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Theorem swrdccatin12lem2 12372
Description: Lemma 2 for swrdccatin12 12374. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 27-May-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
swrdccatin12.l  |-  L  =  ( # `  A
)
Assertion
Ref Expression
swrdccatin12lem2  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M
) ) )  -> 
( ( ( A concat  B ) substr  <. M ,  N >. ) `  K
)  =  ( ( B substr  <. 0 ,  ( N  -  L )
>. ) `  ( K  -  ( # `  ( A substr  <. M ,  L >. ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem swrdccatin12lem2
StepHypRef Expression
1 swrdccatin12.l . . . . . 6  |-  L  =  ( # `  A
)
21swrdccatin12lem2c 12371 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( A concat  B )  e. Word  V  /\  M  e.  (
0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  ( A concat  B ) ) ) ) )
32adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  (
( A concat  B )  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 ( A concat  B
) ) ) ) )
4 simprl 755 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )
5 swrdfv 12312 . . . 4  |-  ( ( ( ( A concat  B
)  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  ( A concat  B ) ) ) )  /\  K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )  ->  ( (
( A concat  B ) substr  <. M ,  N >. ) `
 K )  =  ( ( A concat  B
) `  ( K  +  M ) ) )
63, 4, 5syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  (
( ( A concat  B
) substr  <. M ,  N >. ) `  K )  =  ( ( A concat  B ) `  ( K  +  M )
) )
7 elfzoelz 11545 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  ->  K  e.  ZZ )
8 elfz2nn0 11472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( 0 ... L )  <->  ( M  e.  NN0  /\  L  e. 
NN0  /\  M  <_  L ) )
9 nn0cn 10581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  CC )
10 nn0cn 10581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( L  e.  NN0  ->  L  e.  CC )
119, 10anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( M  e.  CC  /\  L  e.  CC ) )
12 zcn 10643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
13 subcl 9601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( L  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( L  -  M
)  e.  CC )
1413ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  e.  CC  /\  L  e.  CC )  ->  ( L  -  M
)  e.  CC )
1514anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  CC  /\  ( M  e.  CC  /\  L  e.  CC ) )  ->  ( K  e.  CC  /\  ( L  -  M )  e.  CC ) )
1615ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( M  e.  CC  /\  L  e.  CC )  /\  K  e.  CC )  ->  ( K  e.  CC  /\  ( L  -  M )  e.  CC ) )
17 subcl 9601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  CC  /\  ( L  -  M
)  e.  CC )  ->  ( K  -  ( L  -  M
) )  e.  CC )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  CC  /\  L  e.  CC )  /\  K  e.  CC )  ->  ( K  -  ( L  -  M
) )  e.  CC )
1918addid1d 9561 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  CC  /\  L  e.  CC )  /\  K  e.  CC )  ->  ( ( K  -  ( L  -  M ) )  +  0 )  =  ( K  -  ( L  -  M ) ) )
20 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  CC  /\  L  e.  CC )  /\  K  e.  CC )  ->  K  e.  CC )
21 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  CC  /\  L  e.  CC )  /\  K  e.  CC )  ->  L  e.  CC )
22 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( M  e.  CC  /\  L  e.  CC )  /\  K  e.  CC )  ->  M  e.  CC )
2320, 21, 22subsub3d 9741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M  e.  CC  /\  L  e.  CC )  /\  K  e.  CC )  ->  ( K  -  ( L  -  M
) )  =  ( ( K  +  M
)  -  L ) )
2419, 23eqtr2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  CC  /\  L  e.  CC )  /\  K  e.  CC )  ->  ( ( K  +  M )  -  L )  =  ( ( K  -  ( L  -  M )
)  +  0 ) )
2511, 12, 24syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  +  M )  -  L )  =  ( ( K  -  ( L  -  M )
)  +  0 ) )
26 oveq2 6094 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  A )  =  L  ->  ( ( K  +  M )  -  ( # `  A
) )  =  ( ( K  +  M
)  -  L ) )
2726eqcoms 2441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  ( ( K  +  M )  -  ( # `  A
) )  =  ( ( K  +  M
)  -  L ) )
2827eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  ( (
( K  +  M
)  -  ( # `  A ) )  =  ( ( K  -  ( L  -  M
) )  +  0 )  <->  ( ( K  +  M )  -  L )  =  ( ( K  -  ( L  -  M )
)  +  0 ) ) )
2925, 28syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  ( (
( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  +  M )  -  ( # `  A ) )  =  ( ( K  -  ( L  -  M ) )  +  0 ) ) )
301, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( K  +  M )  -  ( # `  A ) )  =  ( ( K  -  ( L  -  M ) )  +  0 ) )
3130ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( K  e.  ZZ  ->  ( ( K  +  M )  -  ( # `
 A ) )  =  ( ( K  -  ( L  -  M ) )  +  0 ) ) )
32313adant3 1008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0  /\  M  <_  L )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( ( K  +  M
)  -  ( # `  A ) )  =  ( ( K  -  ( L  -  M
) )  +  0 ) ) )
338, 32sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( 0 ... L )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( ( K  +  M
)  -  ( # `  A ) )  =  ( ( K  -  ( L  -  M
) )  +  0 ) ) )
3433adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( K  e.  ZZ  ->  ( ( K  +  M )  -  ( # `
 A ) )  =  ( ( K  -  ( L  -  M ) )  +  0 ) ) )
3534adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( K  e.  ZZ  ->  ( ( K  +  M )  -  ( # `  A
) )  =  ( ( K  -  ( L  -  M )
)  +  0 ) ) )
367, 35syl5com 30 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  ->  ( (
( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( K  +  M )  -  ( # `  A
) )  =  ( ( K  -  ( L  -  M )
)  +  0 ) ) )
3736adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M
) ) )  -> 
( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) ) )  ->  ( ( K  +  M )  -  ( # `  A ) )  =  ( ( K  -  ( L  -  M ) )  +  0 ) ) )
3837impcom 430 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  (
( K  +  M
)  -  ( # `  A ) )  =  ( ( K  -  ( L  -  M
) )  +  0 ) )
3938fveq2d 5690 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  ( B `  ( ( K  +  M )  -  ( # `  A
) ) )  =  ( B `  (
( K  -  ( L  -  M )
)  +  0 ) ) )
40 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V ) )
41 swrdccatin12lem2a 12368 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) )  ->  ( K  +  M )  e.  ( L..^ ( L  +  ( # `  B ) ) ) ) )
4241adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M
) ) )  -> 
( K  +  M
)  e.  ( L..^ ( L  +  (
# `  B )
) ) ) )
4342imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  ( K  +  M )  e.  ( L..^ ( L  +  ( # `  B
) ) ) )
44 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  A )  =  L  ->  ( # `  A )  =  L )
45 oveq1 6093 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  A )  =  L  ->  ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) )  =  ( L  +  ( # `  B ) ) )
4644, 45oveq12d 6104 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  A )  =  L  ->  ( (
# `  A )..^ ( ( # `  A
)  +  ( # `  B ) ) )  =  ( L..^ ( L  +  ( # `  B
) ) ) )
4746eleq2d 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  A )  =  L  ->  ( ( K  +  M )  e.  ( ( # `  A )..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) )  <->  ( K  +  M )  e.  ( L..^ ( L  +  ( # `  B ) ) ) ) )
4847eqcoms 2441 . . . . . . . 8  |-  ( L  =  ( # `  A
)  ->  ( ( K  +  M )  e.  ( ( # `  A
)..^ ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) )  <->  ( K  +  M )  e.  ( L..^ ( L  +  ( # `  B ) ) ) ) )
491, 48ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( K  +  M )  e.  ( ( # `  A )..^ ( (
# `  A )  +  ( # `  B
) ) )  <->  ( K  +  M )  e.  ( L..^ ( L  +  ( # `  B ) ) ) )
5043, 49sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  ( K  +  M )  e.  ( ( # `  A
)..^ ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) )
51 df-3an 967 . . . . . 6  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  ( K  +  M )  e.  ( ( # `  A
)..^ ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) )  <->  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( K  +  M )  e.  ( ( # `  A
)..^ ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) ) )
5240, 50, 51sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  ( K  +  M )  e.  ( ( # `  A
)..^ ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) ) )
53 ccatval2 12269 . . . . 5  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V  /\  ( K  +  M )  e.  ( ( # `  A
)..^ ( ( # `  A )  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( ( A concat  B
) `  ( K  +  M ) )  =  ( B `  (
( K  +  M
)  -  ( # `  A ) ) ) )
5452, 53syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  (
( A concat  B ) `  ( K  +  M
) )  =  ( B `  ( ( K  +  M )  -  ( # `  A
) ) ) )
55 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  B  e. Word  V )
5655adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  B  e. Word  V )
57 elfz2 11436 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `
 B ) ) )  <->  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  ( # `  B
) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )
58 zsubcl 10679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( N  -  L
)  e.  ZZ )
5958ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  -  L
)  e.  ZZ )
6059adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  L  <_  N
)  ->  ( N  -  L )  e.  ZZ )
61 zre 10642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
62 zre 10642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  RR )
63 subge0 9844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( N  -  L )  <->  L  <_  N ) )
6461, 62, 63syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  ( N  -  L )  <->  L  <_  N ) )
6564biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( L  <_  N  ->  0  <_  ( N  -  L ) ) )
6665imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  L  <_  N
)  ->  0  <_  ( N  -  L ) )
67 elnn0z 10651 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  -  L )  e.  NN0  <->  ( ( N  -  L )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( N  -  L
) ) )
6860, 66, 67sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  L  <_  N
)  ->  ( N  -  L )  e.  NN0 )
6968expcom 435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( L  <_  N  ->  (
( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  -  L )  e.  NN0 ) )
7069adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B ) ) )  ->  (
( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  -  L )  e.  NN0 ) )
7170com12 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) )  -> 
( N  -  L
)  e.  NN0 )
)
72713adant2 1007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  ( # `
 B ) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) )  -> 
( N  -  L
)  e.  NN0 )
)
7372imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  (
# `  B )
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( N  -  L )  e.  NN0 )
7457, 73sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `
 B ) ) )  ->  ( N  -  L )  e.  NN0 )
7574adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( N  -  L
)  e.  NN0 )
76 0elfz 11475 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  L )  e.  NN0  ->  0  e.  ( 0 ... ( N  -  L )
) )
7775, 76syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
0  e.  ( 0 ... ( N  -  L ) ) )
7877adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  0  e.  ( 0 ... ( N  -  L )
) )
7978adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  0  e.  ( 0 ... ( N  -  L )
) )
80 lencl 12241 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e. Word  V  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
81 elfzel2 11443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( 0 ... L )  ->  L  e.  ZZ )
8270expcomd 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B ) ) )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( N  -  L )  e.  NN0 ) ) )
8382com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) )  -> 
( L  e.  ZZ  ->  ( N  -  L
)  e.  NN0 )
) )
84833ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  ( # `
 B ) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) )  -> 
( L  e.  ZZ  ->  ( N  -  L
)  e.  NN0 )
) )
8584imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  (
# `  B )
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( L  e.  ZZ  ->  ( N  -  L )  e.  NN0 ) )
8685com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (
( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  ( # `  B
) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( N  -  L )  e.  NN0 ) )
8786adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  NN0 )  -> 
( ( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  ( # `  B
) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( N  -  L )  e.  NN0 ) )
8887imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B
)  e.  NN0 )  /\  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  ( # `  B
) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( N  -  L )  e.  NN0 )
89 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B
)  e.  NN0 )  /\  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  ( # `  B
) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
90613ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  ( # `
 B ) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
9190adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B
)  e.  NN0 )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  (
# `  B )
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )
)  ->  N  e.  RR )
9262adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  NN0 )  ->  L  e.  RR )
9392adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B
)  e.  NN0 )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  (
# `  B )
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )
)  ->  L  e.  RR )
94 nn0re 10580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  B )  e.  NN0  ->  ( # `  B
)  e.  RR )
9594adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  NN0 )  -> 
( # `  B )  e.  RR )
9695adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B
)  e.  NN0 )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  (
# `  B )
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )
)  ->  ( # `  B
)  e.  RR )
9791, 93, 963jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B
)  e.  NN0 )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  (
# `  B )
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )
)  ->  ( N  e.  RR  /\  L  e.  RR  /\  ( # `  B )  e.  RR ) )
98 lesubadd2 9804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  RR  /\  L  e.  RR  /\  ( # `
 B )  e.  RR )  ->  (
( N  -  L
)  <_  ( # `  B
)  <->  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) ) )
9998biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  RR  /\  L  e.  RR  /\  ( # `
 B )  e.  RR )  ->  ( N  <_  ( L  +  ( # `  B ) )  ->  ( N  -  L )  <_  ( # `
 B ) ) )
10097, 99syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B
)  e.  NN0 )  /\  ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  (
# `  B )
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )
)  ->  ( N  <_  ( L  +  (
# `  B )
)  ->  ( N  -  L )  <_  ( # `
 B ) ) )
101100ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  NN0 )  -> 
( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  ( # `  B
) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <_ 
( L  +  (
# `  B )
)  ->  ( N  -  L )  <_  ( # `
 B ) ) ) )
102101com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  <_  ( L  +  ( # `  B ) )  ->  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  ( # `  B
) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `
 B )  e. 
NN0 )  ->  ( N  -  L )  <_  ( # `  B
) ) ) )
103102adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B ) ) )  ->  (
( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  (
# `  B )
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  NN0 )  ->  ( N  -  L )  <_  ( # `
 B ) ) ) )
104103impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  (
# `  B )
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `
 B )  e. 
NN0 )  ->  ( N  -  L )  <_  ( # `  B
) ) )
105104impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B
)  e.  NN0 )  /\  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  ( # `  B
) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( N  -  L )  <_  ( # `
 B ) )
10688, 89, 1053jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B
)  e.  NN0 )  /\  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  ( # `  B
) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( N  -  L )  e.  NN0  /\  ( # `  B )  e.  NN0  /\  ( N  -  L
)  <_  ( # `  B
) ) )
107106ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  NN0 )  -> 
( ( ( L  e.  ZZ  /\  ( L  +  ( # `  B
) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  N  /\  N  <_  ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( ( N  -  L )  e. 
NN0  /\  ( # `  B
)  e.  NN0  /\  ( N  -  L
)  <_  ( # `  B
) ) ) )
108 elfz2nn0 11472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  B
) )  <->  ( ( N  -  L )  e.  NN0  /\  ( # `  B )  e.  NN0  /\  ( N  -  L
)  <_  ( # `  B
) ) )
109107, 57, 1083imtr4g 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) )  -> 
( N  -  L
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) ) ) )
110109ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (
( # `  B )  e.  NN0  ->  ( N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `
 B ) ) )  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  B ) ) ) ) )
111110com23 78 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) )  ->  (
( # `  B )  e.  NN0  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) ) ) ) )
11281, 111syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( 0 ... L )  ->  ( N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) )  ->  (
( # `  B )  e.  NN0  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) ) ) ) )
113112imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( ( # `  B
)  e.  NN0  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  B
) ) ) )
11480, 113syl5com 30 . . . . . . . 8  |-  ( B  e. Word  V  ->  (
( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  B ) ) ) )
115114adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  ( ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) )  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  B ) ) ) )
116115imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `  B ) ) )
117116adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  ( N  -  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) ) )
118 swrdccatin12lem2b 12369 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... L )  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  (
# `  B )
) ) )  -> 
( ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) )  ->  ( K  -  ( L  -  M ) )  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  0 ) ) ) )
119118adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M
) ) )  -> 
( K  -  ( L  -  M )
)  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  0 ) ) ) )
120119imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  ( K  -  ( L  -  M ) )  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  0 ) ) )
121 swrdfv 12312 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e. Word  V  /\  0  e.  (
0 ... ( N  -  L ) )  /\  ( N  -  L
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) ) )  /\  ( K  -  ( L  -  M )
)  e.  ( 0..^ ( ( N  -  L )  -  0 ) ) )  -> 
( ( B substr  <. 0 ,  ( N  -  L ) >. ) `  ( K  -  ( L  -  M )
) )  =  ( B `  ( ( K  -  ( L  -  M ) )  +  0 ) ) )
12256, 79, 117, 120, 121syl31anc 1221 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  (
( B substr  <. 0 ,  ( N  -  L
) >. ) `  ( K  -  ( L  -  M ) ) )  =  ( B `  ( ( K  -  ( L  -  M
) )  +  0 ) ) )
12339, 54, 1223eqtr4d 2480 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  (
( A concat  B ) `  ( K  +  M
) )  =  ( ( B substr  <. 0 ,  ( N  -  L ) >. ) `  ( K  -  ( L  -  M )
) ) )
124 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  A  e. Word  V )
125 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  M  e.  ( 0 ... L
) )
126 lencl 12241 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e. Word  V  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
127 elnn0uz 10890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  <->  ( # `  A
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
128 eluzfz2 11451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  A )  e.  ( ZZ>= `  0 )  ->  ( # `  A
)  e.  ( 0 ... ( # `  A
) ) )
129127, 128sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( # `  A
)  e.  ( 0 ... ( # `  A
) ) )
1301, 129syl5eqel 2522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `
 A ) ) )
131126, 130syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e. Word  V  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `
 A ) ) )
132131adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `  A
) ) )
133132adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `
 A ) ) )
134124, 125, 1333jca 1168 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( A  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... L
)  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `
 A ) ) ) )
135134adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  ( A  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... L
)  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `
 A ) ) ) )
136 swrdlen 12311 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... L )  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( # `  ( A substr  <. M ,  L >. ) )  =  ( L  -  M ) )
137135, 136syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  ( # `
 ( A substr  <. M ,  L >. ) )  =  ( L  -  M
) )
138137eqcomd 2443 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  ( L  -  M )  =  ( # `  ( A substr  <. M ,  L >. ) ) )
139138oveq2d 6102 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  ( K  -  ( L  -  M ) )  =  ( K  -  ( # `
 ( A substr  <. M ,  L >. ) ) ) )
140139fveq2d 5690 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  (
( B substr  <. 0 ,  ( N  -  L
) >. ) `  ( K  -  ( L  -  M ) ) )  =  ( ( B substr  <. 0 ,  ( N  -  L ) >.
) `  ( K  -  ( # `  ( A substr  <. M ,  L >. ) ) ) ) )
1416, 123, 1403eqtrd 2474 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V
)  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  /\  ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M ) ) ) )  ->  (
( ( A concat  B
) substr  <. M ,  N >. ) `  K )  =  ( ( B substr  <. 0 ,  ( N  -  L ) >.
) `  ( K  -  ( # `  ( A substr  <. M ,  L >. ) ) ) ) )
142141ex 434 1  |-  ( ( ( A  e. Word  V  /\  B  e. Word  V )  /\  ( M  e.  ( 0 ... L
)  /\  N  e.  ( L ... ( L  +  ( # `  B
) ) ) ) )  ->  ( ( K  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  /\  -.  K  e.  ( 0..^ ( L  -  M
) ) )  -> 
( ( ( A concat  B ) substr  <. M ,  N >. ) `  K
)  =  ( ( B substr  <. 0 ,  ( N  -  L )
>. ) `  ( K  -  ( # `  ( A substr  <. M ,  L >. ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   <.cop 3878   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274    + caddc 9277    <_ cle 9411    - cmin 9587   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   ...cfz 11429  ..^cfzo 11540   #chash 12095  Word cword 12213   concat cconcat 12215   substr csubstr 12217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-hash 12096  df-word 12221  df-concat 12223  df-substr 12225
This theorem is referenced by:  swrdccatin12  12374
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