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Theorem swrdccatin12lem3 12626
Description: Lemma 3 for swrdccatin12 12627. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 27-May-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
swrdccatin12.l  |-  L  =  ( # `  A
)
Assertion
Ref Expression
swrdccatin12lem3  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) )  ->  ( (
( A ++  B ) substr  <. M ,  N >. ) `
 K )  =  ( ( A substr  <. M ,  L >. ) `  K
) ) )

Proof of Theorem swrdccatin12lem3
StepHypRef Expression
1 simpll 751 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V ) )
2 elfzo0 11758 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) )  <->  ( K  e. 
NN0  /\  ( L  -  M )  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) ) )
3 swrdccatin12.l . . . . . . . . . . . . 13  |-  L  =  ( # `  A
)
4 lencl 12469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e. Word  V  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
5 elfz2nn0 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  ( 0 ... L )  <->  ( M  e.  NN0  /\  L  e. 
NN0  /\  M  <_  L ) )
6 nn0addcl 10748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( K  +  M
)  e.  NN0 )
76ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( K  +  M )  e. 
NN0 ) )
873ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M
)  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) )  -> 
( M  e.  NN0  ->  ( K  +  M
)  e.  NN0 )
)
98com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M
)  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) )  -> 
( K  +  M
)  e.  NN0 )
)
1093ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  ->  (
( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M
)  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) )  -> 
( K  +  M
)  e.  NN0 )
)
1110imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  /\  ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M
)  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) ) )  ->  ( K  +  M )  e.  NN0 )
12 elnnz 10791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( L  -  M )  e.  NN  <->  ( ( L  -  M )  e.  ZZ  /\  0  < 
( L  -  M
) ) )
13 nn0re 10721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
14 nn0re 10721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( L  e.  NN0  ->  L  e.  RR )
15 posdif 9963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( M  <  L  <->  0  <  ( L  -  M ) ) )
1613, 14, 15syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( M  <  L  <->  0  <  ( L  -  M ) ) )
17 elnn0z 10794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( M  e.  NN0  <->  ( M  e.  ZZ  /\  0  <_  M ) )
18 0red 9508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  L  e.  NN0 )  -> 
0  e.  RR )
19 zre 10785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
2019adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  L  e.  NN0 )  ->  M  e.  RR )
2114adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  L  e.  NN0 )  ->  L  e.  RR )
22 lelttr 9586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  M  /\  M  <  L )  ->  0  <  L
) )
2318, 20, 21, 22syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( ( 0  <_  M  /\  M  <  L
)  ->  0  <  L ) )
24 nn0z 10804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( L  e.  NN0  ->  L  e.  ZZ )
2524anim1i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  0  <  L )  -> 
( L  e.  ZZ  /\  0  <  L ) )
26 elnnz 10791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( L  e.  NN  <->  ( L  e.  ZZ  /\  0  < 
L ) )
2725, 26sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  0  <  L )  ->  L  e.  NN )
2827ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( L  e.  NN0  ->  ( 0  <  L  ->  L  e.  NN ) )
2928adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( 0  <  L  ->  L  e.  NN ) )
3023, 29syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( ( 0  <_  M  /\  M  <  L
)  ->  L  e.  NN ) )
3130expd 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( 0  <_  M  ->  ( M  <  L  ->  L  e.  NN ) ) )
3231impancom 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  0  <_  M )  -> 
( L  e.  NN0  ->  ( M  <  L  ->  L  e.  NN ) ) )
3317, 32sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( L  e.  NN0  ->  ( M  <  L  ->  L  e.  NN ) ) )
3433imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( M  <  L  ->  L  e.  NN ) )
3516, 34sylbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( 0  <  ( L  -  M )  ->  L  e.  NN ) )
3635com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( 0  <  ( L  -  M )  ->  (
( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  ->  L  e.  NN ) )
3736adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( L  -  M
)  e.  ZZ  /\  0  <  ( L  -  M ) )  -> 
( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 )  ->  L  e.  NN ) )
3812, 37sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( L  -  M )  e.  NN  ->  (
( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  ->  L  e.  NN ) )
39383ad2ant2 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M
)  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) )  -> 
( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 )  ->  L  e.  NN ) )
4039com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( ( K  e. 
NN0  /\  ( L  -  M )  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) )  ->  L  e.  NN ) )
41403adant3 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  ->  (
( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M
)  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) )  ->  L  e.  NN )
)
4241imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  /\  ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M
)  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) ) )  ->  L  e.  NN )
43 nn0re 10721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  RR )
4443adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L ) )  ->  K  e.  RR )
45133ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  ->  M  e.  RR )
4645adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L ) )  ->  M  e.  RR )
47143ad2ant2 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  ->  L  e.  RR )
4847adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L ) )  ->  L  e.  RR )
4944, 46, 48ltaddsubd 10069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L ) )  ->  ( ( K  +  M )  < 
L  <->  K  <  ( L  -  M ) ) )
5049exbiri 620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  ->  ( K  <  ( L  -  M )  ->  ( K  +  M )  <  L ) ) )
5150com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( K  <  ( L  -  M )  ->  (
( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  -> 
( K  +  M
)  <  L )
) )
5251imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  K  <  ( L  -  M ) )  -> 
( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 
/\  M  <_  L
)  ->  ( K  +  M )  <  L
) )
53523adant2 1013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M
)  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) )  -> 
( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 
/\  M  <_  L
)  ->  ( K  +  M )  <  L
) )
5453impcom 428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  /\  ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M
)  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) ) )  ->  ( K  +  M )  <  L
)
5511, 42, 543jca 1174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  /\  ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M
)  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) ) )  ->  ( ( K  +  M )  e. 
NN0  /\  L  e.  NN  /\  ( K  +  M )  <  L
) )
5655ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  ->  (
( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M
)  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) )  -> 
( ( K  +  M )  e.  NN0  /\  L  e.  NN  /\  ( K  +  M
)  <  L )
) )
5756a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  ->  ( N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) )  ->  (
( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M
)  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) )  -> 
( ( K  +  M )  e.  NN0  /\  L  e.  NN  /\  ( K  +  M
)  <  L )
) ) )
585, 57sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  ( 0 ... L )  ->  ( N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) )  ->  (
( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M
)  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) )  -> 
( ( K  +  M )  e.  NN0  /\  L  e.  NN  /\  ( K  +  M
)  <  L )
) ) )
5958imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( ( K  e. 
NN0  /\  ( L  -  M )  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) )  ->  ( ( K  +  M )  e. 
NN0  /\  L  e.  NN  /\  ( K  +  M )  <  L
) ) )
6059a1ii 27 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  A )  =  L  ->  ( L  e.  NN0  ->  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( ( K  e. 
NN0  /\  ( L  -  M )  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) )  ->  ( ( K  +  M )  e. 
NN0  /\  L  e.  NN  /\  ( K  +  M )  <  L
) ) ) ) )
61 eleq1 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  A )  =  L  ->  ( (
# `  A )  e.  NN0  <->  L  e.  NN0 ) )
62 eleq1 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  A )  =  L  ->  ( (
# `  A )  e.  NN  <->  L  e.  NN ) )
63 breq2 4371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  A )  =  L  ->  ( ( K  +  M )  <  ( # `  A
)  <->  ( K  +  M )  <  L
) )
6462, 633anbi23d 1300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  A )  =  L  ->  ( ( ( K  +  M
)  e.  NN0  /\  ( # `  A )  e.  NN  /\  ( K  +  M )  <  ( # `  A
) )  <->  ( ( K  +  M )  e.  NN0  /\  L  e.  NN  /\  ( K  +  M )  < 
L ) ) )
6564imbi2d 314 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  A )  =  L  ->  ( ( ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M
)  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) )  -> 
( ( K  +  M )  e.  NN0  /\  ( # `  A
)  e.  NN  /\  ( K  +  M
)  <  ( # `  A
) ) )  <->  ( ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M )  e.  NN  /\  K  < 
( L  -  M
) )  ->  (
( K  +  M
)  e.  NN0  /\  L  e.  NN  /\  ( K  +  M )  <  L ) ) ) )
6665imbi2d 314 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  A )  =  L  ->  ( ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M )  e.  NN  /\  K  < 
( L  -  M
) )  ->  (
( K  +  M
)  e.  NN0  /\  ( # `  A )  e.  NN  /\  ( K  +  M )  <  ( # `  A
) ) ) )  <-> 
( ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M )  e.  NN  /\  K  < 
( L  -  M
) )  ->  (
( K  +  M
)  e.  NN0  /\  L  e.  NN  /\  ( K  +  M )  <  L ) ) ) ) )
6760, 61, 663imtr4d 268 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  A )  =  L  ->  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( ( K  e. 
NN0  /\  ( L  -  M )  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) )  ->  ( ( K  +  M )  e. 
NN0  /\  ( # `  A
)  e.  NN  /\  ( K  +  M
)  <  ( # `  A
) ) ) ) ) )
6867eqcoms 2394 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  ( ( # `
 A )  e. 
NN0  ->  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M )  e.  NN  /\  K  < 
( L  -  M
) )  ->  (
( K  +  M
)  e.  NN0  /\  ( # `  A )  e.  NN  /\  ( K  +  M )  <  ( # `  A
) ) ) ) ) )
693, 4, 68mpsyl 63 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e. Word  V  ->  (
( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M )  e.  NN  /\  K  < 
( L  -  M
) )  ->  (
( K  +  M
)  e.  NN0  /\  ( # `  A )  e.  NN  /\  ( K  +  M )  <  ( # `  A
) ) ) ) )
7069adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M )  e.  NN  /\  K  < 
( L  -  M
) )  ->  (
( K  +  M
)  e.  NN0  /\  ( # `  A )  e.  NN  /\  ( K  +  M )  <  ( # `  A
) ) ) ) )
7170imp 427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M )  e.  NN  /\  K  < 
( L  -  M
) )  ->  (
( K  +  M
)  e.  NN0  /\  ( # `  A )  e.  NN  /\  ( K  +  M )  <  ( # `  A
) ) ) )
7271com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M
)  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) )  -> 
( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) ) )  ->  ( ( K  +  M )  e. 
NN0  /\  ( # `  A
)  e.  NN  /\  ( K  +  M
)  <  ( # `  A
) ) ) )
732, 72sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) )  ->  ( (
( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( K  +  M )  e.  NN0  /\  ( # `  A )  e.  NN  /\  ( K  +  M
)  <  ( # `  A
) ) ) )
7473adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) )  ->  ( (
( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( K  +  M )  e.  NN0  /\  ( # `  A )  e.  NN  /\  ( K  +  M
)  <  ( # `  A
) ) ) )
7574impcom 428 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  (
( K  +  M
)  e.  NN0  /\  ( # `  A )  e.  NN  /\  ( K  +  M )  <  ( # `  A
) ) )
76 elfzo0 11758 . . . . . 6  |-  ( ( K  +  M )  e.  ( 0..^ (
# `  A )
)  <->  ( ( K  +  M )  e. 
NN0  /\  ( # `  A
)  e.  NN  /\  ( K  +  M
)  <  ( # `  A
) ) )
7775, 76sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  ( K  +  M )  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )
78 df-3an 973 . . . . 5  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  ( K  +  M )  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  <-> 
( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( K  +  M )  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ) )
791, 77, 78sylanbrc 662 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  ( K  +  M )  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) ) )
80 ccatval1 12504 . . . 4  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  ( K  +  M )  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  ->  ( ( A ++  B ) `  ( K  +  M )
)  =  ( A `
 ( K  +  M ) ) )
8179, 80syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  (
( A ++  B ) `
 ( K  +  M ) )  =  ( A `  ( K  +  M )
) )
823swrdccatin12lem2c 12624 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( A ++  B )  e. Word  V  /\  M  e.  (
0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  ( A ++  B ) ) ) ) )
8382adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  (
( A ++  B )  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 ( A ++  B
) ) ) ) )
84 simprl 754 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )
85 swrdfv 12560 . . . 4  |-  ( ( ( ( A ++  B
)  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  ( A ++  B ) ) ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )  ->  ( (
( A ++  B ) substr  <. M ,  N >. ) `
 K )  =  ( ( A ++  B
) `  ( K  +  M ) ) )
8683, 84, 85syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  (
( ( A ++  B
) substr  <. M ,  N >. ) `  K )  =  ( ( A ++  B ) `  ( K  +  M )
) )
87 simpll 751 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  A  e. Word  V )
8887adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  A  e. Word  V )
89 simprl 754 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  M  e.  ( 0 ... L
) )
9089adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  M  e.  ( 0 ... L
) )
913eleq1i 2459 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  NN0  <->  ( # `  A
)  e.  NN0 )
92 elnn0uz 11038 . . . . . . . . 9  |-  ( L  e.  NN0  <->  L  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )
93 eluzfz2 11615 . . . . . . . . 9  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  L  e.  ( 0 ... L
) )
9492, 93sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  NN0  ->  L  e.  ( 0 ... L
) )
953eqcomi 2395 . . . . . . . . 9  |-  ( # `  A )  =  L
9695oveq2i 6207 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... ( # `  A
) )  =  ( 0 ... L )
9794, 96syl6eleqr 2481 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  NN0  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `
 A ) ) )
9891, 97sylbir 213 . . . . . 6  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `
 A ) ) )
994, 98syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e. Word  V  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `
 A ) ) )
10099ad3antrrr 727 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `
 A ) ) )
101 simprr 755 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) )
102 swrdfv 12560 . . . 4  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  M  e.  (
0 ... L )  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  A
) ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M
) ) )  -> 
( ( A substr  <. M ,  L >. ) `  K
)  =  ( A `
 ( K  +  M ) ) )
10388, 90, 100, 101, 102syl31anc 1229 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  (
( A substr  <. M ,  L >. ) `  K
)  =  ( A `
 ( K  +  M ) ) )
10481, 86, 1033eqtr4d 2433 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  (
( ( A ++  B
) substr  <. M ,  N >. ) `  K )  =  ( ( A substr  <. M ,  L >. ) `
 K ) )
105104ex 432 1  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) )  ->  ( (
( A ++  B ) substr  <. M ,  N >. ) `
 K )  =  ( ( A substr  <. M ,  L >. ) `  K
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826   <.cop 3950   class class class wbr 4367   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   RRcr 9402   0cc0 9403    + caddc 9406    < clt 9539    <_ cle 9540    - cmin 9718   NNcn 10452   NN0cn0 10712   ZZcz 10781   ZZ>=cuz 11001   ...cfz 11593  ..^cfzo 11717   #chash 12307  Word cword 12438   ++ cconcat 12440   substr csubstr 12442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-hash 12308  df-word 12446  df-concat 12448  df-substr 12450
This theorem is referenced by:  swrdccatin12  12627  pfxccatin12  32600
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