MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdlend Structured version   Unicode version

Theorem swrdlend 12613
Description: The value of the subword extractor is the empty set (undefined) if the range is not valid. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdlend  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( L  <_  F  ->  ( W substr  <. F ,  L >. )  =  (/) ) )

Proof of Theorem swrdlend
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 swrdval 12601 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( W substr  <. F ,  L >. )  =  if ( ( F..^ L ) 
C_  dom  W , 
( i  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) )  |->  ( W `  ( i  +  F ) ) ) ,  (/) ) )
21adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( W substr  <. F ,  L >. )  =  if ( ( F..^ L )  C_  dom  W ,  ( i  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) )  |->  ( W `  ( i  +  F
) ) ) ,  (/) ) )
3 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  L  <_  F )
4 3simpc 995 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )
54adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )
6 fzon 11811 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( L  <_  F  <->  ( F..^ L )  =  (/) ) )
75, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( L  <_  F  <->  ( F..^ L
)  =  (/) ) )
83, 7mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( F..^ L )  =  (/) )
9 0ss 3814 . . . . 5  |-  (/)  C_  dom  W
108, 9syl6eqss 3554 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( F..^ L )  C_  dom  W )
11 iftrue 3945 . . . 4  |-  ( ( F..^ L )  C_  dom  W  ->  if (
( F..^ L ) 
C_  dom  W , 
( i  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) )  |->  ( W `  ( i  +  F ) ) ) ,  (/) )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) )  |->  ( W `  ( i  +  F ) ) ) )
1210, 11syl 16 . . 3  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  if (
( F..^ L ) 
C_  dom  W , 
( i  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) )  |->  ( W `  ( i  +  F ) ) ) ,  (/) )  =  ( i  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) )  |->  ( W `  ( i  +  F ) ) ) )
13 zre 10864 . . . . . . . . 9  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  RR )
14 zre 10864 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ZZ  ->  F  e.  RR )
15 suble0 10062 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  RR  /\  F  e.  RR )  ->  ( ( L  -  F )  <_  0  <->  L  <_  F ) )
1613, 14, 15syl2anr 478 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( L  -  F )  <_  0  <->  L  <_  F ) )
1716biimpar 485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( L  -  F )  <_  0
)
18 zsubcl 10901 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  F  e.  ZZ )  ->  ( L  -  F
)  e.  ZZ )
1918ancoms 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( L  -  F
)  e.  ZZ )
20 0z 10871 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ZZ
2119, 20jctil 537 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 0  e.  ZZ  /\  ( L  -  F
)  e.  ZZ ) )
2221adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( 0  e.  ZZ  /\  ( L  -  F )  e.  ZZ ) )
23 fzon 11811 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( L  -  F
)  e.  ZZ )  ->  ( ( L  -  F )  <_ 
0  <->  ( 0..^ ( L  -  F ) )  =  (/) ) )
2422, 23syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( ( L  -  F )  <_  0  <->  ( 0..^ ( L  -  F ) )  =  (/) ) )
2517, 24mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( 0..^ ( L  -  F
) )  =  (/) )
26253adantl1 1152 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( 0..^ ( L  -  F
) )  =  (/) )
27 mpteq1 4527 . . . . 5  |-  ( ( 0..^ ( L  -  F ) )  =  (/)  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) ) 
|->  ( W `  (
i  +  F ) ) )  =  ( i  e.  (/)  |->  ( W `
 ( i  +  F ) ) ) )
2826, 27syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) ) 
|->  ( W `  (
i  +  F ) ) )  =  ( i  e.  (/)  |->  ( W `
 ( i  +  F ) ) ) )
29 mpt0 5706 . . . 4  |-  ( i  e.  (/)  |->  ( W `  ( i  +  F
) ) )  =  (/)
3028, 29syl6eq 2524 . . 3  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) ) 
|->  ( W `  (
i  +  F ) ) )  =  (/) )
312, 12, 303eqtrd 2512 . 2  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  L  <_  F
)  ->  ( W substr  <. F ,  L >. )  =  (/) )
3231ex 434 1  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( L  <_  F  ->  ( W substr  <. F ,  L >. )  =  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ifcif 3939   <.cop 4033   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   RRcr 9487   0cc0 9488    + caddc 9491    <_ cle 9625    - cmin 9801   ZZcz 10860  ..^cfzo 11788  Word cword 12494   substr csubstr 12498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-substr 12506
This theorem is referenced by:  swrdnd  12614  swrdvalodm2  12621  swrdvalodm  12622  swrdspsleq  12630  swrdccat  12675
  Copyright terms: Public domain W3C validator