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Theorem swrdccatin2 12491
Description: The subword of a concatenation of two words within the second of the concatenated words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 28-Mar-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 27-May-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
swrdccatin12.l  |-  L  =  ( # `  A
)
Assertion
Ref Expression
swrdccatin2  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( ( A concat  B ) substr  <. M ,  N >. )  =  ( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L )
>. ) ) )

Proof of Theorem swrdccatin2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 swrdccatin12.l . . . . . . . 8  |-  L  =  ( # `  A
)
2 oveq1 6202 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  ( L ... N )  =  ( ( # `  A
) ... N ) )
32eleq2d 2522 . . . . . . . . 9  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  ( M  e.  ( L ... N
)  <->  M  e.  (
( # `  A ) ... N ) ) )
4 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  L  =  ( # `  A ) )
5 oveq1 6202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  ( L  +  ( # `  B
) )  =  ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) )
64, 5oveq12d 6213 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) )  =  ( ( # `  A
) ... ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) )
76eleq2d 2522 . . . . . . . . 9  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  ( N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) )  <->  N  e.  ( ( # `  A
) ... ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) ) )
83, 7anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  ( ( M  e.  ( L ... N )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  <-> 
( M  e.  ( ( # `  A
) ... N )  /\  N  e.  ( ( # `
 A ) ... ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) ) ) ) )
91, 8ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( L ... N )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  <->  ( M  e.  ( ( # `  A
) ... N )  /\  N  e.  ( ( # `
 A ) ... ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) ) ) )
10 lencl 12362 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e. Word  V  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
11 elnn0uz 11004 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  <->  ( # `  A
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
1211biimpi 194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( # `  A
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
13 fzss1 11609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  A )  e.  ( ZZ>= `  0 )  ->  ( ( # `  A
) ... N )  C_  ( 0 ... N
) )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 A ) ... N )  C_  (
0 ... N ) )
1514sseld 3458 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( M  e.  ( ( # `  A
) ... N )  ->  M  e.  ( 0 ... N ) ) )
16 fzss1 11609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  A )  e.  ( ZZ>= `  0 )  ->  ( ( # `  A
) ... ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) )  C_  (
0 ... ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) )
1712, 16syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 A ) ... ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) ) 
C_  ( 0 ... ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) ) )
1817sseld 3458 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( N  e.  ( ( # `  A
) ... ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) )  ->  N  e.  ( 0 ... (
( # `  A )  +  ( # `  B
) ) ) ) )
1915, 18anim12d 563 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( ( M  e.  ( ( # `
 A ) ... N )  /\  N  e.  ( ( # `  A
) ... ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) ) ) )
2010, 19syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e. Word  V  ->  (
( M  e.  ( ( # `  A
) ... N )  /\  N  e.  ( ( # `
 A ) ... ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) ) )  ->  ( M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... (
( # `  A )  +  ( # `  B
) ) ) ) ) )
2120adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( ( M  e.  ( ( # `  A
) ... N )  /\  N  e.  ( ( # `
 A ) ... ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) ) )  ->  ( M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... (
( # `  A )  +  ( # `  B
) ) ) ) ) )
229, 21syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... (
( # `  A )  +  ( # `  B
) ) ) ) ) )
2322imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... (
( # `  A )  +  ( # `  B
) ) ) ) )
24 swrdccatfn 12486 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... (
( # `  A )  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( A concat  B ) substr  <. M ,  N >. )  Fn  (
0..^ ( N  -  M ) ) )
2523, 24syldan 470 . . . 4  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( A concat  B ) substr  <. M ,  N >. )  Fn  (
0..^ ( N  -  M ) ) )
26 elfz2 11556 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( L ... N )  <->  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  M  /\  M  <_  N ) ) )
27 zcn 10757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
28 zcn 10757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
29 zcn 10757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  CC )
3027, 28, 293anim123i 1173 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  L  e.  CC ) )
31303comr 1196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  L  e.  CC ) )
3231adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  M  /\  M  <_  N ) )  ->  ( N  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  L  e.  CC ) )
3326, 32sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( L ... N )  ->  ( N  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  L  e.  CC ) )
3433adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( L ... N )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( N  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  L  e.  CC )
)
35 nnncan2 9752 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  L  e.  CC )  ->  (
( N  -  L
)  -  ( M  -  L ) )  =  ( N  -  M ) )
3634, 35syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( L ... N )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( ( N  -  L )  -  ( M  -  L )
)  =  ( N  -  M ) )
3736adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) )  =  ( N  -  M
) )
3837oveq2d 6211 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L )
) )  =  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )
3938fneq2d 5605 . . . 4  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( (
( A concat  B ) substr  <. M ,  N >. )  Fn  ( 0..^ ( ( N  -  L
)  -  ( M  -  L ) ) )  <->  ( ( A concat  B ) substr  <. M ,  N >. )  Fn  (
0..^ ( N  -  M ) ) ) )
4025, 39mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( A concat  B ) substr  <. M ,  N >. )  Fn  (
0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L
) ) ) )
41 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  B  e. Word  V )
4241adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  B  e. Word  V )
43 elfzmlbm 11602 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( L ... N )  ->  ( M  -  L )  e.  ( 0 ... ( N  -  L )
) )
4443ad2antrl 727 . . . 4  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( M  -  L )  e.  ( 0 ... ( N  -  L ) ) )
45 lencl 12362 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e. Word  V  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
4645nn0zd 10851 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e. Word  V  ->  ( # `
 B )  e.  ZZ )
4746adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( # `  B
)  e.  ZZ )
48 elfzmlbp 11603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( # `  B
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( N  -  L
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) ) )
4948ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  B )  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) )  -> 
( N  -  L
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) ) ) )
5047, 49syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) )  -> 
( N  -  L
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) ) ) )
5150com12 31 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `
 B ) ) )  ->  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) ) ) )
5251adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( L ... N )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  B ) ) ) )
5352impcom 430 . . . 4  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  B ) ) )
54 swrdvalfn 12445 . . . 4  |-  ( ( B  e. Word  V  /\  ( M  -  L
)  e.  ( 0 ... ( N  -  L ) )  /\  ( N  -  L
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) ) )  -> 
( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L
) >. )  Fn  (
0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L
) ) ) )
5542, 44, 53, 54syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( B substr  <.
( M  -  L
) ,  ( N  -  L ) >.
)  Fn  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L )
) ) )
56 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V ) )
5756adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V ) )
58 elfzoelz 11665 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L
)  -  ( M  -  L ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
59 elfzelz 11565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( L ... N )  ->  M  e.  ZZ )
60 zaddcl 10791 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( k  +  M
)  e.  ZZ )
6160expcom 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( k  +  M )  e.  ZZ ) )
6259, 61syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( L ... N )  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( k  +  M )  e.  ZZ ) )
6362ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( k  e.  ZZ  ->  ( k  +  M )  e.  ZZ ) )
6458, 63syl5com 30 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L
)  -  ( M  -  L ) ) )  ->  ( (
( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( k  +  M )  e.  ZZ ) )
6564impcom 430 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  ( k  +  M )  e.  ZZ )
66 df-3an 967 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  (
k  +  M )  e.  ZZ )  <->  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  (
k  +  M )  e.  ZZ ) )
6757, 65, 66sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  ( k  +  M )  e.  ZZ ) )
68 ccatsymb 12394 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  (
k  +  M )  e.  ZZ )  -> 
( ( A concat  B
) `  ( k  +  M ) )  =  if ( ( k  +  M )  < 
( # `  A ) ,  ( A `  ( k  +  M
) ) ,  ( B `  ( ( k  +  M )  -  ( # `  A
) ) ) ) )
6967, 68syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  ( ( A concat  B ) `  (
k  +  M ) )  =  if ( ( k  +  M
)  <  ( # `  A
) ,  ( A `
 ( k  +  M ) ) ,  ( B `  (
( k  +  M
)  -  ( # `  A ) ) ) ) )
70 elfzonn0 11703 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L
)  -  ( M  -  L ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
71 zre 10756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  RR )
72 zre 10756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
7371, 72anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )
74 elnn0z 10765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  <->  ( k  e.  ZZ  /\  0  <_ 
k ) )
75 zre 10756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  RR )
76 0red 9493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( M  e.  RR  ->  0  e.  RR )
7776anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( 0  e.  RR  /\  L  e.  RR ) )
7877ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( 0  e.  RR  /\  L  e.  RR ) )
7978adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )  ->  ( 0  e.  RR  /\  L  e.  RR ) )
80 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  M  e.  RR )
8180anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )  ->  ( k  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )
82 le2add 9927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( 0  e.  RR  /\  L  e.  RR )  /\  ( k  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )  -> 
( ( 0  <_ 
k  /\  L  <_  M )  ->  ( 0  +  L )  <_ 
( k  +  M
) ) )
8379, 81, 82syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )  ->  ( (
0  <_  k  /\  L  <_  M )  -> 
( 0  +  L
)  <_  ( k  +  M ) ) )
84 recn 9478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( L  e.  RR  ->  L  e.  CC )
8584addid2d 9676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( L  e.  RR  ->  (
0  +  L )  =  L )
8685ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )  ->  ( 0  +  L )  =  L )
8786breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )  ->  ( (
0  +  L )  <_  ( k  +  M )  <->  L  <_  ( k  +  M ) ) )
8883, 87sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )  ->  ( (
0  <_  k  /\  L  <_  M )  ->  L  <_  ( k  +  M ) ) )
89 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  L  e.  RR )
9089adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )  ->  L  e.  RR )
91 readdcl 9471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( k  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( k  +  M
)  e.  RR )
9281, 91syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )  ->  ( k  +  M )  e.  RR )
9390, 92lenltd 9626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )  ->  ( L  <_  ( k  +  M
)  <->  -.  ( k  +  M )  <  L
) )
9488, 93sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )  ->  ( (
0  <_  k  /\  L  <_  M )  ->  -.  ( k  +  M
)  <  L )
)
9594expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )  ->  ( 0  <_  k  ->  ( L  <_  M  ->  -.  ( k  +  M
)  <  L )
) )
9695com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 0  <_  k  ->  (
( k  e.  RR  /\  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )  ->  ( L  <_  M  ->  -.  (
k  +  M )  <  L ) ) )
9796expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0  <_  k  ->  (
k  e.  RR  ->  ( ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( L  <_  M  ->  -.  ( k  +  M )  <  L
) ) ) )
9875, 97mpan9 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  0  <_  k )  -> 
( ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( L  <_  M  ->  -.  ( k  +  M
)  <  L )
) )
9974, 98sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( L  <_  M  ->  -.  ( k  +  M )  <  L
) ) )
10073, 99mpan9 469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( L  <_  M  ->  -.  ( k  +  M )  <  L
) )
1011eqcomi 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( # `  A )  =  L
102101breq2i 4403 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  +  M )  <  ( # `  A
)  <->  ( k  +  M )  <  L
)
103102notbii 296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( k  +  M
)  <  ( # `  A
)  <->  -.  ( k  +  M )  <  L
)
104100, 103syl6ibr 227 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( L  <_  M  ->  -.  ( k  +  M )  <  ( # `
 A ) ) )
105104ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  NN0  ->  ( L  <_  M  ->  -.  ( k  +  M )  <  ( # `
 A ) ) ) )
106105com23 78 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( L  <_  M  ->  ( k  e.  NN0  ->  -.  ( k  +  M )  <  ( # `
 A ) ) ) )
1071063adant2 1007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( L  <_  M  ->  (
k  e.  NN0  ->  -.  ( k  +  M
)  <  ( # `  A
) ) ) )
108107com12 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  <_  M  ->  (
( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  NN0  ->  -.  ( k  +  M )  <  ( # `
 A ) ) ) )
109108adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  <_  M  /\  M  <_  N )  -> 
( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  NN0  ->  -.  ( k  +  M
)  <  ( # `  A
) ) ) )
110109impcom 430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  M  /\  M  <_  N ) )  ->  ( k  e.  NN0  ->  -.  (
k  +  M )  <  ( # `  A
) ) )
11126, 110sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( L ... N )  ->  (
k  e.  NN0  ->  -.  ( k  +  M
)  <  ( # `  A
) ) )
112111ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( k  e.  NN0  ->  -.  (
k  +  M )  <  ( # `  A
) ) )
11370, 112syl5com 30 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L
)  -  ( M  -  L ) ) )  ->  ( (
( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  -.  (
k  +  M )  <  ( # `  A
) ) )
114113impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  -.  (
k  +  M )  <  ( # `  A
) )
115 iffalse 3902 . . . . . 6  |-  ( -.  ( k  +  M
)  <  ( # `  A
)  ->  if (
( k  +  M
)  <  ( # `  A
) ,  ( A `
 ( k  +  M ) ) ,  ( B `  (
( k  +  M
)  -  ( # `  A ) ) ) )  =  ( B `
 ( ( k  +  M )  -  ( # `  A ) ) ) )
116114, 115syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  if (
( k  +  M
)  <  ( # `  A
) ,  ( A `
 ( k  +  M ) ) ,  ( B `  (
( k  +  M
)  -  ( # `  A ) ) ) )  =  ( B `
 ( ( k  +  M )  -  ( # `  A ) ) ) )
117 zcn 10757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  CC )
118117adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  k  e.  CC )
11928adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  M  e.  CC )
120119adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  M  e.  CC )
12129ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  L  e.  CC )
122118, 120, 121addsubassd 9845 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( k  +  M )  -  L )  =  ( k  +  ( M  -  L ) ) )
123 oveq2 6203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  ( (
k  +  M )  -  L )  =  ( ( k  +  M )  -  ( # `
 A ) ) )
124123eqeq1d 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  ( (
( k  +  M
)  -  L )  =  ( k  +  ( M  -  L
) )  <->  ( (
k  +  M )  -  ( # `  A
) )  =  ( k  +  ( M  -  L ) ) ) )
125122, 124syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  ( (
( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( k  +  M )  -  ( # `  A ) )  =  ( k  +  ( M  -  L ) ) ) )
1261, 125ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( k  +  M )  -  ( # `  A ) )  =  ( k  +  ( M  -  L ) ) )
127126ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ZZ  ->  ( ( k  +  M )  -  ( # `
 A ) )  =  ( k  +  ( M  -  L
) ) ) )
1281273adant2 1007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( ( k  +  M
)  -  ( # `  A ) )  =  ( k  +  ( M  -  L ) ) ) )
129128adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  M  /\  M  <_  N ) )  ->  ( k  e.  ZZ  ->  ( (
k  +  M )  -  ( # `  A
) )  =  ( k  +  ( M  -  L ) ) ) )
13026, 129sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( L ... N )  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( ( k  +  M
)  -  ( # `  A ) )  =  ( k  +  ( M  -  L ) ) ) )
131130ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( k  e.  ZZ  ->  ( (
k  +  M )  -  ( # `  A
) )  =  ( k  +  ( M  -  L ) ) ) )
13258, 131syl5com 30 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L
)  -  ( M  -  L ) ) )  ->  ( (
( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( (
k  +  M )  -  ( # `  A
) )  =  ( k  +  ( M  -  L ) ) ) )
133132impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  ( (
k  +  M )  -  ( # `  A
) )  =  ( k  +  ( M  -  L ) ) )
134133fveq2d 5798 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  ( B `  ( ( k  +  M )  -  ( # `
 A ) ) )  =  ( B `
 ( k  +  ( M  -  L
) ) ) )
13569, 116, 1343eqtrd 2497 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  ( ( A concat  B ) `  (
k  +  M ) )  =  ( B `
 ( k  +  ( M  -  L
) ) ) )
136 ccatcl 12387 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( A concat  B )  e. Word  V )
137136ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  ( A concat  B )  e. Word  V )
1381, 12syl5eqel 2544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  L  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
139 fzss1 11609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( L ... N )  C_  (
0 ... N ) )
14010, 138, 1393syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e. Word  V  ->  ( L ... N )  C_  ( 0 ... N
) )
141140sseld 3458 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e. Word  V  ->  ( M  e.  ( L ... N )  ->  M  e.  ( 0 ... N
) ) )
142141adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( M  e.  ( L ... N )  ->  M  e.  ( 0 ... N ) ) )
143142com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( L ... N )  ->  (
( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  M  e.  ( 0 ... N ) ) )
144143adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( L ... N )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  ->  M  e.  ( 0 ... N
) ) )
145144impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  M  e.  ( 0 ... N
) )
146145adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  M  e.  ( 0 ... N
) )
1471, 7ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `
 B ) ) )  <->  N  e.  (
( # `  A ) ... ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) )
14810, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e. Word  V  ->  ( # `
 A )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
149148adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( # `  A
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
150149, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( ( # `  A
) ... ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) )  C_  (
0 ... ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) )
151150sseld 3458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( N  e.  ( ( # `  A
) ... ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) )  ->  N  e.  ( 0 ... (
( # `  A )  +  ( # `  B
) ) ) ) )
152151impcom 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( (
# `  A ) ... ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) )  /\  ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
) )  ->  N  e.  ( 0 ... (
( # `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )
153 ccatlen 12388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( # `  ( A concat  B ) )  =  ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) )
154153oveq2d 6211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( 0 ... ( # `
 ( A concat  B
) ) )  =  ( 0 ... (
( # `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )
155154eleq2d 2522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( N  e.  ( 0 ... ( # `  ( A concat  B ) ) )  <->  N  e.  ( 0 ... (
( # `  A )  +  ( # `  B
) ) ) ) )
156155adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( (
# `  A ) ... ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) )  /\  ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
) )  ->  ( N  e.  ( 0 ... ( # `  ( A concat  B ) ) )  <-> 
N  e.  ( 0 ... ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) ) )
157152, 156mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( (
# `  A ) ... ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) )  /\  ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
) )  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `
 ( A concat  B
) ) ) )
158157ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ( # `  A ) ... (
( # `  A )  +  ( # `  B
) ) )  -> 
( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `
 ( A concat  B
) ) ) ) )
159147, 158sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `
 B ) ) )  ->  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `
 ( A concat  B
) ) ) ) )
160159adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( L ... N )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `
 ( A concat  B
) ) ) ) )
161160impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `
 ( A concat  B
) ) ) )
162161adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `
 ( A concat  B
) ) ) )
163 fzmmmeqm 11604 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( L ... N )  ->  (
( N  -  L
)  -  ( M  -  L ) )  =  ( N  -  M ) )
164163oveq2d 6211 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( L ... N )  ->  (
0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L
) ) )  =  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )
165164eleq2d 2522 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( L ... N )  ->  (
k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L )
) )  <->  k  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) ) )
166165biimpd 207 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( L ... N )  ->  (
k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L )
) )  ->  k  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) ) )
167166ad2antrl 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) )  ->  k  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) ) )
168167imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  k  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )
169 swrdfv 12433 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A concat  B
)  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  ( A concat  B ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )  ->  ( (
( A concat  B ) substr  <. M ,  N >. ) `
 k )  =  ( ( A concat  B
) `  ( k  +  M ) ) )
170137, 146, 162, 168, 169syl31anc 1222 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  ( (
( A concat  B ) substr  <. M ,  N >. ) `
 k )  =  ( ( A concat  B
) `  ( k  +  M ) ) )
17146, 49syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e. Word  V  ->  ( N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) )  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) ) ) )
172171adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) )  -> 
( N  -  L
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) ) ) )
173172com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `
 B ) ) )  ->  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) ) ) )
174173adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( L ... N )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  B ) ) ) )
175174impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  B ) ) )
17642, 44, 1753jca 1168 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( B  e. Word  V  /\  ( M  -  L )  e.  ( 0 ... ( N  -  L )
)  /\  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  B ) ) ) )
177 swrdfv 12433 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e. Word  V  /\  ( M  -  L
)  e.  ( 0 ... ( N  -  L ) )  /\  ( N  -  L
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L )
) ) )  -> 
( ( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L ) >. ) `  k )  =  ( B `  ( k  +  ( M  -  L ) ) ) )
178176, 177sylan 471 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  ( ( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L )
>. ) `  k )  =  ( B `  ( k  +  ( M  -  L ) ) ) )
179135, 170, 1783eqtr4d 2503 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  ( (
( A concat  B ) substr  <. M ,  N >. ) `
 k )  =  ( ( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L ) >. ) `  k ) )
18040, 55, 179eqfnfvd 5904 . 2  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( A concat  B ) substr  <. M ,  N >. )  =  ( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L )
>. ) )
181180ex 434 1  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( ( A concat  B ) substr  <. M ,  N >. )  =  ( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L )
>. ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    C_ wss 3431   ifcif 3894   <.cop 3986   class class class wbr 4395    Fn wfn 5516   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   CCcc 9386   RRcr 9387   0cc0 9388    + caddc 9391    < clt 9524    <_ cle 9525    - cmin 9701   NN0cn0 10685   ZZcz 10752   ZZ>=cuz 10967   ...cfz 11549  ..^cfzo 11660   #chash 12215  Word cword 12334   concat cconcat 12336   substr csubstr 12338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-card 8215  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-hash 12216  df-word 12342  df-concat 12344  df-substr 12346
This theorem is referenced by:  swrdccat3  12496  swrdccatin2d  12504
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