Theorem supxrre 7292

Description: The real and extended real suprema match when the real supremum exists.

Assertion

Ref	Expression
supxrre	|- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <_ x) -> sup(A, RR*, < ) = sup(A, RR, < ))

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem supxrre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 6668	. . . . . . . . . 10 |- (y e. RR -> y e. RR*)
2	1	imim1i 19	. . . . . . . . 9 |- ((y e. RR* -> (y < x -> E.z e. A y < z)) -> (y e. RR -> (y < x -> E.z e. A y < z)))
3		simpr 350	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((A C_ RR /\ A =/= (/)) /\ x e. RR*) /\ (y e. RR -> (y < x -> E.z e. A y < z))) -> (y e. RR -> (y < x -> E.z e. A y < z)))
4		pnfnlt 6721	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x e. RR* -> -. +oo < x)
5	4	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. RR* /\ y = +oo) -> -. +oo < x)
6		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (y = +oo -> (y < x <-> +oo < x))
7	6	notbid 673	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y = +oo -> (-. y < x <-> -. +oo < x))
8	7	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. RR* /\ y = +oo) -> (-. y < x <-> -. +oo < x))
9	5, 8	mpbird 213	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. RR* /\ y = +oo) -> -. y < x)
10	9	pm2.21d 94	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. RR* /\ y = +oo) -> (y < x -> E.z e. A y < z))
11	10	ex 402	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. RR* -> (y = +oo -> (y < x -> E.z e. A y < z)))
12	11	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((A C_ RR /\ A =/= (/)) /\ x e. RR*) /\ (y e. RR -> (y < x -> E.z e. A y < z))) -> (y = +oo -> (y < x -> E.z e. A y < z)))
13		ssel 2615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (A C_ RR -> (z e. A -> z e. RR))
14		mnflt 6718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (z e. RR -> -oo < z)
15	13, 14	syl6 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (A C_ RR -> (z e. A -> -oo < z))
16	15	ancld 322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (A C_ RR -> (z e. A -> (z e. A /\ -oo < z)))
17	16	eximdv 1669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (A C_ RR -> (E.z z e. A -> E.z(z e. A /\ -oo < z)))
18		n0 2884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (A =/= (/) <-> E.z z e. A)
19		df-rex 2110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (E.z e. A -oo < z <-> E.z(z e. A /\ -oo < z))
20	17, 18, 19	3imtr4g 612	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (A C_ RR -> (A =/= (/) -> E.z e. A -oo < z))
21	20	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/)) -> E.z e. A -oo < z)
22	21	a1d 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/)) -> ( -oo < x -> E.z e. A -oo < z))
23	22	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((A C_ RR /\ A =/= (/)) /\ x e. RR*) /\ y = -oo) -> ( -oo < x -> E.z e. A -oo < z))
24		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y = -oo -> (y < x <-> -oo < x))
25		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (y = -oo -> (y < z <-> -oo < z))
26	25	rexbidv 2124	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y = -oo -> (E.z e. A y < z <-> E.z e. A -oo < z))
27	24, 26	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y = -oo -> ((y < x -> E.z e. A y < z) <-> ( -oo < x -> E.z e. A -oo < z)))
28	27	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((A C_ RR /\ A =/= (/)) /\ x e. RR*) /\ y = -oo) -> ((y < x -> E.z e. A y < z) <-> ( -oo < x -> E.z e. A -oo < z)))
29	23, 28	mpbird 213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((A C_ RR /\ A =/= (/)) /\ x e. RR*) /\ y = -oo) -> (y < x -> E.z e. A y < z))
30	29	ex 402	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A C_ RR /\ A =/= (/)) /\ x e. RR*) -> (y = -oo -> (y < x -> E.z e. A y < z)))
31	30	adantr 425	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((A C_ RR /\ A =/= (/)) /\ x e. RR*) /\ (y e. RR -> (y < x -> E.z e. A y < z))) -> (y = -oo -> (y < x -> E.z e. A y < z)))
32	3, 12, 31	3jaod 1161	. . . . . . . . . . 11 |- ((((A C_ RR /\ A =/= (/)) /\ x e. RR*) /\ (y e. RR -> (y < x -> E.z e. A y < z))) -> ((y e. RR \/ y = +oo \/ y = -oo) -> (y < x -> E.z e. A y < z)))
33		elxr 6706	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. RR* <-> (y e. RR \/ y = +oo \/ y = -oo))
34	32, 33	syl5ib 223	. . . . . . . . . 10 |- ((((A C_ RR /\ A =/= (/)) /\ x e. RR*) /\ (y e. RR -> (y < x -> E.z e. A y < z))) -> (y e. RR* -> (y < x -> E.z e. A y < z)))
35	34	ex 402	. . . . . . . . 9 |- (((A C_ RR /\ A =/= (/)) /\ x e. RR*) -> ((y e. RR -> (y < x -> E.z e. A y < z)) -> (y e. RR* -> (y < x -> E.z e. A y < z))))
36	2, 35	impbid2 576	. . . . . . . 8 |- (((A C_ RR /\ A =/= (/)) /\ x e. RR*) -> ((y e. RR* -> (y < x -> E.z e. A y < z)) <-> (y e. RR -> (y < x -> E.z e. A y < z))))
37	36	ralbidv2 2125	. . . . . . 7 |- (((A C_ RR /\ A =/= (/)) /\ x e. RR*) -> (A.y e. RR* (y < x -> E.z e. A y < z) <-> A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)))
38	37	anbi2d 678	. . . . . 6 |- (((A C_ RR /\ A =/= (/)) /\ x e. RR*) -> ((A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR* (y < x -> E.z e. A y < z)) <-> (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z))))
39	38	rabbidva 2286	. . . . 5 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/)) -> {x e. RR* | (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR* (y < x -> E.z e. A y < z))} = {x e. RR* | (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z))})
40	39	unieqd 3188	. . . 4 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/)) -> U.{x e. RR* | (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR* (y < x -> E.z e. A y < z))} = U.{x e. RR* | (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z))})
41	40	3adant3 896	. . 3 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <_ x) -> U.{x e. RR* | (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR* (y < x -> E.z e. A y < z))} = U.{x e. RR* | (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z))})
42		sup3 7261	. . . 4 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <_ x) -> E.x e. RR (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)))
43		ltso 6681	. . . . . . 7 |- < Or RR
44	43	supeu 5668	. . . . . 6 |- (E.x e. RR (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)) -> E!x e. RR (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)))
45	42, 44	syl 12	. . . . 5 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <_ x) -> E!x e. RR (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)))
46		ax-1 4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. RR -> ((A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)) -> x e. RR))
47	46	a1i 8	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.y e. RR A.z e. A z <_ y) -> (x e. RR -> ((A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)) -> x e. RR)))
48		simpl3 881	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.y e. RR A.z e. A z <_ y) /\ x = +oo) -> E.y e. RR A.z e. A z <_ y)
49		breq2 3342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (x = +oo -> (y < x <-> y < +oo))
50	49	anbi1d 679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (x = +oo -> ((y < x /\ -. E.z e. A y < z) <-> (y < +oo /\ -. E.z e. A y < z)))
51		ltpnf 6717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (y e. RR -> y < +oo)
52	51	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((A C_ RR /\ y e. RR) -> y < +oo)
53	52	biantrurd 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((A C_ RR /\ y e. RR) -> (-. E.z e. A y < z <-> (y < +oo /\ -. E.z e. A y < z)))
54		lenlt 6679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((z e. RR /\ y e. RR) -> (z <_ y <-> -. y < z))
55		ssel2 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((A C_ RR /\ z e. A) -> z e. RR)
56	54, 55	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((A C_ RR /\ z e. A) /\ y e. RR) -> (z <_ y <-> -. y < z))
57	56	an1rs 547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((A C_ RR /\ y e. RR) /\ z e. A) -> (z <_ y <-> -. y < z))
58	57	ralbidva 2119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((A C_ RR /\ y e. RR) -> (A.z e. A z <_ y <-> A.z e. A -. y < z))
59		ralnex 2113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (A.z e. A -. y < z <-> -. E.z e. A y < z)
60	58, 59	syl6rbb 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((A C_ RR /\ y e. RR) -> (-. E.z e. A y < z <-> A.z e. A z <_ y))
61	53, 60	bitr3d 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((A C_ RR /\ y e. RR) -> ((y < +oo /\ -. E.z e. A y < z) <-> A.z e. A z <_ y))
62	50, 61	sylan9bbr 600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((A C_ RR /\ y e. RR) /\ x = +oo) -> ((y < x /\ -. E.z e. A y < z) <-> A.z e. A z <_ y))
63	62	an1rs 547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((A C_ RR /\ x = +oo) /\ y e. RR) -> ((y < x /\ -. E.z e. A y < z) <-> A.z e. A z <_ y))
64	63	rexbidva 2120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((A C_ RR /\ x = +oo) -> (E.y e. RR (y < x /\ -. E.z e. A y < z) <-> E.y e. RR A.z e. A z <_ y))
65	64	3ad2antl1 1038	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.y e. RR A.z e. A z <_ y) /\ x = +oo) -> (E.y e. RR (y < x /\ -. E.z e. A y < z) <-> E.y e. RR A.z e. A z <_ y))
66	48, 65	mpbird 213	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.y e. RR A.z e. A z <_ y) /\ x = +oo) -> E.y e. RR (y < x /\ -. E.z e. A y < z))
67		rexanali 2144	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (E.y e. RR (y < x /\ -. E.z e. A y < z) <-> -. A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z))
68	66, 67	sylib 215	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.y e. RR A.z e. A z <_ y) /\ x = +oo) -> -. A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z))
69	68	pm2.21d 94	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.y e. RR A.z e. A z <_ y) /\ x = +oo) -> (A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z) -> x e. RR))
70	69	adantld 426	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.y e. RR A.z e. A z <_ y) /\ x = +oo) -> ((A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)) -> x e. RR))
71	70	ex 402	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.y e. RR A.z e. A z <_ y) -> (x = +oo -> ((A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)) -> x e. RR)))
72		ssel 2615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (A C_ RR -> (y e. A -> y e. RR))
73		mnflt 6718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (y e. RR -> -oo < y)
74	72, 73	syl6 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (A C_ RR -> (y e. A -> -oo < y))
75		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (x = -oo -> (x < y <-> -oo < y))
76	75	biimprd 171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (x = -oo -> ( -oo < y -> x < y))
77	74, 76	sylan9 517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((A C_ RR /\ x = -oo) -> (y e. A -> x < y))
78	77	ancld 322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((A C_ RR /\ x = -oo) -> (y e. A -> (y e. A /\ x < y)))
79	78	eximdv 1669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((A C_ RR /\ x = -oo) -> (E.y y e. A -> E.y(y e. A /\ x < y)))
80		n0 2884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (A =/= (/) <-> E.y y e. A)
81	79, 80	syl5ib 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((A C_ RR /\ x = -oo) -> (A =/= (/) -> E.y(y e. A /\ x < y)))
82	81	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((A C_ RR /\ x = -oo) /\ A =/= (/)) -> E.y(y e. A /\ x < y))
83	82	an1rs 547	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((A C_ RR /\ A =/= (/)) /\ x = -oo) -> E.y(y e. A /\ x < y))
84		df-rex 2110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (E.y e. A x < y <-> E.y(y e. A /\ x < y))
85		dfrex2 2116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (E.y e. A x < y <-> -. A.y e. A -. x < y)
86	84, 85	bitr3i 192	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (E.y(y e. A /\ x < y) <-> -. A.y e. A -. x < y)
87	83, 86	sylib 215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((A C_ RR /\ A =/= (/)) /\ x = -oo) -> -. A.y e. A -. x < y)
88	87	pm2.21d 94	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((A C_ RR /\ A =/= (/)) /\ x = -oo) -> (A.y e. A -. x < y -> x e. RR))
89	88	adantrd 427	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((A C_ RR /\ A =/= (/)) /\ x = -oo) -> ((A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)) -> x e. RR))
90	89	ex 402	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/)) -> (x = -oo -> ((A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)) -> x e. RR)))
91	90	3adant3 896	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.y e. RR A.z e. A z <_ y) -> (x = -oo -> ((A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)) -> x e. RR)))
92	47, 71, 91	3jaod 1161	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.y e. RR A.z e. A z <_ y) -> ((x e. RR \/ x = +oo \/ x = -oo) -> ((A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)) -> x e. RR)))
93		elxr 6706	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. RR* <-> (x e. RR \/ x = +oo \/ x = -oo))
94	92, 93	syl5ib 223	. . . . . . . . . . 11 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.y e. RR A.z e. A z <_ y) -> (x e. RR* -> ((A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)) -> x e. RR)))
95	94	imp3a 388	. . . . . . . . . 10 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.y e. RR A.z e. A z <_ y) -> ((x e. RR* /\ (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z))) -> x e. RR))
96		simpr 350	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. RR* /\ (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z))) -> (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)))
97	96	a1i 8	. . . . . . . . . 10 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.y e. RR A.z e. A z <_ y) -> ((x e. RR* /\ (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z))) -> (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z))))
98	95, 97	jcad 661	. . . . . . . . 9 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.y e. RR A.z e. A z <_ y) -> ((x e. RR* /\ (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z))) -> (x e. RR /\ (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)))))
99		rexr 6668	. . . . . . . . . 10 |- (x e. RR -> x e. RR*)
100	99	anim1i 361	. . . . . . . . 9 |- ((x e. RR /\ (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z))) -> (x e. RR* /\ (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z))))
101	98, 100	impbid1 575	. . . . . . . 8 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.y e. RR A.z e. A z <_ y) -> ((x e. RR* /\ (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z))) <-> (x e. RR /\ (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)))))
102	101	eubidv 1779	. . . . . . 7 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.y e. RR A.z e. A z <_ y) -> (E!x(x e. RR* /\ (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z))) <-> E!x(x e. RR /\ (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)))))
103		df-reu 2111	. . . . . . 7 |- (E!x e. RR* (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)) <-> E!x(x e. RR* /\ (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z))))
104		df-reu 2111	. . . . . . 7 |- (E!x e. RR (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)) <-> E!x(x e. RR /\ (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z))))
105	102, 103, 104	3bitr4g 614	. . . . . 6 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.y e. RR A.z e. A z <_ y) -> (E!x e. RR* (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)) <-> E!x e. RR (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z))))
106		breq1 3341	. . . . . . . . 9 |- (y = z -> (y <_ x <-> z <_ x))
107	106	cbvralv 2280	. . . . . . . 8 |- (A.y e. A y <_ x <-> A.z e. A z <_ x)
108	107	rexbii 2128	. . . . . . 7 |- (E.x e. RR A.y e. A y <_ x <-> E.x e. RR A.z e. A z <_ x)
109		breq2 3342	. . . . . . . . 9 |- (x = y -> (z <_ x <-> z <_ y))
110	109	ralbidv 2123	. . . . . . . 8 |- (x = y -> (A.z e. A z <_ x <-> A.z e. A z <_ y))
111	110	cbvrexv 2281	. . . . . . 7 |- (E.x e. RR A.z e. A z <_ x <-> E.y e. RR A.z e. A z <_ y)
112	108, 111	bitri 190	. . . . . 6 |- (E.x e. RR A.y e. A y <_ x <-> E.y e. RR A.z e. A z <_ y)
113	105, 112	syl3an3b 1135	. . . . 5 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <_ x) -> (E!x e. RR* (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)) <-> E!x e. RR (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z))))
114	45, 113	mpbird 213	. . . 4 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <_ x) -> E!x e. RR* (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)))
115		ressxr 6667	. . . . 5 |- RR C_ RR*
116		reuuniss 3815	. . . . 5 |- ((RR C_ RR* /\ E.x e. RR (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)) /\ E!x e. RR* (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z))) -> U.{x e. RR | (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z))} = U.{x e. RR* | (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z))})
117	115, 116	mp3an1 1178	. . . 4 |- ((E.x e. RR (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)) /\ E!x e. RR* (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z))) -> U.{x e. RR | (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z))} = U.{x e. RR* | (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z))})
118	42, 114, 117	syl11anc 524	. . 3 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <_ x) -> U.{x e. RR | (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z))} = U.{x e. RR* | (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z))})
119	41, 118	eqtr4d 1928	. 2 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <_ x) -> U.{x e. RR* | (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR* (y < x -> E.z e. A y < z))} = U.{x e. RR | (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z))})
120		df-sup 5664	. 2 |- sup(A, RR*, < ) = U.{x e. RR* | (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR* (y < x -> E.z e. A y < z))}
121		df-sup 5664	. 2 |- sup(A, RR, < ) = U.{x e. RR | (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z))}
122	119, 120, 121	3eqtr4g 1953	1 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <_ x) -> sup(A, RR*, < ) = sup(A, RR, < ))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   \/ w3o 857   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  E!weu 1771   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106  E!wreu 2107  {crab 2108   C_ wss 2593  (/)c0 2875  U.cuni 3177   class class class wbr 3338  supcsup 5663  RRcr 6385   <_ cle 6448   +oocpnf 6650   -oocmnf 6651  RR*cxr 6652   < clt 6653

This theorem is referenced by:  supxrbnd 7300

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658

Copyright terms: Public domain