Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdccatid Structured version   Unicode version

Theorem swrdccatid 12799
 Description: A prefix of a concatenation of length of the first concatenated word is the first word itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdccatid Word Word ++ substr

Proof of Theorem swrdccatid
StepHypRef Expression
1 3simpa 1002 . . 3 Word Word Word Word
2 lencl 12635 . . . . 5 Word
3 lencl 12635 . . . . . 6 Word
4 simplr 760 . . . . . . . . 9
5 eleq1 2494 . . . . . . . . . 10
65adantl 467 . . . . . . . . 9
74, 6mpbird 235 . . . . . . . 8
8 nn0addcl 10856 . . . . . . . . . 10
98ancoms 454 . . . . . . . . 9
109adantr 466 . . . . . . . 8
11 nn0re 10829 . . . . . . . . . . . . 13
1211anim1i 570 . . . . . . . . . . . 12
1312ancoms 454 . . . . . . . . . . 11
14 nn0addge1 10867 . . . . . . . . . . 11
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . 10
1615adantr 466 . . . . . . . . 9
17 breq1 4369 . . . . . . . . . 10
1817adantl 467 . . . . . . . . 9
1916, 18mpbird 235 . . . . . . . 8
20 elfz2nn0 11836 . . . . . . . 8
217, 10, 19, 20syl3anbrc 1189 . . . . . . 7
2221exp31 607 . . . . . 6
233, 22syl 17 . . . . 5 Word
242, 23syl5com 31 . . . 4 Word Word
25243imp 1199 . . 3 Word Word
26 eqid 2428 . . . 4
2726swrdccat3a 12796 . . 3 Word Word ++ substr substr ++ substr
281, 25, 27sylc 62 . 2 Word Word ++ substr substr ++ substr
292, 11syl 17 . . . . . 6 Word
3029leidd 10131 . . . . 5 Word
31303ad2ant1 1026 . . . 4 Word Word
32 breq1 4369 . . . . 5
33323ad2ant3 1028 . . . 4 Word Word
3431, 33mpbird 235 . . 3 Word Word
3534iftrued 3862 . 2 Word Word substr ++ substr substr
36 swrdid 12730 . . . 4 Word substr
37363ad2ant1 1026 . . 3 Word Word substr
38 opeq2 4131 . . . . . 6
3938oveq2d 6265 . . . . 5 substr substr
4039eqeq1d 2430 . . . 4 substr substr
41403ad2ant3 1028 . . 3 Word Word substr substr
4237, 41mpbird 235 . 2 Word Word substr
4328, 35, 423eqtrd 2466 1 Word Word ++ substr
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1872  cif 3854  cop 3947   class class class wbr 4366  cfv 5544  (class class class)co 6249  cr 9489  cc0 9490   caddc 9493   cle 9627   cmin 9811  cn0 10820  cfz 11735  chash 12465  Word cword 12604   ++ cconcat 12606   substr csubstr 12608 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-card 8325  df-cda 8549  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-hash 12466  df-word 12612  df-concat 12614  df-substr 12616 This theorem is referenced by:  ccats1swrdeqbi  12800  clwlkisclwwlk2  25460  clwlkfoclwwlk  25515  numclwlk1lem2foa  25761  numclwlk1lem2fo  25765
 Copyright terms: Public domain W3C validator