MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrleub Structured version   Unicode version

Theorem supxrleub 11281
Description: The supremum of a set of extended reals is less than or equal to an upper bound. (Contributed by NM, 22-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
supxrleub  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  B  <->  A. x  e.  A  x  <_  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem supxrleub
StepHypRef Expression
1 supxrlub 11280 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( B  <  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <->  E. x  e.  A  B  <  x ) )
21notbid 294 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( -.  B  <  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <->  -.  E. x  e.  A  B  <  x ) )
3 ralnex 2720 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  -.  B  <  x  <->  -.  E. x  e.  A  B  <  x )
42, 3syl6bbr 263 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( -.  B  <  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <->  A. x  e.  A  -.  B  <  x ) )
5 supxrcl 11269 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
6 xrlenlt 9434 . . 3  |-  ( ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  B  <->  -.  B  <  sup ( A ,  RR* ,  <  ) ) )
75, 6sylan 471 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  B  <->  -.  B  <  sup ( A ,  RR* ,  <  ) ) )
8 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  A  C_ 
RR* )
98sselda 3351 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR* )
10 simplr 754 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR* )
11 xrlenlt 9434 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
x  <_  B  <->  -.  B  <  x ) )
129, 10, 11syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  x  e.  A )  ->  (
x  <_  B  <->  -.  B  <  x ) )
1312ralbidva 2726 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A. x  e.  A  x  <_  B  <->  A. x  e.  A  -.  B  <  x ) )
144, 7, 133bitr4d 285 1  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  B  <->  A. x  e.  A  x  <_  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1756   A.wral 2710   E.wrex 2711    C_ wss 3323   class class class wbr 4287   supcsup 7682   RR*cxr 9409    < clt 9410    <_ cle 9411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590
This theorem is referenced by:  supxrre  11282  supxrss  11287  ixxub  11313  limsupgord  12942  limsupgle  12947  prdsxmetlem  19918  ovollb2lem  20946  ovolunlem1  20955  ovoliunlem2  20961  ovolscalem1  20971  ovolicc1  20974  voliunlem2  21007  voliunlem3  21008  uniioovol  21034  uniioombllem3  21040  volsup2  21060  itg2leub  21187  itg2seq  21195  itg2mono  21206  itg2gt0  21213  itg2cn  21216  mdegleb  21510  radcnvlt1  21858  nmoubi  24123  nmopub  25263  nmfnleub  25280  prdsbnd  28645  rrnequiv  28687
  Copyright terms: Public domain W3C validator