MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdn0 Structured version   Unicode version

Theorem swrdn0 12630
Description: A prefixing subword consisting of at least one symbol is not empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdn0  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  N >. )  =/=  (/) )

Proof of Theorem swrdn0
StepHypRef Expression
1 lencl 12538 . . . . . 6  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
2 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <_  ( # `  W ) )  -> 
( # `  W )  e.  NN0 )
3 1red 9621 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <_  ( # `  W ) )  -> 
1  e.  RR )
4 nnre 10553 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
54ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <_  ( # `  W ) )  ->  N  e.  RR )
6 nn0re 10814 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( # `  W
)  e.  RR )
76ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <_  ( # `  W ) )  -> 
( # `  W )  e.  RR )
8 nnge1 10572 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  N )
98ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <_  ( # `  W ) )  -> 
1  <_  N )
10 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <_  ( # `  W ) )  ->  N  <_  ( # `  W
) )
113, 5, 7, 9, 10letrd 9748 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <_  ( # `  W ) )  -> 
1  <_  ( # `  W
) )
12 elnnnn0c 10851 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  W )  e.  NN  <->  ( ( # `  W )  e.  NN0  /\  1  <_  ( # `  W
) ) )
132, 11, 12sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <_  ( # `  W ) )  -> 
( # `  W )  e.  NN )
1413exp31 604 . . . . . 6  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_  ( # `  W
)  ->  ( # `  W
)  e.  NN ) ) )
151, 14syl 16 . . . . 5  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_  ( # `  W
)  ->  ( # `  W
)  e.  NN ) ) )
16153imp 1190 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  ( # `
 W )  e.  NN )
17 lbfzo0 11840 . . . 4  |-  ( 0  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  <->  ( # `  W
)  e.  NN )
1816, 17sylibr 212 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  0  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )
19 lbfzo0 11840 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ( 0..^ N )  <->  N  e.  NN )
2019biimpri 206 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  ( 0..^ N ) )
21203ad2ant2 1018 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  0  e.  ( 0..^ N ) )
22 inelcm 3886 . . 3  |-  ( ( 0  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  0  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( (
0..^ ( # `  W
) )  i^i  (
0..^ N ) )  =/=  (/) )
2318, 21, 22syl2anc 661 . 2  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( 0..^ ( # `  W ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =/=  (/) )
24 wrdfn 12536 . . . . . 6  |-  ( W  e. Word  V  ->  W  Fn  ( 0..^ ( # `  W ) ) )
25243ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  W  Fn  ( 0..^ ( # `  W ) ) )
26 fnresdisj 5696 . . . . 5  |-  ( W  Fn  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( (
( 0..^ ( # `  W ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  (/)  <->  ( W  |`  ( 0..^ N ) )  =  (/) ) )
2725, 26syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( ( 0..^ (
# `  W )
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  (/) 
<->  ( W  |`  (
0..^ N ) )  =  (/) ) )
28 simp1 996 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  W  e. Word  V )
29 nnnn0 10812 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
30293ad2ant2 1018 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  N  e.  NN0 )
3113ad2ant1 1017 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
32 simp3 998 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  N  <_  ( # `  W
) )
33 elfz2nn0 11778 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) ) )
3430, 31, 32, 33syl3anbrc 1180 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )
35 swrd0val 12623 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( W substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( W  |`  ( 0..^ N ) ) )
3635eqeq1d 2469 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W substr  <. 0 ,  N >. )  =  (/)  <->  ( W  |`  ( 0..^ N ) )  =  (/) ) )
3736bicomd 201 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W  |`  ( 0..^ N ) )  =  (/)  <->  ( W substr  <. 0 ,  N >. )  =  (/) ) )
3828, 34, 37syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( W  |`  (
0..^ N ) )  =  (/)  <->  ( W substr  <. 0 ,  N >. )  =  (/) ) )
3927, 38bitr2d 254 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  N >. )  =  (/)  <->  (
( 0..^ ( # `  W ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  (/) ) )
4039necon3bid 2725 . 2  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  N >. )  =/=  (/)  <->  ( (
0..^ ( # `  W
) )  i^i  (
0..^ N ) )  =/=  (/) ) )
4123, 40mpbird 232 1  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  N >. )  =/=  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    i^i cin 3480   (/)c0 3790   <.cop 4038   class class class wbr 4452    |` cres 5006    Fn wfn 5588   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   RRcr 9501   0cc0 9502   1c1 9503    <_ cle 9639   NNcn 10546   NN0cn0 10805   ...cfz 11682  ..^cfzo 11802   #chash 12383  Word cword 12510   substr csubstr 12514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-oadd 7144  df-er 7321  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-card 8330  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-hash 12384  df-word 12518  df-substr 12522
This theorem is referenced by:  wwlknred  24514  wwlksubclwwlk  24595
  Copyright terms: Public domain W3C validator