MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrub Structured version   Unicode version

Theorem supxrub 11516
Description: A member of a set of extended reals is less than or equal to the set's supremum. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
supxrub  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  A )  ->  B  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )

Proof of Theorem supxrub
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 11347 . . . . 5  |-  <  Or  RR*
21a1i 11 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  <  Or  RR* )
3 xrsupss 11500 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
42, 3supub 7919 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( B  e.  A  ->  -.  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <  B ) )
54imp 429 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  A )  ->  -.  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <  B
)
6 ssel2 3499 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  RR* )
7 supxrcl 11506 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
87adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
9 xrlenlt 9652 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <->  -.  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <  B ) )
106, 8, 9syl2anc 661 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  A )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <->  -.  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <  B ) )
115, 10mpbird 232 1  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  A )  ->  B  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1767    C_ wss 3476   class class class wbr 4447    Or wor 4799   supcsup 7900   RR*cxr 9627    < clt 9628    <_ cle 9629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808
This theorem is referenced by:  supxrre  11519  supxrss  11524  ixxub  11550  prdsdsf  20633  prdsxmetlem  20634  xpsdsval  20647  prdsbl  20757  xrge0tsms  21102  bndth  21221  ovolmge0  21651  ovollb2lem  21662  ovolunlem1a  21670  ovoliunlem1  21676  ovoliun  21679  ovolicc2lem4  21694  ioombl1lem2  21732  ioombl1lem4  21734  uniioombllem2  21755  uniioombllem3  21757  uniioombllem6  21760  vitalilem4  21783  itg2ub  21903  itg2seq  21912  itg2monolem1  21920  itg2monolem2  21921  itg2monolem3  21922  aannenlem2  22487  radcnvcl  22574  radcnvle  22577  nmooge0  25386  nmoolb  25390  nmlno0lem  25412  nmoplb  26530  nmfnlb  26547  nmlnop0iALT  26618  xrofsup  27278  xrge0tsmsd  27466  itg2addnc  29674  rrnequiv  29962
  Copyright terms: Public domain W3C validator