MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdlend Structured version   Unicode version

Theorem swrdlend 12710
Description: The value of the subword extractor is the empty set (undefined) if the range is not valid. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
swrdlend  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( L  <_  F  ->  ( W substr  <. F ,  L >. )  =  (/) ) )

Proof of Theorem swrdlend
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 swrdval 12696 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( W substr  <. F ,  L >. )  =  if ( ( F..^ L ) 
C_  dom  W , 
( i  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) )  |->  ( W `  ( i  +  F ) ) ) ,  (/) ) )
21adantr 463 . . 3  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( W substr  <. F ,  L >. )  =  if ( ( F..^ L )  C_  dom  W ,  ( i  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) )  |->  ( W `  ( i  +  F
) ) ) ,  (/) ) )
3 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  L  <_  F )
4 3simpc 996 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )
54adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )
6 fzon 11876 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( L  <_  F  <->  ( F..^ L )  =  (/) ) )
75, 6syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( L  <_  F  <->  ( F..^ L
)  =  (/) ) )
83, 7mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( F..^ L )  =  (/) )
9 0ss 3767 . . . . 5  |-  (/)  C_  dom  W
108, 9syl6eqss 3491 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( F..^ L )  C_  dom  W )
1110iftrued 3892 . . 3  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  if (
( F..^ L ) 
C_  dom  W , 
( i  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) )  |->  ( W `  ( i  +  F ) ) ) ,  (/) )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) )  |->  ( W `  ( i  +  F ) ) ) )
12 fzo0n 11877 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( L  <_  F  <->  ( 0..^ ( L  -  F ) )  =  (/) ) )
1312biimpa 482 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( 0..^ ( L  -  F
) )  =  (/) )
14133adantl1 1153 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( 0..^ ( L  -  F
) )  =  (/) )
1514mpteq1d 4475 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) ) 
|->  ( W `  (
i  +  F ) ) )  =  ( i  e.  (/)  |->  ( W `
 ( i  +  F ) ) ) )
16 mpt0 5690 . . . 4  |-  ( i  e.  (/)  |->  ( W `  ( i  +  F
) ) )  =  (/)
1715, 16syl6eq 2459 . . 3  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) ) 
|->  ( W `  (
i  +  F ) ) )  =  (/) )
182, 11, 173eqtrd 2447 . 2  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( W substr  <. F ,  L >. )  =  (/) )
1918ex 432 1  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( L  <_  F  ->  ( W substr  <. F ,  L >. )  =  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    C_ wss 3413   (/)c0 3737   ifcif 3884   <.cop 3977   class class class wbr 4394    |-> cmpt 4452   dom cdm 4822   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   0cc0 9521    + caddc 9524    <_ cle 9658    - cmin 9840   ZZcz 10904  ..^cfzo 11852  Word cword 12581   substr csubstr 12585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-substr 12593
This theorem is referenced by:  swrdnd  12711  swrdnd2  12712  swrdsb0eq  12726  swrdccat  12772
  Copyright terms: Public domain W3C validator