Theorem supxrunb1 11612

Description: The supremum of an unbounded-above set of extended reals is plus infinity. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
supxrunb1	|- ( A C_ RR* -> ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y <-> sup ( A , RR* , < ) = +oo ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem supxrunb1

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3428	. . . . . . . 8 |- ( A C_ RR* -> ( z e. A -> z e. RR* ) )
2		pnfnlt 11437	. . . . . . . 8 |- ( z e. RR* -> -. +oo < z )
3	1, 2	syl6 34	. . . . . . 7 |- ( A C_ RR* -> ( z e. A -> -. +oo < z ) )
4	3	ralrimiv 2802	. . . . . 6 |- ( A C_ RR* -> A. z e. A -. +oo < z )
5	4	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A x <_ y ) -> A. z e. A -. +oo < z )
6		peano2re 9811	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. RR -> ( z + 1 ) e. RR )
7		breq1 4408	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( z + 1 ) -> ( x <_ y <-> ( z + 1 ) <_ y ) )
8	7	rexbidv 2903	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( z + 1 ) -> ( E. y e. A x <_ y <-> E. y e. A ( z + 1 ) <_ y ) )
9	8	rspcva 3150	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( z + 1 ) e. RR /\ A. x e. RR E. y e. A x <_ y ) -> E. y e. A ( z + 1 ) <_ y )
10	9	adantrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z + 1 ) e. RR /\ ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y /\ A C_ RR* ) ) -> E. y e. A ( z + 1 ) <_ y )
11	10	ancoms 455	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y /\ A C_ RR* ) /\ ( z + 1 ) e. RR ) -> E. y e. A ( z + 1 ) <_ y )
12	6, 11	sylan2 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y /\ A C_ RR* ) /\ z e. RR ) -> E. y e. A ( z + 1 ) <_ y )
13		ssel2 3429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A C_ RR* /\ y e. A ) -> y e. RR* )
14		ltp1 10450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. RR -> z < ( z + 1 ) )
15	14	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. RR /\ y e. RR* ) -> z < ( z + 1 ) )
16	6	ancli 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. RR -> ( z e. RR /\ ( z + 1 ) e. RR ) )
17		rexr 9691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z e. RR -> z e. RR* )
18		rexr 9691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z + 1 ) e. RR -> ( z + 1 ) e. RR* )
19		xrltletr 11461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z e. RR* /\ ( z + 1 ) e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( ( z < ( z + 1 ) /\ ( z + 1 ) <_ y ) -> z < y ) )
20	18, 19	syl3an2 1303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( z e. RR* /\ ( z + 1 ) e. RR /\ y e. RR* ) -> ( ( z < ( z + 1 ) /\ ( z + 1 ) <_ y ) -> z < y ) )
21	17, 20	syl3an1 1302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( z e. RR /\ ( z + 1 ) e. RR /\ y e. RR* ) -> ( ( z < ( z + 1 ) /\ ( z + 1 ) <_ y ) -> z < y ) )
22	21	3expa 1209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( z e. RR /\ ( z + 1 ) e. RR ) /\ y e. RR* ) -> ( ( z < ( z + 1 ) /\ ( z + 1 ) <_ y ) -> z < y ) )
23	16, 22	sylan 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. RR /\ y e. RR* ) -> ( ( z < ( z + 1 ) /\ ( z + 1 ) <_ y ) -> z < y ) )
24	15, 23	mpand 682	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. RR /\ y e. RR* ) -> ( ( z + 1 ) <_ y -> z < y ) )
25	24	ancoms 455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. RR* /\ z e. RR ) -> ( ( z + 1 ) <_ y -> z < y ) )
26	13, 25	sylan 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A C_ RR* /\ y e. A ) /\ z e. RR ) -> ( ( z + 1 ) <_ y -> z < y ) )
27	26	an32s 814	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A C_ RR* /\ z e. RR ) /\ y e. A ) -> ( ( z + 1 ) <_ y -> z < y ) )
28	27	reximdva 2864	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A C_ RR* /\ z e. RR ) -> ( E. y e. A ( z + 1 ) <_ y -> E. y e. A z < y ) )
29	28	adantll 721	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y /\ A C_ RR* ) /\ z e. RR ) -> ( E. y e. A ( z + 1 ) <_ y -> E. y e. A z < y ) )
30	12, 29	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y /\ A C_ RR* ) /\ z e. RR ) -> E. y e. A z < y )
31	30	exp31 609	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y -> ( A C_ RR* -> ( z e. RR -> E. y e. A z < y ) ) )
32	31	a1dd 47	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y -> ( A C_ RR* -> ( z < +oo -> ( z e. RR -> E. y e. A z < y ) ) ) )
33	32	com4r 89	. . . . . . . 8 |- ( z e. RR -> ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y -> ( A C_ RR* -> ( z < +oo -> E. y e. A z < y ) ) ) )
34	33	com13 83	. . . . . . 7 |- ( A C_ RR* -> ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y -> ( z e. RR -> ( z < +oo -> E. y e. A z < y ) ) ) )
35	34	imp 431	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A x <_ y ) -> ( z e. RR -> ( z < +oo -> E. y e. A z < y ) ) )
36	35	ralrimiv 2802	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A x <_ y ) -> A. z e. RR ( z < +oo -> E. y e. A z < y ) )
37	5, 36	jca 535	. . . 4 |- ( ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A x <_ y ) -> ( A. z e. A -. +oo < z /\ A. z e. RR ( z < +oo -> E. y e. A z < y ) ) )
38		pnfxr 11419	. . . . 5 |- +oo e. RR*
39		supxr 11605	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ RR* /\ +oo e. RR* ) /\ ( A. z e. A -. +oo < z /\ A. z e. RR ( z < +oo -> E. y e. A z < y ) ) ) -> sup ( A , RR* , < ) = +oo )
40	38, 39	mpanl2 688	. . . 4 |- ( ( A C_ RR* /\ ( A. z e. A -. +oo < z /\ A. z e. RR ( z < +oo -> E. y e. A z < y ) ) ) -> sup ( A , RR* , < ) = +oo )
41	37, 40	syldan 473	. . 3 |- ( ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A x <_ y ) -> sup ( A , RR* , < ) = +oo )
42	41	ex 436	. 2 |- ( A C_ RR* -> ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y -> sup ( A , RR* , < ) = +oo ) )
43		rexr 9691	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> x e. RR* )
44	43	ad2antlr 734	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> x e. RR* )
45		ltpnf 11429	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> x < +oo )
46		breq2 4409	. . . . . . . . 9 |- ( sup ( A , RR* , < ) = +oo -> ( x < sup ( A , RR* , < ) <-> x < +oo ) )
47	45, 46	syl5ibr 225	. . . . . . . 8 |- ( sup ( A , RR* , < ) = +oo -> ( x e. RR -> x < sup ( A , RR* , < ) ) )
48	47	impcom 432	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> x < sup ( A , RR* , < ) )
49	48	adantll 721	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> x < sup ( A , RR* , < ) )
50		xrltso 11447	. . . . . . . 8 |- < Or RR*
51	50	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> < Or RR* )
52		xrsupss 11601	. . . . . . . 8 |- ( A C_ RR* -> E. z e. RR* ( A. w e. A -. z < w /\ A. w e. RR* ( w < z -> E. y e. A w < y ) ) )
53	52	ad2antrr 733	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> E. z e. RR* ( A. w e. A -. z < w /\ A. w e. RR* ( w < z -> E. y e. A w < y ) ) )
54	51, 53	suplub 7979	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> ( ( x e. RR* /\ x < sup ( A , RR* , < ) ) -> E. y e. A x < y ) )
55	44, 49, 54	mp2and 686	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> E. y e. A x < y )
56	55	ex 436	. . . 4 |- ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) -> ( sup ( A , RR* , < ) = +oo -> E. y e. A x < y ) )
57	43	ad2antlr 734	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ y e. A ) -> x e. RR* )
58	13	adantlr 722	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ y e. A ) -> y e. RR* )
59		xrltle 11455	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x < y -> x <_ y ) )
60	57, 58, 59	syl2anc 667	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ y e. A ) -> ( x < y -> x <_ y ) )
61	60	reximdva 2864	. . . 4 |- ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) -> ( E. y e. A x < y -> E. y e. A x <_ y ) )
62	56, 61	syld 45	. . 3 |- ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) -> ( sup ( A , RR* , < ) = +oo -> E. y e. A x <_ y ) )
63	62	ralrimdva 2808	. 2 |- ( A C_ RR* -> ( sup ( A , RR* , < ) = +oo -> A. x e. RR E. y e. A x <_ y ) )
64	42, 63	impbid 194	1 |- ( A C_ RR* -> ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y <-> sup ( A , RR* , < ) = +oo ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1446   e. wcel 1889   A.wral 2739   E.wrex 2740   C_ wss 3406   class class class wbr 4405   Or wor 4757  (class class class)co 6295   supcsup 7959   RRcr 9543   1c1 9545   + caddc 9547   +oocpnf 9677   RR*cxr 9679   < clt 9680   <_ cle 9681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-sup 7961  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868

This theorem is referenced by:  supxrbnd1  11614  uzsup  12097  limsupval2  13552  limsupval2OLD  13553  limsupbnd2  13558  limsupbnd2OLD  13559  rlimuni  13626  rlimcld2  13654  rlimno1  13729  esumcvg  28919  suplesup  37572