MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdcl Structured version   Unicode version

Theorem swrdcl 12777
Description: Closure of the subword extractor. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Assertion
Ref Expression
swrdcl  |-  ( S  e. Word  A  ->  ( S substr  <. F ,  L >. )  e. Word  A )

Proof of Theorem swrdcl
Dummy variables  s 
b  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2495 . 2  |-  ( ( S substr  <. F ,  L >. )  =  (/)  ->  (
( S substr  <. F ,  L >. )  e. Word  A  <->  (/)  e. Word  A ) )
2 n0 3771 . . . 4  |-  ( ( S substr  <. F ,  L >. )  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  ( S substr  <. F ,  L >. ) )
3 df-substr 12672 . . . . . . 7  |- substr  =  ( s  e.  _V , 
b  e.  ( ZZ 
X.  ZZ )  |->  if ( ( ( 1st `  b )..^ ( 2nd `  b ) )  C_  dom  s ,  ( x  e.  ( 0..^ ( ( 2nd `  b
)  -  ( 1st `  b ) ) ) 
|->  ( s `  (
x  +  ( 1st `  b ) ) ) ) ,  (/) ) )
43elmpt2cl2 6527 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( S substr  <. F ,  L >. )  ->  <. F ,  L >.  e.  ( ZZ 
X.  ZZ ) )
5 opelxp 4883 . . . . . 6  |-  ( <. F ,  L >.  e.  ( ZZ  X.  ZZ ) 
<->  ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )
64, 5sylib 199 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( S substr  <. F ,  L >. )  ->  ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )
76exlimiv 1770 . . . 4  |-  ( E. x  x  e.  ( S substr  <. F ,  L >. )  ->  ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )
82, 7sylbi 198 . . 3  |-  ( ( S substr  <. F ,  L >. )  =/=  (/)  ->  ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )
9 swrdval 12775 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( S substr  <. F ,  L >. )  =  if ( ( F..^ L ) 
C_  dom  S , 
( x  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) )  |->  ( S `  ( x  +  F ) ) ) ,  (/) ) )
10 wrdf 12680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e. Word  A  ->  S : ( 0..^ (
# `  S )
) --> A )
11103ad2ant1 1026 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  S : ( 0..^ (
# `  S )
) --> A )
1211ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. Word  A  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( F..^ L
)  C_  dom  S )  /\  x  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) ) )  ->  S : ( 0..^ ( # `  S
) ) --> A )
13 simplr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. Word  A  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( F..^ L
)  C_  dom  S )  /\  x  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) ) )  ->  ( F..^ L
)  C_  dom  S )
14 simpr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e. Word  A  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( F..^ L
)  C_  dom  S )  /\  x  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) ) )
15 simpll3 1046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e. Word  A  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( F..^ L
)  C_  dom  S )  /\  x  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) ) )  ->  L  e.  ZZ )
16 simpll2 1045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( S  e. Word  A  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( F..^ L
)  C_  dom  S )  /\  x  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) ) )  ->  F  e.  ZZ )
17 fzoaddel2 11976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  F
) )  /\  L  e.  ZZ  /\  F  e.  ZZ )  ->  (
x  +  F )  e.  ( F..^ L
) )
1814, 15, 16, 17syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e. Word  A  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( F..^ L
)  C_  dom  S )  /\  x  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) ) )  ->  ( x  +  F )  e.  ( F..^ L ) )
1913, 18sseldd 3465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. Word  A  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( F..^ L
)  C_  dom  S )  /\  x  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) ) )  ->  ( x  +  F )  e.  dom  S )
20 fdm 5750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S : ( 0..^ (
# `  S )
) --> A  ->  dom  S  =  ( 0..^ (
# `  S )
) )
2112, 20syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e. Word  A  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( F..^ L
)  C_  dom  S )  /\  x  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) ) )  ->  dom  S  =  ( 0..^ ( # `  S
) ) )
2219, 21eleqtrd 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e. Word  A  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( F..^ L
)  C_  dom  S )  /\  x  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) ) )  ->  ( x  +  F )  e.  ( 0..^ ( # `  S
) ) )
2312, 22ffvelrnd 6038 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e. Word  A  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( F..^ L
)  C_  dom  S )  /\  x  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) ) )  ->  ( S `  ( x  +  F
) )  e.  A
)
24 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) )  |->  ( S `  ( x  +  F
) ) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) )  |->  ( S `  ( x  +  F ) ) )
2523, 24fmptd 6061 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( F..^ L
)  C_  dom  S )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) ) 
|->  ( S `  (
x  +  F ) ) ) : ( 0..^ ( L  -  F ) ) --> A )
26 iswrdi 12679 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  F
) )  |->  ( S `
 ( x  +  F ) ) ) : ( 0..^ ( L  -  F ) ) --> A  ->  (
x  e.  ( 0..^ ( L  -  F
) )  |->  ( S `
 ( x  +  F ) ) )  e. Word  A )
2725, 26syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( F..^ L
)  C_  dom  S )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) ) 
|->  ( S `  (
x  +  F ) ) )  e. Word  A
)
28 wrd0 12695 . . . . . . 7  |-  (/)  e. Word  A
2928a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e. Word  A  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  -.  ( F..^ L )  C_  dom  S )  ->  (/)  e. Word  A
)
3027, 29ifclda 3943 . . . . 5  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  if ( ( F..^ L
)  C_  dom  S , 
( x  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) )  |->  ( S `  ( x  +  F ) ) ) ,  (/) )  e. Word  A )
319, 30eqeltrd 2507 . . . 4  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( S substr  <. F ,  L >. )  e. Word  A )
32313expb 1206 . . 3  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( S substr  <. F ,  L >. )  e. Word  A )
338, 32sylan2 476 . 2  |-  ( ( S  e. Word  A  /\  ( S substr  <. F ,  L >. )  =/=  (/) )  -> 
( S substr  <. F ,  L >. )  e. Word  A
)
3428a1i 11 . 2  |-  ( S  e. Word  A  ->  (/)  e. Word  A
)
351, 33, 34pm2.61ne 2735 1  |-  ( S  e. Word  A  ->  ( S substr  <. F ,  L >. )  e. Word  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872    =/= wne 2614   _Vcvv 3080    C_ wss 3436   (/)c0 3761   ifcif 3911   <.cop 4004    |-> cmpt 4482    X. cxp 4851   dom cdm 4853   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   1stc1st 6805   2ndc2nd 6806   0cc0 9546    + caddc 9549    - cmin 9867   ZZcz 10944  ..^cfzo 11922   #chash 12521  Word cword 12660   substr csubstr 12664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-card 8381  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-2 10675  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-hash 12522  df-word 12668  df-substr 12672
This theorem is referenced by:  swrdf  12783  addlenswrd  12796  swrd0fvlsw  12801  swrdeq  12802  swrdspsleq  12807  swrds1  12809  ccatswrd  12814  swrdccat2  12816  swrdswrd  12818  lenrevcctswrd  12825  wrdind  12835  wrd2ind  12836  swrdccatin12  12849  swrdccat  12851  swrdccat3a  12852  swrdccat3blem  12853  splcl  12861  spllen  12863  splfv1  12864  splfv2a  12865  splval2  12866  cshwcl  12902  cshwlen  12903  cshwidxmod  12907  gsumspl  16627  psgnunilem5  17134  psgnunilem2  17135  efgsres  17387  efgredleme  17392  efgredlemc  17394  efgcpbllemb  17404  frgpuplem  17421  wwlknred  25449  wwlkextwrd  25454  wwlkm1edg  25461  clwlkisclwwlk  25515  clwwlkf  25520  wwlksubclwwlk  25530  clwlkfclwwlk  25570  extwwlkfablem2  25804  wrdsplex  29435  signsvtn0  29467  signstfveq0  29474  pfxcl  38797  ccatpfx  38820  pfxswrd  38824  lenrevpfxcctswrd  38830  pfxccatin12  38836
  Copyright terms: Public domain W3C validator