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Theorem supxrunb1 11303
Description: The supremum of an unbounded-above set of extended reals is plus infinity. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
supxrunb1  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem supxrunb1
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3371 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( z  e.  A  ->  z  e. 
RR* ) )
2 pnfnlt 11129 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  RR*  ->  -. +oo  <  z )
31, 2syl6 33 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( z  e.  A  ->  -. +oo  <  z ) )
43ralrimiv 2819 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR*  ->  A. z  e.  A  -. +oo  <  z )
54adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y )  ->  A. z  e.  A  -. +oo  <  z )
6 peano2re 9563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  RR  ->  (
z  +  1 )  e.  RR )
7 breq1 4316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( z  +  1 )  ->  (
x  <_  y  <->  ( z  +  1 )  <_ 
y ) )
87rexbidv 2757 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( z  +  1 )  ->  ( E. y  e.  A  x  <_  y  <->  E. y  e.  A  ( z  +  1 )  <_ 
y ) )
98rspcva 3092 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  +  1 )  e.  RR  /\  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y )  ->  E. y  e.  A  ( z  +  1 )  <_ 
y )
109adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  +  1 )  e.  RR  /\  ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  /\  A  C_ 
RR* ) )  ->  E. y  e.  A  ( z  +  1 )  <_  y )
1110ancoms 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  /\  A  C_  RR* )  /\  ( z  +  1 )  e.  RR )  ->  E. y  e.  A  ( z  +  1 )  <_  y )
126, 11sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  /\  A  C_  RR* )  /\  z  e.  RR )  ->  E. y  e.  A  ( z  +  1 )  <_  y )
13 ssel2 3372 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR* )
14 ltp1 10188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  RR  ->  z  <  ( z  +  1 ) )
1514adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR* )  -> 
z  <  ( z  +  1 ) )
166ancli 551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  RR  ->  (
z  e.  RR  /\  ( z  +  1 )  e.  RR ) )
17 rexr 9450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  RR  ->  z  e.  RR* )
18 rexr 9450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  +  1 )  e.  RR  ->  (
z  +  1 )  e.  RR* )
19 xrltletr 11152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  (
z  +  1 )  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( z  <  (
z  +  1 )  /\  ( z  +  1 )  <_  y
)  ->  z  <  y ) )
2018, 19syl3an2 1252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  (
z  +  1 )  e.  RR  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( z  <  (
z  +  1 )  /\  ( z  +  1 )  <_  y
)  ->  z  <  y ) )
2117, 20syl3an1 1251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  RR  /\  ( z  +  1 )  e.  RR  /\  y  e.  RR* )  -> 
( ( z  < 
( z  +  1 )  /\  ( z  +  1 )  <_ 
y )  ->  z  <  y ) )
22213expa 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( z  e.  RR  /\  ( z  +  1 )  e.  RR )  /\  y  e.  RR* )  ->  ( ( z  <  ( z  +  1 )  /\  (
z  +  1 )  <_  y )  -> 
z  <  y )
)
2316, 22sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR* )  -> 
( ( z  < 
( z  +  1 )  /\  ( z  +  1 )  <_ 
y )  ->  z  <  y ) )
2415, 23mpand 675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  RR  /\  y  e.  RR* )  -> 
( ( z  +  1 )  <_  y  ->  z  <  y ) )
2524ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  z  e.  RR )  ->  (
( z  +  1 )  <_  y  ->  z  <  y ) )
2613, 25sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  RR )  ->  (
( z  +  1 )  <_  y  ->  z  <  y ) )
2726an32s 802 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  z  e.  RR )  /\  y  e.  A )  ->  (
( z  +  1 )  <_  y  ->  z  <  y ) )
2827reximdva 2849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  z  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  A  ( z  +  1 )  <_  y  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) )
2928adantll 713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  /\  A  C_  RR* )  /\  z  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  A  ( z  +  1 )  <_ 
y  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) )
3012, 29mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  /\  A  C_  RR* )  /\  z  e.  RR )  ->  E. y  e.  A  z  <  y )
3130exp31 604 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  ->  ( A  C_  RR* 
->  ( z  e.  RR  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) ) )
3231a1dd 46 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  ->  ( A  C_  RR* 
->  ( z  < +oo  ->  ( z  e.  RR  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) ) ) )
3332com4r 86 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  RR  ->  ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  ->  ( A  C_  RR*  ->  ( z  < +oo  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) ) ) )
3433com13 80 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  ->  ( z  e.  RR  ->  ( z  < +oo  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) ) ) )
3534imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y )  ->  ( z  e.  RR  ->  ( z  < +oo  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) ) )
3635ralrimiv 2819 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y )  ->  A. z  e.  RR  ( z  < +oo  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) )
375, 36jca 532 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y )  ->  ( A. z  e.  A  -. +oo 
<  z  /\  A. z  e.  RR  ( z  < +oo  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) ) )
38 pnfxr 11113 . . . . 5  |- +oo  e.  RR*
39 supxr 11296 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  ( A. z  e.  A  -. +oo  <  z  /\  A. z  e.  RR  (
z  < +oo  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) ) )  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo )
4038, 39mpanl2 681 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  ( A. z  e.  A  -. +oo  <  z  /\  A. z  e.  RR  (
z  < +oo  ->  E. y  e.  A  z  <  y ) ) )  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo )
4137, 40syldan 470 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y )  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo )
4241ex 434 . 2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo ) )
43 rexr 9450 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
4443ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  /\  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo )  ->  x  e.  RR* )
45 ltpnf 11123 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  x  < +oo )
46 breq2 4317 . . . . . . . . 9  |-  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo  ->  ( x  <  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <-> 
x  < +oo )
)
4745, 46syl5ibr 221 . . . . . . . 8  |-  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo  ->  ( x  e.  RR  ->  x  <  sup ( A ,  RR* ,  <  ) ) )
4847impcom 430 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo )  ->  x  <  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
4948adantll 713 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  /\  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo )  ->  x  <  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
50 xrltso 11139 . . . . . . . 8  |-  <  Or  RR*
5150a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  /\  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo )  ->  <  Or  RR* )
52 xrsupss 11292 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. z  e.  RR*  ( A. w  e.  A  -.  z  <  w  /\  A. w  e.  RR*  ( w  < 
z  ->  E. y  e.  A  w  <  y ) ) )
5352ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  /\  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo )  ->  E. z  e.  RR*  ( A. w  e.  A  -.  z  <  w  /\  A. w  e.  RR*  (
w  <  z  ->  E. y  e.  A  w  <  y ) ) )
5451, 53suplub 7731 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  /\  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo )  -> 
( ( x  e. 
RR*  /\  x  <  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) )
5544, 49, 54mp2and 679 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  /\  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo )  ->  E. y  e.  A  x  <  y )
5655ex 434 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) )
5743ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  RR* )
5813adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR* )
59 xrltle 11147 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <  y  ->  x  <_  y ) )
6057, 58, 59syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A )  ->  (
x  <  y  ->  x  <_  y ) )
6160reximdva 2849 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  A  x  <  y  ->  E. y  e.  A  x  <_  y ) )
6256, 61syld 44 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo  ->  E. y  e.  A  x  <_  y ) )
6362ralrimdva 2827 . 2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo  ->  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y
) )
6442, 63impbid 191 1  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736   E.wrex 2737    C_ wss 3349   class class class wbr 4313    Or wor 4661  (class class class)co 6112   supcsup 7711   RRcr 9302   1c1 9304    + caddc 9306   +oocpnf 9436   RR*cxr 9438    < clt 9439    <_ cle 9440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-sup 7712  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619
This theorem is referenced by:  supxrbnd1  11305  uzsup  11723  limsupval2  12979  limsupbnd2  12982  rlimuni  13049  rlimcld2  13077  rlimno1  13152  esumcvg  26557
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