MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrpnf Structured version   Unicode version

Theorem supxrpnf 11384
Description: The supremum of a set of extended reals containing plus infinity is plus infinity. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
supxrpnf  |-  ( ( A  C_  RR*  /\ +oo  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo )

Proof of Theorem supxrpnf
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3450 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( y  e.  A  ->  y  e. 
RR* ) )
2 pnfnlt 11211 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR*  ->  -. +oo  <  y )
31, 2syl6 33 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( y  e.  A  ->  -. +oo  <  y ) )
43ralrimiv 2820 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  A. y  e.  A  -. +oo  <  y )
5 breq2 4396 . . . . . 6  |-  ( z  = +oo  ->  (
y  <  z  <->  y  < +oo ) )
65rspcev 3171 . . . . 5  |-  ( ( +oo  e.  A  /\  y  < +oo )  ->  E. z  e.  A  y  <  z )
76ex 434 . . . 4  |-  ( +oo  e.  A  ->  ( y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
87ralrimivw 2823 . . 3  |-  ( +oo  e.  A  ->  A. y  e.  RR  ( y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
94, 8anim12i 566 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\ +oo  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  -. +oo  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
10 pnfxr 11195 . . 3  |- +oo  e.  RR*
11 supxr 11378 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  /\  ( A. y  e.  A  -. +oo  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo )
1210, 11mpanl2 681 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  ( A. y  e.  A  -. +oo  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  < +oo  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo )
139, 12syldan 470 1  |-  ( ( A  C_  RR*  /\ +oo  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796    C_ wss 3428   class class class wbr 4392   supcsup 7793   RRcr 9384   +oocpnf 9518   RR*cxr 9520    < clt 9521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-sup 7794  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701
This theorem is referenced by:  xrsup  11810  volsup  21155
  Copyright terms: Public domain W3C validator