MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrd0fvlsw Structured version   Unicode version

Theorem swrd0fvlsw 12339
Description: The last symbol in a left-anchored subword. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrd0fvlsw  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  L >. ) )  =  ( W `  ( L  -  1 ) ) )

Proof of Theorem swrd0fvlsw
StepHypRef Expression
1 swrdcl 12315 . . . 4  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( W substr  <. 0 ,  L >. )  e. Word  V )
21adantr 465 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( W substr  <. 0 ,  L >. )  e. Word  V
)
3 lsw 12266 . . 3  |-  ( ( W substr  <. 0 ,  L >. )  e. Word  V  -> 
( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  L >. ) )  =  ( ( W substr  <. 0 ,  L >. ) `  (
( # `  ( W substr  <. 0 ,  L >. ) )  -  1 ) ) )
42, 3syl 16 . 2  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  L >. ) )  =  ( ( W substr  <. 0 ,  L >. ) `  (
( # `  ( W substr  <. 0 ,  L >. ) )  -  1 ) ) )
5 1eluzge0 10899 . . . . . . 7  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
6 fzss1 11497 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1 ... ( # `  W
) )  C_  (
0 ... ( # `  W
) ) )
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( 1 ... ( # `  W
) )  C_  (
0 ... ( # `  W
) )
87sseli 3352 . . . . 5  |-  ( L  e.  ( 1 ... ( # `  W
) )  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )
9 swrd0len 12318 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  ( W substr  <. 0 ,  L >. ) )  =  L )
108, 9sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  ( W substr  <. 0 ,  L >. ) )  =  L )
1110oveq1d 6106 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  L >. ) )  -  1 )  =  ( L  -  1 ) )
1211fveq2d 5695 . 2  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W substr  <. 0 ,  L >. ) `  (
( # `  ( W substr  <. 0 ,  L >. ) )  -  1 ) )  =  ( ( W substr  <. 0 ,  L >. ) `  ( L  -  1 ) ) )
13 simpl 457 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  ->  W  e. Word  V )
148adantl 466 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
15 elfznn 11478 . . . . 5  |-  ( L  e.  ( 1 ... ( # `  W
) )  ->  L  e.  NN )
16 fzo0end 11619 . . . . 5  |-  ( L  e.  NN  ->  ( L  -  1 )  e.  ( 0..^ L ) )
1715, 16syl 16 . . . 4  |-  ( L  e.  ( 1 ... ( # `  W
) )  ->  ( L  -  1 )  e.  ( 0..^ L ) )
1817adantl 466 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( L  -  1 )  e.  ( 0..^ L ) )
19 swrd0fv 12335 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  ( L  -  1 )  e.  ( 0..^ L ) )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  L >. ) `  ( L  -  1 ) )  =  ( W `
 ( L  - 
1 ) ) )
2013, 14, 18, 19syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W substr  <. 0 ,  L >. ) `  ( L  -  1 ) )  =  ( W `
 ( L  - 
1 ) ) )
214, 12, 203eqtrd 2479 1  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  L >. ) )  =  ( W `  ( L  -  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3328   <.cop 3883   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   0cc0 9282   1c1 9283    - cmin 9595   NNcn 10322   ZZ>=cuz 10861   ...cfz 11437  ..^cfzo 11548   #chash 12103  Word cword 12221   lastS clsw 12222   substr csubstr 12225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-hash 12104  df-word 12229  df-lsw 12230  df-substr 12233
This theorem is referenced by:  swrdtrcfvl  12344  wwlknredwwlkn  30358  clwwlkf  30456  clwlkfclwwlk  30517  wwlkextproplem2  30561  extwwlkfablem2  30671  numclwlk2lem2f  30696
  Copyright terms: Public domain W3C validator