MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdcl Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem swrdcl 12829
Description: Closure of the subword extractor. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Assertion
Ref Expression
swrdcl |- ( S e. Word A -> ( S substr <. F , L >. ) e. Word A )
Proof of Theorem swrdcl
Dummy variables s b x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2537 . 2 |- ( ( S substr <. F , L >. ) = (/) -> ( ( S substr <. F , L >. ) e. Word A <-> (/) e. Word A ) )
2 n0 3732 . . . 4 |- ( ( S substr <. F , L >. ) =/= (/) <-> E. x x e. ( S substr <. F , L >. ) )
3 df-substr 12715 . . . . . . 7 |- substr = ( s e. _V , b e. ( ZZ X. ZZ ) |-> if ( ( ( 1st ` b )..^ ( 2nd ` b ) ) C_ dom s , ( x e. ( 0..^ ( ( 2nd ` b ) - ( 1st ` b ) ) ) |-> ( s ` ( x + ( 1st ` b ) ) ) ) , (/) ) )
43elmpt2cl2 6532 . . . . . 6 |- ( x e. ( S substr <. F , L >. ) -> <. F , L >. e. ( ZZ X. ZZ ) )
5 opelxp 4869 . . . . . 6 |- ( <. F , L >. e. ( ZZ X. ZZ ) <-> ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) )
64, 5sylib 201 . . . . 5 |- ( x e. ( S substr <. F , L >. ) -> ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) )
76exlimiv 1784 . . . 4 |- ( E. x x e. ( S substr <. F , L >. ) -> ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) )
82, 7sylbi 200 . . 3 |- ( ( S substr <. F , L >. ) =/= (/) -> ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) )
9 swrdval 12827 . . . . 5 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( S substr <. F , L >. ) = if ( ( F..^ L ) C_ dom S , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( S ` ( x + F ) ) ) , (/) ) )
10 wrdf 12723 . . . . . . . . . . 11 |- ( S e. Word A -> S : ( 0..^ ( # ` S ) ) --> A )
11103ad2ant1 1051 . . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> S : ( 0..^ ( # ` S ) ) --> A )
1211ad2antrr 740 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( F..^ L ) C_ dom S ) /\ x e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> S : ( 0..^ ( # ` S ) ) --> A )
13 simplr 770 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( F..^ L ) C_ dom S ) /\ x e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> ( F..^ L ) C_ dom S )
14 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( F..^ L ) C_ dom S ) /\ x e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> x e. ( 0..^ ( L - F ) ) )
15 simpll3 1071 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( F..^ L ) C_ dom S ) /\ x e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> L e. ZZ )
16 simpll2 1070 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( F..^ L ) C_ dom S ) /\ x e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> F e. ZZ )
17 fzoaddel2 11999 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) /\ L e. ZZ /\ F e. ZZ ) -> ( x + F ) e. ( F..^ L ) )
1814, 15, 16, 17syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( F..^ L ) C_ dom S ) /\ x e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> ( x + F ) e. ( F..^ L ) )
1913, 18sseldd 3419 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( F..^ L ) C_ dom S ) /\ x e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> ( x + F ) e. dom S )
20 fdm 5745 . . . . . . . . . . 11 |- ( S : ( 0..^ ( # ` S ) ) --> A -> dom S = ( 0..^ ( # ` S ) ) )
2112, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( F..^ L ) C_ dom S ) /\ x e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> dom S = ( 0..^ ( # ` S ) ) )
2219, 21eleqtrd 2551 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( F..^ L ) C_ dom S ) /\ x e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> ( x + F ) e. ( 0..^ ( # ` S ) ) )
2312, 22ffvelrnd 6038 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( F..^ L ) C_ dom S ) /\ x e. ( 0..^ ( L - F ) ) ) -> ( S ` ( x + F ) ) e. A )
24 eqid 2471 . . . . . . . 8 |- ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( S ` ( x + F ) ) ) = ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( S ` ( x + F ) ) )
2523, 24fmptd 6061 . . . . . . 7 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( F..^ L ) C_ dom S ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( S ` ( x + F ) ) ) : ( 0..^ ( L - F ) ) --> A )
26 iswrdi 12722 . . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( S ` ( x + F ) ) ) : ( 0..^ ( L - F ) ) --> A -> ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( S ` ( x + F ) ) ) e. Word A )
2725, 26syl 17 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ ( F..^ L ) C_ dom S ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( S ` ( x + F ) ) ) e. Word A )
28 wrd0 12742 . . . . . . 7 |- (/) e. Word A
2928a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) /\ -. ( F..^ L ) C_ dom S ) -> (/) e. Word A )
3027, 29ifclda 3904 . . . . 5 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom S , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( S ` ( x + F ) ) ) , (/) ) e. Word A )
319, 30eqeltrd 2549 . . . 4 |- ( ( S e. Word A /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( S substr <. F , L >. ) e. Word A )
32313expb 1232 . . 3 |- ( ( S e. Word A /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( S substr <. F , L >. ) e. Word A )
338, 32sylan2 482 . 2 |- ( ( S e. Word A /\ ( S substr <. F , L >. ) =/= (/) ) -> ( S substr <. F , L >. ) e. Word A )
3428a1i 11 . 2 |- ( S e. Word A -> (/) e. Word A )
351, 33, 34pm2.61ne 2728 1 |- ( S e. Word A -> ( S substr <. F , L >. ) e. Word A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   =/= wne 2641   _Vcvv 3031   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ifcif 3872   <.cop 3965   |-> cmpt 4454   X. cxp 4837   dom cdm 4839   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   1stc1st 6810   2ndc2nd 6811   0cc0 9557   + caddc 9560   - cmin 9880   ZZcz 10961  ..^cfzo 11942   #chash 12553  Word cword 12703   substr csubstr 12707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554  df-word 12711  df-substr 12715
This theorem is referenced by:  swrdf  12835  addlenswrd  12848  swrd0fvlsw  12853  swrdeq  12854  swrdspsleq  12859  swrds1  12861  ccatswrd  12866  swrdccat2  12868  swrdswrd  12870  lenrevcctswrd  12877  wrdind  12887  wrd2ind  12888  swrdccatin12  12901  swrdccat  12903  swrdccat3a  12904  swrdccat3blem  12905  splcl  12913  spllen  12915  splfv1  12916  splfv2a  12917  splval2  12918  cshwcl  12954  cshwlen  12955  cshwidxmod  12959  gsumspl  16706  psgnunilem5  17213  psgnunilem2  17214  efgsres  17466  efgredleme  17471  efgredlemc  17473  efgcpbllemb  17483  frgpuplem  17500  wwlknred  25530  wwlkextwrd  25535  wwlkm1edg  25542  clwlkisclwwlk  25596  clwwlkf  25601  wwlksubclwwlk  25611  clwlkfclwwlk  25651  extwwlkfablem2  25885  wrdsplex  29499  signsvtn0  29531  signstfveq0  29538  pfxcl  39074  ccatpfx  39097  pfxswrd  39101  lenrevpfxcctswrd  39107  pfxccatin12  39113
  Copyright terms: Public domain W3C validator