MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdlsw Structured version   Unicode version

Theorem swrdlsw 12358
Description: Extract the last single symbol from a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdlsw  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  W  =/=  (/) )  ->  ( W substr  <. ( ( # `  W )  -  1 ) ,  ( # `  W ) >. )  =  <" ( lastS  `  W
) "> )

Proof of Theorem swrdlsw
StepHypRef Expression
1 hashneq0 12144 . . . . 5  |-  ( W  e. Word  V  ->  (
0  <  ( # `  W
)  <->  W  =/=  (/) ) )
2 lencl 12261 . . . . . 6  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
3 nn0z 10681 . . . . . 6  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( # `  W
)  e.  ZZ )
4 elnnz 10668 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  W )  e.  NN  <->  ( ( # `  W )  e.  ZZ  /\  0  <  ( # `  W ) ) )
5 fzo0end 11631 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  W )  e.  NN  ->  ( ( # `
 W )  - 
1 )  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
64, 5sylbir 213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  ZZ  /\  0  <  ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  -  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )
76ex 434 . . . . . 6  |-  ( (
# `  W )  e.  ZZ  ->  ( 0  <  ( # `  W
)  ->  ( ( # `
 W )  - 
1 )  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )
82, 3, 73syl 20 . . . . 5  |-  ( W  e. Word  V  ->  (
0  <  ( # `  W
)  ->  ( ( # `
 W )  - 
1 )  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )
91, 8sylbird 235 . . . 4  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( W  =/=  (/)  ->  ( ( # `
 W )  - 
1 )  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ) )
109imp 429 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  W  =/=  (/) )  ->  (
( # `  W )  -  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )
11 swrds1 12357 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  -  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  W )
) )  ->  ( W substr  <. ( ( # `  W )  -  1 ) ,  ( ( ( # `  W
)  -  1 )  +  1 ) >.
)  =  <" ( W `  ( ( # `
 W )  - 
1 ) ) "> )
1210, 11syldan 470 . 2  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  W  =/=  (/) )  ->  ( W substr  <. ( ( # `  W )  -  1 ) ,  ( ( ( # `  W
)  -  1 )  +  1 ) >.
)  =  <" ( W `  ( ( # `
 W )  - 
1 ) ) "> )
13 nn0cn 10601 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( # `  W
)  e.  CC )
14 ax-1cn 9352 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
1513, 14jctir 538 . . . . . 6  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 W )  e.  CC  /\  1  e.  CC ) )
16 npcan 9631 . . . . . . 7  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( # `  W )  -  1 )  +  1 )  =  ( # `  W
) )
1716eqcomd 2448 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  W
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( # `  W
)  =  ( ( ( # `  W
)  -  1 )  +  1 ) )
182, 15, 173syl 20 . . . . 5  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( # `
 W )  =  ( ( ( # `  W )  -  1 )  +  1 ) )
1918adantr 465 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  W  =/=  (/) )  ->  ( # `
 W )  =  ( ( ( # `  W )  -  1 )  +  1 ) )
2019opeq2d 4078 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  W  =/=  (/) )  ->  <. (
( # `  W )  -  1 ) ,  ( # `  W
) >.  =  <. (
( # `  W )  -  1 ) ,  ( ( ( # `  W )  -  1 )  +  1 )
>. )
2120oveq2d 6119 . 2  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  W  =/=  (/) )  ->  ( W substr  <. ( ( # `  W )  -  1 ) ,  ( # `  W ) >. )  =  ( W substr  <. (
( # `  W )  -  1 ) ,  ( ( ( # `  W )  -  1 )  +  1 )
>. ) )
22 lsw 12278 . . . 4  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( lastS  `  W )  =  ( W `  ( (
# `  W )  -  1 ) ) )
2322adantr 465 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  W  =/=  (/) )  ->  ( lastS  `  W )  =  ( W `  ( (
# `  W )  -  1 ) ) )
2423s1eqd 12304 . 2  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  W  =/=  (/) )  ->  <" ( lastS  `  W ) ">  =  <" ( W `
 ( ( # `  W )  -  1 ) ) "> )
2512, 21, 243eqtr4d 2485 1  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  W  =/=  (/) )  ->  ( W substr  <. ( ( # `  W )  -  1 ) ,  ( # `  W ) >. )  =  <" ( lastS  `  W
) "> )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618   (/)c0 3649   <.cop 3895   class class class wbr 4304   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   CCcc 9292   0cc0 9294   1c1 9295    + caddc 9297    < clt 9430    - cmin 9607   NNcn 10334   NN0cn0 10591   ZZcz 10658  ..^cfzo 11560   #chash 12115  Word cword 12233   lastS clsw 12234   <"cs1 12236   substr csubstr 12237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-card 8121  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-hash 12116  df-word 12241  df-lsw 12242  df-s1 12244  df-substr 12245
This theorem is referenced by:  2swrd1eqwrdeq  12360
  Copyright terms: Public domain W3C validator