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Theorem swoso 7334
Description: If the incomparability relation is equivalent to equality in a subset, then the partial order strictly orders the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
swoer.1  |-  R  =  ( ( X  X.  X )  \  (  .<  u.  `'  .<  )
)
swoer.2  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( y  .<  z  ->  -.  z  .<  y
) )
swoer.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x  .<  y  ->  ( x  .<  z  \/  z  .<  y ) ) )
swoso.4  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
swoso.5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y  /\  x R y ) )  ->  x  =  y )
Assertion
Ref Expression
swoso  |-  ( ph  ->  .<  Or  Y )
Distinct variable groups:    x, y,
z,  .<    ph, x, y, z   
x, X, y, z   
x, Y, y
Allowed substitution hints:    R( x, y, z)    Y( z)

Proof of Theorem swoso
StepHypRef Expression
1 swoso.4 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
2 swoer.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( y  .<  z  ->  -.  z  .<  y
) )
3 swoer.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x  .<  y  ->  ( x  .<  z  \/  z  .<  y ) ) )
42, 3swopo 4799 . . 3  |-  ( ph  ->  .<  Po  X )
5 poss 4791 . . 3  |-  ( Y 
C_  X  ->  (  .<  Po  X  ->  .<  Po  Y ) )
61, 4, 5sylc 60 . 2  |-  ( ph  ->  .<  Po  Y )
71sselda 3489 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  X )
81sselda 3489 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  X )
97, 8anim12dan 835 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )
10 swoer.1 . . . . . . 7  |-  R  =  ( ( X  X.  X )  \  (  .<  u.  `'  .<  )
)
1110brdifun 7330 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x R y  <->  -.  ( x  .<  y  \/  y  .<  x ) ) )
129, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( x R y  <->  -.  ( x  .<  y  \/  y  .<  x ) ) )
13 df-3an 973 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y  /\  x R y )  <->  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  /\  x R y ) )
14 swoso.5 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y  /\  x R y ) )  ->  x  =  y )
1513, 14sylan2br 474 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  /\  x R y ) )  ->  x  =  y )
1615expr 613 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( x R y  ->  x  =  y ) )
1712, 16sylbird 235 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( -.  ( x 
.<  y  \/  y  .<  x )  ->  x  =  y ) )
1817orrd 376 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( ( x  .<  y  \/  y  .<  x
)  \/  x  =  y ) )
19 3orcomb 981 . . . 4  |-  ( ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x )  <->  ( x  .<  y  \/  y  .<  x  \/  x  =  y ) )
20 df-3or 972 . . . 4  |-  ( ( x  .<  y  \/  y  .<  x  \/  x  =  y )  <->  ( (
x  .<  y  \/  y  .<  x )  \/  x  =  y ) )
2119, 20bitri 249 . . 3  |-  ( ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x )  <->  ( (
x  .<  y  \/  y  .<  x )  \/  x  =  y ) )
2218, 21sylibr 212 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x ) )
236, 22issod 4819 1  |-  ( ph  ->  .<  Or  Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    \/ w3o 970    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    \ cdif 3458    u. cun 3459    C_ wss 3461   class class class wbr 4439    Po wpo 4787    Or wor 4788    X. cxp 4986   `'ccnv 4987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-br 4440  df-opab 4498  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-cnv 4996
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