MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdnd Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem swrdnd 12788
Description: The value of the subword extractor is the empty set (undefined) if the range is not valid. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
swrdnd  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  (
( F  <  0  \/  L  <_  F  \/  ( # `  W )  <  L )  -> 
( W substr  <. F ,  L >. )  =  (/) ) )

Proof of Theorem swrdnd
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3orcomb 995 . . . 4  |-  ( ( F  <  0  \/  L  <_  F  \/  ( # `  W )  <  L )  <->  ( F  <  0  \/  ( # `  W )  <  L  \/  L  <_  F ) )
2 df-3or 986 . . . 4  |-  ( ( F  <  0  \/  ( # `  W
)  <  L  \/  L  <_  F )  <->  ( ( F  <  0  \/  ( # `
 W )  < 
L )  \/  L  <_  F ) )
31, 2bitri 253 . . 3  |-  ( ( F  <  0  \/  L  <_  F  \/  ( # `  W )  <  L )  <->  ( ( F  <  0  \/  ( # `
 W )  < 
L )  \/  L  <_  F ) )
4 swrdlend 12787 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( L  <_  F  ->  ( W substr  <. F ,  L >. )  =  (/) ) )
54com12 32 . . . . 5  |-  ( L  <_  F  ->  (
( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( W substr  <. F ,  L >. )  =  (/) ) )
6 swrdval 12773 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( W substr  <. F ,  L >. )  =  if ( ( F..^ L ) 
C_  dom  W , 
( i  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) )  |->  ( W `  ( i  +  F ) ) ) ,  (/) ) )
76adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  <  0  \/  ( # `  W )  <  L
)  /\  -.  L  <_  F )  /\  ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  -> 
( W substr  <. F ,  L >. )  =  if ( ( F..^ L
)  C_  dom  W , 
( i  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) )  |->  ( W `  ( i  +  F ) ) ) ,  (/) ) )
8 zre 10941 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  ZZ  ->  F  e.  RR )
9 0red 9644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  ZZ  ->  0  e.  RR )
108, 9ltnled 9782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  ZZ  ->  ( F  <  0  <->  -.  0  <_  F ) )
11103ad2ant2 1030 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( F  <  0  <->  -.  0  <_  F ) )
12 lencl 12687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
1312nn0red 10926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( # `
 W )  e.  RR )
14 zre 10941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  RR )
1513, 14anim12i 570 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( # `  W
)  e.  RR  /\  L  e.  RR )
)
16153adant2 1027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  (
( # `  W )  e.  RR  /\  L  e.  RR ) )
17 ltnle 9713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( ( # `  W
)  <  L  <->  -.  L  <_  ( # `  W
) ) )
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  (
( # `  W )  <  L  <->  -.  L  <_  ( # `  W
) ) )
1911, 18orbi12d 716 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  (
( F  <  0  \/  ( # `  W
)  <  L )  <->  ( -.  0  <_  F  \/  -.  L  <_  ( # `
 W ) ) ) )
2019biimpcd 228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  <  0  \/  ( # `  W
)  <  L )  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( -.  0  <_  F  \/  -.  L  <_  ( # `  W
) ) ) )
2120adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  <  0  \/  ( # `  W
)  <  L )  /\  -.  L  <_  F
)  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( -.  0  <_  F  \/  -.  L  <_  ( # `  W ) ) ) )
2221imp 431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  <  0  \/  ( # `  W )  <  L
)  /\  -.  L  <_  F )  /\  ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  -> 
( -.  0  <_  F  \/  -.  L  <_  ( # `  W
) ) )
23 ianor 491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( 0  <_  F  /\  L  <_  ( # `  W ) )  <->  ( -.  0  <_  F  \/  -.  L  <_  ( # `  W
) ) )
2422, 23sylibr 216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  <  0  \/  ( # `  W )  <  L
)  /\  -.  L  <_  F )  /\  ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  -.  ( 0  <_  F  /\  L  <_  ( # `  W ) ) )
25 3simpc 1007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )
2625adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  <  0  \/  ( # `  W )  <  L
)  /\  -.  L  <_  F )  /\  ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  -> 
( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )
2712nn0zd 11038 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( # `
 W )  e.  ZZ )
28 0z 10948 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  ZZ
2927, 28jctil 540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e. Word  V  ->  (
0  e.  ZZ  /\  ( # `  W )  e.  ZZ ) )
30293ad2ant1 1029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  (
0  e.  ZZ  /\  ( # `  W )  e.  ZZ ) )
3130adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  <  0  \/  ( # `  W )  <  L
)  /\  -.  L  <_  F )  /\  ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  -> 
( 0  e.  ZZ  /\  ( # `  W
)  e.  ZZ ) )
32 ltnle 9713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( F  <  L  <->  -.  L  <_  F )
)
338, 14, 32syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( F  <  L  <->  -.  L  <_  F )
)
34333adant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( F  <  L  <->  -.  L  <_  F ) )
3534biimprcd 229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  L  <_  F  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  F  <  L
) )
3635adantl 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  <  0  \/  ( # `  W
)  <  L )  /\  -.  L  <_  F
)  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  F  <  L ) )
3736imp 431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  <  0  \/  ( # `  W )  <  L
)  /\  -.  L  <_  F )  /\  ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  F  <  L )
38 ssfzo12bi 12006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( 0  e.  ZZ  /\  ( # `  W )  e.  ZZ )  /\  F  <  L
)  ->  ( ( F..^ L )  C_  (
0..^ ( # `  W
) )  <->  ( 0  <_  F  /\  L  <_  ( # `  W
) ) ) )
3926, 31, 37, 38syl3anc 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  <  0  \/  ( # `  W )  <  L
)  /\  -.  L  <_  F )  /\  ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  -> 
( ( F..^ L
)  C_  ( 0..^ ( # `  W
) )  <->  ( 0  <_  F  /\  L  <_  ( # `  W
) ) ) )
4024, 39mtbird 303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  <  0  \/  ( # `  W )  <  L
)  /\  -.  L  <_  F )  /\  ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  -.  ( F..^ L ) 
C_  ( 0..^ (
# `  W )
) )
41 wrddm 12678 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e. Word  V  ->  dom  W  =  ( 0..^ (
# `  W )
) )
4241sseq2d 3460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e. Word  V  ->  (
( F..^ L ) 
C_  dom  W  <->  ( F..^ L )  C_  (
0..^ ( # `  W
) ) ) )
4342notbid 296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( -.  ( F..^ L ) 
C_  dom  W  <->  -.  ( F..^ L )  C_  (
0..^ ( # `  W
) ) ) )
44433ad2ant1 1029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( -.  ( F..^ L ) 
C_  dom  W  <->  -.  ( F..^ L )  C_  (
0..^ ( # `  W
) ) ) )
4544adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  <  0  \/  ( # `  W )  <  L
)  /\  -.  L  <_  F )  /\  ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  -> 
( -.  ( F..^ L )  C_  dom  W  <->  -.  ( F..^ L ) 
C_  ( 0..^ (
# `  W )
) ) )
4640, 45mpbird 236 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  <  0  \/  ( # `  W )  <  L
)  /\  -.  L  <_  F )  /\  ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  -.  ( F..^ L ) 
C_  dom  W )
4746iffalsed 3892 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  <  0  \/  ( # `  W )  <  L
)  /\  -.  L  <_  F )  /\  ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  if ( ( F..^ L
)  C_  dom  W , 
( i  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) )  |->  ( W `  ( i  +  F ) ) ) ,  (/) )  =  (/) )
487, 47eqtrd 2485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  <  0  \/  ( # `  W )  <  L
)  /\  -.  L  <_  F )  /\  ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  -> 
( W substr  <. F ,  L >. )  =  (/) )
4948exp31 609 . . . . . 6  |-  ( ( F  <  0  \/  ( # `  W
)  <  L )  ->  ( -.  L  <_  F  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( W substr  <. F ,  L >. )  =  (/) ) ) )
5049impcom 432 . . . . 5  |-  ( ( -.  L  <_  F  /\  ( F  <  0  \/  ( # `  W
)  <  L )
)  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( W substr  <. F ,  L >. )  =  (/) ) )
515, 50jaoi3 981 . . . 4  |-  ( ( L  <_  F  \/  ( F  <  0  \/  ( # `  W
)  <  L )
)  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( W substr  <. F ,  L >. )  =  (/) ) )
5251orcoms 391 . . 3  |-  ( ( ( F  <  0  \/  ( # `  W
)  <  L )  \/  L  <_  F )  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( W substr  <. F ,  L >. )  =  (/) ) )
533, 52sylbi 199 . 2  |-  ( ( F  <  0  \/  L  <_  F  \/  ( # `  W )  <  L )  -> 
( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( W substr  <. F ,  L >. )  =  (/) ) )
5453com12 32 1  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  (
( F  <  0  \/  L  <_  F  \/  ( # `  W )  <  L )  -> 
( W substr  <. F ,  L >. )  =  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    \/ w3o 984    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    C_ wss 3404   (/)c0 3731   ifcif 3881   <.cop 3974   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RRcr 9538   0cc0 9539    + caddc 9542    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860   ZZcz 10937  ..^cfzo 11915   #chash 12515  Word cword 12656   substr csubstr 12660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-hash 12516  df-word 12664  df-substr 12668
This theorem is referenced by:  pfxnd  38936
  Copyright terms: Public domain W3C validator