Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdccat3a Structured version   Unicode version

Theorem swrdccat3a 12678
 Description: A prefix of a concatenation is either a prefix of the first concatenated word or a concatenation of the first word with a prefix of the second word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Mar-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 29-May-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
swrdccatin12.l
Assertion
Ref Expression
swrdccat3a Word Word concat substr substr concat substr

Proof of Theorem swrdccat3a
StepHypRef Expression
1 elfznn0 11766 . . . . . 6
2 0elfz 11768 . . . . . 6
31, 2syl 16 . . . . 5
43ancri 552 . . . 4
5 swrdccatin12.l . . . . . 6
65swrdccat3 12676 . . . . 5 Word Word concat substr substr substr substr concat substr
76imp 429 . . . 4 Word Word concat substr substr substr substr concat substr
84, 7sylan2 474 . . 3 Word Word concat substr substr substr substr concat substr
9 iftrue 3945 . . . . 5 substr concat substr substr
109adantl 466 . . . 4 Word Word substr concat substr substr
11 iffalse 3948 . . . . . 6 substr concat substr concat substr
12113ad2ant2 1018 . . . . 5 Word Word substr concat substr concat substr
13 lencl 12524 . . . . . . . . . . . . 13 Word
145, 13syl5eqel 2559 . . . . . . . . . . . 12 Word
15 nn0le0eq0 10820 . . . . . . . . . . . 12
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . 11 Word
1716biimpd 207 . . . . . . . . . 10 Word
1817adantr 465 . . . . . . . . 9 Word Word
195eqeq1i 2474 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2019biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . 15
21 hasheq0 12397 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word
2220, 21syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . . 14 Word
2322adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13 Word Word
2423imp 429 . . . . . . . . . . . 12 Word Word
25 0m0e0 10641 . . . . . . . . . . . . . . . 16
26 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2726eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2825, 27syl5eqr 2522 . . . . . . . . . . . . . . 15
2928adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14 Word Word
3029opeq1d 4219 . . . . . . . . . . . . 13 Word Word
3130oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . 12 Word Word substr substr
3224, 31oveq12d 6300 . . . . . . . . . . 11 Word Word concat substr concat substr
33 swrdcl 12605 . . . . . . . . . . . . . 14 Word substr Word
34 ccatlid 12564 . . . . . . . . . . . . . 14 substr Word concat substr substr
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 Word concat substr substr
3635adantl 466 . . . . . . . . . . . 12 Word Word concat substr substr
3736adantr 465 . . . . . . . . . . 11 Word Word concat substr substr
3832, 37eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10 Word Word concat substr substr
3938ex 434 . . . . . . . . 9 Word Word concat substr substr
4018, 39syld 44 . . . . . . . 8 Word Word concat substr substr
4140adantr 465 . . . . . . 7 Word Word concat substr substr
4241imp 429 . . . . . 6 Word Word concat substr substr
43423adant2 1015 . . . . 5 Word Word concat substr substr
4412, 43eqtrd 2508 . . . 4 Word Word substr concat substr substr
45113ad2ant2 1018 . . . . 5 Word Word substr concat substr concat substr
465opeq2i 4217 . . . . . . . . . . 11
4746oveq2i 6293 . . . . . . . . . 10 substr substr
48 swrdid 12611 . . . . . . . . . 10 Word substr
4947, 48syl5req 2521 . . . . . . . . 9 Word substr
5049adantr 465 . . . . . . . 8 Word Word substr
5150adantr 465 . . . . . . 7 Word Word substr
52513ad2ant1 1017 . . . . . 6 Word Word substr
5352oveq1d 6297 . . . . 5 Word Word concat substr substr concat substr
5445, 53eqtrd 2508 . . . 4 Word Word substr concat substr substr concat substr
5510, 44, 542if2 3987 . . 3 Word Word substr concat substr substr substr substr concat substr
568, 55eqtr4d 2511 . 2 Word Word concat substr substr concat substr
5756ex 434 1 Word Word concat substr substr concat substr
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  c0 3785  cif 3939  cop 4033   class class class wbr 4447  cfv 5586  (class class class)co 6282  cc0 9488   caddc 9491   cle 9625   cmin 9801  cn0 10791  cfz 11668  chash 12369  Word cword 12496   concat cconcat 12498   substr csubstr 12500 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-hash 12370  df-word 12504  df-concat 12506  df-substr 12508 This theorem is referenced by:  swrdccatid  12681
 Copyright terms: Public domain W3C validator