MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrss Structured version   Unicode version

Theorem supxrss 11527
Description: Smaller sets of extended reals have smaller suprema. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
supxrss  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  RR* )  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( B ,  RR* ,  <  ) )

Proof of Theorem supxrss
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 753 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  B  C_  RR* )  /\  x  e.  A
)  ->  B  C_  RR* )
2 simpl 455 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  RR* )  ->  A  C_  B )
32sselda 3489 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  B  C_  RR* )  /\  x  e.  A
)  ->  x  e.  B )
4 supxrub 11519 . . . 4  |-  ( ( B  C_  RR*  /\  x  e.  B )  ->  x  <_  sup ( B ,  RR* ,  <  ) )
51, 3, 4syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  B  C_  RR* )  /\  x  e.  A
)  ->  x  <_  sup ( B ,  RR* ,  <  ) )
65ralrimiva 2868 . 2  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  RR* )  ->  A. x  e.  A  x  <_  sup ( B ,  RR* ,  <  ) )
7 sstr 3497 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  RR* )  ->  A  C_ 
RR* )
8 supxrcl 11509 . . . 4  |-  ( B 
C_  RR*  ->  sup ( B ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
98adantl 464 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  RR* )  ->  sup ( B ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
10 supxrleub 11521 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  sup ( B ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( B ,  RR* ,  <  )  <->  A. x  e.  A  x  <_  sup ( B ,  RR* ,  <  ) ) )
117, 9, 10syl2anc 659 . 2  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( B ,  RR* ,  <  )  <->  A. x  e.  A  x  <_  sup ( B ,  RR* ,  <  ) ) )
126, 11mpbird 232 1  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  RR* )  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( B ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    e. wcel 1823   A.wral 2804    C_ wss 3461   class class class wbr 4439   supcsup 7892   RR*cxr 9616    < clt 9617    <_ cle 9618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799
This theorem is referenced by:  deg1mul3le  22683  ioossioobi  31796
  Copyright terms: Public domain W3C validator