeqs1cat  12770  swrds2  12957  pfx1  38759
  Copyright terms: Public domain W3C validator