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Theorem swrd0swrd 28009
Description: A prefix of a subword. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrd0swrd  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( L  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  -> 
( ( W substr  <. M ,  N >. ) substr  <. 0 ,  L >. )  =  ( W substr  <. M ,  ( M  +  L )
>. ) ) )

Proof of Theorem swrd0swrd
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 swrdcl 11721 . . . . . 6  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( W substr  <. M ,  N >. )  e. Word  V )
213ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( W substr  <. M ,  N >. )  e. Word  V )
32adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
) )  ->  ( W substr  <. M ,  N >. )  e. Word  V )
4 3ancomb 945 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  <->  ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) ) )
5 swrdlen 11725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) )  =  ( N  -  M ) )
64, 5sylbi 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( # `
 ( W substr  <. M ,  N >. ) )  =  ( N  -  M
) )
76eqcomd 2409 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  -  M )  =  ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) ) )
87oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
0 ... ( N  -  M ) )  =  ( 0 ... ( # `
 ( W substr  <. M ,  N >. ) ) ) )
98eleq2d 2471 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( L  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  <->  L  e.  ( 0 ... ( # `
 ( W substr  <. M ,  N >. ) ) ) ) )
109biimpa 471 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
) )  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `
 ( W substr  <. M ,  N >. ) ) ) )
11 swrd0val 11723 . . . 4  |-  ( ( ( W substr  <. M ,  N >. )  e. Word  V  /\  L  e.  (
0 ... ( # `  ( W substr  <. M ,  N >. ) ) ) )  ->  ( ( W substr  <. M ,  N >. ) substr  <. 0 ,  L >. )  =  ( ( W substr  <. M ,  N >. )  |`  ( 0..^ L ) ) )
123, 10, 11syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
) )  ->  (
( W substr  <. M ,  N >. ) substr  <. 0 ,  L >. )  =  ( ( W substr  <. M ,  N >. )  |`  (
0..^ L ) ) )
134biimpi 187 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) ) )
1413adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
) )  ->  ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) ) )
15 swrdvalfn 28007 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( W substr  <. M ,  N >. )  Fn  (
0..^ ( N  -  M ) ) )
1614, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
) )  ->  ( W substr  <. M ,  N >. )  Fn  ( 0..^ ( N  -  M
) ) )
17 elfz2nn0 11038 . . . . . . . . 9  |-  ( L  e.  ( 0 ... ( N  -  M
) )  <->  ( L  e.  NN0  /\  ( N  -  M )  e. 
NN0  /\  L  <_  ( N  -  M ) ) )
18 nn0z 10260 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  e.  NN0  ->  L  e.  ZZ )
19 nn0z 10260 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  -  M )  e.  NN0  ->  ( N  -  M )  e.  ZZ )
20 id 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  <_  ( N  -  M )  ->  L  <_  ( N  -  M
) )
2118, 19, 203anim123i 1139 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0  /\  L  <_  ( N  -  M ) )  -> 
( L  e.  ZZ  /\  ( N  -  M
)  e.  ZZ  /\  L  <_  ( N  -  M ) ) )
2217, 21sylbi 188 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  ( 0 ... ( N  -  M
) )  ->  ( L  e.  ZZ  /\  ( N  -  M )  e.  ZZ  /\  L  <_ 
( N  -  M
) ) )
2322adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
) )  ->  ( L  e.  ZZ  /\  ( N  -  M )  e.  ZZ  /\  L  <_ 
( N  -  M
) ) )
24 eluz2 10450 . . . . . . 7  |-  ( ( N  -  M )  e.  ( ZZ>= `  L
)  <->  ( L  e.  ZZ  /\  ( N  -  M )  e.  ZZ  /\  L  <_ 
( N  -  M
) ) )
2523, 24sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
) )  ->  ( N  -  M )  e.  ( ZZ>= `  L )
)
26 fzoss2 11118 . . . . . 6  |-  ( ( N  -  M )  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  ( 0..^ L )  C_  (
0..^ ( N  -  M ) ) )
2725, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
) )  ->  (
0..^ L )  C_  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )
28 fnssres 5517 . . . . 5  |-  ( ( ( W substr  <. M ,  N >. )  Fn  (
0..^ ( N  -  M ) )  /\  ( 0..^ L )  C_  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )  ->  ( ( W substr  <. M ,  N >. )  |`  ( 0..^ L ) )  Fn  ( 0..^ L ) )
2916, 27, 28syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
) )  ->  (
( W substr  <. M ,  N >. )  |`  (
0..^ L ) )  Fn  ( 0..^ L ) )
30 simpl1 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
) )  ->  W  e. Word  V )
31 elfz2nn0 11038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  <->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) )
32 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  ->  M  e.  NN0 )
33 nn0addcl 10211 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( M  +  L
)  e.  NN0 )
34 nn0ge0 10203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( L  e.  NN0  ->  0  <_  L )
3534adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  -> 
0  <_  L )
36 nn0re 10186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
37 nn0re 10186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( L  e.  NN0  ->  L  e.  RR )
38 addge01 9494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( 0  <_  L  <->  M  <_  ( M  +  L ) ) )
3936, 37, 38syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( 0  <_  L  <->  M  <_  ( M  +  L ) ) )
4035, 39mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  ->  M  <_  ( M  +  L ) )
4132, 33, 403jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( M  e.  NN0  /\  ( M  +  L
)  e.  NN0  /\  M  <_  ( M  +  L ) ) )
4241ex 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( L  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN0  /\  ( M  +  L )  e.  NN0  /\  M  <_ 
( M  +  L
) ) ) )
43423ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( L  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN0  /\  ( M  +  L )  e.  NN0  /\  M  <_ 
( M  +  L
) ) ) )
4431, 43sylbi 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  ( L  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN0  /\  ( M  +  L )  e.  NN0  /\  M  <_ 
( M  +  L
) ) ) )
45443ad2ant3 980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( L  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN0  /\  ( M  +  L )  e.  NN0  /\  M  <_ 
( M  +  L
) ) ) )
4645com12 29 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  e.  NN0  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( M  e.  NN0  /\  ( M  +  L )  e.  NN0  /\  M  <_ 
( M  +  L
) ) ) )
47463ad2ant1 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0  /\  L  <_  ( N  -  M ) )  -> 
( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( M  e. 
NN0  /\  ( M  +  L )  e.  NN0  /\  M  <_  ( M  +  L ) ) ) )
4817, 47sylbi 188 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  ( 0 ... ( N  -  M
) )  ->  (
( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( M  e.  NN0  /\  ( M  +  L )  e.  NN0  /\  M  <_ 
( M  +  L
) ) ) )
4948impcom 420 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
) )  ->  ( M  e.  NN0  /\  ( M  +  L )  e.  NN0  /\  M  <_ 
( M  +  L
) ) )
50 elfz2nn0 11038 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( 0 ... ( M  +  L
) )  <->  ( M  e.  NN0  /\  ( M  +  L )  e. 
NN0  /\  M  <_  ( M  +  L ) ) )
5149, 50sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
) )  ->  M  e.  ( 0 ... ( M  +  L )
) )
5233ex 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( L  e.  NN0  ->  ( M  +  L )  e. 
NN0 ) )
53523ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( L  e.  NN0  ->  ( M  +  L )  e.  NN0 ) )
5431, 53sylbi 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  ( L  e.  NN0  ->  ( M  +  L )  e.  NN0 ) )
55543ad2ant3 980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( L  e.  NN0  ->  ( M  +  L )  e.  NN0 ) )
5655com12 29 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  e.  NN0  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( M  +  L )  e.  NN0 ) )
57563ad2ant1 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0  /\  L  <_  ( N  -  M ) )  -> 
( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( M  +  L )  e.  NN0 ) )
5817, 57sylbi 188 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  ( 0 ... ( N  -  M
) )  ->  (
( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( M  +  L )  e.  NN0 ) )
5958impcom 420 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
) )  ->  ( M  +  L )  e.  NN0 )
60 elfz2nn0 11038 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) ) )
61 simp2 958 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN0  /\  N  <_ 
( # `  W ) )  ->  ( # `  W
)  e.  NN0 )
6260, 61sylbi 188 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
63623ad2ant2 979 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
6463adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
) )  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
6536adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  M  e.  RR )
6665adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 )  ->  M  e.  RR )
6737adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 )  ->  L  e.  RR )
68 nn0re 10186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
6968adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR )
7069adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR )
7166, 67, 70leaddsub2d 9584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  L )  <_  N 
<->  L  <_  ( N  -  M ) ) )
7271bicomd 193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( L  <_ 
( N  -  M
)  <->  ( M  +  L )  <_  N
) )
73 nn0re 10186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( M  +  L )  e.  NN0  ->  ( M  +  L )  e.  RR )
7433, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( M  +  L
)  e.  RR )
7574adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( M  +  L )  e.  RR )
7675adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( # `
 W )  e. 
NN0 )  ->  ( M  +  L )  e.  RR )
7770adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( # `
 W )  e. 
NN0 )  ->  N  e.  RR )
78 nn0re 10186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( # `  W
)  e.  RR )
7978adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( # `
 W )  e. 
NN0 )  ->  ( # `
 W )  e.  RR )
80 letr 9123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( M  +  L
)  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  ( # `
 W )  e.  RR )  ->  (
( ( M  +  L )  <_  N  /\  N  <_  ( # `  W ) )  -> 
( M  +  L
)  <_  ( # `  W
) ) )
8176, 77, 79, 80syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( # `
 W )  e. 
NN0 )  ->  (
( ( M  +  L )  <_  N  /\  N  <_  ( # `  W ) )  -> 
( M  +  L
)  <_  ( # `  W
) ) )
8281exp4b 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( ( # `  W )  e.  NN0  ->  ( ( M  +  L )  <_  N  ->  ( N  <_  ( # `
 W )  -> 
( M  +  L
)  <_  ( # `  W
) ) ) ) )
8382com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  L )  <_  N  ->  ( ( # `  W )  e.  NN0  ->  ( N  <_  ( # `
 W )  -> 
( M  +  L
)  <_  ( # `  W
) ) ) ) )
8472, 83sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( L  <_ 
( N  -  M
)  ->  ( ( # `
 W )  e. 
NN0  ->  ( N  <_ 
( # `  W )  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `
 W ) ) ) ) )
8584com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( ( # `  W )  e.  NN0  ->  ( L  <_  ( N  -  M )  ->  ( N  <_  ( # `
 W )  -> 
( M  +  L
)  <_  ( # `  W
) ) ) ) )
8685ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( L  e.  NN0  ->  ( ( # `  W
)  e.  NN0  ->  ( L  <_  ( N  -  M )  ->  ( N  <_  ( # `  W
)  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `
 W ) ) ) ) ) )
8786com25 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  <_  ( # `
 W )  -> 
( ( # `  W
)  e.  NN0  ->  ( L  <_  ( N  -  M )  ->  ( L  e.  NN0  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) ) ) ) )
8887ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <_  ( # `  W
)  ->  ( ( # `
 W )  e. 
NN0  ->  ( L  <_ 
( N  -  M
)  ->  ( L  e.  NN0  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `
 W ) ) ) ) ) ) )
8988com24 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( N  <_  ( # `  W
)  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( L  <_  ( N  -  M
)  ->  ( L  e.  NN0  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `
 W ) ) ) ) ) ) )
90893ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  (
( # `  W )  e.  NN0  ->  ( N  <_  ( # `  W
)  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( L  <_  ( N  -  M
)  ->  ( L  e.  NN0  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `
 W ) ) ) ) ) ) )
9131, 90sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( # `  W )  e.  NN0  ->  ( N  <_  ( # `  W
)  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( L  <_  ( N  -  M
)  ->  ( L  e.  NN0  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `
 W ) ) ) ) ) ) )
9291com14 84 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( N  <_  ( # `  W
)  ->  ( M  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( L  <_  ( N  -  M
)  ->  ( L  e.  NN0  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `
 W ) ) ) ) ) ) )
93923imp 1147 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN0  /\  N  <_ 
( # `  W ) )  ->  ( M  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( L  <_  ( N  -  M
)  ->  ( L  e.  NN0  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `
 W ) ) ) ) )
9460, 93sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  ->  ( M  e.  ( 0 ... N )  -> 
( L  <_  ( N  -  M )  ->  ( L  e.  NN0  ->  ( M  +  L
)  <_  ( # `  W
) ) ) ) )
9594imp 419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( L  <_  ( N  -  M )  ->  ( L  e.  NN0  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) ) )
96953adant1 975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( L  <_  ( N  -  M )  ->  ( L  e.  NN0  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) ) )
9796com13 76 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  NN0  ->  ( L  <_  ( N  -  M )  ->  (
( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) ) )
9897imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  L  <_  ( N  -  M ) )  -> 
( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `
 W ) ) )
99983adant2 976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0  /\  L  <_  ( N  -  M ) )  -> 
( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `
 W ) ) )
10017, 99sylbi 188 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  ( 0 ... ( N  -  M
) )  ->  (
( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) )
101100impcom 420 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
) )  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) )
102 elfz2nn0 11038 . . . . . . 7  |-  ( ( M  +  L )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  <->  ( ( M  +  L )  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN0  /\  ( M  +  L
)  <_  ( # `  W
) ) )
10359, 64, 101, 102syl3anbrc 1138 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
) )  ->  ( M  +  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )
104 swrdvalfn 28007 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... ( M  +  L ) )  /\  ( M  +  L
)  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( W substr  <. M , 
( M  +  L
) >. )  Fn  (
0..^ ( ( M  +  L )  -  M ) ) )
10530, 51, 103, 104syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
) )  ->  ( W substr  <. M ,  ( M  +  L )
>. )  Fn  (
0..^ ( ( M  +  L )  -  M ) ) )
106 elfzelz 11015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  M  e.  ZZ )
107 elfzelz 11015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( L  e.  ( 0 ... ( N  -  M
) )  ->  L  e.  ZZ )
108 zcn 10243 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
109 zcn 10243 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  CC )
110 pncan2 9268 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  CC  /\  L  e.  CC )  ->  ( ( M  +  L )  -  M
)  =  L )
111108, 109, 110syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( M  +  L )  -  M
)  =  L )
112111expcom 425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( L  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( ( M  +  L
)  -  M )  =  L ) )
113107, 112syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  ( 0 ... ( N  -  M
) )  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( ( M  +  L
)  -  M )  =  L ) )
114113com12 29 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( L  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  -> 
( ( M  +  L )  -  M
)  =  L ) )
115106, 114syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  ( L  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  -> 
( ( M  +  L )  -  M
)  =  L ) )
1161153ad2ant3 980 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( L  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  -> 
( ( M  +  L )  -  M
)  =  L ) )
117116imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
) )  ->  (
( M  +  L
)  -  M )  =  L )
118117eqcomd 2409 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
) )  ->  L  =  ( ( M  +  L )  -  M ) )
119118oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
) )  ->  (
0..^ L )  =  ( 0..^ ( ( M  +  L )  -  M ) ) )
120119fneq2d 5496 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
) )  ->  (
( W substr  <. M , 
( M  +  L
) >. )  Fn  (
0..^ L )  <->  ( W substr  <. M ,  ( M  +  L ) >. )  Fn  ( 0..^ ( ( M  +  L )  -  M ) ) ) )
121105, 120mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
) )  ->  ( W substr  <. M ,  ( M  +  L )
>. )  Fn  (
0..^ L ) )
12214adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  /\  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ L ) )  ->  ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... N
)  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) ) )
123107adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
) )  ->  L  e.  ZZ )
124 elfzel2 11013 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  e.  ( 0 ... ( N  -  M
) )  ->  ( N  -  M )  e.  ZZ )
125124adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
) )  ->  ( N  -  M )  e.  ZZ )
126 elfzle2 11017 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  e.  ( 0 ... ( N  -  M
) )  ->  L  <_  ( N  -  M
) )
127126adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
) )  ->  L  <_  ( N  -  M
) )
128123, 125, 127, 24syl3anbrc 1138 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
) )  ->  ( N  -  M )  e.  ( ZZ>= `  L )
)
129128, 26syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
) )  ->  (
0..^ L )  C_  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )
130129sselda 3308 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  /\  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ L ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) )
131 swrdfv 11726 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  (
0 ... N )  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) ) )  -> 
( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  x
)  =  ( W `
 ( x  +  M ) ) )
132122, 130, 131syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  /\  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ L ) )  ->  ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  x )  =  ( W `  ( x  +  M
) ) )
133 fvres 5704 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0..^ L )  ->  ( (
( W substr  <. M ,  N >. )  |`  (
0..^ L ) ) `
 x )  =  ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  x
) )
134133adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  /\  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ L ) )  ->  ( (
( W substr  <. M ,  N >. )  |`  (
0..^ L ) ) `
 x )  =  ( ( W substr  <. M ,  N >. ) `  x
) )
13530adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  /\  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ L ) )  ->  W  e. Word  V )
136 simpl1 960 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  /\  L  e.  NN0 )  ->  M  e.  NN0 )
13753imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( M  +  L
)  e.  NN0 )
13840ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( L  e.  NN0  ->  M  <_ 
( M  +  L
) ) )
1391383ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( L  e.  NN0  ->  M  <_  ( M  +  L
) ) )
140139imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  /\  L  e.  NN0 )  ->  M  <_  ( M  +  L ) )
141136, 137, 140, 50syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  /\  L  e.  NN0 )  ->  M  e.  ( 0 ... ( M  +  L ) ) )
142141ex 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( L  e.  NN0  ->  M  e.  ( 0 ... ( M  +  L )
) ) )
14331, 142sylbi 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  ( L  e.  NN0  ->  M  e.  ( 0 ... ( M  +  L )
) ) )
1441433ad2ant3 980 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( L  e.  NN0  ->  M  e.  ( 0 ... ( M  +  L )
) ) )
145144com12 29 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  NN0  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  M  e.  ( 0 ... ( M  +  L )
) ) )
1461453ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0  /\  L  <_  ( N  -  M ) )  -> 
( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  M  e.  ( 0 ... ( M  +  L ) ) ) )
14717, 146sylbi 188 . . . . . . . . 9  |-  ( L  e.  ( 0 ... ( N  -  M
) )  ->  (
( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  M  e.  ( 0 ... ( M  +  L )
) ) )
148147impcom 420 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
) )  ->  M  e.  ( 0 ... ( M  +  L )
) )
149148adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  /\  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ L ) )  ->  M  e.  ( 0 ... ( M  +  L )
) )
15033expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( L  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  L )  e. 
NN0 ) )
1511503ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0  /\  L  <_  ( N  -  M ) )  -> 
( M  e.  NN0  ->  ( M  +  L
)  e.  NN0 )
)
152151com12 29 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( L  e.  NN0  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0  /\  L  <_  ( N  -  M ) )  -> 
( M  +  L
)  e.  NN0 )
)
1531523ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  (
( L  e.  NN0  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0  /\  L  <_  ( N  -  M ) )  -> 
( M  +  L
)  e.  NN0 )
)
154153adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) )  -> 
( ( L  e. 
NN0  /\  ( N  -  M )  e.  NN0  /\  L  <_  ( N  -  M ) )  -> 
( M  +  L
)  e.  NN0 )
)
155154imp 419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) )  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0  /\  L  <_  ( N  -  M ) ) )  ->  ( M  +  L )  e.  NN0 )
15661adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) )  -> 
( # `  W )  e.  NN0 )
157156adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) )  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0  /\  L  <_  ( N  -  M ) ) )  ->  ( # `  W
)  e.  NN0 )
15836adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  M  e.  NN0 )  ->  M  e.  RR )
15937adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  ->  L  e.  RR )
160159adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  M  e.  NN0 )  ->  L  e.  RR )
16168adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR )
162161adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  M  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR )
163 leaddsub2 9461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( M  +  L
)  <_  N  <->  L  <_  ( N  -  M ) ) )
164163bicomd 193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( L  <_  ( N  -  M )  <->  ( M  +  L )  <_  N
) )
165158, 160, 162, 164syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( L  <_ 
( N  -  M
)  <->  ( M  +  L )  <_  N
) )
16674expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( L  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  L )  e.  RR ) )
167166adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( M  e.  NN0  ->  ( M  +  L
)  e.  RR ) )
168167imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( M  +  L )  e.  RR )
169168adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  M  e. 
NN0 )  /\  ( # `
 W )  e. 
NN0 )  ->  ( M  +  L )  e.  RR )
170162adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  M  e. 
NN0 )  /\  ( # `
 W )  e. 
NN0 )  ->  N  e.  RR )
17178adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  M  e. 
NN0 )  /\  ( # `
 W )  e. 
NN0 )  ->  ( # `
 W )  e.  RR )
172169, 170, 171, 80syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  M  e. 
NN0 )  /\  ( # `
 W )  e. 
NN0 )  ->  (
( ( M  +  L )  <_  N  /\  N  <_  ( # `  W ) )  -> 
( M  +  L
)  <_  ( # `  W
) ) )
173172ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( # `  W )  e.  NN0  ->  ( ( ( M  +  L )  <_  N  /\  N  <_  ( # `
 W ) )  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `
 W ) ) ) )
174173com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( ( M  +  L )  <_  N  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( # `  W )  e.  NN0  ->  ( M  +  L )  <_ 
( # `  W ) ) ) )
175174exp3a 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  L )  <_  N  ->  ( N  <_ 
( # `  W )  ->  ( ( # `  W )  e.  NN0  ->  ( M  +  L
)  <_  ( # `  W
) ) ) ) )
176165, 175sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( L  <_ 
( N  -  M
)  ->  ( N  <_  ( # `  W
)  ->  ( ( # `
 W )  e. 
NN0  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `
 W ) ) ) ) )
177176com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( N  <_ 
( # `  W )  ->  ( L  <_ 
( N  -  M
)  ->  ( ( # `
 W )  e. 
NN0  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `
 W ) ) ) ) )
178177ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( M  e.  NN0  ->  ( N  <_  ( # `
 W )  -> 
( L  <_  ( N  -  M )  ->  ( ( # `  W
)  e.  NN0  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) ) ) ) )
179178com24 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( L  <_  ( N  -  M )  ->  ( N  <_  ( # `
 W )  -> 
( M  e.  NN0  ->  ( ( # `  W
)  e.  NN0  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) ) ) ) )
180179expimpd 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( L  e.  NN0  /\  L  <_  ( N  -  M ) )  -> 
( N  <_  ( # `
 W )  -> 
( M  e.  NN0  ->  ( ( # `  W
)  e.  NN0  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) ) ) ) )
181180com25 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( (
# `  W )  e.  NN0  ->  ( N  <_  ( # `  W
)  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( ( L  e.  NN0  /\  L  <_  ( N  -  M
) )  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) ) ) ) )
1821813imp 1147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN0  /\  N  <_ 
( # `  W ) )  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( ( L  e.  NN0  /\  L  <_  ( N  -  M
) )  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) ) )
183182com12 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  ( # `  W )  e.  NN0  /\  N  <_ 
( # `  W ) )  ->  ( ( L  e.  NN0  /\  L  <_  ( N  -  M
) )  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) ) )
1841833ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  (
( N  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) )  ->  (
( L  e.  NN0  /\  L  <_  ( N  -  M ) )  -> 
( M  +  L
)  <_  ( # `  W
) ) ) )
185184impcom 420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) )  -> 
( ( L  e. 
NN0  /\  L  <_  ( N  -  M ) )  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `
 W ) ) )
186185com12 29 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  L  <_  ( N  -  M ) )  -> 
( ( ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 W )  e. 
NN0  /\  N  <_  (
# `  W )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) )  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) )
1871863adant2 976 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0  /\  L  <_  ( N  -  M ) )  -> 
( ( ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 W )  e. 
NN0  /\  N  <_  (
# `  W )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) )  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `  W
) ) )
188187impcom 420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) )  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0  /\  L  <_  ( N  -  M ) ) )  ->  ( M  +  L )  <_  ( # `
 W ) )
189155, 157, 188, 102syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e. 
NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) )  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0  /\  L  <_  ( N  -  M ) ) )  ->  ( M  +  L )  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) )
190189ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) )  -> 
( ( L  e. 
NN0  /\  ( N  -  M )  e.  NN0  /\  L  <_  ( N  -  M ) )  -> 
( M  +  L
)  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) ) )
19117, 190syl5bi 209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  ( # `  W
)  e.  NN0  /\  N  <_  ( # `  W
) )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N ) )  -> 
( L  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  ->  ( M  +  L )  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) ) )
19260, 31, 191syl2anb 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( L  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  -> 
( M  +  L
)  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) ) )
1931923adant1 975 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( L  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  -> 
( M  +  L
)  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) ) )
194193imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
) )  ->  ( M  +  L )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )
195194adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  /\  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ L ) )  ->  ( M  +  L )  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) )
196135, 149, 1953jca 1134 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  /\  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ L ) )  ->  ( W  e. Word  V  /\  M  e.  ( 0 ... ( M  +  L )
)  /\  ( M  +  L )  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) ) )
197119eleq2d 2471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
) )  ->  (
x  e.  ( 0..^ L )  <->  x  e.  ( 0..^ ( ( M  +  L )  -  M ) ) ) )
198197biimpa 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  /\  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ L ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( M  +  L )  -  M ) ) )
199 swrdfv 11726 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  M  e.  (
0 ... ( M  +  L ) )  /\  ( M  +  L
)  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( M  +  L )  -  M
) ) )  -> 
( ( W substr  <. M , 
( M  +  L
) >. ) `  x
)  =  ( W `
 ( x  +  M ) ) )
200196, 198, 199syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  /\  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ L ) )  ->  ( ( W substr  <. M ,  ( M  +  L )
>. ) `  x )  =  ( W `  ( x  +  M
) ) )
201132, 134, 2003eqtr4d 2446 . . . 4  |-  ( ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W ) )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  /\  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ L ) )  ->  ( (
( W substr  <. M ,  N >. )  |`  (
0..^ L ) ) `
 x )  =  ( ( W substr  <. M , 
( M  +  L
) >. ) `  x
) )
20229, 121, 201eqfnfvd 5789 . . 3  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
) )  ->  (
( W substr  <. M ,  N >. )  |`  (
0..^ L ) )  =  ( W substr  <. M , 
( M  +  L
) >. ) )
20312, 202eqtrd 2436 . 2  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  /\  L  e.  ( 0 ... ( N  -  M )
) )  ->  (
( W substr  <. M ,  N >. ) substr  <. 0 ,  L >. )  =  ( W substr  <. M ,  ( M  +  L )
>. ) )
204203ex 424 1  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( L  e.  ( 0 ... ( N  -  M ) )  -> 
( ( W substr  <. M ,  N >. ) substr  <. 0 ,  L >. )  =  ( W substr  <. M ,  ( M  +  L )
>. ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3280   <.cop 3777   class class class wbr 4172    |` cres 4839    Fn wfn 5408   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946    + caddc 8949    <_ cle 9077    - cmin 9247   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999  ..^cfzo 11090   #chash 11573  Word cword 11672   substr csubstr 11675
This theorem is referenced by:  swrd0swrdid  28012
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-hash 11574  df-word 11678  df-substr 11681
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