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Theorem swrdccatin12lem3 12694
Description: Lemma 3 for swrdccatin12 12695. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 27-May-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
swrdccatin12.l  |-  L  =  ( # `  A
)
Assertion
Ref Expression
swrdccatin12lem3  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) )  ->  ( (
( A concat  B ) substr  <. M ,  N >. ) `
 K )  =  ( ( A substr  <. M ,  L >. ) `  K
) ) )

Proof of Theorem swrdccatin12lem3
StepHypRef Expression
1 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V ) )
2 elfzo0 11842 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) )  <->  ( K  e. 
NN0  /\  ( L  -  M )  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) ) )
3 swrdccatin12.l . . . . . . . . . . . . 13  |-  L  =  ( # `  A
)
4 lencl 12541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e. Word  V  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
5 elfz2nn0 11777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  ( 0 ... L )  <->  ( M  e.  NN0  /\  L  e. 
NN0  /\  M  <_  L ) )
6 nn0addcl 10837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( K  +  M
)  e.  NN0 )
76ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( K  +  M )  e. 
NN0 ) )
873ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M
)  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) )  -> 
( M  e.  NN0  ->  ( K  +  M
)  e.  NN0 )
)
98com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M
)  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) )  -> 
( K  +  M
)  e.  NN0 )
)
1093ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  ->  (
( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M
)  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) )  -> 
( K  +  M
)  e.  NN0 )
)
1110imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  /\  ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M
)  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) ) )  ->  ( K  +  M )  e.  NN0 )
12 elnnz 10880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( L  -  M )  e.  NN  <->  ( ( L  -  M )  e.  ZZ  /\  0  < 
( L  -  M
) ) )
13 nn0re 10810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
14 nn0re 10810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( L  e.  NN0  ->  L  e.  RR )
15 posdif 10051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( M  <  L  <->  0  <  ( L  -  M ) ) )
1613, 14, 15syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( M  <  L  <->  0  <  ( L  -  M ) ) )
17 elnn0z 10883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( M  e.  NN0  <->  ( M  e.  ZZ  /\  0  <_  M ) )
18 0red 9600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  L  e.  NN0 )  -> 
0  e.  RR )
19 zre 10874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
2019adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  L  e.  NN0 )  ->  M  e.  RR )
2114adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  L  e.  NN0 )  ->  L  e.  RR )
22 lelttr 9678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  M  /\  M  <  L )  ->  0  <  L
) )
2318, 20, 21, 22syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( ( 0  <_  M  /\  M  <  L
)  ->  0  <  L ) )
24 nn0z 10893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( L  e.  NN0  ->  L  e.  ZZ )
2524anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  0  <  L )  -> 
( L  e.  ZZ  /\  0  <  L ) )
26 elnnz 10880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( L  e.  NN  <->  ( L  e.  ZZ  /\  0  < 
L ) )
2725, 26sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  0  <  L )  ->  L  e.  NN )
2827ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( L  e.  NN0  ->  ( 0  <  L  ->  L  e.  NN ) )
2928adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( 0  <  L  ->  L  e.  NN ) )
3023, 29syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( ( 0  <_  M  /\  M  <  L
)  ->  L  e.  NN ) )
3130expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( 0  <_  M  ->  ( M  <  L  ->  L  e.  NN ) ) )
3231impancom 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  0  <_  M )  -> 
( L  e.  NN0  ->  ( M  <  L  ->  L  e.  NN ) ) )
3317, 32sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( L  e.  NN0  ->  ( M  <  L  ->  L  e.  NN ) ) )
3433imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( M  <  L  ->  L  e.  NN ) )
3516, 34sylbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( 0  <  ( L  -  M )  ->  L  e.  NN ) )
3635com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( 0  <  ( L  -  M )  ->  (
( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  ->  L  e.  NN ) )
3736adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( L  -  M
)  e.  ZZ  /\  0  <  ( L  -  M ) )  -> 
( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 )  ->  L  e.  NN ) )
3812, 37sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( L  -  M )  e.  NN  ->  (
( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  ->  L  e.  NN ) )
39383ad2ant2 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M
)  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) )  -> 
( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 )  ->  L  e.  NN ) )
4039com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( ( K  e. 
NN0  /\  ( L  -  M )  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) )  ->  L  e.  NN ) )
41403adant3 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  ->  (
( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M
)  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) )  ->  L  e.  NN )
)
4241imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  /\  ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M
)  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) ) )  ->  L  e.  NN )
43 nn0re 10810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  RR )
4443adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L ) )  ->  K  e.  RR )
45133ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  ->  M  e.  RR )
4645adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L ) )  ->  M  e.  RR )
47143ad2ant2 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  ->  L  e.  RR )
4847adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L ) )  ->  L  e.  RR )
4944, 46, 48ltaddsubd 10158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L ) )  ->  ( ( K  +  M )  < 
L  <->  K  <  ( L  -  M ) ) )
5049exbiri 622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  ->  ( K  <  ( L  -  M )  ->  ( K  +  M )  <  L ) ) )
5150com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( K  <  ( L  -  M )  ->  (
( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  -> 
( K  +  M
)  <  L )
) )
5251imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  K  <  ( L  -  M ) )  -> 
( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 
/\  M  <_  L
)  ->  ( K  +  M )  <  L
) )
53523adant2 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M
)  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) )  -> 
( ( M  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 
/\  M  <_  L
)  ->  ( K  +  M )  <  L
) )
5453impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  /\  ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M
)  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) ) )  ->  ( K  +  M )  <  L
)
5511, 42, 543jca 1177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  /\  ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M
)  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) ) )  ->  ( ( K  +  M )  e. 
NN0  /\  L  e.  NN  /\  ( K  +  M )  <  L
) )
5655ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  ->  (
( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M
)  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) )  -> 
( ( K  +  M )  e.  NN0  /\  L  e.  NN  /\  ( K  +  M
)  <  L )
) )
5756a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  ->  ( N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) )  ->  (
( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M
)  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) )  -> 
( ( K  +  M )  e.  NN0  /\  L  e.  NN  /\  ( K  +  M
)  <  L )
) ) )
585, 57sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  ( 0 ... L )  ->  ( N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) )  ->  (
( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M
)  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) )  -> 
( ( K  +  M )  e.  NN0  /\  L  e.  NN  /\  ( K  +  M
)  <  L )
) ) )
5958imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( ( K  e. 
NN0  /\  ( L  -  M )  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) )  ->  ( ( K  +  M )  e. 
NN0  /\  L  e.  NN  /\  ( K  +  M )  <  L
) ) )
6059a1ii 27 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  A )  =  L  ->  ( L  e.  NN0  ->  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( ( K  e. 
NN0  /\  ( L  -  M )  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) )  ->  ( ( K  +  M )  e. 
NN0  /\  L  e.  NN  /\  ( K  +  M )  <  L
) ) ) ) )
61 eleq1 2515 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  A )  =  L  ->  ( (
# `  A )  e.  NN0  <->  L  e.  NN0 ) )
62 eleq1 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  A )  =  L  ->  ( (
# `  A )  e.  NN  <->  L  e.  NN ) )
63 breq2 4441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  A )  =  L  ->  ( ( K  +  M )  <  ( # `  A
)  <->  ( K  +  M )  <  L
) )
6462, 633anbi23d 1303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  A )  =  L  ->  ( ( ( K  +  M
)  e.  NN0  /\  ( # `  A )  e.  NN  /\  ( K  +  M )  <  ( # `  A
) )  <->  ( ( K  +  M )  e.  NN0  /\  L  e.  NN  /\  ( K  +  M )  < 
L ) ) )
6564imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  A )  =  L  ->  ( ( ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M
)  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) )  -> 
( ( K  +  M )  e.  NN0  /\  ( # `  A
)  e.  NN  /\  ( K  +  M
)  <  ( # `  A
) ) )  <->  ( ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M )  e.  NN  /\  K  < 
( L  -  M
) )  ->  (
( K  +  M
)  e.  NN0  /\  L  e.  NN  /\  ( K  +  M )  <  L ) ) ) )
6665imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  A )  =  L  ->  ( ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M )  e.  NN  /\  K  < 
( L  -  M
) )  ->  (
( K  +  M
)  e.  NN0  /\  ( # `  A )  e.  NN  /\  ( K  +  M )  <  ( # `  A
) ) ) )  <-> 
( ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M )  e.  NN  /\  K  < 
( L  -  M
) )  ->  (
( K  +  M
)  e.  NN0  /\  L  e.  NN  /\  ( K  +  M )  <  L ) ) ) ) )
6760, 61, 663imtr4d 268 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  A )  =  L  ->  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( ( K  e. 
NN0  /\  ( L  -  M )  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) )  ->  ( ( K  +  M )  e. 
NN0  /\  ( # `  A
)  e.  NN  /\  ( K  +  M
)  <  ( # `  A
) ) ) ) ) )
6867eqcoms 2455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  ( ( # `
 A )  e. 
NN0  ->  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M )  e.  NN  /\  K  < 
( L  -  M
) )  ->  (
( K  +  M
)  e.  NN0  /\  ( # `  A )  e.  NN  /\  ( K  +  M )  <  ( # `  A
) ) ) ) ) )
693, 4, 68mpsyl 63 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e. Word  V  ->  (
( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M )  e.  NN  /\  K  < 
( L  -  M
) )  ->  (
( K  +  M
)  e.  NN0  /\  ( # `  A )  e.  NN  /\  ( K  +  M )  <  ( # `  A
) ) ) ) )
7069adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M )  e.  NN  /\  K  < 
( L  -  M
) )  ->  (
( K  +  M
)  e.  NN0  /\  ( # `  A )  e.  NN  /\  ( K  +  M )  <  ( # `  A
) ) ) ) )
7170imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M )  e.  NN  /\  K  < 
( L  -  M
) )  ->  (
( K  +  M
)  e.  NN0  /\  ( # `  A )  e.  NN  /\  ( K  +  M )  <  ( # `  A
) ) ) )
7271com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( L  -  M
)  e.  NN  /\  K  <  ( L  -  M ) )  -> 
( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) ) )  ->  ( ( K  +  M )  e. 
NN0  /\  ( # `  A
)  e.  NN  /\  ( K  +  M
)  <  ( # `  A
) ) ) )
732, 72sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) )  ->  ( (
( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( K  +  M )  e.  NN0  /\  ( # `  A )  e.  NN  /\  ( K  +  M
)  <  ( # `  A
) ) ) )
7473adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) )  ->  ( (
( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( K  +  M )  e.  NN0  /\  ( # `  A )  e.  NN  /\  ( K  +  M
)  <  ( # `  A
) ) ) )
7574impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  (
( K  +  M
)  e.  NN0  /\  ( # `  A )  e.  NN  /\  ( K  +  M )  <  ( # `  A
) ) )
76 elfzo0 11842 . . . . . 6  |-  ( ( K  +  M )  e.  ( 0..^ (
# `  A )
)  <->  ( ( K  +  M )  e. 
NN0  /\  ( # `  A
)  e.  NN  /\  ( K  +  M
)  <  ( # `  A
) ) )
7775, 76sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  ( K  +  M )  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )
78 df-3an 976 . . . . 5  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  ( K  +  M )  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  <-> 
( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( K  +  M )  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ) )
791, 77, 78sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  ( K  +  M )  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) ) )
80 ccatval1 12574 . . . 4  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  ( K  +  M )  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  ->  ( ( A concat  B ) `  ( K  +  M )
)  =  ( A `
 ( K  +  M ) ) )
8179, 80syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  (
( A concat  B ) `  ( K  +  M
) )  =  ( A `  ( K  +  M ) ) )
823swrdccatin12lem2c 12692 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( A concat  B )  e. Word  V  /\  M  e.  (
0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  ( A concat  B ) ) ) ) )
8382adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  (
( A concat  B )  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 ( A concat  B
) ) ) ) )
84 simprl 756 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )
85 swrdfv 12630 . . . 4  |-  ( ( ( ( A concat  B
)  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  ( A concat  B ) ) ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )  ->  ( (
( A concat  B ) substr  <. M ,  N >. ) `
 K )  =  ( ( A concat  B
) `  ( K  +  M ) ) )
8683, 84, 85syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  (
( ( A concat  B
) substr  <. M ,  N >. ) `  K )  =  ( ( A concat  B ) `  ( K  +  M )
) )
87 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  A  e. Word  V )
8887adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  A  e. Word  V )
89 simprl 756 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  M  e.  ( 0 ... L
) )
9089adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  M  e.  ( 0 ... L
) )
913eleq1i 2520 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  NN0  <->  ( # `  A
)  e.  NN0 )
92 elnn0uz 11127 . . . . . . . . 9  |-  ( L  e.  NN0  <->  L  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )
93 eluzfz2 11703 . . . . . . . . 9  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  L  e.  ( 0 ... L
) )
9492, 93sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  NN0  ->  L  e.  ( 0 ... L
) )
953eqcomi 2456 . . . . . . . . 9  |-  ( # `  A )  =  L
9695oveq2i 6292 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... ( # `  A
) )  =  ( 0 ... L )
9794, 96syl6eleqr 2542 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  NN0  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `
 A ) ) )
9891, 97sylbir 213 . . . . . 6  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `
 A ) ) )
994, 98syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e. Word  V  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `
 A ) ) )
10099ad3antrrr 729 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `
 A ) ) )
101 simprr 757 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) )
102 swrdfv 12630 . . . 4  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  M  e.  (
0 ... L )  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  A
) ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M
) ) )  -> 
( ( A substr  <. M ,  L >. ) `  K
)  =  ( A `
 ( K  +  M ) ) )
10388, 90, 100, 101, 102syl31anc 1232 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  (
( A substr  <. M ,  L >. ) `  K
)  =  ( A `
 ( K  +  M ) ) )
10481, 86, 1033eqtr4d 2494 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  (
( ( A concat  B
) substr  <. M ,  N >. ) `  K )  =  ( ( A substr  <. M ,  L >. ) `
 K ) )
105104ex 434 1  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) )  ->  ( (
( A concat  B ) substr  <. M ,  N >. ) `
 K )  =  ( ( A substr  <. M ,  L >. ) `  K
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   <.cop 4020   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   RRcr 9494   0cc0 9495    + caddc 9498    < clt 9631    <_ cle 9632    - cmin 9810   NNcn 10542   NN0cn0 10801   ZZcz 10870   ZZ>=cuz 11090   ...cfz 11681  ..^cfzo 11803   #chash 12384  Word cword 12513   concat cconcat 12515   substr csubstr 12517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-hash 12385  df-word 12521  df-concat 12523  df-substr 12525
This theorem is referenced by:  swrdccatin12  12695
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