MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdn0 Structured version   Unicode version

Theorem swrdn0 12636
Description: A prefixing subword consisting of at least one symbol is not empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdn0  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  N >. )  =/=  (/) )

Proof of Theorem swrdn0
StepHypRef Expression
1 lencl 12543 . . . . . 6  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
2 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <_  ( # `  W ) )  -> 
( # `  W )  e.  NN0 )
3 1red 9614 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <_  ( # `  W ) )  -> 
1  e.  RR )
4 nnre 10550 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
54ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <_  ( # `  W ) )  ->  N  e.  RR )
6 nn0re 10811 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( # `  W
)  e.  RR )
76ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <_  ( # `  W ) )  -> 
( # `  W )  e.  RR )
8 nnge1 10569 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  N )
98ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <_  ( # `  W ) )  -> 
1  <_  N )
10 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <_  ( # `  W ) )  ->  N  <_  ( # `  W
) )
113, 5, 7, 9, 10letrd 9742 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <_  ( # `  W ) )  -> 
1  <_  ( # `  W
) )
12 elnnnn0c 10848 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  W )  e.  NN  <->  ( ( # `  W )  e.  NN0  /\  1  <_  ( # `  W
) ) )
132, 11, 12sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <_  ( # `  W ) )  -> 
( # `  W )  e.  NN )
1413exp31 604 . . . . . 6  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_  ( # `  W
)  ->  ( # `  W
)  e.  NN ) ) )
151, 14syl 16 . . . . 5  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_  ( # `  W
)  ->  ( # `  W
)  e.  NN ) ) )
16153imp 1191 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  ( # `
 W )  e.  NN )
17 lbfzo0 11843 . . . 4  |-  ( 0  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  <->  ( # `  W
)  e.  NN )
1816, 17sylibr 212 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  0  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )
19 lbfzo0 11843 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ( 0..^ N )  <->  N  e.  NN )
2019biimpri 206 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  ( 0..^ N ) )
21203ad2ant2 1019 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  0  e.  ( 0..^ N ) )
22 inelcm 3867 . . 3  |-  ( ( 0  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  0  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( (
0..^ ( # `  W
) )  i^i  (
0..^ N ) )  =/=  (/) )
2318, 21, 22syl2anc 661 . 2  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( 0..^ ( # `  W ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =/=  (/) )
24 wrdfn 12541 . . . . . 6  |-  ( W  e. Word  V  ->  W  Fn  ( 0..^ ( # `  W ) ) )
25243ad2ant1 1018 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  W  Fn  ( 0..^ ( # `  W ) ) )
26 fnresdisj 5681 . . . . 5  |-  ( W  Fn  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( (
( 0..^ ( # `  W ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  (/)  <->  ( W  |`  ( 0..^ N ) )  =  (/) ) )
2725, 26syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( ( 0..^ (
# `  W )
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  (/) 
<->  ( W  |`  (
0..^ N ) )  =  (/) ) )
28 simp1 997 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  W  e. Word  V )
29 nnnn0 10809 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
30293ad2ant2 1019 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  N  e.  NN0 )
3113ad2ant1 1018 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
32 simp3 999 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  N  <_  ( # `  W
) )
33 elfz2nn0 11779 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) ) )
3430, 31, 32, 33syl3anbrc 1181 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )
35 swrd0val 12629 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( W substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( W  |`  ( 0..^ N ) ) )
3635eqeq1d 2445 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W substr  <. 0 ,  N >. )  =  (/)  <->  ( W  |`  ( 0..^ N ) )  =  (/) ) )
3736bicomd 201 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W  |`  ( 0..^ N ) )  =  (/)  <->  ( W substr  <. 0 ,  N >. )  =  (/) ) )
3828, 34, 37syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( W  |`  (
0..^ N ) )  =  (/)  <->  ( W substr  <. 0 ,  N >. )  =  (/) ) )
3927, 38bitr2d 254 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  N >. )  =  (/)  <->  (
( 0..^ ( # `  W ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  (/) ) )
4039necon3bid 2701 . 2  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  N >. )  =/=  (/)  <->  ( (
0..^ ( # `  W
) )  i^i  (
0..^ N ) )  =/=  (/) ) )
4123, 40mpbird 232 1  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  N >. )  =/=  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638    i^i cin 3460   (/)c0 3770   <.cop 4020   class class class wbr 4437    |` cres 4991    Fn wfn 5573   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    <_ cle 9632   NNcn 10543   NN0cn0 10802   ...cfz 11682  ..^cfzo 11805   #chash 12386  Word cword 12515   substr csubstr 12519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-fz 11683  df-fzo 11806  df-hash 12387  df-word 12523  df-substr 12527
This theorem is referenced by:  wwlknred  24699  wwlksubclwwlk  24780
  Copyright terms: Public domain W3C validator