MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrre Structured version   Unicode version

Theorem supxrre 11290
Description: The real and extended real suprema match when the real supremum exists. (Contributed by NM, 18-Oct-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
supxrre  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem supxrre
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suprcl 10290 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
21leidd 9906 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
3 suprleub 10294 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  A. z  e.  A  z  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )
41, 3mpdan 668 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  A. z  e.  A  z  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )
5 simp1 988 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  A  C_  RR )
6 ressxr 9427 . . . . . 6  |-  RR  C_  RR*
75, 6syl6ss 3368 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  A  C_  RR* )
81rexrd 9433 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR* )
9 supxrleub 11289 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  A. z  e.  A  z  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )
107, 8, 9syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  A. z  e.  A  z  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )
114, 10bitr4d 256 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )
122, 11mpbid 210 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
13 supxrcl 11277 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR*  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
147, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
15 xrleid 11127 . . . 4  |-  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
1614, 15syl 16 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
17 supxrleub 11289 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <->  A. x  e.  A  x  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) ) )
187, 14, 17syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <->  A. x  e.  A  x  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) ) )
19 simp2 989 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  A  =/=  (/) )
20 n0 3646 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  A )
2119, 20sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. z 
z  e.  A )
22 mnfxr 11094 . . . . . . . . 9  |- -oo  e.  RR*
2322a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  z  e.  A )  -> -oo  e.  RR* )
245sselda 3356 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  RR )
2524rexrd 9433 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  RR* )
2614adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  z  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
27 mnflt 11104 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  RR  -> -oo  <  z )
2824, 27syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  z  e.  A )  -> -oo  <  z )
29 supxrub 11287 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  z  e.  A )  ->  z  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
307, 29sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  z  e.  A )  ->  z  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
3123, 25, 26, 28, 30xrltletrd 11135 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  z  e.  A )  -> -oo  <  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
3221, 31exlimddv 1692 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  -> -oo  <  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
33 xrre 11141 . . . . . 6  |-  ( ( ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  /\  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )  /\  ( -oo  <  sup ( A ,  RR* ,  <  )  /\  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
3414, 1, 32, 12, 33syl22anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
35 suprleub 10294 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR )  -> 
( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <->  A. x  e.  A  x  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) ) )
3634, 35mpdan 668 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <->  A. x  e.  A  x  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) ) )
3718, 36bitr4d 256 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <->  sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) ) )
3816, 37mpbid 210 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
39 xrletri3 11129 . . 3  |-  ( ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  e. 
RR*  /\  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  )  /\  sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) ) ) )
4014, 8, 39syl2anc 661 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  sup ( A ,  RR ,  <  )  <-> 
( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  )  /\  sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) ) ) )
4112, 38, 40mpbir2and 913 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2606   A.wral 2715   E.wrex 2716    C_ wss 3328   (/)c0 3637   class class class wbr 4292   supcsup 7690   RRcr 9281   -oocmnf 9416   RR*cxr 9417    < clt 9418    <_ cle 9419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598
This theorem is referenced by:  supxrbnd  11291  ovoliunlem1  20985  ovoliun2  20989  ioombl1lem4  21042  uniioombllem2  21063  uniioombllem6  21068  itg1climres  21192  itg2monolem1  21228  itg2i1fseq2  21234  nmcexi  25430  itg2addnc  28446
  Copyright terms: Public domain W3C validator