MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrmnf Structured version   Unicode version

Theorem supxrmnf 11478
Description: Adding minus infinity to a set does not affect its supremum. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
supxrmnf  |-  ( A 
C_  RR*  ->  sup (
( A  u.  { -oo } ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )

Proof of Theorem supxrmnf
StepHypRef Expression
1 uncom 3584 . . 3  |-  ( A  u.  { -oo }
)  =  ( { -oo }  u.  A
)
21supeq1i 7858 . 2  |-  sup (
( A  u.  { -oo } ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ( { -oo }  u.  A ) , 
RR* ,  <  )
3 mnfxr 11292 . . . 4  |- -oo  e.  RR*
4 snssi 4113 . . . 4  |-  ( -oo  e.  RR*  ->  { -oo }  C_ 
RR* )
53, 4mp1i 13 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  { -oo }  C_ 
RR* )
6 id 22 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  A  C_  RR* )
7 xrltso 11316 . . . . 5  |-  <  Or  RR*
8 supsn 7882 . . . . 5  |-  ( (  <  Or  RR*  /\ -oo  e.  RR* )  ->  sup ( { -oo } ,  RR* ,  <  )  = -oo )
97, 3, 8mp2an 670 . . . 4  |-  sup ( { -oo } ,  RR* ,  <  )  = -oo
10 supxrcl 11475 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR*  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
11 mnfle 11311 . . . . 5  |-  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  -> -oo  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
1210, 11syl 17 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  -> -oo  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
139, 12syl5eqbr 4425 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  sup ( { -oo } ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
14 supxrun 11476 . . 3  |-  ( ( { -oo }  C_  RR* 
/\  A  C_  RR*  /\  sup ( { -oo } ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )  ->  sup ( ( { -oo }  u.  A ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
155, 6, 13, 14syl3anc 1228 . 2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  sup (
( { -oo }  u.  A ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
162, 15syl5eq 2453 1  |-  ( A 
C_  RR*  ->  sup (
( A  u.  { -oo } ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( A ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1403    e. wcel 1840    u. cun 3409    C_ wss 3411   {csn 3969   class class class wbr 4392    Or wor 4740   supcsup 7852   -oocmnf 9574   RR*cxr 9575    < clt 9576    <_ cle 9577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-op 3976  df-uni 4189  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-sup 7853  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator