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Theorem swrdccatin12lem2a 12704
Description: Lemma 1 for swrdccatin12lem2 12708. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 27-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdccatin12lem2a  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) )  -> 
( ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) )  ->  ( K  +  M )  e.  ( L..^ X ) ) )

Proof of Theorem swrdccatin12lem2a
StepHypRef Expression
1 elfz2 11682 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( 0 ... L )  <->  ( (
0  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  M  /\  M  <_  L ) ) )
2 zsubcl 10902 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( L  -  M
)  e.  ZZ )
323adant1 1012 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( L  -  M )  e.  ZZ )
43adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  M  /\  M  <_  L ) )  ->  ( L  -  M )  e.  ZZ )
51, 4sylbi 195 . . . 4  |-  ( M  e.  ( 0 ... L )  ->  ( L  -  M )  e.  ZZ )
65adantr 463 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) )  -> 
( L  -  M
)  e.  ZZ )
7 elfzonelfzo 11893 . . 3  |-  ( ( L  -  M )  e.  ZZ  ->  (
( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  (
0..^ ( L  -  M ) ) )  ->  K  e.  ( ( L  -  M
)..^ ( N  -  M ) ) ) )
86, 7syl 16 . 2  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) )  -> 
( ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) )  ->  K  e.  ( ( L  -  M )..^ ( N  -  M ) ) ) )
9 elfzoelz 11804 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ( L  -  M )..^ ( N  -  M ) )  ->  K  e.  ZZ )
10 elfzelz 11691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( L ... X )  ->  N  e.  ZZ )
11 simpl 455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  L  e.  ZZ )
12 simpl 455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
1311, 12anim12i 564 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
14 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
15 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  K  e.  ZZ )
1614, 15anim12ci 565 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )
1713, 16jca 530 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  -> 
( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) ) )
1817exp32 603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) ) ) ) )
1910, 18syl5 32 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  ( L ... X )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) ) ) ) )
20193adant1 1012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  ( L ... X )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) ) ) ) )
2120adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  M  /\  M  <_  L ) )  ->  ( N  e.  ( L ... X
)  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) ) ) ) )
221, 21sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( 0 ... L )  ->  ( N  e.  ( L ... X )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) ) ) ) )
2322imp 427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) )  -> 
( K  e.  ZZ  ->  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) ) ) )
2423impcom 428 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( M  e.  (
0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) ) )  ->  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) ) )
25 elfzomelpfzo 11895 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( K  e.  ( ( L  -  M
)..^ ( N  -  M ) )  <->  ( K  +  M )  e.  ( L..^ N ) ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( M  e.  (
0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) ) )  ->  ( K  e.  ( ( L  -  M )..^ ( N  -  M ) )  <->  ( K  +  M )  e.  ( L..^ N ) ) )
27 elfz2 11682 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ( L ... X )  <->  ( ( L  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  X ) ) )
28 simpl3 999 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  X ) )  ->  N  e.  ZZ )
29 simpl2 998 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  X ) )  ->  X  e.  ZZ )
30 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( L  <_  N  /\  N  <_  X )  ->  N  <_  X )
3130adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  X ) )  ->  N  <_  X )
3228, 29, 313jca 1174 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  X ) )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ  /\  N  <_  X ) )
3327, 32sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( L ... X )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ  /\  N  <_  X ) )
3433adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) )  -> 
( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ  /\  N  <_  X ) )
3534adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( M  e.  (
0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) ) )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ  /\  N  <_  X ) )
36 eluz2 11088 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  ( ZZ>= `  N
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ  /\  N  <_  X ) )
3735, 36sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( M  e.  (
0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) ) )  ->  X  e.  (
ZZ>= `  N ) )
38 fzoss2 11830 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( L..^ N )  C_  ( L..^ X ) )
3937, 38syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( M  e.  (
0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) ) )  ->  ( L..^ N
)  C_  ( L..^ X ) )
4039sseld 3488 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( M  e.  (
0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) ) )  ->  ( ( K  +  M )  e.  ( L..^ N )  ->  ( K  +  M )  e.  ( L..^ X ) ) )
4126, 40sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  ( M  e.  (
0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) ) )  ->  ( K  e.  ( ( L  -  M )..^ ( N  -  M ) )  -> 
( K  +  M
)  e.  ( L..^ X ) ) )
4241ex 432 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) )  ->  ( K  e.  ( ( L  -  M )..^ ( N  -  M ) )  -> 
( K  +  M
)  e.  ( L..^ X ) ) ) )
4342com23 78 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( K  e.  ( ( L  -  M )..^ ( N  -  M
) )  ->  (
( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) )  ->  ( K  +  M )  e.  ( L..^ X ) ) ) )
449, 43mpcom 36 . . 3  |-  ( K  e.  ( ( L  -  M )..^ ( N  -  M ) )  ->  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) )  -> 
( K  +  M
)  e.  ( L..^ X ) ) )
4544com12 31 . 2  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) )  -> 
( K  e.  ( ( L  -  M
)..^ ( N  -  M ) )  -> 
( K  +  M
)  e.  ( L..^ X ) ) )
468, 45syld 44 1  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... X ) )  -> 
( ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) )  ->  ( K  +  M )  e.  ( L..^ X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    e. wcel 1823    C_ wss 3461   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   0cc0 9481    + caddc 9484    <_ cle 9618    - cmin 9796   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11675  ..^cfzo 11799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800
This theorem is referenced by:  swrdccatin12lem2  12708  pfxccatin12lem2  32671
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