Theorem swrdnd 12788

Description: The value of the subword extractor is the empty set (undefined) if the range is not valid. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
swrdnd	|- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( F < 0 \/ L <_ F \/ ( # ` W ) < L ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )

Proof of Theorem swrdnd

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3orcomb 995	. . . 4 |- ( ( F < 0 \/ L <_ F \/ ( # ` W ) < L ) <-> ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L \/ L <_ F ) )
2		df-3or 986	. . . 4 |- ( ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L \/ L <_ F ) <-> ( ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L ) \/ L <_ F ) )
3	1, 2	bitri 253	. . 3 |- ( ( F < 0 \/ L <_ F \/ ( # ` W ) < L ) <-> ( ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L ) \/ L <_ F ) )
4		swrdlend 12787	. . . . . 6 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( L <_ F -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )
5	4	com12 32	. . . . 5 |- ( L <_ F -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )
6		swrdval 12773	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( W substr <. F , L >. ) = if ( ( F..^ L ) C_ dom W , ( i e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( W ` ( i + F ) ) ) , (/) ) )
7	6	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( W substr <. F , L >. ) = if ( ( F..^ L ) C_ dom W , ( i e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( W ` ( i + F ) ) ) , (/) ) )
8		zre 10941	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F e. ZZ -> F e. RR )
9		0red 9644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F e. ZZ -> 0 e. RR )
10	8, 9	ltnled 9782	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F e. ZZ -> ( F < 0 <-> -. 0 <_ F ) )
11	10	3ad2ant2 1030	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( F < 0 <-> -. 0 <_ F ) )
12		lencl 12687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( W e. Word V -> ( # ` W ) e. NN0 )
13	12	nn0red 10926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( W e. Word V -> ( # ` W ) e. RR )
14		zre 10941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( L e. ZZ -> L e. RR )
15	13, 14	anim12i 570	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( W e. Word V /\ L e. ZZ ) -> ( ( # ` W ) e. RR /\ L e. RR ) )
16	15	3adant2 1027	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( # ` W ) e. RR /\ L e. RR ) )
17		ltnle 9713	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( # ` W ) e. RR /\ L e. RR ) -> ( ( # ` W ) < L <-> -. L <_ ( # ` W ) ) )
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( # ` W ) < L <-> -. L <_ ( # ` W ) ) )
19	11, 18	orbi12d 716	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L ) <-> ( -. 0 <_ F \/ -. L <_ ( # ` W ) ) ) )
20	19	biimpcd 228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L ) -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. 0 <_ F \/ -. L <_ ( # ` W ) ) ) )
21	20	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. 0 <_ F \/ -. L <_ ( # ` W ) ) ) )
22	21	imp 431	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( -. 0 <_ F \/ -. L <_ ( # ` W ) ) )
23		ianor 491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( 0 <_ F /\ L <_ ( # ` W ) ) <-> ( -. 0 <_ F \/ -. L <_ ( # ` W ) ) )
24	22, 23	sylibr 216	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> -. ( 0 <_ F /\ L <_ ( # ` W ) ) )
25		3simpc 1007	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) )
26	25	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) )
27	12	nn0zd 11038	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( W e. Word V -> ( # ` W ) e. ZZ )
28		0z 10948	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. ZZ
29	27, 28	jctil 540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( W e. Word V -> ( 0 e. ZZ /\ ( # ` W ) e. ZZ ) )
30	29	3ad2ant1 1029	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( 0 e. ZZ /\ ( # ` W ) e. ZZ ) )
31	30	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( 0 e. ZZ /\ ( # ` W ) e. ZZ ) )
32		ltnle 9713	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F e. RR /\ L e. RR ) -> ( F < L <-> -. L <_ F ) )
33	8, 14, 32	syl2an 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( F < L <-> -. L <_ F ) )
34	33	3adant1 1026	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( F < L <-> -. L <_ F ) )
35	34	biimprcd 229	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. L <_ F -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> F < L ) )
36	35	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> F < L ) )
37	36	imp 431	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> F < L )
38		ssfzo12bi 12006	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( 0 e. ZZ /\ ( # ` W ) e. ZZ ) /\ F < L ) -> ( ( F..^ L ) C_ ( 0..^ ( # ` W ) ) <-> ( 0 <_ F /\ L <_ ( # ` W ) ) ) )
39	26, 31, 37, 38	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( F..^ L ) C_ ( 0..^ ( # ` W ) ) <-> ( 0 <_ F /\ L <_ ( # ` W ) ) ) )
40	24, 39	mtbird 303	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> -. ( F..^ L ) C_ ( 0..^ ( # ` W ) ) )
41		wrddm 12678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( W e. Word V -> dom W = ( 0..^ ( # ` W ) ) )
42	41	sseq2d 3460	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. Word V -> ( ( F..^ L ) C_ dom W <-> ( F..^ L ) C_ ( 0..^ ( # ` W ) ) ) )
43	42	notbid 296	. . . . . . . . . . . 12 |- ( W e. Word V -> ( -. ( F..^ L ) C_ dom W <-> -. ( F..^ L ) C_ ( 0..^ ( # ` W ) ) ) )
44	43	3ad2ant1 1029	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. ( F..^ L ) C_ dom W <-> -. ( F..^ L ) C_ ( 0..^ ( # ` W ) ) ) )
45	44	adantl 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( -. ( F..^ L ) C_ dom W <-> -. ( F..^ L ) C_ ( 0..^ ( # ` W ) ) ) )
46	40, 45	mpbird 236	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> -. ( F..^ L ) C_ dom W )
47	46	iffalsed 3892	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom W , ( i e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( W ` ( i + F ) ) ) , (/) ) = (/) )
48	7, 47	eqtrd 2485	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L ) /\ -. L <_ F ) /\ ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) )
49	48	exp31 609	. . . . . 6 |- ( ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L ) -> ( -. L <_ F -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) ) )
50	49	impcom 432	. . . . 5 |- ( ( -. L <_ F /\ ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L ) ) -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )
51	5, 50	jaoi3 981	. . . 4 |- ( ( L <_ F \/ ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L ) ) -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )
52	51	orcoms 391	. . 3 |- ( ( ( F < 0 \/ ( # ` W ) < L ) \/ L <_ F ) -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )
53	3, 52	sylbi 199	. 2 |- ( ( F < 0 \/ L <_ F \/ ( # ` W ) < L ) -> ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )
54	53	com12 32	1 |- ( ( W e. Word V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( F < 0 \/ L <_ F \/ ( # ` W ) < L ) -> ( W substr <. F , L >. ) = (/) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   \/ w3o 984   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   C_ wss 3404   (/)c0 3731   ifcif 3881   <.cop 3974   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RRcr 9538   0cc0 9539   + caddc 9542   < clt 9675   <_ cle 9676   - cmin 9860   ZZcz 10937  ..^cfzo 11915   #chash 12515  Word cword 12656   substr csubstr 12660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-hash 12516  df-word 12664  df-substr 12668

This theorem is referenced by:  pfxnd  38936