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Theorem swrdccatin12lem2 12845
Description: Lemma 2 for swrdccatin12 12847. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 27-May-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
swrdccatin12.l  |-  L  =  ( # `  A
)
Assertion
Ref Expression
swrdccatin12lem2  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M
) ) )  -> 
( ( ( A ++  B ) substr  <. M ,  N >. ) `  K
)  =  ( ( B substr  <. 0 ,  ( N  -  L )
>. ) `  ( K  -  ( # `  ( A substr  <. M ,  L >. ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem swrdccatin12lem2
StepHypRef Expression
1 swrdccatin12.l . . . . . 6  |-  L  =  ( # `  A
)
21swrdccatin12lem2c 12844 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( A ++  B )  e. Word  V  /\  M  e.  (
0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  ( A ++  B ) ) ) ) )
32adantr 467 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  (
( A ++  B )  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 ( A ++  B
) ) ) ) )
4 simprl 764 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )
5 swrdfv 12780 . . . 4  |-  ( ( ( ( A ++  B
)  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  ( A ++  B ) ) ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )  ->  ( (
( A ++  B ) substr  <. M ,  N >. ) `
 K )  =  ( ( A ++  B
) `  ( K  +  M ) ) )
63, 4, 5syl2anc 667 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  (
( ( A ++  B
) substr  <. M ,  N >. ) `  K )  =  ( ( A ++  B ) `  ( K  +  M )
) )
7 elfzoelz 11920 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  ->  K  e.  ZZ )
8 elfz2nn0 11885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( 0 ... L )  <->  ( M  e.  NN0  /\  L  e. 
NN0  /\  M  <_  L ) )
9 nn0cn 10879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  CC )
10 nn0cn 10879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( L  e.  NN0  ->  L  e.  CC )
119, 10anim12i 570 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( M  e.  CC  /\  L  e.  CC ) )
12 zcn 10942 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
13 subcl 9874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( L  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( L  -  M
)  e.  CC )
1413ancoms 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  e.  CC  /\  L  e.  CC )  ->  ( L  -  M
)  e.  CC )
1514anim2i 573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  CC  /\  ( M  e.  CC  /\  L  e.  CC ) )  ->  ( K  e.  CC  /\  ( L  -  M )  e.  CC ) )
1615ancoms 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  CC  /\  L  e.  CC )  /\  K  e.  CC )  ->  ( K  e.  CC  /\  ( L  -  M )  e.  CC ) )
17 subcl 9874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  CC  /\  ( L  -  M
)  e.  CC )  ->  ( K  -  ( L  -  M
) )  e.  CC )
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  CC  /\  L  e.  CC )  /\  K  e.  CC )  ->  ( K  -  ( L  -  M
) )  e.  CC )
1918addid1d 9833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  CC  /\  L  e.  CC )  /\  K  e.  CC )  ->  ( ( K  -  ( L  -  M ) )  +  0 )  =  ( K  -  ( L  -  M ) ) )
20 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  CC  /\  L  e.  CC )  /\  K  e.  CC )  ->  K  e.  CC )
21 simplr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  CC  /\  L  e.  CC )  /\  K  e.  CC )  ->  L  e.  CC )
22 simpll 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  CC  /\  L  e.  CC )  /\  K  e.  CC )  ->  M  e.  CC )
2320, 21, 22subsub3d 10016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  CC  /\  L  e.  CC )  /\  K  e.  CC )  ->  ( K  -  ( L  -  M
) )  =  ( ( K  +  M
)  -  L ) )
2419, 23eqtr2d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  CC  /\  L  e.  CC )  /\  K  e.  CC )  ->  ( ( K  +  M )  -  L )  =  ( ( K  -  ( L  -  M )
)  +  0 ) )
2511, 12, 24syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  +  M )  -  L )  =  ( ( K  -  ( L  -  M )
)  +  0 ) )
26 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  A )  =  L  ->  ( ( K  +  M )  -  ( # `  A
) )  =  ( ( K  +  M
)  -  L ) )
2726eqcoms 2459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  ( ( K  +  M )  -  ( # `  A
) )  =  ( ( K  +  M
)  -  L ) )
2827eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  ( (
( K  +  M
)  -  ( # `  A ) )  =  ( ( K  -  ( L  -  M
) )  +  0 )  <->  ( ( K  +  M )  -  L )  =  ( ( K  -  ( L  -  M )
)  +  0 ) ) )
2925, 28syl5ibr 225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  ( (
( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  +  M )  -  ( # `  A ) )  =  ( ( K  -  ( L  -  M ) )  +  0 ) ) )
301, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  +  M )  -  ( # `  A ) )  =  ( ( K  -  ( L  -  M ) )  +  0 ) )
3130ex 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( K  e.  ZZ  ->  ( ( K  +  M )  -  ( # `
 A ) )  =  ( ( K  -  ( L  -  M ) )  +  0 ) ) )
32313adant3 1028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( ( K  +  M
)  -  ( # `  A ) )  =  ( ( K  -  ( L  -  M
) )  +  0 ) ) )
338, 32sylbi 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( 0 ... L )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( ( K  +  M
)  -  ( # `  A ) )  =  ( ( K  -  ( L  -  M
) )  +  0 ) ) )
3433adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( K  e.  ZZ  ->  ( ( K  +  M )  -  ( # `
 A ) )  =  ( ( K  -  ( L  -  M ) )  +  0 ) ) )
3534adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( ( K  +  M )  -  ( # `  A
) )  =  ( ( K  -  ( L  -  M )
)  +  0 ) ) )
367, 35syl5com 31 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  ->  ( (
( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( K  +  M )  -  ( # `  A
) )  =  ( ( K  -  ( L  -  M )
)  +  0 ) ) )
3736adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M
) ) )  -> 
( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) ) )  ->  ( ( K  +  M )  -  ( # `  A ) )  =  ( ( K  -  ( L  -  M ) )  +  0 ) ) )
3837impcom 432 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  (
( K  +  M
)  -  ( # `  A ) )  =  ( ( K  -  ( L  -  M
) )  +  0 ) )
3938fveq2d 5869 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  ( B `  ( ( K  +  M )  -  ( # `  A
) ) )  =  ( B `  (
( K  -  ( L  -  M )
)  +  0 ) ) )
40 simpll 760 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V ) )
41 swrdccatin12lem2a 12841 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) )  ->  ( K  +  M )  e.  ( L..^ ( L  +  ( # `  B ) ) ) ) )
4241adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M
) ) )  -> 
( K  +  M
)  e.  ( L..^ ( L  +  (
# `  B )
) ) ) )
4342imp 431 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  ( K  +  M )  e.  ( L..^ ( L  +  ( # `  B
) ) ) )
44 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  A )  =  L  ->  ( # `  A )  =  L )
45 oveq1 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  A )  =  L  ->  ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) )  =  ( L  +  ( # `  B ) ) )
4644, 45oveq12d 6308 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  A )  =  L  ->  ( (
# `  A )..^ ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) )  =  ( L..^ ( L  +  ( # `  B
) ) ) )
4746eleq2d 2514 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  A )  =  L  ->  ( ( K  +  M )  e.  ( ( # `  A )..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) )  <->  ( K  +  M )  e.  ( L..^ ( L  +  ( # `  B ) ) ) ) )
4847eqcoms 2459 . . . . . . . 8  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  ( ( K  +  M )  e.  ( ( # `  A
)..^ ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) )  <->  ( K  +  M )  e.  ( L..^ ( L  +  ( # `  B ) ) ) ) )
491, 48ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( K  +  M )  e.  ( ( # `  A )..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) )  <->  ( K  +  M )  e.  ( L..^ ( L  +  ( # `  B ) ) ) )
5043, 49sylibr 216 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  ( K  +  M )  e.  ( ( # `  A
)..^ ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) )
51 df-3an 987 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  ( K  +  M )  e.  ( ( # `  A
)..^ ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) )  <->  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( K  +  M )  e.  ( ( # `  A
)..^ ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) ) )
5240, 50, 51sylanbrc 670 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  ( K  +  M )  e.  ( ( # `  A
)..^ ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) ) )
53 ccatval2 12723 . . . . 5  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  ( K  +  M )  e.  ( ( # `  A
)..^ ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( ( A ++  B
) `  ( K  +  M ) )  =  ( B `  (
( K  +  M
)  -  ( # `  A ) ) ) )
5452, 53syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  (
( A ++  B ) `
 ( K  +  M ) )  =  ( B `  (
( K  +  M
)  -  ( # `  A ) ) ) )
55 simplr 762 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  B  e. Word  V )
5655adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  B  e. Word  V )
57 elfz2 11791 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `
 B ) ) )  <->  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  ( # `  B
) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )
58 zsubcl 10979 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( N  -  L
)  e.  ZZ )
5958ancoms 455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  -  L
)  e.  ZZ )
6059adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  L  <_  N
)  ->  ( N  -  L )  e.  ZZ )
61 zre 10941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
62 zre 10941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  RR )
63 subge0 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( N  -  L )  <->  L  <_  N ) )
6461, 62, 63syl2anr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  ( N  -  L )  <->  L  <_  N ) )
6564biimprd 227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( L  <_  N  ->  0  <_  ( N  -  L ) ) )
6665imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  L  <_  N
)  ->  0  <_  ( N  -  L ) )
67 elnn0z 10950 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  -  L )  e.  NN0  <->  ( ( N  -  L )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( N  -  L
) ) )
6860, 66, 67sylanbrc 670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  L  <_  N
)  ->  ( N  -  L )  e.  NN0 )
6968expcom 437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( L  <_  N  ->  (
( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  -  L )  e.  NN0 ) )
7069adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B ) ) )  ->  (
( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  -  L )  e.  NN0 ) )
7170com12 32 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) )  -> 
( N  -  L
)  e.  NN0 )
)
72713adant2 1027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  ( # `
 B ) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) )  -> 
( N  -  L
)  e.  NN0 )
)
7372imp 431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  (
# `  B )
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( N  -  L )  e.  NN0 )
7457, 73sylbi 199 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `
 B ) ) )  ->  ( N  -  L )  e.  NN0 )
7574adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( N  -  L
)  e.  NN0 )
76 0elfz 11889 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  L )  e.  NN0  ->  0  e.  ( 0 ... ( N  -  L )
) )
7775, 76syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
0  e.  ( 0 ... ( N  -  L ) ) )
7877adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  0  e.  ( 0 ... ( N  -  L )
) )
7978adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  0  e.  ( 0 ... ( N  -  L )
) )
80 lencl 12687 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e. Word  V  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
81 elfzel2 11798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( 0 ... L )  ->  L  e.  ZZ )
8270expcomd 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B ) ) )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( N  -  L )  e.  NN0 ) ) )
8382com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) )  -> 
( L  e.  ZZ  ->  ( N  -  L
)  e.  NN0 )
) )
84833ad2ant3 1031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  ( # `
 B ) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) )  -> 
( L  e.  ZZ  ->  ( N  -  L
)  e.  NN0 )
) )
8584imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  (
# `  B )
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( N  -  L )  e.  NN0 ) )
8685com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (
( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  ( # `  B
) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( N  -  L )  e.  NN0 ) )
8786adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  NN0 )  -> 
( ( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  ( # `  B
) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( N  -  L )  e.  NN0 ) )
8887imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B
)  e.  NN0 )  /\  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  ( # `  B
) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( N  -  L )  e.  NN0 )
89 simplr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B
)  e.  NN0 )  /\  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  ( # `  B
) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
90613ad2ant3 1031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  ( # `
 B ) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
9190adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B
)  e.  NN0 )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  (
# `  B )
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )
)  ->  N  e.  RR )
9262adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  NN0 )  ->  L  e.  RR )
9392adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B
)  e.  NN0 )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  (
# `  B )
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )
)  ->  L  e.  RR )
94 nn0re 10878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  B )  e.  NN0  ->  ( # `  B
)  e.  RR )
9594adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  NN0 )  -> 
( # `  B )  e.  RR )
9695adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B
)  e.  NN0 )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  (
# `  B )
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )
)  ->  ( # `  B
)  e.  RR )
9791, 93, 963jca 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B
)  e.  NN0 )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  (
# `  B )
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )
)  ->  ( N  e.  RR  /\  L  e.  RR  /\  ( # `  B )  e.  RR ) )
98 lesubadd2 10087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  RR  /\  L  e.  RR  /\  ( # `
 B )  e.  RR )  ->  (
( N  -  L
)  <_  ( # `  B
)  <->  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) ) )
9998biimprd 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  RR  /\  L  e.  RR  /\  ( # `
 B )  e.  RR )  ->  ( N  <_  ( L  +  ( # `  B ) )  ->  ( N  -  L )  <_  ( # `
 B ) ) )
10097, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B
)  e.  NN0 )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  (
# `  B )
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )
)  ->  ( N  <_  ( L  +  (
# `  B )
)  ->  ( N  -  L )  <_  ( # `
 B ) ) )
101100ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  NN0 )  -> 
( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  ( # `  B
) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <_ 
( L  +  (
# `  B )
)  ->  ( N  -  L )  <_  ( # `
 B ) ) ) )
102101com13 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  <_  ( L  +  ( # `  B ) )  ->  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  ( # `  B
) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `
 B )  e. 
NN0 )  ->  ( N  -  L )  <_  ( # `  B
) ) ) )
103102adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B ) ) )  ->  (
( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  (
# `  B )
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  NN0 )  ->  ( N  -  L )  <_  ( # `
 B ) ) ) )
104103impcom 432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  (
# `  B )
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `
 B )  e. 
NN0 )  ->  ( N  -  L )  <_  ( # `  B
) ) )
105104impcom 432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B
)  e.  NN0 )  /\  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  ( # `  B
) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( N  -  L )  <_  ( # `
 B ) )
10688, 89, 1053jca 1188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B
)  e.  NN0 )  /\  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  ( # `  B
) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( N  -  L )  e.  NN0  /\  ( # `  B )  e.  NN0  /\  ( N  -  L
)  <_  ( # `  B
) ) )
107106ex 436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  NN0 )  -> 
( ( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  ( # `  B
) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( ( N  -  L )  e. 
NN0  /\  ( # `  B
)  e.  NN0  /\  ( N  -  L
)  <_  ( # `  B
) ) ) )
108 elfz2nn0 11885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  B
) )  <->  ( ( N  -  L )  e.  NN0  /\  ( # `  B )  e.  NN0  /\  ( N  -  L
)  <_  ( # `  B
) ) )
109107, 57, 1083imtr4g 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) )  -> 
( N  -  L
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) ) ) )
110109ex 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (
( # `  B )  e.  NN0  ->  ( N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `
 B ) ) )  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  B ) ) ) ) )
111110com23 81 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) )  ->  (
( # `  B )  e.  NN0  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) ) ) ) )
11281, 111syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( 0 ... L )  ->  ( N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) )  ->  (
( # `  B )  e.  NN0  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) ) ) ) )
113112imp 431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( ( # `  B
)  e.  NN0  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  B
) ) ) )
11480, 113syl5com 31 . . . . . . . 8  |-  ( B  e. Word  V  ->  (
( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  B ) ) ) )
115114adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  B ) ) ) )
116115imp 431 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  B ) ) )
117116adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) ) )
118 swrdccatin12lem2b 12842 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) )  ->  ( K  -  ( L  -  M ) )  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  0 ) ) ) )
119118adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M
) ) )  -> 
( K  -  ( L  -  M )
)  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  0 ) ) ) )
120119imp 431 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  ( K  -  ( L  -  M ) )  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  0 ) ) )
121 swrdfv 12780 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e. Word  V  /\  0  e.  (
0 ... ( N  -  L ) )  /\  ( N  -  L
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) ) )  /\  ( K  -  ( L  -  M )
)  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  0 ) ) )  -> 
( ( B substr  <. 0 ,  ( N  -  L ) >. ) `  ( K  -  ( L  -  M )
) )  =  ( B `  ( ( K  -  ( L  -  M ) )  +  0 ) ) )
12256, 79, 117, 120, 121syl31anc 1271 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  (
( B substr  <. 0 ,  ( N  -  L
) >. ) `  ( K  -  ( L  -  M ) ) )  =  ( B `  ( ( K  -  ( L  -  M
) )  +  0 ) ) )
12339, 54, 1223eqtr4d 2495 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  (
( A ++  B ) `
 ( K  +  M ) )  =  ( ( B substr  <. 0 ,  ( N  -  L ) >. ) `  ( K  -  ( L  -  M )
) ) )
124 simpll 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  A  e. Word  V )
125 simprl 764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  M  e.  ( 0 ... L
) )
126 lencl 12687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e. Word  V  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
127 elnn0uz 11196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  <->  ( # `  A
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
128 eluzfz2 11807 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  A )  e.  ( ZZ>= `  0 )  ->  ( # `  A
)  e.  ( 0 ... ( # `  A
) ) )
129127, 128sylbi 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( # `  A
)  e.  ( 0 ... ( # `  A
) ) )
1301, 129syl5eqel 2533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `
 A ) ) )
131126, 130syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e. Word  V  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `
 A ) ) )
132131adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `  A
) ) )
133132adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `
 A ) ) )
134124, 125, 1333jca 1188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( A  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... L
)  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `
 A ) ) ) )
135134adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  ( A  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... L
)  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `
 A ) ) ) )
136 swrdlen 12779 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... L )  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( # `  ( A substr  <. M ,  L >. ) )  =  ( L  -  M ) )
137135, 136syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  ( # `
 ( A substr  <. M ,  L >. ) )  =  ( L  -  M
) )
138137eqcomd 2457 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  ( L  -  M )  =  ( # `  ( A substr  <. M ,  L >. ) ) )
139138oveq2d 6306 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  ( K  -  ( L  -  M ) )  =  ( K  -  ( # `
 ( A substr  <. M ,  L >. ) ) ) )
140139fveq2d 5869 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  (
( B substr  <. 0 ,  ( N  -  L
) >. ) `  ( K  -  ( L  -  M ) ) )  =  ( ( B substr  <. 0 ,  ( N  -  L ) >.
) `  ( K  -  ( # `  ( A substr  <. M ,  L >. ) ) ) ) )
1416, 123, 1403eqtrd 2489 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  (
( ( A ++  B
) substr  <. M ,  N >. ) `  K )  =  ( ( B substr  <. 0 ,  ( N  -  L ) >.
) `  ( K  -  ( # `  ( A substr  <. M ,  L >. ) ) ) ) )
142141ex 436 1  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M
) ) )  -> 
( ( ( A ++  B ) substr  <. M ,  N >. ) `  K
)  =  ( ( B substr  <. 0 ,  ( N  -  L )
>. ) `  ( K  -  ( # `  ( A substr  <. M ,  L >. ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   <.cop 3974   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539    + caddc 9542    <_ cle 9676    - cmin 9860   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11784  ..^cfzo 11915   #chash 12515  Word cword 12656   ++ cconcat 12658   substr csubstr 12660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-hash 12516  df-word 12664  df-concat 12666  df-substr 12668
This theorem is referenced by:  swrdccatin12  12847
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