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Theorem swrdccatin2 12706
Description: The subword of a concatenation of two words within the second of the concatenated words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 28-Mar-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 27-May-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
swrdccatin12.l  |-  L  =  ( # `  A
)
Assertion
Ref Expression
swrdccatin2  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( ( A ++  B ) substr  <. M ,  N >. )  =  ( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L )
>. ) ) )

Proof of Theorem swrdccatin2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 swrdccatin12.l . . . . . . . 8  |-  L  =  ( # `  A
)
2 oveq1 6277 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  ( L ... N )  =  ( ( # `  A
) ... N ) )
32eleq2d 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  ( M  e.  ( L ... N
)  <->  M  e.  (
( # `  A ) ... N ) ) )
4 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  L  =  ( # `  A ) )
5 oveq1 6277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  ( L  +  ( # `  B
) )  =  ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) )
64, 5oveq12d 6288 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) )  =  ( ( # `  A
) ... ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) )
76eleq2d 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  ( N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) )  <->  N  e.  ( ( # `  A
) ... ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) ) )
83, 7anbi12d 708 . . . . . . . 8  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  ( ( M  e.  ( L ... N )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  <-> 
( M  e.  ( ( # `  A
) ... N )  /\  N  e.  ( ( # `
 A ) ... ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) ) ) ) )
91, 8ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( L ... N )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  <->  ( M  e.  ( ( # `  A
) ... N )  /\  N  e.  ( ( # `
 A ) ... ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) ) ) )
10 lencl 12552 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e. Word  V  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
11 elnn0uz 11119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  <->  ( # `  A
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
1211biimpi 194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( # `  A
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
13 fzss1 11726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  A )  e.  ( ZZ>= `  0 )  ->  ( ( # `  A
) ... N )  C_  ( 0 ... N
) )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 A ) ... N )  C_  (
0 ... N ) )
1514sseld 3488 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( M  e.  ( ( # `  A
) ... N )  ->  M  e.  ( 0 ... N ) ) )
16 fzss1 11726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  A )  e.  ( ZZ>= `  0 )  ->  ( ( # `  A
) ... ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) )  C_  (
0 ... ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) )
1712, 16syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 A ) ... ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) ) 
C_  ( 0 ... ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) ) )
1817sseld 3488 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( N  e.  ( ( # `  A
) ... ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) )  ->  N  e.  ( 0 ... (
( # `  A )  +  ( # `  B
) ) ) ) )
1915, 18anim12d 561 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( ( M  e.  ( ( # `
 A ) ... N )  /\  N  e.  ( ( # `  A
) ... ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) ) ) ) )
2010, 19syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e. Word  V  ->  (
( M  e.  ( ( # `  A
) ... N )  /\  N  e.  ( ( # `
 A ) ... ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) ) )  ->  ( M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... (
( # `  A )  +  ( # `  B
) ) ) ) ) )
2120adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( ( M  e.  ( ( # `  A
) ... N )  /\  N  e.  ( ( # `
 A ) ... ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) ) )  ->  ( M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... (
( # `  A )  +  ( # `  B
) ) ) ) ) )
229, 21syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... (
( # `  A )  +  ( # `  B
) ) ) ) ) )
2322imp 427 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... (
( # `  A )  +  ( # `  B
) ) ) ) )
24 swrdccatfn 12701 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... (
( # `  A )  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( A ++  B ) substr  <. M ,  N >. )  Fn  (
0..^ ( N  -  M ) ) )
2523, 24syldan 468 . . . 4  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( A ++  B ) substr  <. M ,  N >. )  Fn  (
0..^ ( N  -  M ) ) )
26 elfz2 11682 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( L ... N )  <->  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  M  /\  M  <_  N ) ) )
27 zcn 10865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
28 zcn 10865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
29 zcn 10865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  CC )
3027, 28, 293anim123i 1179 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  L  e.  CC ) )
31303comr 1202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  L  e.  CC ) )
3231adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  M  /\  M  <_  N ) )  ->  ( N  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  L  e.  CC ) )
3326, 32sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( L ... N )  ->  ( N  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  L  e.  CC ) )
3433adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( L ... N )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( N  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  L  e.  CC )
)
35 nnncan2 9847 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  L  e.  CC )  ->  (
( N  -  L
)  -  ( M  -  L ) )  =  ( N  -  M ) )
3634, 35syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( L ... N )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( ( N  -  L )  -  ( M  -  L )
)  =  ( N  -  M ) )
3736adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) )  =  ( N  -  M
) )
3837oveq2d 6286 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L )
) )  =  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )
3938fneq2d 5654 . . . 4  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( (
( A ++  B ) substr  <. M ,  N >. )  Fn  ( 0..^ ( ( N  -  L
)  -  ( M  -  L ) ) )  <->  ( ( A ++  B ) substr  <. M ,  N >. )  Fn  (
0..^ ( N  -  M ) ) ) )
4025, 39mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( A ++  B ) substr  <. M ,  N >. )  Fn  (
0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L
) ) ) )
41 simpr 459 . . . . 5  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  B  e. Word  V )
4241adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  B  e. Word  V )
43 elfzmlbm 11788 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( L ... N )  ->  ( M  -  L )  e.  ( 0 ... ( N  -  L )
) )
4443ad2antrl 725 . . . 4  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( M  -  L )  e.  ( 0 ... ( N  -  L ) ) )
45 lencl 12552 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e. Word  V  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
4645nn0zd 10963 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e. Word  V  ->  ( # `
 B )  e.  ZZ )
4746adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( # `  B
)  e.  ZZ )
48 elfzmlbp 11790 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( # `  B
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( N  -  L
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) ) )
4948ex 432 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  B )  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) )  -> 
( N  -  L
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) ) ) )
5047, 49syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) )  -> 
( N  -  L
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) ) ) )
5150com12 31 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `
 B ) ) )  ->  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) ) ) )
5251adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( L ... N )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  B ) ) ) )
5352impcom 428 . . . 4  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  B ) ) )
54 swrdvalfn 12645 . . . 4  |-  ( ( B  e. Word  V  /\  ( M  -  L
)  e.  ( 0 ... ( N  -  L ) )  /\  ( N  -  L
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) ) )  -> 
( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L
) >. )  Fn  (
0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L
) ) ) )
5542, 44, 53, 54syl3anc 1226 . . 3  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( B substr  <.
( M  -  L
) ,  ( N  -  L ) >.
)  Fn  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L )
) ) )
56 simpl 455 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V ) )
5756adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V ) )
58 elfzoelz 11804 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L
)  -  ( M  -  L ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
59 elfzelz 11691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( L ... N )  ->  M  e.  ZZ )
60 zaddcl 10900 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( k  +  M
)  e.  ZZ )
6160expcom 433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( k  +  M )  e.  ZZ ) )
6259, 61syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( L ... N )  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( k  +  M )  e.  ZZ ) )
6362ad2antrl 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( k  e.  ZZ  ->  ( k  +  M )  e.  ZZ ) )
6458, 63syl5com 30 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L
)  -  ( M  -  L ) ) )  ->  ( (
( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( k  +  M )  e.  ZZ ) )
6564impcom 428 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  ( k  +  M )  e.  ZZ )
66 df-3an 973 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  (
k  +  M )  e.  ZZ )  <->  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  (
k  +  M )  e.  ZZ ) )
6757, 65, 66sylanbrc 662 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  ( k  +  M )  e.  ZZ ) )
68 ccatsymb 12592 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  (
k  +  M )  e.  ZZ )  -> 
( ( A ++  B
) `  ( k  +  M ) )  =  if ( ( k  +  M )  < 
( # `  A ) ,  ( A `  ( k  +  M
) ) ,  ( B `  ( ( k  +  M )  -  ( # `  A
) ) ) ) )
6967, 68syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  ( ( A ++  B ) `  (
k  +  M ) )  =  if ( ( k  +  M
)  <  ( # `  A
) ,  ( A `
 ( k  +  M ) ) ,  ( B `  (
( k  +  M
)  -  ( # `  A ) ) ) ) )
70 elfzonn0 11844 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L
)  -  ( M  -  L ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
71 zre 10864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  RR )
72 zre 10864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
7371, 72anim12i 564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )
74 elnn0z 10873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  <->  ( k  e.  ZZ  /\  0  <_ 
k ) )
75 zre 10864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  RR )
76 0red 9586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( M  e.  RR  ->  0  e.  RR )
7776anim1i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( 0  e.  RR  /\  L  e.  RR ) )
7877ancoms 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( 0  e.  RR  /\  L  e.  RR ) )
7978adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )  ->  ( 0  e.  RR  /\  L  e.  RR ) )
80 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  M  e.  RR )
8180anim2i 567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )  ->  ( k  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )
82 le2add 10030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( 0  e.  RR  /\  L  e.  RR )  /\  ( k  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )  -> 
( ( 0  <_ 
k  /\  L  <_  M )  ->  ( 0  +  L )  <_ 
( k  +  M
) ) )
8379, 81, 82syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )  ->  ( (
0  <_  k  /\  L  <_  M )  -> 
( 0  +  L
)  <_  ( k  +  M ) ) )
84 recn 9571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( L  e.  RR  ->  L  e.  CC )
8584addid2d 9770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( L  e.  RR  ->  (
0  +  L )  =  L )
8685ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )  ->  ( 0  +  L )  =  L )
8786breq1d 4449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )  ->  ( (
0  +  L )  <_  ( k  +  M )  <->  L  <_  ( k  +  M ) ) )
8883, 87sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )  ->  ( (
0  <_  k  /\  L  <_  M )  ->  L  <_  ( k  +  M ) ) )
89 simpl 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  L  e.  RR )
9089adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )  ->  L  e.  RR )
91 readdcl 9564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( k  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( k  +  M
)  e.  RR )
9281, 91syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )  ->  ( k  +  M )  e.  RR )
9390, 92lenltd 9720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )  ->  ( L  <_  ( k  +  M
)  <->  -.  ( k  +  M )  <  L
) )
9488, 93sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )  ->  ( (
0  <_  k  /\  L  <_  M )  ->  -.  ( k  +  M
)  <  L )
)
9594expd 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )  ->  ( 0  <_  k  ->  ( L  <_  M  ->  -.  ( k  +  M
)  <  L )
) )
9695com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 0  <_  k  ->  (
( k  e.  RR  /\  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )  ->  ( L  <_  M  ->  -.  (
k  +  M )  <  L ) ) )
9796expd 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0  <_  k  ->  (
k  e.  RR  ->  ( ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( L  <_  M  ->  -.  ( k  +  M )  <  L
) ) ) )
9875, 97mpan9 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  0  <_  k )  -> 
( ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( L  <_  M  ->  -.  ( k  +  M
)  <  L )
) )
9974, 98sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( L  <_  M  ->  -.  ( k  +  M )  <  L
) ) )
10073, 99mpan9 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( L  <_  M  ->  -.  ( k  +  M )  <  L
) )
1011eqcomi 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( # `  A )  =  L
102101breq2i 4447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  +  M )  <  ( # `  A
)  <->  ( k  +  M )  <  L
)
103102notbii 294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( k  +  M
)  <  ( # `  A
)  <->  -.  ( k  +  M )  <  L
)
104100, 103syl6ibr 227 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( L  <_  M  ->  -.  ( k  +  M )  <  ( # `
 A ) ) )
105104ex 432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  NN0  ->  ( L  <_  M  ->  -.  ( k  +  M )  <  ( # `
 A ) ) ) )
106105com23 78 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( L  <_  M  ->  ( k  e.  NN0  ->  -.  ( k  +  M )  <  ( # `
 A ) ) ) )
1071063adant2 1013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( L  <_  M  ->  (
k  e.  NN0  ->  -.  ( k  +  M
)  <  ( # `  A
) ) ) )
108107com12 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  <_  M  ->  (
( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  NN0  ->  -.  ( k  +  M )  <  ( # `
 A ) ) ) )
109108adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  <_  M  /\  M  <_  N )  -> 
( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  NN0  ->  -.  ( k  +  M
)  <  ( # `  A
) ) ) )
110109impcom 428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  M  /\  M  <_  N ) )  ->  ( k  e.  NN0  ->  -.  (
k  +  M )  <  ( # `  A
) ) )
11126, 110sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( L ... N )  ->  (
k  e.  NN0  ->  -.  ( k  +  M
)  <  ( # `  A
) ) )
112111ad2antrl 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( k  e.  NN0  ->  -.  (
k  +  M )  <  ( # `  A
) ) )
11370, 112syl5com 30 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L
)  -  ( M  -  L ) ) )  ->  ( (
( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  -.  (
k  +  M )  <  ( # `  A
) ) )
114113impcom 428 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  -.  (
k  +  M )  <  ( # `  A
) )
115114iffalsed 3940 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  if (
( k  +  M
)  <  ( # `  A
) ,  ( A `
 ( k  +  M ) ) ,  ( B `  (
( k  +  M
)  -  ( # `  A ) ) ) )  =  ( B `
 ( ( k  +  M )  -  ( # `  A ) ) ) )
116 zcn 10865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  CC )
117116adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  k  e.  CC )
11828adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  M  e.  CC )
119118adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  M  e.  CC )
12029ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  L  e.  CC )
121117, 119, 120addsubassd 9942 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( k  +  M )  -  L )  =  ( k  +  ( M  -  L ) ) )
122 oveq2 6278 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  ( (
k  +  M )  -  L )  =  ( ( k  +  M )  -  ( # `
 A ) ) )
123122eqeq1d 2456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  ( (
( k  +  M
)  -  L )  =  ( k  +  ( M  -  L
) )  <->  ( (
k  +  M )  -  ( # `  A
) )  =  ( k  +  ( M  -  L ) ) ) )
124121, 123syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  ( (
( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( k  +  M )  -  ( # `  A ) )  =  ( k  +  ( M  -  L ) ) ) )
1251, 124ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( k  +  M )  -  ( # `  A ) )  =  ( k  +  ( M  -  L ) ) )
126125ex 432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ZZ  ->  ( ( k  +  M )  -  ( # `
 A ) )  =  ( k  +  ( M  -  L
) ) ) )
1271263adant2 1013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( ( k  +  M
)  -  ( # `  A ) )  =  ( k  +  ( M  -  L ) ) ) )
128127adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  M  /\  M  <_  N ) )  ->  ( k  e.  ZZ  ->  ( (
k  +  M )  -  ( # `  A
) )  =  ( k  +  ( M  -  L ) ) ) )
12926, 128sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( L ... N )  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( ( k  +  M
)  -  ( # `  A ) )  =  ( k  +  ( M  -  L ) ) ) )
130129ad2antrl 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( k  e.  ZZ  ->  ( (
k  +  M )  -  ( # `  A
) )  =  ( k  +  ( M  -  L ) ) ) )
13158, 130syl5com 30 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L
)  -  ( M  -  L ) ) )  ->  ( (
( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( (
k  +  M )  -  ( # `  A
) )  =  ( k  +  ( M  -  L ) ) ) )
132131impcom 428 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  ( (
k  +  M )  -  ( # `  A
) )  =  ( k  +  ( M  -  L ) ) )
133132fveq2d 5852 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  ( B `  ( ( k  +  M )  -  ( # `
 A ) ) )  =  ( B `
 ( k  +  ( M  -  L
) ) ) )
13469, 115, 1333eqtrd 2499 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  ( ( A ++  B ) `  (
k  +  M ) )  =  ( B `
 ( k  +  ( M  -  L
) ) ) )
135 ccatcl 12585 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( A ++  B )  e. Word  V )
136135ad2antrr 723 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  ( A ++  B )  e. Word  V
)
1371, 12syl5eqel 2546 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  L  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
138 fzss1 11726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( L ... N )  C_  (
0 ... N ) )
13910, 137, 1383syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e. Word  V  ->  ( L ... N )  C_  ( 0 ... N
) )
140139sseld 3488 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e. Word  V  ->  ( M  e.  ( L ... N )  ->  M  e.  ( 0 ... N
) ) )
141140adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( M  e.  ( L ... N )  ->  M  e.  ( 0 ... N ) ) )
142141com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( L ... N )  ->  (
( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  M  e.  ( 0 ... N ) ) )
143142adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( L ... N )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  ->  M  e.  ( 0 ... N
) ) )
144143impcom 428 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  M  e.  ( 0 ... N
) )
145144adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  M  e.  ( 0 ... N
) )
1461, 7ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `
 B ) ) )  <->  N  e.  (
( # `  A ) ... ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) )
14710, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e. Word  V  ->  ( # `
 A )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
148147adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( # `  A
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
149148, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( ( # `  A
) ... ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) )  C_  (
0 ... ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) )
150149sseld 3488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( N  e.  ( ( # `  A
) ... ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) )  ->  N  e.  ( 0 ... (
( # `  A )  +  ( # `  B
) ) ) ) )
151150impcom 428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( (
# `  A ) ... ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) )  /\  ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
) )  ->  N  e.  ( 0 ... (
( # `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )
152 ccatlen 12586 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( # `  ( A ++  B ) )  =  ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) )
153152oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( 0 ... ( # `
 ( A ++  B
) ) )  =  ( 0 ... (
( # `  A )  +  ( # `  B
) ) ) )
154153eleq2d 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( N  e.  ( 0 ... ( # `  ( A ++  B ) ) )  <->  N  e.  ( 0 ... (
( # `  A )  +  ( # `  B
) ) ) ) )
155154adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( (
# `  A ) ... ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) )  /\  ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
) )  ->  ( N  e.  ( 0 ... ( # `  ( A ++  B ) ) )  <-> 
N  e.  ( 0 ... ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) ) )
156151, 155mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( (
# `  A ) ... ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) )  /\  ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
) )  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `
 ( A ++  B
) ) ) )
157156ex 432 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ( # `  A ) ... (
( # `  A )  +  ( # `  B
) ) )  -> 
( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `
 ( A ++  B
) ) ) ) )
158146, 157sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `
 B ) ) )  ->  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `
 ( A ++  B
) ) ) ) )
159158adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( L ... N )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `
 ( A ++  B
) ) ) ) )
160159impcom 428 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `
 ( A ++  B
) ) ) )
161160adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  N  e.  ( 0 ... ( # `
 ( A ++  B
) ) ) )
162 fzmmmeqm 11721 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( L ... N )  ->  (
( N  -  L
)  -  ( M  -  L ) )  =  ( N  -  M ) )
163162oveq2d 6286 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( L ... N )  ->  (
0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L
) ) )  =  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )
164163eleq2d 2524 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( L ... N )  ->  (
k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L )
) )  <->  k  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) ) )
165164biimpd 207 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( L ... N )  ->  (
k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L )
) )  ->  k  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) ) )
166165ad2antrl 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) )  ->  k  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) ) )
167166imp 427 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  k  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )
168 swrdfv 12643 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A ++  B
)  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  ( A ++  B ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )  ->  ( (
( A ++  B ) substr  <. M ,  N >. ) `
 k )  =  ( ( A ++  B
) `  ( k  +  M ) ) )
169136, 145, 161, 167, 168syl31anc 1229 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  ( (
( A ++  B ) substr  <. M ,  N >. ) `
 k )  =  ( ( A ++  B
) `  ( k  +  M ) ) )
17046, 49syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e. Word  V  ->  ( N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) )  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) ) ) )
171170adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) )  -> 
( N  -  L
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) ) ) )
172171com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `
 B ) ) )  ->  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) ) ) )
173172adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( L ... N )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  B ) ) ) )
174173impcom 428 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  B ) ) )
17542, 44, 1743jca 1174 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( B  e. Word  V  /\  ( M  -  L )  e.  ( 0 ... ( N  -  L )
)  /\  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  B ) ) ) )
176 swrdfv 12643 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e. Word  V  /\  ( M  -  L
)  e.  ( 0 ... ( N  -  L ) )  /\  ( N  -  L
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L )
) ) )  -> 
( ( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L ) >. ) `  k )  =  ( B `  ( k  +  ( M  -  L ) ) ) )
177175, 176sylan 469 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  ( ( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L )
>. ) `  k )  =  ( B `  ( k  +  ( M  -  L ) ) ) )
178134, 169, 1773eqtr4d 2505 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  k  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  ( M  -  L ) ) ) )  ->  ( (
( A ++  B ) substr  <. M ,  N >. ) `
 k )  =  ( ( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L ) >. ) `  k ) )
17940, 55, 178eqfnfvd 5960 . 2  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( A ++  B ) substr  <. M ,  N >. )  =  ( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L )
>. ) )
180179ex 432 1  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( ( M  e.  ( L ... N
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( ( A ++  B ) substr  <. M ,  N >. )  =  ( B substr  <. ( M  -  L ) ,  ( N  -  L )
>. ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    C_ wss 3461   ifcif 3929   <.cop 4022   class class class wbr 4439    Fn wfn 5565   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481    + caddc 9484    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11675  ..^cfzo 11799   #chash 12390  Word cword 12521   ++ cconcat 12523   substr csubstr 12525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-hash 12391  df-word 12529  df-concat 12531  df-substr 12533
This theorem is referenced by:  swrdccat3  12711  swrdccatin2d  12719  pfxccat3  32673
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