MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdlsw Structured version   Unicode version

Theorem swrdlsw 12689
Description: Extract the last single symbol from a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdlsw  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  W  =/=  (/) )  ->  ( W substr  <. ( ( # `  W )  -  1 ) ,  ( # `  W ) >. )  =  <" ( lastS  `  W
) "> )

Proof of Theorem swrdlsw
StepHypRef Expression
1 hashneq0 12437 . . . . 5  |-  ( W  e. Word  V  ->  (
0  <  ( # `  W
)  <->  W  =/=  (/) ) )
2 lencl 12569 . . . . . 6  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
3 nn0z 10908 . . . . . 6  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( # `  W
)  e.  ZZ )
4 elnnz 10895 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  W )  e.  NN  <->  ( ( # `  W )  e.  ZZ  /\  0  <  ( # `  W ) ) )
5 fzo0end 11907 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  W )  e.  NN  ->  ( ( # `
 W )  - 
1 )  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
64, 5sylbir 213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  ZZ  /\  0  <  ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  -  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )
76ex 434 . . . . . 6  |-  ( (
# `  W )  e.  ZZ  ->  ( 0  <  ( # `  W
)  ->  ( ( # `
 W )  - 
1 )  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )
82, 3, 73syl 20 . . . . 5  |-  ( W  e. Word  V  ->  (
0  <  ( # `  W
)  ->  ( ( # `
 W )  - 
1 )  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )
91, 8sylbird 235 . . . 4  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( W  =/=  (/)  ->  ( ( # `
 W )  - 
1 )  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )
109imp 429 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  W  =/=  (/) )  ->  (
( # `  W )  -  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )
11 swrds1 12688 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  -  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  W )
) )  ->  ( W substr  <. ( ( # `  W )  -  1 ) ,  ( ( ( # `  W
)  -  1 )  +  1 ) >.
)  =  <" ( W `  ( ( # `
 W )  - 
1 ) ) "> )
1210, 11syldan 470 . 2  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  W  =/=  (/) )  ->  ( W substr  <. ( ( # `  W )  -  1 ) ,  ( ( ( # `  W
)  -  1 )  +  1 ) >.
)  =  <" ( W `  ( ( # `
 W )  - 
1 ) ) "> )
13 nn0cn 10826 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( # `  W
)  e.  CC )
14 ax-1cn 9567 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
1513, 14jctir 538 . . . . . 6  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 W )  e.  CC  /\  1  e.  CC ) )
16 npcan 9848 . . . . . . 7  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( # `  W )  -  1 )  +  1 )  =  ( # `  W
) )
1716eqcomd 2465 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( # `  W
)  =  ( ( ( # `  W
)  -  1 )  +  1 ) )
182, 15, 173syl 20 . . . . 5  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( # `
 W )  =  ( ( ( # `  W )  -  1 )  +  1 ) )
1918adantr 465 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  W  =/=  (/) )  ->  ( # `
 W )  =  ( ( ( # `  W )  -  1 )  +  1 ) )
2019opeq2d 4226 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  W  =/=  (/) )  ->  <. (
( # `  W )  -  1 ) ,  ( # `  W
) >.  =  <. (
( # `  W )  -  1 ) ,  ( ( ( # `  W )  -  1 )  +  1 )
>. )
2120oveq2d 6312 . 2  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  W  =/=  (/) )  ->  ( W substr  <. ( ( # `  W )  -  1 ) ,  ( # `  W ) >. )  =  ( W substr  <. (
( # `  W )  -  1 ) ,  ( ( ( # `  W )  -  1 )  +  1 )
>. ) )
22 lsw 12593 . . . 4  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( lastS  `  W )  =  ( W `  ( (
# `  W )  -  1 ) ) )
2322adantr 465 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  W  =/=  (/) )  ->  ( lastS  `  W )  =  ( W `  ( (
# `  W )  -  1 ) ) )
2423s1eqd 12622 . 2  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  W  =/=  (/) )  ->  <" ( lastS  `  W ) ">  =  <" ( W `
 ( ( # `  W )  -  1 ) ) "> )
2512, 21, 243eqtr4d 2508 1  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  W  =/=  (/) )  ->  ( W substr  <. ( ( # `  W )  -  1 ) ,  ( # `  W ) >. )  =  <" ( lastS  `  W
) "> )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   (/)c0 3793   <.cop 4038   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    < clt 9645    - cmin 9824   NNcn 10556   NN0cn0 10816   ZZcz 10885  ..^cfzo 11821   #chash 12408  Word cword 12538   lastS clsw 12539   <"cs1 12541   substr csubstr 12542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-hash 12409  df-word 12546  df-lsw 12547  df-s1 12549  df-substr 12550
This theorem is referenced by:  2swrd1eqwrdeq  12691  pfxsuff1eqwrdeq  32525  pfxlswccat  32538
  Copyright terms: Public domain W3C validator