Theorem supxrunb1 11303

Description: The supremum of an unbounded-above set of extended reals is plus infinity. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
supxrunb1	|- ( A C_ RR* -> ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y <-> sup ( A , RR* , < ) = +oo ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem supxrunb1

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3371	. . . . . . . 8 |- ( A C_ RR* -> ( z e. A -> z e. RR* ) )
2		pnfnlt 11129	. . . . . . . 8 |- ( z e. RR* -> -. +oo < z )
3	1, 2	syl6 33	. . . . . . 7 |- ( A C_ RR* -> ( z e. A -> -. +oo < z ) )
4	3	ralrimiv 2819	. . . . . 6 |- ( A C_ RR* -> A. z e. A -. +oo < z )
5	4	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A x <_ y ) -> A. z e. A -. +oo < z )
6		peano2re 9563	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. RR -> ( z + 1 ) e. RR )
7		breq1 4316	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( z + 1 ) -> ( x <_ y <-> ( z + 1 ) <_ y ) )
8	7	rexbidv 2757	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( z + 1 ) -> ( E. y e. A x <_ y <-> E. y e. A ( z + 1 ) <_ y ) )
9	8	rspcva 3092	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( z + 1 ) e. RR /\ A. x e. RR E. y e. A x <_ y ) -> E. y e. A ( z + 1 ) <_ y )
10	9	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z + 1 ) e. RR /\ ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y /\ A C_ RR* ) ) -> E. y e. A ( z + 1 ) <_ y )
11	10	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y /\ A C_ RR* ) /\ ( z + 1 ) e. RR ) -> E. y e. A ( z + 1 ) <_ y )
12	6, 11	sylan2 474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y /\ A C_ RR* ) /\ z e. RR ) -> E. y e. A ( z + 1 ) <_ y )
13		ssel2 3372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A C_ RR* /\ y e. A ) -> y e. RR* )
14		ltp1 10188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. RR -> z < ( z + 1 ) )
15	14	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. RR /\ y e. RR* ) -> z < ( z + 1 ) )
16	6	ancli 551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. RR -> ( z e. RR /\ ( z + 1 ) e. RR ) )
17		rexr 9450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z e. RR -> z e. RR* )
18		rexr 9450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z + 1 ) e. RR -> ( z + 1 ) e. RR* )
19		xrltletr 11152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z e. RR* /\ ( z + 1 ) e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( ( z < ( z + 1 ) /\ ( z + 1 ) <_ y ) -> z < y ) )
20	18, 19	syl3an2 1252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( z e. RR* /\ ( z + 1 ) e. RR /\ y e. RR* ) -> ( ( z < ( z + 1 ) /\ ( z + 1 ) <_ y ) -> z < y ) )
21	17, 20	syl3an1 1251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( z e. RR /\ ( z + 1 ) e. RR /\ y e. RR* ) -> ( ( z < ( z + 1 ) /\ ( z + 1 ) <_ y ) -> z < y ) )
22	21	3expa 1187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( z e. RR /\ ( z + 1 ) e. RR ) /\ y e. RR* ) -> ( ( z < ( z + 1 ) /\ ( z + 1 ) <_ y ) -> z < y ) )
23	16, 22	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. RR /\ y e. RR* ) -> ( ( z < ( z + 1 ) /\ ( z + 1 ) <_ y ) -> z < y ) )
24	15, 23	mpand 675	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. RR /\ y e. RR* ) -> ( ( z + 1 ) <_ y -> z < y ) )
25	24	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. RR* /\ z e. RR ) -> ( ( z + 1 ) <_ y -> z < y ) )
26	13, 25	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A C_ RR* /\ y e. A ) /\ z e. RR ) -> ( ( z + 1 ) <_ y -> z < y ) )
27	26	an32s 802	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A C_ RR* /\ z e. RR ) /\ y e. A ) -> ( ( z + 1 ) <_ y -> z < y ) )
28	27	reximdva 2849	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A C_ RR* /\ z e. RR ) -> ( E. y e. A ( z + 1 ) <_ y -> E. y e. A z < y ) )
29	28	adantll 713	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y /\ A C_ RR* ) /\ z e. RR ) -> ( E. y e. A ( z + 1 ) <_ y -> E. y e. A z < y ) )
30	12, 29	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y /\ A C_ RR* ) /\ z e. RR ) -> E. y e. A z < y )
31	30	exp31 604	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y -> ( A C_ RR* -> ( z e. RR -> E. y e. A z < y ) ) )
32	31	a1dd 46	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y -> ( A C_ RR* -> ( z < +oo -> ( z e. RR -> E. y e. A z < y ) ) ) )
33	32	com4r 86	. . . . . . . 8 |- ( z e. RR -> ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y -> ( A C_ RR* -> ( z < +oo -> E. y e. A z < y ) ) ) )
34	33	com13 80	. . . . . . 7 |- ( A C_ RR* -> ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y -> ( z e. RR -> ( z < +oo -> E. y e. A z < y ) ) ) )
35	34	imp 429	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A x <_ y ) -> ( z e. RR -> ( z < +oo -> E. y e. A z < y ) ) )
36	35	ralrimiv 2819	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A x <_ y ) -> A. z e. RR ( z < +oo -> E. y e. A z < y ) )
37	5, 36	jca 532	. . . 4 |- ( ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A x <_ y ) -> ( A. z e. A -. +oo < z /\ A. z e. RR ( z < +oo -> E. y e. A z < y ) ) )
38		pnfxr 11113	. . . . 5 |- +oo e. RR*
39		supxr 11296	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ RR* /\ +oo e. RR* ) /\ ( A. z e. A -. +oo < z /\ A. z e. RR ( z < +oo -> E. y e. A z < y ) ) ) -> sup ( A , RR* , < ) = +oo )
40	38, 39	mpanl2 681	. . . 4 |- ( ( A C_ RR* /\ ( A. z e. A -. +oo < z /\ A. z e. RR ( z < +oo -> E. y e. A z < y ) ) ) -> sup ( A , RR* , < ) = +oo )
41	37, 40	syldan 470	. . 3 |- ( ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A x <_ y ) -> sup ( A , RR* , < ) = +oo )
42	41	ex 434	. 2 |- ( A C_ RR* -> ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y -> sup ( A , RR* , < ) = +oo ) )
43		rexr 9450	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> x e. RR* )
44	43	ad2antlr 726	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> x e. RR* )
45		ltpnf 11123	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> x < +oo )
46		breq2 4317	. . . . . . . . 9 |- ( sup ( A , RR* , < ) = +oo -> ( x < sup ( A , RR* , < ) <-> x < +oo ) )
47	45, 46	syl5ibr 221	. . . . . . . 8 |- ( sup ( A , RR* , < ) = +oo -> ( x e. RR -> x < sup ( A , RR* , < ) ) )
48	47	impcom 430	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> x < sup ( A , RR* , < ) )
49	48	adantll 713	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> x < sup ( A , RR* , < ) )
50		xrltso 11139	. . . . . . . 8 |- < Or RR*
51	50	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> < Or RR* )
52		xrsupss 11292	. . . . . . . 8 |- ( A C_ RR* -> E. z e. RR* ( A. w e. A -. z < w /\ A. w e. RR* ( w < z -> E. y e. A w < y ) ) )
53	52	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> E. z e. RR* ( A. w e. A -. z < w /\ A. w e. RR* ( w < z -> E. y e. A w < y ) ) )
54	51, 53	suplub 7731	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> ( ( x e. RR* /\ x < sup ( A , RR* , < ) ) -> E. y e. A x < y ) )
55	44, 49, 54	mp2and 679	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> E. y e. A x < y )
56	55	ex 434	. . . 4 |- ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) -> ( sup ( A , RR* , < ) = +oo -> E. y e. A x < y ) )
57	43	ad2antlr 726	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ y e. A ) -> x e. RR* )
58	13	adantlr 714	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ y e. A ) -> y e. RR* )
59		xrltle 11147	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x < y -> x <_ y ) )
60	57, 58, 59	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ y e. A ) -> ( x < y -> x <_ y ) )
61	60	reximdva 2849	. . . 4 |- ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) -> ( E. y e. A x < y -> E. y e. A x <_ y ) )
62	56, 61	syld 44	. . 3 |- ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) -> ( sup ( A , RR* , < ) = +oo -> E. y e. A x <_ y ) )
63	62	ralrimdva 2827	. 2 |- ( A C_ RR* -> ( sup ( A , RR* , < ) = +oo -> A. x e. RR E. y e. A x <_ y ) )
64	42, 63	impbid 191	1 |- ( A C_ RR* -> ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y <-> sup ( A , RR* , < ) = +oo ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2736   E.wrex 2737   C_ wss 3349   class class class wbr 4313   Or wor 4661  (class class class)co 6112   supcsup 7711   RRcr 9302   1c1 9304   + caddc 9306   +oocpnf 9436   RR*cxr 9438   < clt 9439   <_ cle 9440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-sup 7712  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619

This theorem is referenced by:  supxrbnd1  11305  uzsup  11723  limsupval2  12979  limsupbnd2  12982  rlimuni  13049  rlimcld2  13077  rlimno1  13152  esumcvg  26557