MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrd0fv Structured version   Unicode version

Theorem swrd0fv 12618
Description: A symbol in an left-anchored subword, indexed using the subword's indices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrd0fv  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  I  e.  ( 0..^ L ) )  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  L >. ) `  I )  =  ( W `  I ) )

Proof of Theorem swrd0fv
StepHypRef Expression
1 simp1 991 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  I  e.  ( 0..^ L ) )  ->  W  e. Word  V )
2 elfznn0 11761 . . . . 5  |-  ( L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  ->  L  e.  NN0 )
3 0elfz 11763 . . . . 5  |-  ( L  e.  NN0  ->  0  e.  ( 0 ... L
) )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  ->  0  e.  ( 0 ... L
) )
543ad2ant2 1013 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  I  e.  ( 0..^ L ) )  ->  0  e.  ( 0 ... L
) )
6 simp2 992 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  I  e.  ( 0..^ L ) )  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )
7 elfzelz 11679 . . . . . . . . 9  |-  ( L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  ->  L  e.  ZZ )
87zcnd 10958 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  ->  L  e.  CC )
9 subid1 9830 . . . . . . . . 9  |-  ( L  e.  CC  ->  ( L  -  0 )  =  L )
109eqcomd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  CC  ->  L  =  ( L  - 
0 ) )
118, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  ->  L  =  ( L  - 
0 ) )
1211adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  ->  L  =  ( L  -  0 ) )
1312oveq2d 6293 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( 0..^ L )  =  ( 0..^ ( L  -  0 ) ) )
1413eleq2d 2532 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( I  e.  ( 0..^ L )  <->  I  e.  ( 0..^ ( L  - 
0 ) ) ) )
1514biimp3a 1323 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  I  e.  ( 0..^ L ) )  ->  I  e.  ( 0..^ ( L  - 
0 ) ) )
16 swrdfv 12603 . . 3  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  0  e.  (
0 ... L )  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  /\  I  e.  ( 0..^ ( L  -  0 ) ) )  -> 
( ( W substr  <. 0 ,  L >. ) `  I
)  =  ( W `
 ( I  + 
0 ) ) )
171, 5, 6, 15, 16syl31anc 1226 . 2  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  I  e.  ( 0..^ L ) )  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  L >. ) `  I )  =  ( W `  ( I  +  0
) ) )
18 elfzoelz 11788 . . . . . 6  |-  ( I  e.  ( 0..^ L )  ->  I  e.  ZZ )
1918zcnd 10958 . . . . 5  |-  ( I  e.  ( 0..^ L )  ->  I  e.  CC )
2019addid1d 9770 . . . 4  |-  ( I  e.  ( 0..^ L )  ->  ( I  +  0 )  =  I )
21203ad2ant3 1014 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  I  e.  ( 0..^ L ) )  ->  ( I  +  0 )  =  I )
2221fveq2d 5863 . 2  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  I  e.  ( 0..^ L ) )  ->  ( W `  ( I  +  0 ) )  =  ( W `  I ) )
2317, 22eqtrd 2503 1  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  I  e.  ( 0..^ L ) )  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  L >. ) `  I )  =  ( W `  I ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   <.cop 4028   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   CCcc 9481   0cc0 9483    + caddc 9486    - cmin 9796   NN0cn0 10786   ...cfz 11663  ..^cfzo 11783   #chash 12362  Word cword 12489   substr csubstr 12493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-card 8311  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-hash 12363  df-word 12497  df-substr 12501
This theorem is referenced by:  swrd0fv0  12619  swrdtrcfv  12620  swrd0fvlsw  12622  swrdeq  12623  swrdsymbeq  12624  cshwidxmod  12726  wwlknred  24387  wwlkm1edg  24399  clwwlkf  24458  wwlksubclwwlk  24468  clwlkfclwwlk  24508  extwwlkfablem2  24743
  Copyright terms: Public domain W3C validator