MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrd0fv Structured version   Unicode version

Theorem swrd0fv 12791
Description: A symbol in an left-anchored subword, indexed using the subword's indices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrd0fv  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  I  e.  ( 0..^ L ) )  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  L >. ) `  I )  =  ( W `  I ) )

Proof of Theorem swrd0fv
StepHypRef Expression
1 simp1 1006 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  I  e.  ( 0..^ L ) )  ->  W  e. Word  V )
2 elfznn0 11889 . . . . 5  |-  ( L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  ->  L  e.  NN0 )
3 0elfz 11891 . . . . 5  |-  ( L  e.  NN0  ->  0  e.  ( 0 ... L
) )
42, 3syl 17 . . . 4  |-  ( L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  ->  0  e.  ( 0 ... L
) )
543ad2ant2 1028 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  I  e.  ( 0..^ L ) )  ->  0  e.  ( 0 ... L
) )
6 simp2 1007 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  I  e.  ( 0..^ L ) )  ->  L  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) )
7 elfzelz 11802 . . . . . . . . 9  |-  ( L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  ->  L  e.  ZZ )
87zcnd 11043 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  ->  L  e.  CC )
9 subid1 9896 . . . . . . . . 9  |-  ( L  e.  CC  ->  ( L  -  0 )  =  L )
109eqcomd 2431 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  CC  ->  L  =  ( L  - 
0 ) )
118, 10syl 17 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  ->  L  =  ( L  - 
0 ) )
1211adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  ->  L  =  ( L  -  0 ) )
1312oveq2d 6319 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( 0..^ L )  =  ( 0..^ ( L  -  0 ) ) )
1413eleq2d 2493 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( I  e.  ( 0..^ L )  <->  I  e.  ( 0..^ ( L  - 
0 ) ) ) )
1514biimp3a 1365 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  I  e.  ( 0..^ L ) )  ->  I  e.  ( 0..^ ( L  - 
0 ) ) )
16 swrdfv 12776 . . 3  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  0  e.  (
0 ... L )  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  /\  I  e.  ( 0..^ ( L  -  0 ) ) )  -> 
( ( W substr  <. 0 ,  L >. ) `  I
)  =  ( W `
 ( I  + 
0 ) ) )
171, 5, 6, 15, 16syl31anc 1268 . 2  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  I  e.  ( 0..^ L ) )  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  L >. ) `  I )  =  ( W `  ( I  +  0
) ) )
18 elfzoelz 11922 . . . . . 6  |-  ( I  e.  ( 0..^ L )  ->  I  e.  ZZ )
1918zcnd 11043 . . . . 5  |-  ( I  e.  ( 0..^ L )  ->  I  e.  CC )
2019addid1d 9835 . . . 4  |-  ( I  e.  ( 0..^ L )  ->  ( I  +  0 )  =  I )
21203ad2ant3 1029 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  I  e.  ( 0..^ L ) )  ->  ( I  +  0 )  =  I )
2221fveq2d 5883 . 2  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  I  e.  ( 0..^ L ) )  ->  ( W `  ( I  +  0 ) )  =  ( W `  I ) )
2317, 22eqtrd 2464 1  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  L  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  I  e.  ( 0..^ L ) )  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  L >. ) `  I )  =  ( W `  I ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869   <.cop 4003   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   CCcc 9539   0cc0 9541    + caddc 9544    - cmin 9862   NN0cn0 10871   ...cfz 11786  ..^cfzo 11917   #chash 12516  Word cword 12654   substr csubstr 12658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-card 8376  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-2 10670  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-hash 12517  df-word 12662  df-substr 12666
This theorem is referenced by:  swrd0fv0  12792  swrdtrcfv  12793  swrd0fvlsw  12795  swrdeq  12796  cshwidxmod  12901  wwlknred  25443  wwlkm1edg  25455  clwwlkf  25514  wwlksubclwwlk  25524  clwlkfclwwlk  25564  extwwlkfablem2  25798
  Copyright terms: Public domain W3C validator