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Theorem swrdnd2 12784
Description: Value of the subword extractor outside its intended domain. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdnd2  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( B  <_  A  \/  ( # `  W
)  <_  A  \/  B  <_  0 )  -> 
( W substr  <. A ,  B >. )  =  (/) ) )

Proof of Theorem swrdnd2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3orass 987 . . 3  |-  ( ( B  <_  A  \/  ( # `  W )  <_  A  \/  B  <_  0 )  <->  ( B  <_  A  \/  ( (
# `  W )  <_  A  \/  B  <_ 
0 ) ) )
2 pm2.24 113 . . . . 5  |-  ( B  <_  A  ->  ( -.  B  <_  A  -> 
( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( W substr  <. A ,  B >. )  =  (/) ) ) )
3 swrdval 12768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( W substr  <. A ,  B >. )  =  if ( ( A..^ B ) 
C_  dom  W , 
( x  e.  ( 0..^ ( B  -  A ) )  |->  ( W `  ( x  +  A ) ) ) ,  (/) ) )
43ad2antrr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( ( # `  W )  <_  A  \/  B  <_  0 ) )  /\  -.  B  <_  A )  ->  ( W substr  <. A ,  B >. )  =  if ( ( A..^ B ) 
C_  dom  W , 
( x  e.  ( 0..^ ( B  -  A ) )  |->  ( W `  ( x  +  A ) ) ) ,  (/) ) )
5 wrdf 12673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W  e. Word  V  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> V )
6 fdm 5731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> V  ->  dom  W  =  ( 0..^ (
# `  W )
) )
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e. Word  V  ->  dom  W  =  ( 0..^ (
# `  W )
) )
8 lencl 12684 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
9 3anass 988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  <->  ( ( # `
 W )  e. 
NN0  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) ) )
10 ssfzoulel 12002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( ( # `  W
)  <_  A  \/  B  <_  0 )  -> 
( ( A..^ B
)  C_  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  B  <_  A ) ) )
1110imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
( # `  W )  <_  A  \/  B  <_  0 ) )  -> 
( ( A..^ B
)  C_  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  B  <_  A ) )
129, 11sylanbr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  /\  ( (
# `  W )  <_  A  \/  B  <_ 
0 ) )  -> 
( ( A..^ B
)  C_  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  B  <_  A ) )
1312con3dimp 443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( # `  W )  e.  NN0  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  /\  ( (
# `  W )  <_  A  \/  B  <_ 
0 ) )  /\  -.  B  <_  A )  ->  -.  ( A..^ B )  C_  (
0..^ ( # `  W
) ) )
14 sseq2 3453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( dom 
W  =  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  (
( A..^ B ) 
C_  dom  W  <->  ( A..^ B )  C_  (
0..^ ( # `  W
) ) ) )
1514notbid 296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( dom 
W  =  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  ( -.  ( A..^ B ) 
C_  dom  W  <->  -.  ( A..^ B )  C_  (
0..^ ( # `  W
) ) ) )
1613, 15syl5ibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dom 
W  =  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  (
( ( ( (
# `  W )  e.  NN0  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  /\  ( ( # `  W
)  <_  A  \/  B  <_  0 ) )  /\  -.  B  <_  A )  ->  -.  ( A..^ B )  C_  dom  W ) )
1716expd 438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom 
W  =  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  (
( ( ( # `  W )  e.  NN0  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  /\  ( (
# `  W )  <_  A  \/  B  <_ 
0 ) )  -> 
( -.  B  <_  A  ->  -.  ( A..^ B )  C_  dom  W ) ) )
1817exp4c 612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom 
W  =  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( ( # `  W )  <_  A  \/  B  <_  0 )  ->  ( -.  B  <_  A  ->  -.  ( A..^ B )  C_  dom  W ) ) ) ) )
197, 8, 18sylc 62 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e. Word  V  ->  (
( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( (
# `  W )  <_  A  \/  B  <_ 
0 )  ->  ( -.  B  <_  A  ->  -.  ( A..^ B ) 
C_  dom  W )
) ) )
20193impib 1205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( ( # `  W
)  <_  A  \/  B  <_  0 )  -> 
( -.  B  <_  A  ->  -.  ( A..^ B )  C_  dom  W ) ) )
2120imp 431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( ( # `  W )  <_  A  \/  B  <_  0 ) )  ->  ( -.  B  <_  A  ->  -.  ( A..^ B )  C_  dom  W ) )
2221imp 431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( ( # `  W )  <_  A  \/  B  <_  0 ) )  /\  -.  B  <_  A )  ->  -.  ( A..^ B )  C_  dom  W )
2322iffalsed 3891 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( ( # `  W )  <_  A  \/  B  <_  0 ) )  /\  -.  B  <_  A )  ->  if ( ( A..^ B
)  C_  dom  W , 
( x  e.  ( 0..^ ( B  -  A ) )  |->  ( W `  ( x  +  A ) ) ) ,  (/) )  =  (/) )
244, 23eqtrd 2484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( ( # `  W )  <_  A  \/  B  <_  0 ) )  /\  -.  B  <_  A )  ->  ( W substr  <. A ,  B >. )  =  (/) )
2524ex 436 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( ( # `  W )  <_  A  \/  B  <_  0 ) )  ->  ( -.  B  <_  A  ->  ( W substr  <. A ,  B >. )  =  (/) ) )
2625expcom 437 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  W
)  <_  A  \/  B  <_  0 )  -> 
( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( -.  B  <_  A  ->  ( W substr  <. A ,  B >. )  =  (/) ) ) )
2726com23 81 . . . . 5  |-  ( ( ( # `  W
)  <_  A  \/  B  <_  0 )  -> 
( -.  B  <_  A  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( W substr  <. A ,  B >. )  =  (/) ) ) )
282, 27jaoi 381 . . . 4  |-  ( ( B  <_  A  \/  ( ( # `  W
)  <_  A  \/  B  <_  0 ) )  ->  ( -.  B  <_  A  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( W substr  <. A ,  B >. )  =  (/) ) ) )
29 swrdlend 12782 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  A  ->  ( W substr  <. A ,  B >. )  =  (/) ) )
3029com12 32 . . . 4  |-  ( B  <_  A  ->  (
( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( W substr  <. A ,  B >. )  =  (/) ) )
3128, 30pm2.61d2 164 . . 3  |-  ( ( B  <_  A  \/  ( ( # `  W
)  <_  A  \/  B  <_  0 ) )  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( W substr  <. A ,  B >. )  =  (/) ) )
321, 31sylbi 199 . 2  |-  ( ( B  <_  A  \/  ( # `  W )  <_  A  \/  B  <_  0 )  ->  (
( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( W substr  <. A ,  B >. )  =  (/) ) )
3332com12 32 1  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( B  <_  A  \/  ( # `  W
)  <_  A  \/  B  <_  0 )  -> 
( W substr  <. A ,  B >. )  =  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 370    /\ wa 371    \/ w3o 983    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886    C_ wss 3403   (/)c0 3730   ifcif 3880   <.cop 3973   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460   dom cdm 4833   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   0cc0 9536    + caddc 9539    <_ cle 9673    - cmin 9857   NN0cn0 10866   ZZcz 10934  ..^cfzo 11912   #chash 12512  Word cword 12653   substr csubstr 12657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-hash 12513  df-word 12661  df-substr 12665
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