MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdlend Structured version   Unicode version

Theorem swrdlend 12446
Description: The value of the subword extractor is the empty set (undefined) if the range is not valid. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdlend  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( L  <_  F  ->  ( W substr  <. F ,  L >. )  =  (/) ) )

Proof of Theorem swrdlend
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 swrdval 12434 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( W substr  <. F ,  L >. )  =  if ( ( F..^ L ) 
C_  dom  W , 
( i  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) )  |->  ( W `  ( i  +  F ) ) ) ,  (/) ) )
21adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( W substr  <. F ,  L >. )  =  if ( ( F..^ L )  C_  dom  W ,  ( i  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) )  |->  ( W `  ( i  +  F
) ) ) ,  (/) ) )
3 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  L  <_  F )
4 3simpc 987 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )
54adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )
6 fzon 11691 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( L  <_  F  <->  ( F..^ L )  =  (/) ) )
75, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( L  <_  F  <->  ( F..^ L
)  =  (/) ) )
83, 7mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( F..^ L )  =  (/) )
9 0ss 3777 . . . . 5  |-  (/)  C_  dom  W
108, 9syl6eqss 3517 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( F..^ L )  C_  dom  W )
11 iftrue 3908 . . . 4  |-  ( ( F..^ L )  C_  dom  W  ->  if (
( F..^ L ) 
C_  dom  W , 
( i  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) )  |->  ( W `  ( i  +  F ) ) ) ,  (/) )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) )  |->  ( W `  ( i  +  F ) ) ) )
1210, 11syl 16 . . 3  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  if (
( F..^ L ) 
C_  dom  W , 
( i  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) )  |->  ( W `  ( i  +  F ) ) ) ,  (/) )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) )  |->  ( W `  ( i  +  F ) ) ) )
13 zre 10764 . . . . . . . . 9  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  RR )
14 zre 10764 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ZZ  ->  F  e.  RR )
15 suble0 9967 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  RR  /\  F  e.  RR )  ->  ( ( L  -  F )  <_  0  <->  L  <_  F ) )
1613, 14, 15syl2anr 478 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( L  -  F )  <_  0  <->  L  <_  F ) )
1716biimpar 485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( L  -  F )  <_  0
)
18 zsubcl 10801 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  F  e.  ZZ )  ->  ( L  -  F
)  e.  ZZ )
1918ancoms 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( L  -  F
)  e.  ZZ )
20 0z 10771 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ZZ
2119, 20jctil 537 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 0  e.  ZZ  /\  ( L  -  F
)  e.  ZZ ) )
2221adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( 0  e.  ZZ  /\  ( L  -  F )  e.  ZZ ) )
23 fzon 11691 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( L  -  F
)  e.  ZZ )  ->  ( ( L  -  F )  <_ 
0  <->  ( 0..^ ( L  -  F ) )  =  (/) ) )
2422, 23syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( ( L  -  F )  <_  0  <->  ( 0..^ ( L  -  F ) )  =  (/) ) )
2517, 24mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( 0..^ ( L  -  F
) )  =  (/) )
26253adantl1 1144 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( 0..^ ( L  -  F
) )  =  (/) )
27 mpteq1 4483 . . . . 5  |-  ( ( 0..^ ( L  -  F ) )  =  (/)  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) ) 
|->  ( W `  (
i  +  F ) ) )  =  ( i  e.  (/)  |->  ( W `
 ( i  +  F ) ) ) )
2826, 27syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) ) 
|->  ( W `  (
i  +  F ) ) )  =  ( i  e.  (/)  |->  ( W `
 ( i  +  F ) ) ) )
29 mpt0 5649 . . . 4  |-  ( i  e.  (/)  |->  ( W `  ( i  +  F
) ) )  =  (/)
3028, 29syl6eq 2511 . . 3  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) ) 
|->  ( W `  (
i  +  F ) ) )  =  (/) )
312, 12, 303eqtrd 2499 . 2  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( W substr  <. F ,  L >. )  =  (/) )
3231ex 434 1  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( L  <_  F  ->  ( W substr  <. F ,  L >. )  =  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    C_ wss 3439   (/)c0 3748   ifcif 3902   <.cop 3994   class class class wbr 4403    |-> cmpt 4461   dom cdm 4951   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   RRcr 9395   0cc0 9396    + caddc 9399    <_ cle 9533    - cmin 9709   ZZcz 10760  ..^cfzo 11668  Word cword 12342   substr csubstr 12346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-substr 12354
This theorem is referenced by:  swrdnd  12447  swrdvalodm2  12454  swrdvalodm  12455  swrdspsleq  12463  swrdccat  12505
  Copyright terms: Public domain W3C validator