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Theorem swrdccatin2 12374
Description: The subword of a concatenation of two words within the second of the concatenated words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 28-Mar-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 27-May-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
swrdccatin12.l  |-  L  =  ( # `  A
)
Assertion
Ref Expression
swrdccatin2  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( ( A concat  B ) substr  <. M ,  N >. )  =  ( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L )
>. ) ) )

Proof of Theorem swrdccatin2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 swrdccatin12.l . . . . . . . 8  |-  L  =  ( # `  A
)
2 oveq1 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  ( L ... N )  =  ( ( # `  A
) ... N ) )
32eleq2d 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  ( M  e.  ( L ... N
)  <->  M  e.  (
( # `  A ) ... N ) ) )
4 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  L  =  ( # `  A ) )
5 oveq1 6097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  ( L  +  ( # `  B
) )  =  ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) )
64, 5oveq12d 6108 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) )  =  ( ( # `  A
) ... ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) )
76eleq2d 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  ( N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) )  <->  N  e.  ( ( # `  A
) ... ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) ) )
83, 7anbi12d 705 . . . . . . . 8  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  ( ( M  e.  ( L ... N )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  <-> 
( M  e.  ( ( # `  A
) ... N )  /\  N  e.  ( ( # `
 A ) ... ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) ) ) ) )
91, 8ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( L ... N )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  <->  ( M  e.  ( ( # `  A
) ... N )  /\  N  e.  ( ( # `
 A ) ... ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) ) ) )
10 lencl 12245 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e. Word  V  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
11 elnn0uz 10894 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  <->  ( # `  A
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
1211biimpi 194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( # `  A
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
13 fzss1 11493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  A )  e.  ( ZZ>= `  0 )  ->  ( ( # `  A
) ... N )  C_  ( 0 ... N
) )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 A ) ... N )  C_  (
0 ... N ) )
1514sseld 3352 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( M  e.  ( ( # `  A
) ... N )  ->  M  e.  ( 0 ... N ) ) )
16 fzss1 11493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  A )  e.  ( ZZ>= `  0 )  ->  ( ( # `  A
) ... ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) )  C_  (
0 ... ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) )
1712, 16syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 A ) ... ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) ) 
C_  ( 0 ... ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) ) )
1817sseld 3352 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( N  e.  ( ( # `  A
) ... ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) )  ->  N  e.  ( 0 ... (
( # `  A )  +  ( # `  B
) ) ) ) )
1915, 18anim12d 560 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( ( M  e.  ( ( # `
 A ) ... N )  /\  N  e.  ( ( # `  A
) ... ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) ) ) )
2010, 19syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e. Word  V  ->  (
( M  e.  ( ( # `  A
) ... N )  /\  N  e.  ( ( # `
 A ) ... ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) ) )  ->  ( M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... (
( # `  A )  +  ( # `  B
) ) ) ) ) )
2120adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( ( M  e.  ( ( # `  A
) ... N )  /\  N  e.  ( ( # `
 A ) ... ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) ) )  ->  ( M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... (
( # `  A )  +  ( # `  B
) ) ) ) ) )
229, 21syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... (
( # `  A )  +  ( # `  B
) ) ) ) ) )
2322imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... (
( # `  A )  +  ( # `  B
) ) ) ) )
24 swrdccatfn 12369 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... (
( # `  A )  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( A concat  B ) substr  <. M ,  N >. )  Fn  (
0..^ ( N  -  M ) ) )
2523, 24syldan 467 . . . 4  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( A concat  B ) substr  <. M ,  N >. )  Fn  (
0..^ ( N  -  M ) ) )
26 elfz2 11440 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( L ... N )  <->  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  M  /\  M  <_  N ) ) )
27 zcn 10647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
28 zcn 10647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
29 zcn 10647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  CC )
3027, 28, 293anim123i 1168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  L  e.  CC ) )
31303comr 1190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  L  e.  CC ) )
3231adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  M  /\  M  <_  N ) )  ->  ( N  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  L  e.  CC ) )
3326, 32sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( L ... N )  ->  ( N  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  L  e.  CC ) )
3433adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( L ... N )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( N  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  L  e.  CC )
)
35 nnncan2 9642 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  L  e.  CC )  ->  (
( N  -  L
)  -  ( M  -  L ) )  =  ( N  -  M ) )
3634, 35syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( L ... N )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( ( N  -  L )  -  ( M  -  L )
)  =  ( N  -  M ) )
3736adantl 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) )  =  ( N  -  M
) )
3837oveq2d 6106 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L )
) )  =  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )
3938fneq2d 5499 . . . 4  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( (
( A concat  B ) substr  <. M ,  N >. )  Fn  ( 0..^ ( ( N  -  L
)  -  ( M  -  L ) ) )  <->  ( ( A concat  B ) substr  <. M ,  N >. )  Fn  (
0..^ ( N  -  M ) ) ) )
4025, 39mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( A concat  B ) substr  <. M ,  N >. )  Fn  (
0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L
) ) ) )
41 simpr 458 . . . . 5  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  B  e. Word  V )
4241adantr 462 . . . 4  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  B  e. Word  V )
43 elfzmlbm 11486 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( L ... N )  ->  ( M  -  L )  e.  ( 0 ... ( N  -  L )
) )
4443ad2antrl 722 . . . 4  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( M  -  L )  e.  ( 0 ... ( N  -  L ) ) )
45 lencl 12245 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e. Word  V  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
4645nn0zd 10741 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e. Word  V  ->  ( # `
 B )  e.  ZZ )
4746adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( # `  B
)  e.  ZZ )
48 elfzmlbp 11487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( # `  B
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( N  -  L
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) ) )
4948ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  B )  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) )  -> 
( N  -  L
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) ) ) )
5047, 49syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) )  -> 
( N  -  L
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) ) ) )
5150com12 31 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `
 B ) ) )  ->  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) ) ) )
5251adantl 463 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( L ... N )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  B ) ) ) )
5352impcom 430 . . . 4  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  B ) ) )
54 swrdvalfn 12328 . . . 4  |-  ( ( B  e. Word  V  /\  ( M  -  L
)  e.  ( 0 ... ( N  -  L ) )  /\  ( N  -  L
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) ) )  -> 
( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L
) >. )  Fn  (
0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L
) ) ) )
5542, 44, 53, 54syl3anc 1213 . . 3  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( B substr  <.
( M  -  L
) ,  ( N  -  L ) >.
)  Fn  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L )
) ) )
56 simpl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V ) )
5756adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V ) )
58 elfzoelz 11549 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L
)  -  ( M  -  L ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
59 elfzelz 11449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( L ... N )  ->  M  e.  ZZ )
60 zaddcl 10681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( k  +  M
)  e.  ZZ )
6160expcom 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( k  +  M )  e.  ZZ ) )
6259, 61syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( L ... N )  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( k  +  M )  e.  ZZ ) )
6362ad2antrl 722 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( k  e.  ZZ  ->  ( k  +  M )  e.  ZZ ) )
6458, 63syl5com 30 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L
)  -  ( M  -  L ) ) )  ->  ( (
( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( k  +  M )  e.  ZZ ) )
6564impcom 430 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  ( k  +  M )  e.  ZZ )
66 df-3an 962 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  (
k  +  M )  e.  ZZ )  <->  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  (
k  +  M )  e.  ZZ ) )
6757, 65, 66sylanbrc 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  ( k  +  M )  e.  ZZ ) )
68 ccatsymb 12277 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  (
k  +  M )  e.  ZZ )  -> 
( ( A concat  B
) `  ( k  +  M ) )  =  if ( ( k  +  M )  < 
( # `  A ) ,  ( A `  ( k  +  M
) ) ,  ( B `  ( ( k  +  M )  -  ( # `  A
) ) ) ) )
6967, 68syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  ( ( A concat  B ) `  (
k  +  M ) )  =  if ( ( k  +  M
)  <  ( # `  A
) ,  ( A `
 ( k  +  M ) ) ,  ( B `  (
( k  +  M
)  -  ( # `  A ) ) ) ) )
70 elfzonn0 11587 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L
)  -  ( M  -  L ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
71 zre 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  RR )
72 zre 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
7371, 72anim12i 563 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )
74 elnn0z 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  <->  ( k  e.  ZZ  /\  0  <_ 
k ) )
75 zre 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  RR )
76 0red 9383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( M  e.  RR  ->  0  e.  RR )
7776anim1i 565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( 0  e.  RR  /\  L  e.  RR ) )
7877ancoms 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( 0  e.  RR  /\  L  e.  RR ) )
7978adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )  ->  ( 0  e.  RR  /\  L  e.  RR ) )
80 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  M  e.  RR )
8180anim2i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )  ->  ( k  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )
82 le2add 9817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( 0  e.  RR  /\  L  e.  RR )  /\  ( k  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )  -> 
( ( 0  <_ 
k  /\  L  <_  M )  ->  ( 0  +  L )  <_ 
( k  +  M
) ) )
8379, 81, 82syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )  ->  ( (
0  <_  k  /\  L  <_  M )  -> 
( 0  +  L
)  <_  ( k  +  M ) ) )
84 recn 9368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( L  e.  RR  ->  L  e.  CC )
8584addid2d 9566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( L  e.  RR  ->  (
0  +  L )  =  L )
8685ad2antrl 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )  ->  ( 0  +  L )  =  L )
8786breq1d 4299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )  ->  ( (
0  +  L )  <_  ( k  +  M )  <->  L  <_  ( k  +  M ) ) )
8883, 87sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )  ->  ( (
0  <_  k  /\  L  <_  M )  ->  L  <_  ( k  +  M ) ) )
89 simpl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  L  e.  RR )
9089adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )  ->  L  e.  RR )
91 readdcl 9361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( k  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( k  +  M
)  e.  RR )
9281, 91syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )  ->  ( k  +  M )  e.  RR )
9390, 92lenltd 9516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )  ->  ( L  <_  ( k  +  M
)  <->  -.  ( k  +  M )  <  L
) )
9488, 93sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )  ->  ( (
0  <_  k  /\  L  <_  M )  ->  -.  ( k  +  M
)  <  L )
)
9594exp3a 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )  ->  ( 0  <_  k  ->  ( L  <_  M  ->  -.  ( k  +  M
)  <  L )
) )
9695com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 0  <_  k  ->  (
( k  e.  RR  /\  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )  ->  ( L  <_  M  ->  -.  (
k  +  M )  <  L ) ) )
9796exp3a 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0  <_  k  ->  (
k  e.  RR  ->  ( ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( L  <_  M  ->  -.  ( k  +  M )  <  L
) ) ) )
9875, 97mpan9 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  0  <_  k )  -> 
( ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( L  <_  M  ->  -.  ( k  +  M
)  <  L )
) )
9974, 98sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( L  <_  M  ->  -.  ( k  +  M )  <  L
) ) )
10073, 99mpan9 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( L  <_  M  ->  -.  ( k  +  M )  <  L
) )
1011eqcomi 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( # `  A )  =  L
102101breq2i 4297 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  +  M )  <  ( # `  A
)  <->  ( k  +  M )  <  L
)
103102notbii 296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( k  +  M
)  <  ( # `  A
)  <->  -.  ( k  +  M )  <  L
)
104100, 103syl6ibr 227 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( L  <_  M  ->  -.  ( k  +  M )  <  ( # `
 A ) ) )
105104ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  NN0  ->  ( L  <_  M  ->  -.  ( k  +  M )  <  ( # `
 A ) ) ) )
106105com23 78 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( L  <_  M  ->  ( k  e.  NN0  ->  -.  ( k  +  M )  <  ( # `
 A ) ) ) )
1071063adant2 1002 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( L  <_  M  ->  (
k  e.  NN0  ->  -.  ( k  +  M
)  <  ( # `  A
) ) ) )
108107com12 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  <_  M  ->  (
( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  NN0  ->  -.  ( k  +  M )  <  ( # `
 A ) ) ) )
109108adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  <_  M  /\  M  <_  N )  -> 
( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  NN0  ->  -.  ( k  +  M
)  <  ( # `  A
) ) ) )
110109impcom 430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  M  /\  M  <_  N ) )  ->  ( k  e.  NN0  ->  -.  (
k  +  M )  <  ( # `  A
) ) )
11126, 110sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( L ... N )  ->  (
k  e.  NN0  ->  -.  ( k  +  M
)  <  ( # `  A
) ) )
112111ad2antrl 722 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( k  e.  NN0  ->  -.  (
k  +  M )  <  ( # `  A
) ) )
11370, 112syl5com 30 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L
)  -  ( M  -  L ) ) )  ->  ( (
( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  -.  (
k  +  M )  <  ( # `  A
) ) )
114113impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  -.  (
k  +  M )  <  ( # `  A
) )
115 iffalse 3796 . . . . . 6  |-  ( -.  ( k  +  M
)  <  ( # `  A
)  ->  if (
( k  +  M
)  <  ( # `  A
) ,  ( A `
 ( k  +  M ) ) ,  ( B `  (
( k  +  M
)  -  ( # `  A ) ) ) )  =  ( B `
 ( ( k  +  M )  -  ( # `  A ) ) ) )
116114, 115syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  if (
( k  +  M
)  <  ( # `  A
) ,  ( A `
 ( k  +  M ) ) ,  ( B `  (
( k  +  M
)  -  ( # `  A ) ) ) )  =  ( B `
 ( ( k  +  M )  -  ( # `  A ) ) ) )
117 zcn 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  CC )
118117adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  k  e.  CC )
11928adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  M  e.  CC )
120119adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  M  e.  CC )
12129ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  L  e.  CC )
122118, 120, 121addsubassd 9735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( k  +  M )  -  L )  =  ( k  +  ( M  -  L ) ) )
123 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  ( (
k  +  M )  -  L )  =  ( ( k  +  M )  -  ( # `
 A ) ) )
124123eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  ( (
( k  +  M
)  -  L )  =  ( k  +  ( M  -  L
) )  <->  ( (
k  +  M )  -  ( # `  A
) )  =  ( k  +  ( M  -  L ) ) ) )
125122, 124syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  ( (
( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( k  +  M )  -  ( # `  A ) )  =  ( k  +  ( M  -  L ) ) ) )
1261, 125ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( k  +  M )  -  ( # `  A ) )  =  ( k  +  ( M  -  L ) ) )
127126ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ZZ  ->  ( ( k  +  M )  -  ( # `
 A ) )  =  ( k  +  ( M  -  L
) ) ) )
1281273adant2 1002 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( ( k  +  M
)  -  ( # `  A ) )  =  ( k  +  ( M  -  L ) ) ) )
129128adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  M  /\  M  <_  N ) )  ->  ( k  e.  ZZ  ->  ( (
k  +  M )  -  ( # `  A
) )  =  ( k  +  ( M  -  L ) ) ) )
13026, 129sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( L ... N )  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( ( k  +  M
)  -  ( # `  A ) )  =  ( k  +  ( M  -  L ) ) ) )
131130ad2antrl 722 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( k  e.  ZZ  ->  ( (
k  +  M )  -  ( # `  A
) )  =  ( k  +  ( M  -  L ) ) ) )
13258, 131syl5com 30 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L
)  -  ( M  -  L ) ) )  ->  ( (
( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( (
k  +  M )  -  ( # `  A
) )  =  ( k  +  ( M  -  L ) ) ) )
133132impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  ( (
k  +  M )  -  ( # `  A
) )  =  ( k  +  ( M  -  L ) ) )
134133fveq2d 5692 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  ( B `  ( ( k  +  M )  -  ( # `
 A ) ) )  =  ( B `
 ( k  +  ( M  -  L
) ) ) )
13569, 116, 1343eqtrd 2477 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  ( ( A concat  B ) `  (
k  +  M ) )  =  ( B `
 ( k  +  ( M  -  L
) ) ) )
136 ccatcl 12270 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( A concat  B )  e. Word  V )
137136ad2antrr 720 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  ( A concat  B )  e. Word  V )
1381, 12syl5eqel 2525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  L  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
139 fzss1 11493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( L ... N )  C_  (
0 ... N ) )
14010, 138, 1393syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e. Word  V  ->  ( L ... N )  C_  ( 0 ... N
) )
141140sseld 3352 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e. Word  V  ->  ( M  e.  ( L ... N )  ->  M  e.  ( 0 ... N
) ) )
142141adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( M  e.  ( L ... N )  ->  M  e.  ( 0 ... N ) ) )
143142com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( L ... N )  ->  (
( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  M  e.  ( 0 ... N ) ) )
144143adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( L ... N )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  ->  M  e.  ( 0 ... N
) ) )
145144impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  M  e.  ( 0 ... N
) )
146145adantr 462 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  M  e.  ( 0 ... N
) )
1471, 7ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `
 B ) ) )  <->  N  e.  (
( # `  A ) ... ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) )
14810, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e. Word  V  ->  ( # `
 A )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
149148adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( # `  A
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
150149, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( ( # `  A
) ... ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) )  C_  (
0 ... ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) )
151150sseld 3352 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( N  e.  ( ( # `  A
) ... ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) )  ->  N  e.  ( 0 ... (
( # `  A )  +  ( # `  B
) ) ) ) )
152151impcom 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( (
# `  A ) ... ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) )  /\  ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
) )  ->  N  e.  ( 0 ... (
( # `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )
153 ccatlen 12271 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( # `  ( A concat  B ) )  =  ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) )
154153oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( 0 ... ( # `
 ( A concat  B
) ) )  =  ( 0 ... (
( # `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )
155154eleq2d 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( N  e.  ( 0 ... ( # `  ( A concat  B ) ) )  <->  N  e.  ( 0 ... (
( # `  A )  +  ( # `  B
) ) ) ) )
156155adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( (
# `  A ) ... ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) )  /\  ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
) )  ->  ( N  e.  ( 0 ... ( # `  ( A concat  B ) ) )  <-> 
N  e.  ( 0 ... ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) ) )
157152, 156mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( (
# `  A ) ... ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) )  /\  ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
) )  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `
 ( A concat  B
) ) ) )
158157ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ( # `  A ) ... (
( # `  A )  +  ( # `  B
) ) )  -> 
( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `
 ( A concat  B
) ) ) ) )
159147, 158sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `
 B ) ) )  ->  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `
 ( A concat  B
) ) ) ) )
160159adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( L ... N )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `
 ( A concat  B
) ) ) ) )
161160impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `
 ( A concat  B
) ) ) )
162161adantr 462 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `
 ( A concat  B
) ) ) )
163 fzmmmeqm 11488 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( L ... N )  ->  (
( N  -  L
)  -  ( M  -  L ) )  =  ( N  -  M ) )
164163oveq2d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( L ... N )  ->  (
0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L
) ) )  =  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )
165164eleq2d 2508 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( L ... N )  ->  (
k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L )
) )  <->  k  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) ) )
166165biimpd 207 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( L ... N )  ->  (
k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L )
) )  ->  k  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) ) )
167166ad2antrl 722 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) )  ->  k  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) ) )
168167imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  k  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )
169 swrdfv 12316 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A concat  B
)  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  ( A concat  B ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )  ->  ( (
( A concat  B ) substr  <. M ,  N >. ) `
 k )  =  ( ( A concat  B
) `  ( k  +  M ) ) )
170137, 146, 162, 168, 169syl31anc 1216 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  ( (
( A concat  B ) substr  <. M ,  N >. ) `
 k )  =  ( ( A concat  B
) `  ( k  +  M ) ) )
17146, 49syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e. Word  V  ->  ( N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) )  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) ) ) )
172171adantl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) )  -> 
( N  -  L
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) ) ) )
173172com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `
 B ) ) )  ->  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) ) ) )
174173adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( L ... N )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  B ) ) ) )
175174impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  B ) ) )
17642, 44, 1753jca 1163 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( B  e. Word  V  /\  ( M  -  L )  e.  ( 0 ... ( N  -  L )
)  /\  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  B ) ) ) )
177 swrdfv 12316 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e. Word  V  /\  ( M  -  L
)  e.  ( 0 ... ( N  -  L ) )  /\  ( N  -  L
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L )
) ) )  -> 
( ( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L ) >. ) `  k )  =  ( B `  ( k  +  ( M  -  L ) ) ) )
178176, 177sylan 468 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  ( ( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L )
>. ) `  k )  =  ( B `  ( k  +  ( M  -  L ) ) ) )
179135, 170, 1783eqtr4d 2483 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  ( (
( A concat  B ) substr  <. M ,  N >. ) `
 k )  =  ( ( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L ) >. ) `  k ) )
18040, 55, 179eqfnfvd 5797 . 2  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( A concat  B ) substr  <. M ,  N >. )  =  ( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L )
>. ) )
181180ex 434 1  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( ( A concat  B ) substr  <. M ,  N >. )  =  ( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L )
>. ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    C_ wss 3325   ifcif 3788   <.cop 3880   class class class wbr 4289    Fn wfn 5410   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278    + caddc 9281    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   ...cfz 11433  ..^cfzo 11544   #chash 12099  Word cword 12217   concat cconcat 12219   substr csubstr 12221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-hash 12100  df-word 12225  df-concat 12227  df-substr 12229
This theorem is referenced by:  swrdccat3  12379  swrdccatin2d  12387
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