Theorem supxrunb2 7299

Description: The supremum of an unbounded-above set of extended reals is plus infinity.

Assertion

Ref	Expression
supxrunb2	|- (A C_ RR* -> (A.x e. RR E.y e. A x < y <-> sup(A, RR*, < ) = +oo))

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem supxrunb2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 2615	. . . . . . . 8 |- (A C_ RR* -> (z e. A -> z e. RR*))
2		pnfnlt 6721	. . . . . . . 8 |- (z e. RR* -> -. +oo < z)
3	1, 2	syl6 25	. . . . . . 7 |- (A C_ RR* -> (z e. A -> -. +oo < z))
4	3	r19.21aiv 2175	. . . . . 6 |- (A C_ RR* -> A.z e. A -. +oo < z)
5	4	adantr 425	. . . . 5 |- ((A C_ RR* /\ A.x e. RR E.y e. A x < y) -> A.z e. A -. +oo < z)
6		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x = z -> (x < y <-> z < y))
7	6	rexbidv 2124	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x = z -> (E.y e. A x < y <-> E.y e. A z < y))
8	7	rcla4va 2378	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. RR /\ A.x e. RR E.y e. A x < y) -> E.y e. A z < y)
9	8	adantrr 431	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. RR /\ (A.x e. RR E.y e. A x < y /\ A C_ RR*)) -> E.y e. A z < y)
10	9	ancoms 484	. . . . . . . . . . 11 |- (((A.x e. RR E.y e. A x < y /\ A C_ RR*) /\ z e. RR) -> E.y e. A z < y)
11	10	exp31 407	. . . . . . . . . 10 |- (A.x e. RR E.y e. A x < y -> (A C_ RR* -> (z e. RR -> E.y e. A z < y)))
12	11	a1dd 53	. . . . . . . . 9 |- (A.x e. RR E.y e. A x < y -> (A C_ RR* -> (z < +oo -> (z e. RR -> E.y e. A z < y))))
13	12	com4r 45	. . . . . . . 8 |- (z e. RR -> (A.x e. RR E.y e. A x < y -> (A C_ RR* -> (z < +oo -> E.y e. A z < y))))
14	13	com13 37	. . . . . . 7 |- (A C_ RR* -> (A.x e. RR E.y e. A x < y -> (z e. RR -> (z < +oo -> E.y e. A z < y))))
15	14	imp 377	. . . . . 6 |- ((A C_ RR* /\ A.x e. RR E.y e. A x < y) -> (z e. RR -> (z < +oo -> E.y e. A z < y)))
16	15	r19.21aiv 2175	. . . . 5 |- ((A C_ RR* /\ A.x e. RR E.y e. A x < y) -> A.z e. RR (z < +oo -> E.y e. A z < y))
17	5, 16	jca 310	. . . 4 |- ((A C_ RR* /\ A.x e. RR E.y e. A x < y) -> (A.z e. A -. +oo < z /\ A.z e. RR (z < +oo -> E.y e. A z < y)))
18		pnfxr 6660	. . . . 5 |- +oo e. RR*
19		supxr 7290	. . . . 5 |- (((A C_ RR* /\ +oo e. RR*) /\ (A.z e. A -. +oo < z /\ A.z e. RR (z < +oo -> E.y e. A z < y))) -> sup(A, RR*, < ) = +oo)
20	18, 19	mpanl2 771	. . . 4 |- ((A C_ RR* /\ (A.z e. A -. +oo < z /\ A.z e. RR (z < +oo -> E.y e. A z < y))) -> sup(A, RR*, < ) = +oo)
21	17, 20	syldan 516	. . 3 |- ((A C_ RR* /\ A.x e. RR E.y e. A x < y) -> sup(A, RR*, < ) = +oo)
22	21	ex 402	. 2 |- (A C_ RR* -> (A.x e. RR E.y e. A x < y -> sup(A, RR*, < ) = +oo))
23		xrsupss 7287	. . . . . . 7 |- (A C_ RR* -> E.z e. RR* (A.w e. A -. z < w /\ A.w e. RR* (w < z -> E.y e. A w < y)))
24	23	ad2antrr 440	. . . . . 6 |- (((A C_ RR* /\ x e. RR) /\ sup(A, RR*, < ) = +oo) -> E.z e. RR* (A.w e. A -. z < w /\ A.w e. RR* (w < z -> E.y e. A w < y)))
25		rexr 6668	. . . . . . . 8 |- (x e. RR -> x e. RR*)
26	25	ad2antlr 441	. . . . . . 7 |- (((A C_ RR* /\ x e. RR) /\ sup(A, RR*, < ) = +oo) -> x e. RR*)
27		breq2 3342	. . . . . . . . . 10 |- (sup(A, RR*, < ) = +oo -> (x < sup(A, RR*, < ) <-> x < +oo))
28		ltpnf 6717	. . . . . . . . . 10 |- (x e. RR -> x < +oo)
29	27, 28	syl5bir 227	. . . . . . . . 9 |- (sup(A, RR*, < ) = +oo -> (x e. RR -> x < sup(A, RR*, < )))
30	29	impcom 378	. . . . . . . 8 |- ((x e. RR /\ sup(A, RR*, < ) = +oo) -> x < sup(A, RR*, < ))
31	30	adantll 428	. . . . . . 7 |- (((A C_ RR* /\ x e. RR) /\ sup(A, RR*, < ) = +oo) -> x < sup(A, RR*, < ))
32	26, 31	jca 310	. . . . . 6 |- (((A C_ RR* /\ x e. RR) /\ sup(A, RR*, < ) = +oo) -> (x e. RR* /\ x < sup(A, RR*, < )))
33		xrltso 6729	. . . . . . 7 |- < Or RR*
34	33	suplub 5671	. . . . . 6 |- (E.z e. RR* (A.w e. A -. z < w /\ A.w e. RR* (w < z -> E.y e. A w < y)) -> ((x e. RR* /\ x < sup(A, RR*, < )) -> E.y e. A x < y))
35	24, 32, 34	sylc 83	. . . . 5 |- (((A C_ RR* /\ x e. RR) /\ sup(A, RR*, < ) = +oo) -> E.y e. A x < y)
36	35	exp31 407	. . . 4 |- (A C_ RR* -> (x e. RR -> (sup(A, RR*, < ) = +oo -> E.y e. A x < y)))
37	36	com23 36	. . 3 |- (A C_ RR* -> (sup(A, RR*, < ) = +oo -> (x e. RR -> E.y e. A x < y)))
38	37	r19.21adv 2181	. 2 |- (A C_ RR* -> (sup(A, RR*, < ) = +oo -> A.x e. RR E.y e. A x < y))
39	22, 38	impbid 574	1 |- (A C_ RR* -> (A.x e. RR E.y e. A x < y <-> sup(A, RR*, < ) = +oo))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  supcsup 5663  RRcr 6385   +oocpnf 6650  RR*cxr 6652   < clt 6653

This theorem is referenced by:  supxrbnd 7300  supxrbnd2 7305  nmcopexlem1 11588  nmcfnexlem1 11617

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658

Copyright terms: Public domain