Theorem swrd0 12670

Description: A subword of an empty set is always the empty set. (Contributed by AV, 31-Mar-2018.) (Revised by AV, 20-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
swrd0	|- ( (/) substr <. F , L >. ) = (/)

Proof of Theorem swrd0

Dummy variables x s b z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 5038	. . . 4 |- ( <. (/) , <. F , L >. >. e. ( _V X. ( ZZ X. ZZ ) ) <-> ( (/) e. _V /\ <. F , L >. e. ( ZZ X. ZZ ) ) )
2		opelxp 5038	. . . . 5 |- ( <. F , L >. e. ( ZZ X. ZZ ) <-> ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) )
3		swrdval 12653	. . . . . . 7 |- ( ( (/) e. _V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( (/) substr <. F , L >. ) = if ( ( F..^ L ) C_ dom (/) , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) , (/) ) )
4		fzonlt0 11847	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. F < L <-> ( F..^ L ) = (/) ) )
5	4	biimprd 223	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( F..^ L ) = (/) -> -. F < L ) )
6	5	con2d 115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( F < L -> -. ( F..^ L ) = (/) ) )
7	6	impcom 430	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> -. ( F..^ L ) = (/) )
8		ss0 3825	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F..^ L ) C_ (/) -> ( F..^ L ) = (/) )
9	7, 8	nsyl 121	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> -. ( F..^ L ) C_ (/) )
10		dm0 5226	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom (/) = (/)
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> dom (/) = (/) )
12	11	sseq2d 3527	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( F..^ L ) C_ dom (/) <-> ( F..^ L ) C_ (/) ) )
13	9, 12	mtbird 301	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> -. ( F..^ L ) C_ dom (/) )
14	13	iffalsed 3955	. . . . . . . . 9 |- ( ( F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom (/) , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) , (/) ) = (/) )
15		0ss 3823	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) C_ (/)
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> (/) C_ (/) )
17	4	biimpac 486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( F..^ L ) = (/) )
18	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> dom (/) = (/) )
19	16, 17, 18	3sstr4d 3542	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( F..^ L ) C_ dom (/) )
20	19	iftrued 3952	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom (/) , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) , (/) ) = ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) )
21		zre 10889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( L e. ZZ -> L e. RR )
22		zre 10889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F e. ZZ -> F e. RR )
23		lenlt 9680	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( L e. RR /\ F e. RR ) -> ( L <_ F <-> -. F < L ) )
24	23	bicomd 201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( L e. RR /\ F e. RR ) -> ( -. F < L <-> L <_ F ) )
25	21, 22, 24	syl2anr 478	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. F < L <-> L <_ F ) )
26		fzo0n 11846	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( L <_ F <-> ( 0..^ ( L - F ) ) = (/) ) )
27	25, 26	bitrd 253	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( -. F < L <-> ( 0..^ ( L - F ) ) = (/) ) )
28	27	biimpac 486	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( 0..^ ( L - F ) ) = (/) )
29	28	mpteq1d 4538	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = ( x e. (/) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) )
30	29	dmeqd 5215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> dom ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = dom ( x e. (/) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) )
31		ral0 3937	. . . . . . . . . . . . 13 |- A. x e. (/) ( (/) ` ( x + F ) ) e. _V
32		dmmptg 5510	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. (/) ( (/) ` ( x + F ) ) e. _V -> dom ( x e. (/) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) )
33	31, 32	mp1i 12	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> dom ( x e. (/) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) )
34	30, 33	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> dom ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) )
35		mptrel 5139	. . . . . . . . . . . 12 |- Rel ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) )
36		reldm0 5230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Rel ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) -> ( ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) <-> dom ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) ) )
37	35, 36	mp1i 12	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) <-> dom ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) ) )
38	34, 37	mpbird 232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) = (/) )
39	20, 38	eqtrd 2498	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. F < L /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom (/) , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) , (/) ) = (/) )
40	14, 39	pm2.61ian 790	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom (/) , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) , (/) ) = (/) )
41	40	3adant1 1014	. . . . . . 7 |- ( ( (/) e. _V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> if ( ( F..^ L ) C_ dom (/) , ( x e. ( 0..^ ( L - F ) ) |-> ( (/) ` ( x + F ) ) ) , (/) ) = (/) )
42	3, 41	eqtrd 2498	. . . . . 6 |- ( ( (/) e. _V /\ F e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( (/) substr <. F , L >. ) = (/) )
43	42	3expb 1197	. . . . 5 |- ( ( (/) e. _V /\ ( F e. ZZ /\ L e. ZZ ) ) -> ( (/) substr <. F , L >. ) = (/) )
44	2, 43	sylan2b 475	. . . 4 |- ( ( (/) e. _V /\ <. F , L >. e. ( ZZ X. ZZ ) ) -> ( (/) substr <. F , L >. ) = (/) )
45	1, 44	sylbi 195	. . 3 |- ( <. (/) , <. F , L >. >. e. ( _V X. ( ZZ X. ZZ ) ) -> ( (/) substr <. F , L >. ) = (/) )
46		df-substr 12550	. . . 4 |- substr = ( s e. _V , b e. ( ZZ X. ZZ ) |-> if ( ( ( 1st ` b )..^ ( 2nd ` b ) ) C_ dom s , ( z e. ( 0..^ ( ( 2nd ` b ) - ( 1st ` b ) ) ) |-> ( s ` ( z + ( 1st ` b ) ) ) ) , (/) ) )
47		ovex 6324	. . . . . 6 |- ( 0..^ ( ( 2nd ` b ) - ( 1st ` b ) ) ) e. _V
48	47	mptex 6144	. . . . 5 |- ( z e. ( 0..^ ( ( 2nd ` b ) - ( 1st ` b ) ) ) |-> ( s ` ( z + ( 1st ` b ) ) ) ) e. _V
49		0ex 4587	. . . . 5 |- (/) e. _V
50	48, 49	ifex 4013	. . . 4 |- if ( ( ( 1st ` b )..^ ( 2nd ` b ) ) C_ dom s , ( z e. ( 0..^ ( ( 2nd ` b ) - ( 1st ` b ) ) ) |-> ( s ` ( z + ( 1st ` b ) ) ) ) , (/) ) e. _V
51	46, 50	dmmpt2 6869	. . 3 |- dom substr = ( _V X. ( ZZ X. ZZ ) )
52	45, 51	eleq2s 2565	. 2 |- ( <. (/) , <. F , L >. >. e. dom substr -> ( (/) substr <. F , L >. ) = (/) )
53		df-ov 6299	. . 3 |- ( (/) substr <. F , L >. ) = ( substr ` <. (/) , <. F , L >. >. )
54		ndmfv 5896	. . 3 |- ( -. <. (/) , <. F , L >. >. e. dom substr -> ( substr ` <. (/) , <. F , L >. >. ) = (/) )
55	53, 54	syl5eq 2510	. 2 |- ( -. <. (/) , <. F , L >. >. e. dom substr -> ( (/) substr <. F , L >. ) = (/) )
56	52, 55	pm2.61i 164	1 |- ( (/) substr <. F , L >. ) = (/)

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   _Vcvv 3109   C_ wss 3471   (/)c0 3793   ifcif 3944   <.cop 4038   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   X. cxp 5006   dom cdm 5008   Rel wrel 5013   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   1stc1st 6797   2ndc2nd 6798   RRcr 9508   0cc0 9509   + caddc 9512   < clt 9645   <_ cle 9646   - cmin 9824   ZZcz 10885  ..^cfzo 11821   substr csubstr 12542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-substr 12550

This theorem is referenced by:  cshword  12774  pfx0  32502  cshword2  32555