MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrub Structured version   Unicode version

Theorem supxrub 11292
Description: A member of a set of extended reals is less than or equal to the set's supremum. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
supxrub  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  A )  ->  B  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )

Proof of Theorem supxrub
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 11123 . . . . 5  |-  <  Or  RR*
21a1i 11 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  <  Or  RR* )
3 xrsupss 11276 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
42, 3supub 7714 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( B  e.  A  ->  -.  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <  B ) )
54imp 429 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  A )  ->  -.  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <  B
)
6 ssel2 3356 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  RR* )
7 supxrcl 11282 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
87adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
9 xrlenlt 9447 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <->  -.  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <  B ) )
106, 8, 9syl2anc 661 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  A )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <->  -.  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <  B ) )
115, 10mpbird 232 1  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  A )  ->  B  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1756    C_ wss 3333   class class class wbr 4297    Or wor 4645   supcsup 7695   RR*cxr 9422    < clt 9423    <_ cle 9424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603
This theorem is referenced by:  supxrre  11295  supxrss  11300  ixxub  11326  prdsdsf  19947  prdsxmetlem  19948  xpsdsval  19961  prdsbl  20071  xrge0tsms  20416  bndth  20535  ovolmge0  20965  ovollb2lem  20976  ovolunlem1a  20984  ovoliunlem1  20990  ovoliun  20993  ovolicc2lem4  21008  ioombl1lem2  21045  ioombl1lem4  21047  uniioombllem2  21068  uniioombllem3  21070  uniioombllem6  21073  vitalilem4  21096  itg2ub  21216  itg2seq  21225  itg2monolem1  21233  itg2monolem2  21234  itg2monolem3  21235  aannenlem2  21800  radcnvcl  21887  radcnvle  21890  nmooge0  24172  nmoolb  24176  nmlno0lem  24198  nmoplb  25316  nmfnlb  25333  nmlnop0iALT  25404  xrofsup  26060  xrge0tsmsd  26258  itg2addnc  28451  rrnequiv  28739
  Copyright terms: Public domain W3C validator