MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdn0 Structured version   Unicode version

Theorem swrdn0 12446
Description: A prefixing subword consisting of at least one symbol is not empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdn0  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  N >. )  =/=  (/) )

Proof of Theorem swrdn0
StepHypRef Expression
1 lencl 12371 . . . . . 6  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
2 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <_  ( # `  W ) )  -> 
( # `  W )  e.  NN0 )
3 1red 9516 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <_  ( # `  W ) )  -> 
1  e.  RR )
4 nnre 10444 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
54ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <_  ( # `  W ) )  ->  N  e.  RR )
6 nn0re 10703 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( # `  W
)  e.  RR )
76ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <_  ( # `  W ) )  -> 
( # `  W )  e.  RR )
8 nnge1 10463 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  N )
98ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <_  ( # `  W ) )  -> 
1  <_  N )
10 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <_  ( # `  W ) )  ->  N  <_  ( # `  W
) )
113, 5, 7, 9, 10letrd 9643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <_  ( # `  W ) )  -> 
1  <_  ( # `  W
) )
12 elnnnn0c 10740 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  W )  e.  NN  <->  ( ( # `  W )  e.  NN0  /\  1  <_  ( # `  W
) ) )
132, 11, 12sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  /\  N  <_  ( # `  W ) )  -> 
( # `  W )  e.  NN )
1413exp31 604 . . . . . 6  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_  ( # `  W
)  ->  ( # `  W
)  e.  NN ) ) )
151, 14syl 16 . . . . 5  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_  ( # `  W
)  ->  ( # `  W
)  e.  NN ) ) )
16153imp 1182 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  ( # `
 W )  e.  NN )
17 lbfzo0 11707 . . . 4  |-  ( 0  e.  ( 0..^ (
# `  W )
)  <->  ( # `  W
)  e.  NN )
1816, 17sylibr 212 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  0  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )
19 lbfzo0 11707 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ( 0..^ N )  <->  N  e.  NN )
2019biimpri 206 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  ( 0..^ N ) )
21203ad2ant2 1010 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  0  e.  ( 0..^ N ) )
22 inelcm 3844 . . 3  |-  ( ( 0  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  0  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( (
0..^ ( # `  W
) )  i^i  (
0..^ N ) )  =/=  (/) )
2318, 21, 22syl2anc 661 . 2  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( 0..^ ( # `  W ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =/=  (/) )
24 wrdfn 12369 . . . . . 6  |-  ( W  e. Word  V  ->  W  Fn  ( 0..^ ( # `  W ) ) )
25243ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  W  Fn  ( 0..^ ( # `  W ) ) )
26 fnresdisj 5632 . . . . 5  |-  ( W  Fn  ( 0..^ (
# `  W )
)  ->  ( (
( 0..^ ( # `  W ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  (/)  <->  ( W  |`  ( 0..^ N ) )  =  (/) ) )
2725, 26syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( ( 0..^ (
# `  W )
)  i^i  ( 0..^ N ) )  =  (/) 
<->  ( W  |`  (
0..^ N ) )  =  (/) ) )
28 simp1 988 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  W  e. Word  V )
29 nnnn0 10701 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
30293ad2ant2 1010 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  N  e.  NN0 )
3113ad2ant1 1009 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
32 simp3 990 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  N  <_  ( # `  W
) )
33 elfz2nn0 11601 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) ) )
3430, 31, 32, 33syl3anbrc 1172 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )
35 swrd0val 12439 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( W substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( W  |`  ( 0..^ N ) ) )
3635eqeq1d 2456 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W substr  <. 0 ,  N >. )  =  (/)  <->  ( W  |`  ( 0..^ N ) )  =  (/) ) )
3736bicomd 201 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W  |`  ( 0..^ N ) )  =  (/)  <->  ( W substr  <. 0 ,  N >. )  =  (/) ) )
3828, 34, 37syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( W  |`  (
0..^ N ) )  =  (/)  <->  ( W substr  <. 0 ,  N >. )  =  (/) ) )
3927, 38bitr2d 254 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  N >. )  =  (/)  <->  (
( 0..^ ( # `  W ) )  i^i  ( 0..^ N ) )  =  (/) ) )
4039necon3bid 2710 . 2  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  N >. )  =/=  (/)  <->  ( (
0..^ ( # `  W
) )  i^i  (
0..^ N ) )  =/=  (/) ) )
4123, 40mpbird 232 1  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  NN  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  N >. )  =/=  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648    i^i cin 3438   (/)c0 3748   <.cop 3994   class class class wbr 4403    |` cres 4953    Fn wfn 5524   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   RRcr 9396   0cc0 9397   1c1 9398    <_ cle 9534   NNcn 10437   NN0cn0 10694   ...cfz 11558  ..^cfzo 11669   #chash 12224  Word cword 12343   substr csubstr 12347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-card 8224  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-hash 12225  df-word 12351  df-substr 12355
This theorem is referenced by:  wwlknred  30526  wwlksubclwwlk  30637
  Copyright terms: Public domain W3C validator