MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrd0fvlsw Structured version   Unicode version

Theorem swrd0fvlsw 12627
Description: The last symbol in a left-anchored subword. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrd0fvlsw  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  L >. ) )  =  ( W `  ( L  -  1 ) ) )

Proof of Theorem swrd0fvlsw
StepHypRef Expression
1 swrdcl 12603 . . . 4  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( W substr  <. 0 ,  L >. )  e. Word  V )
21adantr 465 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( W substr  <. 0 ,  L >. )  e. Word  V
)
3 lsw 12544 . . 3  |-  ( ( W substr  <. 0 ,  L >. )  e. Word  V  -> 
( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  L >. ) )  =  ( ( W substr  <. 0 ,  L >. ) `  (
( # `  ( W substr  <. 0 ,  L >. ) )  -  1 ) ) )
42, 3syl 16 . 2  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  L >. ) )  =  ( ( W substr  <. 0 ,  L >. ) `  (
( # `  ( W substr  <. 0 ,  L >. ) )  -  1 ) ) )
5 1eluzge0 11121 . . . . . . 7  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
6 fzss1 11718 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1 ... ( # `  W
) )  C_  (
0 ... ( # `  W
) ) )
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( 1 ... ( # `  W
) )  C_  (
0 ... ( # `  W
) )
87sseli 3500 . . . . 5  |-  ( L  e.  ( 1 ... ( # `  W
) )  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )
9 swrd0len 12606 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  ( W substr  <. 0 ,  L >. ) )  =  L )
108, 9sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  ( W substr  <. 0 ,  L >. ) )  =  L )
1110oveq1d 6297 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  L >. ) )  -  1 )  =  ( L  -  1 ) )
1211fveq2d 5868 . 2  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W substr  <. 0 ,  L >. ) `  (
( # `  ( W substr  <. 0 ,  L >. ) )  -  1 ) )  =  ( ( W substr  <. 0 ,  L >. ) `  ( L  -  1 ) ) )
13 simpl 457 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  ->  W  e. Word  V )
148adantl 466 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
15 elfznn 11710 . . . . 5  |-  ( L  e.  ( 1 ... ( # `  W
) )  ->  L  e.  NN )
16 fzo0end 11868 . . . . 5  |-  ( L  e.  NN  ->  ( L  -  1 )  e.  ( 0..^ L ) )
1715, 16syl 16 . . . 4  |-  ( L  e.  ( 1 ... ( # `  W
) )  ->  ( L  -  1 )  e.  ( 0..^ L ) )
1817adantl 466 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( L  -  1 )  e.  ( 0..^ L ) )
19 swrd0fv 12623 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  ( L  -  1 )  e.  ( 0..^ L ) )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  L >. ) `  ( L  -  1 ) )  =  ( W `
 ( L  - 
1 ) ) )
2013, 14, 18, 19syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W substr  <. 0 ,  L >. ) `  ( L  -  1 ) )  =  ( W `
 ( L  - 
1 ) ) )
214, 12, 203eqtrd 2512 1  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( lastS  `  ( W substr  <. 0 ,  L >. ) )  =  ( W `  ( L  -  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   <.cop 4033   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   0cc0 9488   1c1 9489    - cmin 9801   NNcn 10532   ZZ>=cuz 11078   ...cfz 11668  ..^cfzo 11788   #chash 12367  Word cword 12494   lastS clsw 12495   substr csubstr 12498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-hash 12368  df-word 12502  df-lsw 12503  df-substr 12506
This theorem is referenced by:  swrdtrcfvl  12632  wwlknredwwlkn  24399  wwlkextproplem2  24415  clwwlkf  24467  clwlkfclwwlk  24517  extwwlkfablem2  24752  numclwlk2lem2f  24777
  Copyright terms: Public domain W3C validator