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Theorem swrdccat3 12676
 Description: The subword of a concatenation is either a subword of the first concatenated word or a subword of the second concatenated word or a concatenation of a suffix of the first word with a prefix of the second word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 28-May-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
swrdccatin12.l
Assertion
Ref Expression
swrdccat3 Word Word concat substr substr substr substr concat substr

Proof of Theorem swrdccat3
StepHypRef Expression
1 simpll 753 . . . 4 Word Word Word Word
2 simpl 457 . . . . . 6
32ad2antlr 726 . . . . 5 Word Word
4 lencl 12524 . . . . . . . . 9 Word
5 elfznn0 11766 . . . . . . . . . . . . . . 15
65adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
76adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
8 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13
9 swrdccatin12.l . . . . . . . . . . . . . . . 16
109breq2i 4455 . . . . . . . . . . . . . . 15
1110biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . 14
1211adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13
13 elfz2nn0 11764 . . . . . . . . . . . . 13
147, 8, 12, 13syl3anbrc 1180 . . . . . . . . . . . 12
1514ex 434 . . . . . . . . . . 11
1615ex 434 . . . . . . . . . 10
1716adantl 466 . . . . . . . . 9
184, 17syl5com 30 . . . . . . . 8 Word
1918adantr 465 . . . . . . 7 Word Word
2019imp 429 . . . . . 6 Word Word
2120imp 429 . . . . 5 Word Word
223, 21jca 532 . . . 4 Word Word
23 swrdccatin1 12667 . . . 4 Word Word concat substr substr
241, 22, 23sylc 60 . . 3 Word Word concat substr substr
25 simp1l 1020 . . . 4 Word Word Word Word
269eleq1i 2544 . . . . . . . . . . 11
27 elfz2nn0 11764 . . . . . . . . . . . . . 14
28 nn0z 10883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2928adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
30 nn0z 10883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
31303ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3231adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
33 nn0z 10883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
34333ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3534adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3629, 32, 353jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3736adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
38 simpl3 1001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3938anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4039ancomd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
41 elfz2 11675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4237, 40, 41sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4342ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15
4443ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14
4527, 44sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13
4645adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
4746com12 31 . . . . . . . . . . 11
4826, 47sylbir 213 . . . . . . . . . 10
494, 48syl 16 . . . . . . . . 9 Word
5049adantr 465 . . . . . . . 8 Word Word
5150imp 429 . . . . . . 7 Word Word
5251a1d 25 . . . . . 6 Word Word
53523imp 1190 . . . . 5 Word Word
54 elfz2nn0 11764 . . . . . . . . . . . 12
55 nn0z 10883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
569, 55syl5eqel 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5756adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5857adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
59 nn0z 10883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
60593ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6160adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
62303ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6362adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
6458, 61, 633jca 1176 . . . . . . . . . . . . . 14
659eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6665eleq1i 2544 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
67 nn0re 10800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
68 nn0re 10800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
69 ltnle 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7067, 68, 69syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7170bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
72 ltle 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7367, 68, 72syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7471, 73sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7574ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7666, 75syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
77763ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7877imp32 433 . . . . . . . . . . . . . . 15
79 simpl3 1001 . . . . . . . . . . . . . . 15
8078, 79jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14
81 elfz2 11675 . . . . . . . . . . . . . 14
8264, 80, 81sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . 13
8382exp32 605 . . . . . . . . . . . 12
8454, 83sylbi 195 . . . . . . . . . . 11
8584adantl 466 . . . . . . . . . 10
864, 85syl5com 30 . . . . . . . . 9 Word
8786adantr 465 . . . . . . . 8 Word Word
8887imp 429 . . . . . . 7 Word Word
8988a1dd 46 . . . . . 6 Word Word
90893imp 1190 . . . . 5 Word Word
9153, 90jca 532 . . . 4 Word Word
929swrdccatin2 12671 . . . 4 Word Word concat substr substr
9325, 91, 92sylc 60 . . 3 Word Word concat substr substr
94 simp1l 1020 . . . 4 Word Word Word Word
95 nn0re 10800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9695adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
97 ltnle 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9896, 67, 97syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9998bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16
100 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
101 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
102 ltle 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
10395, 67, 102syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
104103imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
105 elfz2nn0 11764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
106100, 101, 104, 105syl3anbrc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
107106ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
108107ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
109108adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
110109impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11199, 110sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . 15
112111expcom 435 . . . . . . . . . . . . . 14
1131123adant3 1016 . . . . . . . . . . . . 13
11427, 113sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12
11566, 114syl5bi 217 . . . . . . . . . . 11
116115adantr 465 . . . . . . . . . 10
1174, 116syl5com 30 . . . . . . . . 9 Word
118117adantr 465 . . . . . . . 8 Word Word
119118imp 429 . . . . . . 7 Word Word
120119a1d 25 . . . . . 6 Word Word
1211203imp 1190 . . . . 5 Word Word
122683ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12369bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12467, 122, 123syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12528adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
12660adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
12762adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
128125, 126, 1273jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
129128adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
13067, 122, 72syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
131130imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
132 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
133132ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
134131, 133jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
135129, 134, 81sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
136135ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16
137124, 136sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . 15
138137ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14
13966, 138sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13
1404, 139syl 16 . . . . . . . . . . . 12 Word
141140adantr 465 . . . . . . . . . . 11 Word Word
142141com12 31 . . . . . . . . . 10 Word Word
14354, 142sylbi 195 . . . . . . . . 9 Word Word
144143adantl 466 . . . . . . . 8 Word Word
145144impcom 430 . . . . . . 7 Word Word
146145a1dd 46 . . . . . 6 Word Word
1471463imp 1190 . . . . 5 Word Word
148121, 147jca 532 . . . 4 Word Word
1499swrdccatin12 12675 . . . 4 Word Word concat substr substr concat substr
15094, 148, 149sylc 60 . . 3 Word Word concat substr substr concat substr
15124, 93, 1502if2 3987 . 2 Word Word concat substr substr substr substr concat substr
152151ex 434 1 Word Word concat substr substr substr substr concat substr
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  cif 3939  cop 4033   class class class wbr 4447  cfv 5586  (class class class)co 6282  cr 9487  cc0 9488   caddc 9491   clt 9624   cle 9625   cmin 9801  cn0 10791  cz 10860  cfz 11668  chash 12369  Word cword 12496   concat cconcat 12498   substr csubstr 12500 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-hash 12370  df-word 12504  df-concat 12506  df-substr 12508 This theorem is referenced by:  swrdccat  12677  swrdccat3a  12678  swrdccat3b  12680
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