Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdeq Structured version   Unicode version

Theorem swrdeq 12723
 Description: Two subwords of words are equal iff they have the same length and the same symbols at each position. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdeq Word Word substr substr ..^
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem swrdeq
StepHypRef Expression
1 swrdcl 12698 . . . . 5 Word substr Word
2 swrdcl 12698 . . . . 5 Word substr Word
31, 2anim12i 564 . . . 4 Word Word substr Word substr Word
433ad2ant1 1018 . . 3 Word Word substr Word substr Word
5 eqwrd 12633 . . 3 substr Word substr Word substr substr substr substr ..^ substr substr substr
64, 5syl 17 . 2 Word Word substr substr substr substr ..^ substr substr substr
7 simpl 455 . . . . . 6 Word Word Word
873ad2ant1 1018 . . . . 5 Word Word Word
9 simpl 455 . . . . . . 7
1093ad2ant2 1019 . . . . . 6 Word Word
11 lencl 12612 . . . . . . . 8 Word
1211adantr 463 . . . . . . 7 Word Word
13123ad2ant1 1018 . . . . . 6 Word Word
14 simpl 455 . . . . . . 7
15143ad2ant3 1020 . . . . . 6 Word Word
16 elfz2nn0 11822 . . . . . 6
1710, 13, 15, 16syl3anbrc 1181 . . . . 5 Word Word
18 swrd0len 12701 . . . . 5 Word substr
198, 17, 18syl2anc 659 . . . 4 Word Word substr
20 simpr 459 . . . . . 6 Word Word Word
21203ad2ant1 1018 . . . . 5 Word Word Word
22 simpr 459 . . . . . . 7
23223ad2ant2 1019 . . . . . 6 Word Word
24 lencl 12612 . . . . . . . 8 Word
2524adantl 464 . . . . . . 7 Word Word
26253ad2ant1 1018 . . . . . 6 Word Word
27 simpr 459 . . . . . . 7
28273ad2ant3 1020 . . . . . 6 Word Word
29 elfz2nn0 11822 . . . . . 6
3023, 26, 28, 29syl3anbrc 1181 . . . . 5 Word Word
31 swrd0len 12701 . . . . 5 Word substr
3221, 30, 31syl2anc 659 . . . 4 Word Word substr
3319, 32eqeq12d 2424 . . 3 Word Word substr substr
3433anbi1d 703 . 2 Word Word substr substr ..^ substr substr substr ..^ substr substr substr
358adantr 463 . . . . . . 7 Word Word Word
3617adantr 463 . . . . . . 7 Word Word
3735, 36, 18syl2anc 659 . . . . . 6 Word Word substr
3837oveq2d 6293 . . . . 5 Word Word ..^ substr ..^
3938raleqdv 3009 . . . 4 Word Word ..^ substr substr substr ..^ substr substr
4035adantr 463 . . . . . . 7 Word Word ..^ Word
4136adantr 463 . . . . . . 7 Word Word ..^
42 simpr 459 . . . . . . 7 Word Word ..^ ..^
43 swrd0fv 12718 . . . . . . 7 Word ..^ substr
4440, 41, 42, 43syl3anc 1230 . . . . . 6 Word Word ..^ substr
45 oveq2 6285 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
4645eleq2d 2472 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
4746adantl 464 . . . . . . . . 9 Word Word ..^ ..^
4821adantr 463 . . . . . . . . . . . 12 Word Word ..^ Word
4930adantr 463 . . . . . . . . . . . 12 Word Word ..^
50 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12 Word Word ..^ ..^
5148, 49, 503jca 1177 . . . . . . . . . . 11 Word Word ..^ Word ..^
5251ex 432 . . . . . . . . . 10 Word Word ..^ Word ..^
5352adantr 463 . . . . . . . . 9 Word Word ..^ Word ..^
5447, 53sylbid 215 . . . . . . . 8 Word Word ..^ Word ..^
5554imp 427 . . . . . . 7 Word Word ..^ Word ..^
56 swrd0fv 12718 . . . . . . 7 Word ..^ substr
5755, 56syl 17 . . . . . 6 Word Word ..^ substr
5844, 57eqeq12d 2424 . . . . 5 Word Word ..^ substr substr
5958ralbidva 2839 . . . 4 Word Word ..^ substr substr ..^
6039, 59bitrd 253 . . 3 Word Word ..^ substr substr substr ..^
6160pm5.32da 639 . 2 Word Word ..^ substr substr substr ..^
626, 34, 613bitrd 279 1 Word Word substr substr ..^
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   w3a 974   wceq 1405   wcel 1842  wral 2753  cop 3977   class class class wbr 4394  cfv 5568  (class class class)co 6277  cc0 9521   cle 9658  cn0 10835  cfz 11724  ..^cfzo 11852  chash 12450  Word cword 12581   substr csubstr 12585 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-card 8351  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-hash 12451  df-word 12589  df-substr 12593 This theorem is referenced by:  clwlkf1clwwlklem  25253
 Copyright terms: Public domain W3C validator