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Theorem swrdccatin1 12841
 Description: The subword of a concatenation of two words within the first of the concatenated words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 28-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdccatin1 Word Word ++ substr substr

Proof of Theorem swrdccatin1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6313 . . . . . . 7
21eleq2d 2492 . . . . . 6
3 elfz1eq 11817 . . . . . . 7
4 elfz1eq 11817 . . . . . . . . 9
5 swrd00 12776 . . . . . . . . . . 11 ++ substr
6 swrd00 12776 . . . . . . . . . . 11 substr
75, 6eqtr4i 2454 . . . . . . . . . 10 ++ substr substr
8 opeq1 4187 . . . . . . . . . . 11
98oveq2d 6321 . . . . . . . . . 10 ++ substr ++ substr
108oveq2d 6321 . . . . . . . . . 10 substr substr
117, 9, 103eqtr4a 2489 . . . . . . . . 9 ++ substr substr
124, 11syl 17 . . . . . . . 8 ++ substr substr
13 oveq2 6313 . . . . . . . . . 10
1413eleq2d 2492 . . . . . . . . 9
15 opeq2 4188 . . . . . . . . . . 11
1615oveq2d 6321 . . . . . . . . . 10 ++ substr ++ substr
1715oveq2d 6321 . . . . . . . . . 10 substr substr
1816, 17eqeq12d 2444 . . . . . . . . 9 ++ substr substr ++ substr substr
1914, 18imbi12d 321 . . . . . . . 8 ++ substr substr ++ substr substr
2012, 19mpbiri 236 . . . . . . 7 ++ substr substr
213, 20syl 17 . . . . . 6 ++ substr substr
222, 21syl6bi 231 . . . . 5 ++ substr substr
2322com23 81 . . . 4 ++ substr substr
2423impd 432 . . 3 ++ substr substr
2524a1d 26 . 2 Word Word ++ substr substr
26 ccatcl 12724 . . . . . . . 8 Word Word ++ Word
2726adantl 467 . . . . . . 7 Word Word ++ Word
2827adantr 466 . . . . . 6 Word Word ++ Word
29 simprl 762 . . . . . 6 Word Word
30 elfzelfzccat 12729 . . . . . . . . . 10 Word Word ++
3130adantl 467 . . . . . . . . 9 Word Word ++
3231com12 32 . . . . . . . 8 Word Word ++
3332adantl 467 . . . . . . 7 Word Word ++
3433impcom 431 . . . . . 6 Word Word ++
35 swrdvalfn 12784 . . . . . 6 ++ Word ++ ++ substr ..^
3628, 29, 34, 35syl3anc 1264 . . . . 5 Word Word ++ substr ..^
37 3anass 986 . . . . . . . . 9 Word Word
3837simplbi2 629 . . . . . . . 8 Word Word
3938ad2antrl 732 . . . . . . 7 Word Word Word
4039imp 430 . . . . . 6 Word Word Word
41 swrdvalfn 12784 . . . . . 6 Word substr ..^
4240, 41syl 17 . . . . 5 Word Word substr ..^
43 simprl 762 . . . . . . . 8 Word Word Word
4443ad2antrr 730 . . . . . . 7 Word Word ..^ Word
45 simprr 764 . . . . . . . 8 Word Word Word
4645ad2antrr 730 . . . . . . 7 Word Word ..^ Word
47 elfzo0 11963 . . . . . . . . . 10 ..^
48 elfz2nn0 11892 . . . . . . . . . . . . . 14
49 nn0addcl 10912 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5049expcom 436 . . . . . . . . . . . . . . 15
51503ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . 14
5248, 51sylbi 198 . . . . . . . . . . . . 13
5352ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . 12 Word Word
5453com12 32 . . . . . . . . . . 11 Word Word
55543ad2ant1 1026 . . . . . . . . . 10 Word Word
5647, 55sylbi 198 . . . . . . . . 9 ..^ Word Word
5756impcom 431 . . . . . . . 8 Word Word ..^
58 lencl 12691 . . . . . . . . . . . 12 Word
59 df-ne 2616 . . . . . . . . . . . . 13
60 elnnne0 10890 . . . . . . . . . . . . . 14
6160simplbi2 629 . . . . . . . . . . . . 13
6259, 61syl5bir 221 . . . . . . . . . . . 12
6358, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 Word
6463adantr 466 . . . . . . . . . 10 Word Word
6564impcom 431 . . . . . . . . 9 Word Word
6665ad2antrr 730 . . . . . . . 8 Word Word ..^
67 elfz2nn0 11892 . . . . . . . . . . . . . . . 16
68 nn0re 10885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6968ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
70 nn0re 10885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7170adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7271adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
73 nn0re 10885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7473ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7569, 72, 74ltaddsubd 10220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
76 nn0re 10885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7749, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7877adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
79 nn0re 10885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
8079adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
8180adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
82 ltletr 9732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8378, 74, 81, 82syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8483expd 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8575, 84sylbird 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8685ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8786com24 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
88873impia 1202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8988com13 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9089impancom 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
91903adant2 1024 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9291com13 83 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9367, 92sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . 15
9493com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14
95943ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . 13
9648, 95sylbi 198 . . . . . . . . . . . 12
9796a1i 11 . . . . . . . . . . 11 Word Word
9897imp32 434 . . . . . . . . . 10 Word Word
9947, 98syl5bi 220 . . . . . . . . 9 Word Word ..^
10099imp 430 . . . . . . . 8 Word Word ..^
101 elfzo0 11963 . . . . . . . 8 ..^
10257, 66, 100, 101syl3anbrc 1189 . . . . . . 7 Word Word ..^ ..^
103 ccatval1 12726 . . . . . . 7 Word Word ..^ ++
10444, 46, 102, 103syl3anc 1264 . . . . . 6 Word Word ..^ ++
10527ad2antrr 730 . . . . . . . 8 Word Word ..^ ++ Word
10629adantr 466 . . . . . . . 8 Word Word ..^
10734adantr 466 . . . . . . . 8 Word Word ..^ ++
108105, 106, 1073jca 1185 . . . . . . 7 Word Word ..^ ++ Word ++
109 swrdfv 12782 . . . . . . 7 ++ Word ++ ..^ ++ substr ++
110108, 109sylancom 671 . . . . . 6 Word Word ..^ ++ substr ++
111 swrdfv 12782 . . . . . . 7 Word ..^ substr
11240, 111sylan 473 . . . . . 6 Word Word ..^ substr
113104, 110, 1123eqtr4d 2473 . . . . 5 Word Word ..^ ++ substr substr
11436, 42, 113eqfnfvd 5994 . . . 4 Word Word ++ substr substr
115114ex 435 . . 3 Word Word ++ substr substr
116115ex 435 . 2 Word Word ++ substr substr
11725, 116pm2.61i 167 1 Word Word ++ substr substr
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1872   wne 2614  c0 3761  cop 4004   class class class wbr 4423   wfn 5596  cfv 5601  (class class class)co 6305  cr 9545  cc0 9546   caddc 9549   clt 9682   cle 9683   cmin 9867  cn 10616  cn0 10876  cfz 11791  ..^cfzo 11922  chash 12521  Word cword 12660   ++ cconcat 12662   substr csubstr 12664 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-card 8381  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-2 10675  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-hash 12522  df-word 12668  df-concat 12670  df-substr 12672 This theorem is referenced by:  swrdccat3  12850  swrdccatin1d  12857  pfxccat3  38837  pfxccatpfx1  38838
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