Theorem supxrunb1 11512

Description: The supremum of an unbounded-above set of extended reals is plus infinity. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
supxrunb1	|- ( A C_ RR* -> ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y <-> sup ( A , RR* , < ) = +oo ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem supxrunb1

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3498	. . . . . . . 8 |- ( A C_ RR* -> ( z e. A -> z e. RR* ) )
2		pnfnlt 11338	. . . . . . . 8 |- ( z e. RR* -> -. +oo < z )
3	1, 2	syl6 33	. . . . . . 7 |- ( A C_ RR* -> ( z e. A -> -. +oo < z ) )
4	3	ralrimiv 2876	. . . . . 6 |- ( A C_ RR* -> A. z e. A -. +oo < z )
5	4	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A x <_ y ) -> A. z e. A -. +oo < z )
6		peano2re 9753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. RR -> ( z + 1 ) e. RR )
7		breq1 4450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( z + 1 ) -> ( x <_ y <-> ( z + 1 ) <_ y ) )
8	7	rexbidv 2973	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( z + 1 ) -> ( E. y e. A x <_ y <-> E. y e. A ( z + 1 ) <_ y ) )
9	8	rspcva 3212	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( z + 1 ) e. RR /\ A. x e. RR E. y e. A x <_ y ) -> E. y e. A ( z + 1 ) <_ y )
10	9	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z + 1 ) e. RR /\ ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y /\ A C_ RR* ) ) -> E. y e. A ( z + 1 ) <_ y )
11	10	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y /\ A C_ RR* ) /\ ( z + 1 ) e. RR ) -> E. y e. A ( z + 1 ) <_ y )
12	6, 11	sylan2 474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y /\ A C_ RR* ) /\ z e. RR ) -> E. y e. A ( z + 1 ) <_ y )
13		ssel2 3499	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A C_ RR* /\ y e. A ) -> y e. RR* )
14		ltp1 10381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. RR -> z < ( z + 1 ) )
15	14	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. RR /\ y e. RR* ) -> z < ( z + 1 ) )
16	6	ancli 551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. RR -> ( z e. RR /\ ( z + 1 ) e. RR ) )
17		rexr 9640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z e. RR -> z e. RR* )
18		rexr 9640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z + 1 ) e. RR -> ( z + 1 ) e. RR* )
19		xrltletr 11361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z e. RR* /\ ( z + 1 ) e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( ( z < ( z + 1 ) /\ ( z + 1 ) <_ y ) -> z < y ) )
20	18, 19	syl3an2 1262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( z e. RR* /\ ( z + 1 ) e. RR /\ y e. RR* ) -> ( ( z < ( z + 1 ) /\ ( z + 1 ) <_ y ) -> z < y ) )
21	17, 20	syl3an1 1261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( z e. RR /\ ( z + 1 ) e. RR /\ y e. RR* ) -> ( ( z < ( z + 1 ) /\ ( z + 1 ) <_ y ) -> z < y ) )
22	21	3expa 1196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( z e. RR /\ ( z + 1 ) e. RR ) /\ y e. RR* ) -> ( ( z < ( z + 1 ) /\ ( z + 1 ) <_ y ) -> z < y ) )
23	16, 22	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. RR /\ y e. RR* ) -> ( ( z < ( z + 1 ) /\ ( z + 1 ) <_ y ) -> z < y ) )
24	15, 23	mpand 675	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. RR /\ y e. RR* ) -> ( ( z + 1 ) <_ y -> z < y ) )
25	24	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. RR* /\ z e. RR ) -> ( ( z + 1 ) <_ y -> z < y ) )
26	13, 25	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A C_ RR* /\ y e. A ) /\ z e. RR ) -> ( ( z + 1 ) <_ y -> z < y ) )
27	26	an32s 802	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A C_ RR* /\ z e. RR ) /\ y e. A ) -> ( ( z + 1 ) <_ y -> z < y ) )
28	27	reximdva 2938	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A C_ RR* /\ z e. RR ) -> ( E. y e. A ( z + 1 ) <_ y -> E. y e. A z < y ) )
29	28	adantll 713	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y /\ A C_ RR* ) /\ z e. RR ) -> ( E. y e. A ( z + 1 ) <_ y -> E. y e. A z < y ) )
30	12, 29	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y /\ A C_ RR* ) /\ z e. RR ) -> E. y e. A z < y )
31	30	exp31 604	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y -> ( A C_ RR* -> ( z e. RR -> E. y e. A z < y ) ) )
32	31	a1dd 46	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y -> ( A C_ RR* -> ( z < +oo -> ( z e. RR -> E. y e. A z < y ) ) ) )
33	32	com4r 86	. . . . . . . 8 |- ( z e. RR -> ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y -> ( A C_ RR* -> ( z < +oo -> E. y e. A z < y ) ) ) )
34	33	com13 80	. . . . . . 7 |- ( A C_ RR* -> ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y -> ( z e. RR -> ( z < +oo -> E. y e. A z < y ) ) ) )
35	34	imp 429	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A x <_ y ) -> ( z e. RR -> ( z < +oo -> E. y e. A z < y ) ) )
36	35	ralrimiv 2876	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A x <_ y ) -> A. z e. RR ( z < +oo -> E. y e. A z < y ) )
37	5, 36	jca 532	. . . 4 |- ( ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A x <_ y ) -> ( A. z e. A -. +oo < z /\ A. z e. RR ( z < +oo -> E. y e. A z < y ) ) )
38		pnfxr 11322	. . . . 5 |- +oo e. RR*
39		supxr 11505	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ RR* /\ +oo e. RR* ) /\ ( A. z e. A -. +oo < z /\ A. z e. RR ( z < +oo -> E. y e. A z < y ) ) ) -> sup ( A , RR* , < ) = +oo )
40	38, 39	mpanl2 681	. . . 4 |- ( ( A C_ RR* /\ ( A. z e. A -. +oo < z /\ A. z e. RR ( z < +oo -> E. y e. A z < y ) ) ) -> sup ( A , RR* , < ) = +oo )
41	37, 40	syldan 470	. . 3 |- ( ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A x <_ y ) -> sup ( A , RR* , < ) = +oo )
42	41	ex 434	. 2 |- ( A C_ RR* -> ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y -> sup ( A , RR* , < ) = +oo ) )
43		rexr 9640	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> x e. RR* )
44	43	ad2antlr 726	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> x e. RR* )
45		ltpnf 11332	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> x < +oo )
46		breq2 4451	. . . . . . . . 9 |- ( sup ( A , RR* , < ) = +oo -> ( x < sup ( A , RR* , < ) <-> x < +oo ) )
47	45, 46	syl5ibr 221	. . . . . . . 8 |- ( sup ( A , RR* , < ) = +oo -> ( x e. RR -> x < sup ( A , RR* , < ) ) )
48	47	impcom 430	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR /\ sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> x < sup ( A , RR* , < ) )
49	48	adantll 713	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> x < sup ( A , RR* , < ) )
50		xrltso 11348	. . . . . . . 8 |- < Or RR*
51	50	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> < Or RR* )
52		xrsupss 11501	. . . . . . . 8 |- ( A C_ RR* -> E. z e. RR* ( A. w e. A -. z < w /\ A. w e. RR* ( w < z -> E. y e. A w < y ) ) )
53	52	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> E. z e. RR* ( A. w e. A -. z < w /\ A. w e. RR* ( w < z -> E. y e. A w < y ) ) )
54	51, 53	suplub 7921	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> ( ( x e. RR* /\ x < sup ( A , RR* , < ) ) -> E. y e. A x < y ) )
55	44, 49, 54	mp2and 679	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> E. y e. A x < y )
56	55	ex 434	. . . 4 |- ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) -> ( sup ( A , RR* , < ) = +oo -> E. y e. A x < y ) )
57	43	ad2antlr 726	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ y e. A ) -> x e. RR* )
58	13	adantlr 714	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ y e. A ) -> y e. RR* )
59		xrltle 11356	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x < y -> x <_ y ) )
60	57, 58, 59	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ y e. A ) -> ( x < y -> x <_ y ) )
61	60	reximdva 2938	. . . 4 |- ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) -> ( E. y e. A x < y -> E. y e. A x <_ y ) )
62	56, 61	syld 44	. . 3 |- ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) -> ( sup ( A , RR* , < ) = +oo -> E. y e. A x <_ y ) )
63	62	ralrimdva 2882	. 2 |- ( A C_ RR* -> ( sup ( A , RR* , < ) = +oo -> A. x e. RR E. y e. A x <_ y ) )
64	42, 63	impbid 191	1 |- ( A C_ RR* -> ( A. x e. RR E. y e. A x <_ y <-> sup ( A , RR* , < ) = +oo ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   C_ wss 3476   class class class wbr 4447   Or wor 4799  (class class class)co 6285   supcsup 7901   RRcr 9492   1c1 9494   + caddc 9496   +oocpnf 9626   RR*cxr 9628   < clt 9629   <_ cle 9630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-sup 7902  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809

This theorem is referenced by:  supxrbnd1  11514  uzsup  11959  limsupval2  13269  limsupbnd2  13272  rlimuni  13339  rlimcld2  13367  rlimno1  13442  esumcvg  27843