MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrd0 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem swrd0 12844
Description: A subword of an empty set is always the empty set. (Contributed by AV, 31-Mar-2018.) (Revised by AV, 20-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
swrd0  |-  ( (/) substr  <. F ,  L >. )  =  (/)

Proof of Theorem swrd0
Dummy variables  x  s  b  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opelxp 4869 . . . 4  |-  ( <. (/)
,  <. F ,  L >. >.  e.  ( _V 
X.  ( ZZ  X.  ZZ ) )  <->  ( (/)  e.  _V  /\ 
<. F ,  L >.  e.  ( ZZ  X.  ZZ ) ) )
2 opelxp 4869 . . . . 5  |-  ( <. F ,  L >.  e.  ( ZZ  X.  ZZ ) 
<->  ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )
3 swrdval 12827 . . . . . . 7  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( (/) substr  <. F ,  L >. )  =  if ( ( F..^ L )  C_  dom  (/) ,  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) )  |->  ( (/) `  (
x  +  F ) ) ) ,  (/) ) )
4 fzonlt0 11968 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( -.  F  < 
L  <->  ( F..^ L
)  =  (/) ) )
54biimprd 231 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( F..^ L
)  =  (/)  ->  -.  F  <  L ) )
65con2d 119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( F  <  L  ->  -.  ( F..^ L
)  =  (/) ) )
76impcom 437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  <  L  /\  ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  -.  ( F..^ L )  =  (/) )
8 ss0 3768 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F..^ L )  C_  (/) 
->  ( F..^ L )  =  (/) )
97, 8nsyl 125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  <  L  /\  ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  -.  ( F..^ L )  C_  (/) )
10 dm0 5054 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  (/)  =  (/)
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  <  L  /\  ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  dom  (/)  =  (/) )
1211sseq2d 3446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  <  L  /\  ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( ( F..^ L )  C_  dom  (/)  <->  ( F..^ L )  C_  (/) ) )
139, 12mtbird 308 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  <  L  /\  ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  -.  ( F..^ L )  C_  dom  (/) )
1413iffalsed 3883 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  <  L  /\  ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  if (
( F..^ L ) 
C_  dom  (/) ,  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  F
) )  |->  ( (/) `  ( x  +  F
) ) ) ,  (/) )  =  (/) )
15 0ss 3766 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (/)  C_  (/)
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  F  <  L  /\  ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  (/)  C_  (/) )
174biimpac 494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  F  <  L  /\  ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( F..^ L )  =  (/) )
1810a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  F  <  L  /\  ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  dom  (/)  =  (/) )
1916, 17, 183sstr4d 3461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  F  <  L  /\  ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( F..^ L )  C_  dom  (/) )
2019iftrued 3880 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  F  <  L  /\  ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  if (
( F..^ L ) 
C_  dom  (/) ,  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  F
) )  |->  ( (/) `  ( x  +  F
) ) ) ,  (/) )  =  (
x  e.  ( 0..^ ( L  -  F
) )  |->  ( (/) `  ( x  +  F
) ) ) )
21 zre 10965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  RR )
22 zre 10965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  ZZ  ->  F  e.  RR )
23 lenlt 9730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( L  e.  RR  /\  F  e.  RR )  ->  ( L  <_  F  <->  -.  F  <  L ) )
2423bicomd 206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( L  e.  RR  /\  F  e.  RR )  ->  ( -.  F  < 
L  <->  L  <_  F ) )
2521, 22, 24syl2anr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( -.  F  < 
L  <->  L  <_  F ) )
26 fzo0n 11967 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( L  <_  F  <->  ( 0..^ ( L  -  F ) )  =  (/) ) )
2725, 26bitrd 261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( -.  F  < 
L  <->  ( 0..^ ( L  -  F ) )  =  (/) ) )
2827biimpac 494 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  F  <  L  /\  ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( 0..^ ( L  -  F
) )  =  (/) )
2928mpteq1d 4477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  F  <  L  /\  ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) ) 
|->  ( (/) `  ( x  +  F ) ) )  =  ( x  e.  (/)  |->  ( (/) `  (
x  +  F ) ) ) )
3029dmeqd 5042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  F  <  L  /\  ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  dom  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) )  |->  ( (/) `  (
x  +  F ) ) )  =  dom  ( x  e.  (/)  |->  ( (/) `  ( x  +  F
) ) ) )
31 ral0 3865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. x  e.  (/)  ( (/) `  (
x  +  F ) )  e.  _V
32 dmmptg 5339 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  (/)  ( (/) `  ( x  +  F
) )  e.  _V  ->  dom  ( x  e.  (/)  |->  ( (/) `  (
x  +  F ) ) )  =  (/) )
3331, 32mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  F  <  L  /\  ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  dom  ( x  e.  (/)  |->  ( (/) `  (
x  +  F ) ) )  =  (/) )
3430, 33eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  F  <  L  /\  ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  dom  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) )  |->  ( (/) `  (
x  +  F ) ) )  =  (/) )
35 mptrel 4966 . . . . . . . . . . . 12  |-  Rel  (
x  e.  ( 0..^ ( L  -  F
) )  |->  ( (/) `  ( x  +  F
) ) )
36 reldm0 5058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Rel  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) )  |->  (
(/) `  ( x  +  F ) ) )  ->  ( ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) )  |->  ( (/) `  (
x  +  F ) ) )  =  (/)  <->  dom  ( x  e.  (
0..^ ( L  -  F ) )  |->  (
(/) `  ( x  +  F ) ) )  =  (/) ) )
3735, 36mp1i 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  F  <  L  /\  ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( (
x  e.  ( 0..^ ( L  -  F
) )  |->  ( (/) `  ( x  +  F
) ) )  =  (/) 
<->  dom  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) ) 
|->  ( (/) `  ( x  +  F ) ) )  =  (/) ) )
3834, 37mpbird 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  F  <  L  /\  ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) ) 
|->  ( (/) `  ( x  +  F ) ) )  =  (/) )
3920, 38eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  F  <  L  /\  ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  if (
( F..^ L ) 
C_  dom  (/) ,  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  F
) )  |->  ( (/) `  ( x  +  F
) ) ) ,  (/) )  =  (/) )
4014, 39pm2.61ian 807 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  if ( ( F..^ L )  C_  dom  (/)
,  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  F ) ) 
|->  ( (/) `  ( x  +  F ) ) ) ,  (/) )  =  (/) )
41403adant1 1048 . . . . . . 7  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  if ( ( F..^ L
)  C_  dom  (/) ,  ( x  e.  ( 0..^ ( L  -  F
) )  |->  ( (/) `  ( x  +  F
) ) ) ,  (/) )  =  (/) )
423, 41eqtrd 2505 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( (/) substr  <. F ,  L >. )  =  (/) )
43423expb 1232 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  ( F  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )  -> 
( (/) substr  <. F ,  L >. )  =  (/) )
442, 43sylan2b 483 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  <. F ,  L >.  e.  ( ZZ  X.  ZZ ) )  ->  ( (/) substr  <. F ,  L >. )  =  (/) )
451, 44sylbi 200 . . 3  |-  ( <. (/)
,  <. F ,  L >. >.  e.  ( _V 
X.  ( ZZ  X.  ZZ ) )  ->  ( (/) substr  <. F ,  L >. )  =  (/) )
46 df-substr 12715 . . . 4  |- substr  =  ( s  e.  _V , 
b  e.  ( ZZ 
X.  ZZ )  |->  if ( ( ( 1st `  b )..^ ( 2nd `  b ) )  C_  dom  s ,  ( z  e.  ( 0..^ ( ( 2nd `  b
)  -  ( 1st `  b ) ) ) 
|->  ( s `  (
z  +  ( 1st `  b ) ) ) ) ,  (/) ) )
47 ovex 6336 . . . . . 6  |-  ( 0..^ ( ( 2nd `  b
)  -  ( 1st `  b ) ) )  e.  _V
4847mptex 6152 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( 0..^ ( ( 2nd `  b
)  -  ( 1st `  b ) ) ) 
|->  ( s `  (
z  +  ( 1st `  b ) ) ) )  e.  _V
49 0ex 4528 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
5048, 49ifex 3940 . . . 4  |-  if ( ( ( 1st `  b
)..^ ( 2nd `  b
) )  C_  dom  s ,  ( z  e.  ( 0..^ ( ( 2nd `  b )  -  ( 1st `  b
) ) )  |->  ( s `  ( z  +  ( 1st `  b
) ) ) ) ,  (/) )  e.  _V
5146, 50dmmpt2 6882 . . 3  |-  dom substr  =  ( _V  X.  ( ZZ 
X.  ZZ ) )
5245, 51eleq2s 2567 . 2  |-  ( <. (/)
,  <. F ,  L >. >.  e.  dom substr  ->  ( (/) substr  <. F ,  L >. )  =  (/) )
53 df-ov 6311 . . 3  |-  ( (/) substr  <. F ,  L >. )  =  ( substr  `  <. (/)
,  <. F ,  L >. >. )
54 ndmfv 5903 . . 3  |-  ( -. 
<. (/) ,  <. F ,  L >. >.  e.  dom substr  ->  ( substr  ` 
<. (/) ,  <. F ,  L >. >. )  =  (/) )
5553, 54syl5eq 2517 . 2  |-  ( -. 
<. (/) ,  <. F ,  L >. >.  e.  dom substr  ->  ( (/) substr  <. F ,  L >. )  =  (/) )
5652, 55pm2.61i 169 1  |-  ( (/) substr  <. F ,  L >. )  =  (/)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ifcif 3872   <.cop 3965   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837   dom cdm 4839   Rel wrel 4844   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   1stc1st 6810   2ndc2nd 6811   RRcr 9556   0cc0 9557    + caddc 9560    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   ZZcz 10961  ..^cfzo 11942   substr csubstr 12707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-substr 12715
This theorem is referenced by:  cshword  12947  pfx0  39073  cshword2  39125
  Copyright terms: Public domain W3C validator