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Theorem swrdnd2 12843
Description: Value of the subword extractor outside its intended domain. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdnd2  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( B  <_  A  \/  ( # `  W
)  <_  A  \/  B  <_  0 )  -> 
( W substr  <. A ,  B >. )  =  (/) ) )

Proof of Theorem swrdnd2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3orass 1010 . . 3  |-  ( ( B  <_  A  \/  ( # `  W )  <_  A  \/  B  <_  0 )  <->  ( B  <_  A  \/  ( (
# `  W )  <_  A  \/  B  <_ 
0 ) ) )
2 pm2.24 112 . . . . 5  |-  ( B  <_  A  ->  ( -.  B  <_  A  -> 
( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( W substr  <. A ,  B >. )  =  (/) ) ) )
3 swrdval 12827 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( W substr  <. A ,  B >. )  =  if ( ( A..^ B ) 
C_  dom  W , 
( x  e.  ( 0..^ ( B  -  A ) )  |->  ( W `  ( x  +  A ) ) ) ,  (/) ) )
43ad2antrr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( ( # `  W )  <_  A  \/  B  <_  0 ) )  /\  -.  B  <_  A )  ->  ( W substr  <. A ,  B >. )  =  if ( ( A..^ B ) 
C_  dom  W , 
( x  e.  ( 0..^ ( B  -  A ) )  |->  ( W `  ( x  +  A ) ) ) ,  (/) ) )
5 wrdf 12723 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W  e. Word  V  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> V )
6 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> V  ->  dom  W  =  ( 0..^ (
# `  W )
) )
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e. Word  V  ->  dom  W  =  ( 0..^ (
# `  W )
) )
8 lencl 12737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
9 3anass 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  <->  ( ( # `
 W )  e. 
NN0  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) ) )
10 ssfzoulel 12034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( ( # `  W
)  <_  A  \/  B  <_  0 )  -> 
( ( A..^ B
)  C_  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  B  <_  A ) ) )
1110imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
( # `  W )  <_  A  \/  B  <_  0 ) )  -> 
( ( A..^ B
)  C_  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  B  <_  A ) )
129, 11sylanbr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  /\  ( (
# `  W )  <_  A  \/  B  <_ 
0 ) )  -> 
( ( A..^ B
)  C_  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  B  <_  A ) )
1312con3dimp 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( # `  W )  e.  NN0  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  /\  ( (
# `  W )  <_  A  \/  B  <_ 
0 ) )  /\  -.  B  <_  A )  ->  -.  ( A..^ B )  C_  (
0..^ ( # `  W
) ) )
14 sseq2 3440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( dom 
W  =  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  (
( A..^ B ) 
C_  dom  W  <->  ( A..^ B )  C_  (
0..^ ( # `  W
) ) ) )
1514notbid 301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( dom 
W  =  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  ( -.  ( A..^ B ) 
C_  dom  W  <->  -.  ( A..^ B )  C_  (
0..^ ( # `  W
) ) ) )
1613, 15syl5ibr 229 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dom 
W  =  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  (
( ( ( (
# `  W )  e.  NN0  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  /\  ( ( # `  W
)  <_  A  \/  B  <_  0 ) )  /\  -.  B  <_  A )  ->  -.  ( A..^ B )  C_  dom  W ) )
1716expd 443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom 
W  =  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  (
( ( ( # `  W )  e.  NN0  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  /\  ( (
# `  W )  <_  A  \/  B  <_ 
0 ) )  -> 
( -.  B  <_  A  ->  -.  ( A..^ B )  C_  dom  W ) ) )
1817exp4c 619 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom 
W  =  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( ( # `  W )  <_  A  \/  B  <_  0 )  ->  ( -.  B  <_  A  ->  -.  ( A..^ B )  C_  dom  W ) ) ) ) )
197, 8, 18sylc 61 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e. Word  V  ->  (
( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( (
# `  W )  <_  A  \/  B  <_ 
0 )  ->  ( -.  B  <_  A  ->  -.  ( A..^ B ) 
C_  dom  W )
) ) )
20193impib 1229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( ( # `  W
)  <_  A  \/  B  <_  0 )  -> 
( -.  B  <_  A  ->  -.  ( A..^ B )  C_  dom  W ) ) )
2120imp 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( ( # `  W )  <_  A  \/  B  <_  0 ) )  ->  ( -.  B  <_  A  ->  -.  ( A..^ B )  C_  dom  W ) )
2221imp 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( ( # `  W )  <_  A  \/  B  <_  0 ) )  /\  -.  B  <_  A )  ->  -.  ( A..^ B )  C_  dom  W )
2322iffalsed 3883 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( ( # `  W )  <_  A  \/  B  <_  0 ) )  /\  -.  B  <_  A )  ->  if ( ( A..^ B
)  C_  dom  W , 
( x  e.  ( 0..^ ( B  -  A ) )  |->  ( W `  ( x  +  A ) ) ) ,  (/) )  =  (/) )
244, 23eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( ( # `  W )  <_  A  \/  B  <_  0 ) )  /\  -.  B  <_  A )  ->  ( W substr  <. A ,  B >. )  =  (/) )
2524ex 441 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( ( # `  W )  <_  A  \/  B  <_  0 ) )  ->  ( -.  B  <_  A  ->  ( W substr  <. A ,  B >. )  =  (/) ) )
2625expcom 442 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  W
)  <_  A  \/  B  <_  0 )  -> 
( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( -.  B  <_  A  ->  ( W substr  <. A ,  B >. )  =  (/) ) ) )
2726com23 80 . . . . 5  |-  ( ( ( # `  W
)  <_  A  \/  B  <_  0 )  -> 
( -.  B  <_  A  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( W substr  <. A ,  B >. )  =  (/) ) ) )
282, 27jaoi 386 . . . 4  |-  ( ( B  <_  A  \/  ( ( # `  W
)  <_  A  \/  B  <_  0 ) )  ->  ( -.  B  <_  A  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( W substr  <. A ,  B >. )  =  (/) ) ) )
29 swrdlend 12841 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  A  ->  ( W substr  <. A ,  B >. )  =  (/) ) )
3029com12 31 . . . 4  |-  ( B  <_  A  ->  (
( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( W substr  <. A ,  B >. )  =  (/) ) )
3128, 30pm2.61d2 165 . . 3  |-  ( ( B  <_  A  \/  ( ( # `  W
)  <_  A  \/  B  <_  0 ) )  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( W substr  <. A ,  B >. )  =  (/) ) )
321, 31sylbi 200 . 2  |-  ( ( B  <_  A  \/  ( # `  W )  <_  A  \/  B  <_  0 )  ->  (
( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( W substr  <. A ,  B >. )  =  (/) ) )
3332com12 31 1  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( B  <_  A  \/  ( # `  W
)  <_  A  \/  B  <_  0 )  -> 
( W substr  <. A ,  B >. )  =  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 375    /\ wa 376    \/ w3o 1006    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ifcif 3872   <.cop 3965   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   0cc0 9557    + caddc 9560    <_ cle 9694    - cmin 9880   NN0cn0 10893   ZZcz 10961  ..^cfzo 11942   #chash 12553  Word cword 12703   substr csubstr 12707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554  df-word 12711  df-substr 12715
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