MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrre Structured version   Unicode version

Theorem supxrre 11602
Description: The real and extended real suprema match when the real supremum exists. (Contributed by NM, 18-Oct-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
supxrre  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem supxrre
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suprcl 10558 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
21leidd 10169 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
3 suprleub 10562 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  A. z  e.  A  z  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )
41, 3mpdan 672 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  A. z  e.  A  z  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )
5 simp1 1005 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  A  C_  RR )
6 ressxr 9673 . . . . . 6  |-  RR  C_  RR*
75, 6syl6ss 3473 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  A  C_  RR* )
81rexrd 9679 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR* )
9 supxrleub 11601 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  A. z  e.  A  z  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )
107, 8, 9syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  A. z  e.  A  z  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )
114, 10bitr4d 259 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )
122, 11mpbid 213 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
13 supxrcl 11589 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR*  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
147, 13syl 17 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
15 xrleid 11438 . . . 4  |-  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
1614, 15syl 17 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
17 supxrleub 11601 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <->  A. x  e.  A  x  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) ) )
187, 14, 17syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <->  A. x  e.  A  x  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) ) )
19 simp2 1006 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  A  =/=  (/) )
20 n0 3768 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  A )
2119, 20sylib 199 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. z 
z  e.  A )
22 mnfxr 11403 . . . . . . . . 9  |- -oo  e.  RR*
2322a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  z  e.  A )  -> -oo  e.  RR* )
245sselda 3461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  RR )
2524rexrd 9679 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  RR* )
2614adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  z  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
27 mnflt 11414 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  RR  -> -oo  <  z )
2824, 27syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  z  e.  A )  -> -oo  <  z )
29 supxrub 11599 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  z  e.  A )  ->  z  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
307, 29sylan 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  z  e.  A )  ->  z  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
3123, 25, 26, 28, 30xrltletrd 11447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  z  e.  A )  -> -oo  <  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
3221, 31exlimddv 1770 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  -> -oo  <  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
33 xrre 11453 . . . . . 6  |-  ( ( ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  /\  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )  /\  ( -oo  <  sup ( A ,  RR* ,  <  )  /\  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
3414, 1, 32, 12, 33syl22anc 1265 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
35 suprleub 10562 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR )  -> 
( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <->  A. x  e.  A  x  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) ) )
3634, 35mpdan 672 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <->  A. x  e.  A  x  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) ) )
3718, 36bitr4d 259 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <->  sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) ) )
3816, 37mpbid 213 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
39 xrletri3 11440 . . 3  |-  ( ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  e. 
RR*  /\  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  )  /\  sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) ) ) )
4014, 8, 39syl2anc 665 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  sup ( A ,  RR ,  <  )  <-> 
( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  )  /\  sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) ) ) )
4112, 38, 40mpbir2and 930 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1867    =/= wne 2616   A.wral 2773   E.wrex 2774    C_ wss 3433   (/)c0 3758   class class class wbr 4417   supcsup 7951   RRcr 9527   -oocmnf 9662   RR*cxr 9663    < clt 9664    <_ cle 9665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-sup 7953  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852
This theorem is referenced by:  supxrbnd  11603  ovoliunlem1  22362  ovoliun2  22366  ioombl1lem4  22421  uniioombllem2  22447  uniioombllem2OLD  22448  uniioombllem6  22453  itg1climres  22579  itg2monolem1  22615  itg2i1fseq2  22621  nmcexi  27555  itg2addnc  31744  sge0supre  37813
  Copyright terms: Public domain W3C validator