MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrre Structured version   Unicode version

Theorem supxrre 11531
Description: The real and extended real suprema match when the real supremum exists. (Contributed by NM, 18-Oct-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
supxrre  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem supxrre
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suprcl 10515 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
21leidd 10131 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
3 suprleub 10519 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  A. z  e.  A  z  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )
41, 3mpdan 668 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  A. z  e.  A  z  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )
5 simp1 996 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  A  C_  RR )
6 ressxr 9649 . . . . . 6  |-  RR  C_  RR*
75, 6syl6ss 3521 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  A  C_  RR* )
81rexrd 9655 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR* )
9 supxrleub 11530 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  A. z  e.  A  z  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )
107, 8, 9syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  A. z  e.  A  z  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )
114, 10bitr4d 256 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )
122, 11mpbid 210 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
13 supxrcl 11518 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR*  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
147, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
15 xrleid 11368 . . . 4  |-  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
1614, 15syl 16 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
17 supxrleub 11530 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <->  A. x  e.  A  x  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) ) )
187, 14, 17syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <->  A. x  e.  A  x  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) ) )
19 simp2 997 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  A  =/=  (/) )
20 n0 3799 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  A )
2119, 20sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. z 
z  e.  A )
22 mnfxr 11335 . . . . . . . . 9  |- -oo  e.  RR*
2322a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  z  e.  A )  -> -oo  e.  RR* )
245sselda 3509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  RR )
2524rexrd 9655 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  RR* )
2614adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  z  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
27 mnflt 11345 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  RR  -> -oo  <  z )
2824, 27syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  z  e.  A )  -> -oo  <  z )
29 supxrub 11528 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  z  e.  A )  ->  z  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
307, 29sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  z  e.  A )  ->  z  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
3123, 25, 26, 28, 30xrltletrd 11376 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  z  e.  A )  -> -oo  <  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
3221, 31exlimddv 1702 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  -> -oo  <  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
33 xrre 11382 . . . . . 6  |-  ( ( ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  /\  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )  /\  ( -oo  <  sup ( A ,  RR* ,  <  )  /\  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
3414, 1, 32, 12, 33syl22anc 1229 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
35 suprleub 10519 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR )  -> 
( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <->  A. x  e.  A  x  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) ) )
3634, 35mpdan 668 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <->  A. x  e.  A  x  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) ) )
3718, 36bitr4d 256 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <->  sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) ) )
3816, 37mpbid 210 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
39 xrletri3 11370 . . 3  |-  ( ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  e. 
RR*  /\  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  )  /\  sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) ) ) )
4014, 8, 39syl2anc 661 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  sup ( A ,  RR ,  <  )  <-> 
( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  )  /\  sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) ) ) )
4112, 38, 40mpbir2and 920 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818    C_ wss 3481   (/)c0 3790   class class class wbr 4453   supcsup 7912   RRcr 9503   -oocmnf 9638   RR*cxr 9639    < clt 9640    <_ cle 9641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820
This theorem is referenced by:  supxrbnd  11532  ovoliunlem1  21779  ovoliun2  21783  ioombl1lem4  21837  uniioombllem2  21858  uniioombllem6  21863  itg1climres  21987  itg2monolem1  22023  itg2i1fseq2  22029  nmcexi  26776  itg2addnc  30003
  Copyright terms: Public domain W3C validator