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Theorem swrdccatin12lem2 12694
Description: Lemma 2 for swrdccatin12 12696. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 27-May-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
swrdccatin12.l  |-  L  =  ( # `  A
)
Assertion
Ref Expression
swrdccatin12lem2  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M
) ) )  -> 
( ( ( A concat  B ) substr  <. M ,  N >. ) `  K
)  =  ( ( B substr  <. 0 ,  ( N  -  L )
>. ) `  ( K  -  ( # `  ( A substr  <. M ,  L >. ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem swrdccatin12lem2
StepHypRef Expression
1 swrdccatin12.l . . . . . 6  |-  L  =  ( # `  A
)
21swrdccatin12lem2c 12693 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( A concat  B )  e. Word  V  /\  M  e.  (
0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  ( A concat  B ) ) ) ) )
32adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  (
( A concat  B )  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 ( A concat  B
) ) ) ) )
4 simprl 755 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )
5 swrdfv 12631 . . . 4  |-  ( ( ( ( A concat  B
)  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  ( A concat  B ) ) ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )  ->  ( (
( A concat  B ) substr  <. M ,  N >. ) `
 K )  =  ( ( A concat  B
) `  ( K  +  M ) ) )
63, 4, 5syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  (
( ( A concat  B
) substr  <. M ,  N >. ) `  K )  =  ( ( A concat  B ) `  ( K  +  M )
) )
7 elfzoelz 11809 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  ->  K  e.  ZZ )
8 elfz2nn0 11780 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( 0 ... L )  <->  ( M  e.  NN0  /\  L  e. 
NN0  /\  M  <_  L ) )
9 nn0cn 10817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  CC )
10 nn0cn 10817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( L  e.  NN0  ->  L  e.  CC )
119, 10anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( M  e.  CC  /\  L  e.  CC ) )
12 zcn 10881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
13 subcl 9831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( L  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( L  -  M
)  e.  CC )
1413ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  e.  CC  /\  L  e.  CC )  ->  ( L  -  M
)  e.  CC )
1514anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  CC  /\  ( M  e.  CC  /\  L  e.  CC ) )  ->  ( K  e.  CC  /\  ( L  -  M )  e.  CC ) )
1615ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  CC  /\  L  e.  CC )  /\  K  e.  CC )  ->  ( K  e.  CC  /\  ( L  -  M )  e.  CC ) )
17 subcl 9831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  CC  /\  ( L  -  M
)  e.  CC )  ->  ( K  -  ( L  -  M
) )  e.  CC )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  CC  /\  L  e.  CC )  /\  K  e.  CC )  ->  ( K  -  ( L  -  M
) )  e.  CC )
1918addid1d 9791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  CC  /\  L  e.  CC )  /\  K  e.  CC )  ->  ( ( K  -  ( L  -  M ) )  +  0 )  =  ( K  -  ( L  -  M ) ) )
20 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  CC  /\  L  e.  CC )  /\  K  e.  CC )  ->  K  e.  CC )
21 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  CC  /\  L  e.  CC )  /\  K  e.  CC )  ->  L  e.  CC )
22 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  CC  /\  L  e.  CC )  /\  K  e.  CC )  ->  M  e.  CC )
2320, 21, 22subsub3d 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  CC  /\  L  e.  CC )  /\  K  e.  CC )  ->  ( K  -  ( L  -  M
) )  =  ( ( K  +  M
)  -  L ) )
2419, 23eqtr2d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  CC  /\  L  e.  CC )  /\  K  e.  CC )  ->  ( ( K  +  M )  -  L )  =  ( ( K  -  ( L  -  M )
)  +  0 ) )
2511, 12, 24syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  +  M )  -  L )  =  ( ( K  -  ( L  -  M )
)  +  0 ) )
26 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  A )  =  L  ->  ( ( K  +  M )  -  ( # `  A
) )  =  ( ( K  +  M
)  -  L ) )
2726eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  ( ( K  +  M )  -  ( # `  A
) )  =  ( ( K  +  M
)  -  L ) )
2827eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  ( (
( K  +  M
)  -  ( # `  A ) )  =  ( ( K  -  ( L  -  M
) )  +  0 )  <->  ( ( K  +  M )  -  L )  =  ( ( K  -  ( L  -  M )
)  +  0 ) ) )
2925, 28syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  ( (
( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  +  M )  -  ( # `  A ) )  =  ( ( K  -  ( L  -  M ) )  +  0 ) ) )
301, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  +  M )  -  ( # `  A ) )  =  ( ( K  -  ( L  -  M ) )  +  0 ) )
3130ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( K  e.  ZZ  ->  ( ( K  +  M )  -  ( # `
 A ) )  =  ( ( K  -  ( L  -  M ) )  +  0 ) ) )
32313adant3 1016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( ( K  +  M
)  -  ( # `  A ) )  =  ( ( K  -  ( L  -  M
) )  +  0 ) ) )
338, 32sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( 0 ... L )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( ( K  +  M
)  -  ( # `  A ) )  =  ( ( K  -  ( L  -  M
) )  +  0 ) ) )
3433adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( K  e.  ZZ  ->  ( ( K  +  M )  -  ( # `
 A ) )  =  ( ( K  -  ( L  -  M ) )  +  0 ) ) )
3534adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( ( K  +  M )  -  ( # `  A
) )  =  ( ( K  -  ( L  -  M )
)  +  0 ) ) )
367, 35syl5com 30 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  ->  ( (
( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( K  +  M )  -  ( # `  A
) )  =  ( ( K  -  ( L  -  M )
)  +  0 ) ) )
3736adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M
) ) )  -> 
( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) ) )  ->  ( ( K  +  M )  -  ( # `  A ) )  =  ( ( K  -  ( L  -  M ) )  +  0 ) ) )
3837impcom 430 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  (
( K  +  M
)  -  ( # `  A ) )  =  ( ( K  -  ( L  -  M
) )  +  0 ) )
3938fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  ( B `  ( ( K  +  M )  -  ( # `  A
) ) )  =  ( B `  (
( K  -  ( L  -  M )
)  +  0 ) ) )
40 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V ) )
41 swrdccatin12lem2a 12690 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) )  ->  ( K  +  M )  e.  ( L..^ ( L  +  ( # `  B ) ) ) ) )
4241adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M
) ) )  -> 
( K  +  M
)  e.  ( L..^ ( L  +  (
# `  B )
) ) ) )
4342imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  ( K  +  M )  e.  ( L..^ ( L  +  ( # `  B
) ) ) )
44 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  A )  =  L  ->  ( # `  A )  =  L )
45 oveq1 6302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  A )  =  L  ->  ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) )  =  ( L  +  ( # `  B ) ) )
4644, 45oveq12d 6313 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  A )  =  L  ->  ( (
# `  A )..^ ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) )  =  ( L..^ ( L  +  ( # `  B
) ) ) )
4746eleq2d 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  A )  =  L  ->  ( ( K  +  M )  e.  ( ( # `  A )..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) )  <->  ( K  +  M )  e.  ( L..^ ( L  +  ( # `  B ) ) ) ) )
4847eqcoms 2479 . . . . . . . 8  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  ( ( K  +  M )  e.  ( ( # `  A
)..^ ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) )  <->  ( K  +  M )  e.  ( L..^ ( L  +  ( # `  B ) ) ) ) )
491, 48ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( K  +  M )  e.  ( ( # `  A )..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) )  <->  ( K  +  M )  e.  ( L..^ ( L  +  ( # `  B ) ) ) )
5043, 49sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  ( K  +  M )  e.  ( ( # `  A
)..^ ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) )
51 df-3an 975 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  ( K  +  M )  e.  ( ( # `  A
)..^ ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) )  <->  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( K  +  M )  e.  ( ( # `  A
)..^ ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) ) )
5240, 50, 51sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  ( K  +  M )  e.  ( ( # `  A
)..^ ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) ) )
53 ccatval2 12576 . . . . 5  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  ( K  +  M )  e.  ( ( # `  A
)..^ ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( ( A concat  B
) `  ( K  +  M ) )  =  ( B `  (
( K  +  M
)  -  ( # `  A ) ) ) )
5452, 53syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  (
( A concat  B ) `  ( K  +  M
) )  =  ( B `  ( ( K  +  M )  -  ( # `  A
) ) ) )
55 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  B  e. Word  V )
5655adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  B  e. Word  V )
57 elfz2 11691 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `
 B ) ) )  <->  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  ( # `  B
) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )
58 zsubcl 10917 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( N  -  L
)  e.  ZZ )
5958ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  -  L
)  e.  ZZ )
6059adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  L  <_  N
)  ->  ( N  -  L )  e.  ZZ )
61 zre 10880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
62 zre 10880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  RR )
63 subge0 10077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( N  -  L )  <->  L  <_  N ) )
6461, 62, 63syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  ( N  -  L )  <->  L  <_  N ) )
6564biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( L  <_  N  ->  0  <_  ( N  -  L ) ) )
6665imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  L  <_  N
)  ->  0  <_  ( N  -  L ) )
67 elnn0z 10889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  -  L )  e.  NN0  <->  ( ( N  -  L )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( N  -  L
) ) )
6860, 66, 67sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  L  <_  N
)  ->  ( N  -  L )  e.  NN0 )
6968expcom 435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( L  <_  N  ->  (
( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  -  L )  e.  NN0 ) )
7069adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B ) ) )  ->  (
( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  -  L )  e.  NN0 ) )
7170com12 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) )  -> 
( N  -  L
)  e.  NN0 )
)
72713adant2 1015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  ( # `
 B ) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) )  -> 
( N  -  L
)  e.  NN0 )
)
7372imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  (
# `  B )
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( N  -  L )  e.  NN0 )
7457, 73sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `
 B ) ) )  ->  ( N  -  L )  e.  NN0 )
7574adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( N  -  L
)  e.  NN0 )
76 0elfz 11784 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  L )  e.  NN0  ->  0  e.  ( 0 ... ( N  -  L )
) )
7775, 76syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
0  e.  ( 0 ... ( N  -  L ) ) )
7877adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  0  e.  ( 0 ... ( N  -  L )
) )
7978adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  0  e.  ( 0 ... ( N  -  L )
) )
80 lencl 12543 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e. Word  V  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
81 elfzel2 11698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( 0 ... L )  ->  L  e.  ZZ )
8270expcomd 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B ) ) )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( N  -  L )  e.  NN0 ) ) )
8382com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) )  -> 
( L  e.  ZZ  ->  ( N  -  L
)  e.  NN0 )
) )
84833ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  ( # `
 B ) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) )  -> 
( L  e.  ZZ  ->  ( N  -  L
)  e.  NN0 )
) )
8584imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  (
# `  B )
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( N  -  L )  e.  NN0 ) )
8685com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (
( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  ( # `  B
) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( N  -  L )  e.  NN0 ) )
8786adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  NN0 )  -> 
( ( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  ( # `  B
) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( N  -  L )  e.  NN0 ) )
8887imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B
)  e.  NN0 )  /\  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  ( # `  B
) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( N  -  L )  e.  NN0 )
89 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B
)  e.  NN0 )  /\  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  ( # `  B
) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
90613ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  ( # `
 B ) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
9190adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B
)  e.  NN0 )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  (
# `  B )
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )
)  ->  N  e.  RR )
9262adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  NN0 )  ->  L  e.  RR )
9392adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B
)  e.  NN0 )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  (
# `  B )
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )
)  ->  L  e.  RR )
94 nn0re 10816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  B )  e.  NN0  ->  ( # `  B
)  e.  RR )
9594adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  NN0 )  -> 
( # `  B )  e.  RR )
9695adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B
)  e.  NN0 )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  (
# `  B )
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )
)  ->  ( # `  B
)  e.  RR )
9791, 93, 963jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B
)  e.  NN0 )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  (
# `  B )
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )
)  ->  ( N  e.  RR  /\  L  e.  RR  /\  ( # `  B )  e.  RR ) )
98 lesubadd2 10037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  RR  /\  L  e.  RR  /\  ( # `
 B )  e.  RR )  ->  (
( N  -  L
)  <_  ( # `  B
)  <->  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) ) )
9998biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  RR  /\  L  e.  RR  /\  ( # `
 B )  e.  RR )  ->  ( N  <_  ( L  +  ( # `  B ) )  ->  ( N  -  L )  <_  ( # `
 B ) ) )
10097, 99syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B
)  e.  NN0 )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  (
# `  B )
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )
)  ->  ( N  <_  ( L  +  (
# `  B )
)  ->  ( N  -  L )  <_  ( # `
 B ) ) )
101100ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  NN0 )  -> 
( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  ( # `  B
) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <_ 
( L  +  (
# `  B )
)  ->  ( N  -  L )  <_  ( # `
 B ) ) ) )
102101com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  <_  ( L  +  ( # `  B ) )  ->  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  ( # `  B
) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `
 B )  e. 
NN0 )  ->  ( N  -  L )  <_  ( # `  B
) ) ) )
103102adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B ) ) )  ->  (
( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  (
# `  B )
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  NN0 )  ->  ( N  -  L )  <_  ( # `
 B ) ) ) )
104103impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  (
# `  B )
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `
 B )  e. 
NN0 )  ->  ( N  -  L )  <_  ( # `  B
) ) )
105104impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B
)  e.  NN0 )  /\  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  ( # `  B
) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( N  -  L )  <_  ( # `
 B ) )
10688, 89, 1053jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B
)  e.  NN0 )  /\  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  ( # `  B
) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( N  -  L )  e.  NN0  /\  ( # `  B )  e.  NN0  /\  ( N  -  L
)  <_  ( # `  B
) ) )
107106ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  NN0 )  -> 
( ( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  ( # `  B
) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( ( N  -  L )  e. 
NN0  /\  ( # `  B
)  e.  NN0  /\  ( N  -  L
)  <_  ( # `  B
) ) ) )
108 elfz2nn0 11780 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  B
) )  <->  ( ( N  -  L )  e.  NN0  /\  ( # `  B )  e.  NN0  /\  ( N  -  L
)  <_  ( # `  B
) ) )
109107, 57, 1083imtr4g 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) )  -> 
( N  -  L
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) ) ) )
110109ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (
( # `  B )  e.  NN0  ->  ( N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `
 B ) ) )  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  B ) ) ) ) )
111110com23 78 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) )  ->  (
( # `  B )  e.  NN0  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) ) ) ) )
11281, 111syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( 0 ... L )  ->  ( N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) )  ->  (
( # `  B )  e.  NN0  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) ) ) ) )
113112imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( ( # `  B
)  e.  NN0  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  B
) ) ) )
11480, 113syl5com 30 . . . . . . . 8  |-  ( B  e. Word  V  ->  (
( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  B ) ) ) )
115114adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  B ) ) ) )
116115imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  B ) ) )
117116adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) ) )
118 swrdccatin12lem2b 12691 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) )  ->  ( K  -  ( L  -  M ) )  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  0 ) ) ) )
119118adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M
) ) )  -> 
( K  -  ( L  -  M )
)  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  0 ) ) ) )
120119imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  ( K  -  ( L  -  M ) )  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  0 ) ) )
121 swrdfv 12631 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e. Word  V  /\  0  e.  (
0 ... ( N  -  L ) )  /\  ( N  -  L
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) ) )  /\  ( K  -  ( L  -  M )
)  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  0 ) ) )  -> 
( ( B substr  <. 0 ,  ( N  -  L ) >. ) `  ( K  -  ( L  -  M )
) )  =  ( B `  ( ( K  -  ( L  -  M ) )  +  0 ) ) )
12256, 79, 117, 120, 121syl31anc 1231 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  (
( B substr  <. 0 ,  ( N  -  L
) >. ) `  ( K  -  ( L  -  M ) ) )  =  ( B `  ( ( K  -  ( L  -  M
) )  +  0 ) ) )
12339, 54, 1223eqtr4d 2518 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  (
( A concat  B ) `  ( K  +  M
) )  =  ( ( B substr  <. 0 ,  ( N  -  L ) >. ) `  ( K  -  ( L  -  M )
) ) )
124 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  A  e. Word  V )
125 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  M  e.  ( 0 ... L
) )
126 lencl 12543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e. Word  V  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
127 elnn0uz 11131 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  <->  ( # `  A
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
128 eluzfz2 11706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  A )  e.  ( ZZ>= `  0 )  ->  ( # `  A
)  e.  ( 0 ... ( # `  A
) ) )
129127, 128sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( # `  A
)  e.  ( 0 ... ( # `  A
) ) )
1301, 129syl5eqel 2559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `
 A ) ) )
131126, 130syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e. Word  V  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `
 A ) ) )
132131adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `  A
) ) )
133132adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `
 A ) ) )
134124, 125, 1333jca 1176 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( A  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... L
)  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `
 A ) ) ) )
135134adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  ( A  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... L
)  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `
 A ) ) ) )
136 swrdlen 12630 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... L )  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( # `  ( A substr  <. M ,  L >. ) )  =  ( L  -  M ) )
137135, 136syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  ( # `
 ( A substr  <. M ,  L >. ) )  =  ( L  -  M
) )
138137eqcomd 2475 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  ( L  -  M )  =  ( # `  ( A substr  <. M ,  L >. ) ) )
139138oveq2d 6311 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  ( K  -  ( L  -  M ) )  =  ( K  -  ( # `
 ( A substr  <. M ,  L >. ) ) ) )
140139fveq2d 5876 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  (
( B substr  <. 0 ,  ( N  -  L
) >. ) `  ( K  -  ( L  -  M ) ) )  =  ( ( B substr  <. 0 ,  ( N  -  L ) >.
) `  ( K  -  ( # `  ( A substr  <. M ,  L >. ) ) ) ) )
1416, 123, 1403eqtrd 2512 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  (
( ( A concat  B
) substr  <. M ,  N >. ) `  K )  =  ( ( B substr  <. 0 ,  ( N  -  L ) >.
) `  ( K  -  ( # `  ( A substr  <. M ,  L >. ) ) ) ) )
142141ex 434 1  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M
) ) )  -> 
( ( ( A concat  B ) substr  <. M ,  N >. ) `  K
)  =  ( ( B substr  <. 0 ,  ( N  -  L )
>. ) `  ( K  -  ( # `  ( A substr  <. M ,  L >. ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   <.cop 4039   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504    + caddc 9507    <_ cle 9641    - cmin 9817   NN0cn0 10807   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094   ...cfz 11684  ..^cfzo 11804   #chash 12385  Word cword 12515   concat cconcat 12517   substr csubstr 12519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-hash 12386  df-word 12523  df-concat 12525  df-substr 12527
This theorem is referenced by:  swrdccatin12  12696
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