MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swoso Structured version   Unicode version

Theorem swoso 7354
Description: If the incomparability relation is equivalent to equality in a subset, then the partial order strictly orders the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
swoer.1  |-  R  =  ( ( X  X.  X )  \  (  .<  u.  `'  .<  )
)
swoer.2  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( y  .<  z  ->  -.  z  .<  y
) )
swoer.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x  .<  y  ->  ( x  .<  z  \/  z  .<  y ) ) )
swoso.4  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
swoso.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y  /\  x R y ) )  ->  x  =  y )
Assertion
Ref Expression
swoso  |-  ( ph  ->  .<  Or  Y )
Distinct variable groups:    x, y,
z,  .<    ph, x, y, z   
x, X, y, z   
x, Y, y
Allowed substitution hints:    R( x, y, z)    Y( z)

Proof of Theorem swoso
StepHypRef Expression
1 swoso.4 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
2 swoer.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( y  .<  z  ->  -.  z  .<  y
) )
3 swoer.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x  .<  y  ->  ( x  .<  z  \/  z  .<  y ) ) )
42, 3swopo 4816 . . 3  |-  ( ph  ->  .<  Po  X )
5 poss 4808 . . 3  |-  ( Y 
C_  X  ->  (  .<  Po  X  ->  .<  Po  Y ) )
61, 4, 5sylc 60 . 2  |-  ( ph  ->  .<  Po  Y )
71sselda 3509 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  X )
81sselda 3509 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  X )
97, 8anim12dan 835 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )
10 swoer.1 . . . . . . 7  |-  R  =  ( ( X  X.  X )  \  (  .<  u.  `'  .<  )
)
1110brdifun 7350 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x R y  <->  -.  ( x  .<  y  \/  y  .<  x ) ) )
129, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( x R y  <->  -.  ( x  .<  y  \/  y  .<  x ) ) )
13 df-3an 975 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y  /\  x R y )  <->  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  /\  x R y ) )
14 swoso.5 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y  /\  x R y ) )  ->  x  =  y )
1513, 14sylan2br 476 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  /\  x R y ) )  ->  x  =  y )
1615expr 615 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( x R y  ->  x  =  y ) )
1712, 16sylbird 235 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( -.  ( x 
.<  y  \/  y  .<  x )  ->  x  =  y ) )
1817orrd 378 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( ( x  .<  y  \/  y  .<  x
)  \/  x  =  y ) )
19 3orcomb 983 . . . 4  |-  ( ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x )  <->  ( x  .<  y  \/  y  .<  x  \/  x  =  y ) )
20 df-3or 974 . . . 4  |-  ( ( x  .<  y  \/  y  .<  x  \/  x  =  y )  <->  ( (
x  .<  y  \/  y  .<  x )  \/  x  =  y ) )
2119, 20bitri 249 . . 3  |-  ( ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x )  <->  ( (
x  .<  y  \/  y  .<  x )  \/  x  =  y ) )
2218, 21sylibr 212 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x ) )
236, 22issod 4836 1  |-  ( ph  ->  .<  Or  Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 972    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    \ cdif 3478    u. cun 3479    C_ wss 3481   class class class wbr 4453    Po wpo 4804    Or wor 4805    X. cxp 5003   `'ccnv 5004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pr 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-br 4454  df-opab 4512  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-cnv 5013
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator