MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrd00 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem swrd00 12828
Description: A zero length substring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
swrd00  |-  ( S substr  <. X ,  X >. )  =  (/)

Proof of Theorem swrd00
Dummy variables  s 
b  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opelxp 4869 . . . 4  |-  ( <. S ,  <. X ,  X >. >.  e.  ( _V 
X.  ( ZZ  X.  ZZ ) )  <->  ( S  e.  _V  /\  <. X ,  X >.  e.  ( ZZ 
X.  ZZ ) ) )
2 opelxp 4869 . . . . 5  |-  ( <. X ,  X >.  e.  ( ZZ  X.  ZZ ) 
<->  ( X  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ ) )
3 swrdval 12827 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  _V  /\  X  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( S substr  <. X ,  X >. )  =  if ( ( X..^ X ) 
C_  dom  S , 
( x  e.  ( 0..^ ( X  -  X ) )  |->  ( S `  ( x  +  X ) ) ) ,  (/) ) )
4 fzo0 11969 . . . . . . . . . 10  |-  ( X..^ X )  =  (/)
5 0ss 3766 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  C_  dom  S
64, 5eqsstri 3448 . . . . . . . . 9  |-  ( X..^ X )  C_  dom  S
76iftruei 3879 . . . . . . . 8  |-  if ( ( X..^ X ) 
C_  dom  S , 
( x  e.  ( 0..^ ( X  -  X ) )  |->  ( S `  ( x  +  X ) ) ) ,  (/) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( X  -  X ) )  |->  ( S `  ( x  +  X ) ) )
8 zcn 10966 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  ZZ  ->  X  e.  CC )
98subidd 9993 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  ZZ  ->  ( X  -  X )  =  0 )
109oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  ZZ  ->  (
0..^ ( X  -  X ) )  =  ( 0..^ 0 ) )
11103ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  _V  /\  X  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  (
0..^ ( X  -  X ) )  =  ( 0..^ 0 ) )
12 fzo0 11969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0..^ 0 )  =  (/)
1311, 12syl6eq 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  _V  /\  X  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  (
0..^ ( X  -  X ) )  =  (/) )
1413mpteq1d 4477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  _V  /\  X  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  ( 0..^ ( X  -  X
) )  |->  ( S `
 ( x  +  X ) ) )  =  ( x  e.  (/)  |->  ( S `  ( x  +  X
) ) ) )
15 mpt0 5715 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  (/)  |->  ( S `  ( x  +  X
) ) )  =  (/)
1614, 15syl6eq 2521 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  _V  /\  X  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  ( 0..^ ( X  -  X
) )  |->  ( S `
 ( x  +  X ) ) )  =  (/) )
177, 16syl5eq 2517 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  _V  /\  X  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  if ( ( X..^ X
)  C_  dom  S , 
( x  e.  ( 0..^ ( X  -  X ) )  |->  ( S `  ( x  +  X ) ) ) ,  (/) )  =  (/) )
183, 17eqtrd 2505 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  _V  /\  X  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( S substr  <. X ,  X >. )  =  (/) )
19183expb 1232 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  _V  /\  ( X  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ ) )  ->  ( S substr  <. X ,  X >. )  =  (/) )
202, 19sylan2b 483 . . . 4  |-  ( ( S  e.  _V  /\  <. X ,  X >.  e.  ( ZZ  X.  ZZ ) )  ->  ( S substr  <. X ,  X >. )  =  (/) )
211, 20sylbi 200 . . 3  |-  ( <. S ,  <. X ,  X >. >.  e.  ( _V 
X.  ( ZZ  X.  ZZ ) )  ->  ( S substr  <. X ,  X >. )  =  (/) )
22 df-substr 12715 . . . 4  |- substr  =  ( s  e.  _V , 
b  e.  ( ZZ 
X.  ZZ )  |->  if ( ( ( 1st `  b )..^ ( 2nd `  b ) )  C_  dom  s ,  ( x  e.  ( 0..^ ( ( 2nd `  b
)  -  ( 1st `  b ) ) ) 
|->  ( s `  (
x  +  ( 1st `  b ) ) ) ) ,  (/) ) )
23 ovex 6336 . . . . . 6  |-  ( 0..^ ( ( 2nd `  b
)  -  ( 1st `  b ) ) )  e.  _V
2423mptex 6152 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( ( 2nd `  b
)  -  ( 1st `  b ) ) ) 
|->  ( s `  (
x  +  ( 1st `  b ) ) ) )  e.  _V
25 0ex 4528 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
2624, 25ifex 3940 . . . 4  |-  if ( ( ( 1st `  b
)..^ ( 2nd `  b
) )  C_  dom  s ,  ( x  e.  ( 0..^ ( ( 2nd `  b )  -  ( 1st `  b
) ) )  |->  ( s `  ( x  +  ( 1st `  b
) ) ) ) ,  (/) )  e.  _V
2722, 26dmmpt2 6882 . . 3  |-  dom substr  =  ( _V  X.  ( ZZ 
X.  ZZ ) )
2821, 27eleq2s 2567 . 2  |-  ( <. S ,  <. X ,  X >. >.  e.  dom substr  ->  ( S substr  <. X ,  X >. )  =  (/) )
29 df-ov 6311 . . 3  |-  ( S substr  <. X ,  X >. )  =  ( substr  `  <. S ,  <. X ,  X >. >. )
30 ndmfv 5903 . . 3  |-  ( -. 
<. S ,  <. X ,  X >. >.  e.  dom substr  ->  ( substr  ` 
<. S ,  <. X ,  X >. >. )  =  (/) )
3129, 30syl5eq 2517 . 2  |-  ( -. 
<. S ,  <. X ,  X >. >.  e.  dom substr  ->  ( S substr  <. X ,  X >. )  =  (/) )
3228, 31pm2.61i 169 1  |-  ( S substr  <. X ,  X >. )  =  (/)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ifcif 3872   <.cop 3965    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837   dom cdm 4839   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   1stc1st 6810   2ndc2nd 6811   0cc0 9557    + caddc 9560    - cmin 9880   ZZcz 10961  ..^cfzo 11942   substr csubstr 12707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-substr 12715
This theorem is referenced by:  swrdccatin1  12893  swrdccat3blem  12905  cshw0  12950  pfx00  39072
  Copyright terms: Public domain W3C validator