MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrds1 Structured version   Unicode version

Theorem swrds1 12687
Description: Extract a single symbol from a word. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
swrds1  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >. )  =  <" ( W `  I
) "> )

Proof of Theorem swrds1
StepHypRef Expression
1 swrdcl 12654 . . . 4  |-  ( W  e. Word  A  ->  ( W substr  <. I ,  ( I  +  1 )
>. )  e. Word  A )
21adantr 465 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >. )  e. Word  A
)
3 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  W  e. Word  A )
4 elfzouz 11829 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  I  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
54adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  I  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
6 elfzoelz 11825 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  I  e.  ZZ )
76adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  I  e.  ZZ )
8 uzid 11120 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ZZ  ->  I  e.  ( ZZ>= `  I )
)
9 peano2uz 11159 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  ( ZZ>= `  I
)  ->  ( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  I )
)
107, 8, 93syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  I ) )
11 elfzuzb 11707 . . . . . 6  |-  ( I  e.  ( 0 ... ( I  +  1 ) )  <->  ( I  e.  ( ZZ>= `  0 )  /\  ( I  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  I ) ) )
125, 10, 11sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  I  e.  ( 0 ... ( I  + 
1 ) ) )
13 fzofzp1 11911 . . . . . 6  |-  ( I  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( I  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )
1413adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( I  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
15 swrdlen 12658 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0 ... ( I  + 
1 ) )  /\  ( I  +  1
)  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  ( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >.
) )  =  ( ( I  +  1 )  -  I ) )
163, 12, 14, 15syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  ( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >.
) )  =  ( ( I  +  1 )  -  I ) )
177zcnd 10991 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  I  e.  CC )
18 ax-1cn 9567 . . . . 5  |-  1  e.  CC
19 pncan2 9846 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( I  + 
1 )  -  I
)  =  1 )
2017, 18, 19sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( I  + 
1 )  -  I
)  =  1 )
2116, 20eqtrd 2498 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  ( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >.
) )  =  1 )
22 eqs1 12629 . . 3  |-  ( ( ( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >. )  e. Word  A  /\  ( # `  ( W substr  <. I ,  ( I  +  1 )
>. ) )  =  1 )  ->  ( W substr  <.
I ,  ( I  +  1 ) >.
)  =  <" (
( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >. ) `  0
) "> )
232, 21, 22syl2anc 661 . 2  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >. )  =  <" ( ( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >. ) `  0
) "> )
24 0z 10896 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
25 snidg 4058 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  0  e.  { 0 } )
2624, 25ax-mp 5 . . . . . 6  |-  0  e.  { 0 }
2720oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( 0..^ ( ( I  +  1 )  -  I ) )  =  ( 0..^ 1 ) )
28 fzo01 11899 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ 1 )  =  {
0 }
2927, 28syl6eq 2514 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( 0..^ ( ( I  +  1 )  -  I ) )  =  { 0 } )
3026, 29syl5eleqr 2552 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
0  e.  ( 0..^ ( ( I  + 
1 )  -  I
) ) )
31 swrdfv 12659 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  (
0 ... ( I  + 
1 ) )  /\  ( I  +  1
)  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  /\  0  e.  ( 0..^ ( ( I  + 
1 )  -  I
) ) )  -> 
( ( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >. ) `  0
)  =  ( W `
 ( 0  +  I ) ) )
323, 12, 14, 30, 31syl31anc 1231 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >. ) `  0
)  =  ( W `
 ( 0  +  I ) ) )
33 addid2 9780 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  CC  ->  (
0  +  I )  =  I )
3433eqcomd 2465 . . . . . 6  |-  ( I  e.  CC  ->  I  =  ( 0  +  I ) )
3517, 34syl 16 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  I  =  ( 0  +  I ) )
3635fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W `  I
)  =  ( W `
 ( 0  +  I ) ) )
3732, 36eqtr4d 2501 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >. ) `  0
)  =  ( W `
 I ) )
3837s1eqd 12621 . 2  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  ->  <" ( ( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >.
) `  0 ) ">  =  <" ( W `  I ) "> )
3923, 38eqtrd 2498 1  |-  ( ( W  e. Word  A  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W substr  <. I ,  ( I  +  1 ) >. )  =  <" ( W `  I
) "> )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   {csn 4032   <.cop 4038   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    - cmin 9824   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   ...cfz 11697  ..^cfzo 11820   #chash 12407  Word cword 12537   <"cs1 12540   substr csubstr 12541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-hash 12408  df-word 12545  df-s1 12548  df-substr 12549
This theorem is referenced by:  swrdlsw  12688  swrdccatwrd  12704  wrdeqcats1OLD  12710  wrdeqs1cat  12711  swrds2  12894  pfx1  32487
  Copyright terms: Public domain W3C validator