MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrleub Structured version   Unicode version

Theorem supxrleub 11570
Description: The supremum of a set of extended reals is less than or equal to an upper bound. (Contributed by NM, 22-Feb-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
supxrleub  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  B  <->  A. x  e.  A  x  <_  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem supxrleub
StepHypRef Expression
1 supxrlub 11569 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( B  <  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <->  E. x  e.  A  B  <  x ) )
21notbid 292 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( -.  B  <  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <->  -.  E. x  e.  A  B  <  x ) )
3 ralnex 2849 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  -.  B  <  x  <->  -.  E. x  e.  A  B  <  x )
42, 3syl6bbr 263 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( -.  B  <  sup ( A ,  RR* ,  <  )  <->  A. x  e.  A  -.  B  <  x ) )
5 supxrcl 11558 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
6 xrlenlt 9681 . . 3  |-  ( ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  B  <->  -.  B  <  sup ( A ,  RR* ,  <  ) ) )
75, 6sylan 469 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  B  <->  -.  B  <  sup ( A ,  RR* ,  <  ) ) )
8 simpl 455 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  A  C_ 
RR* )
98sselda 3441 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR* )
10 simplr 754 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR* )
11 xrlenlt 9681 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
x  <_  B  <->  -.  B  <  x ) )
129, 10, 11syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  x  e.  A )  ->  (
x  <_  B  <->  -.  B  <  x ) )
1312ralbidva 2839 . 2  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A. x  e.  A  x  <_  B  <->  A. x  e.  A  -.  B  <  x ) )
144, 7, 133bitr4d 285 1  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  <_  B  <->  A. x  e.  A  x  <_  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    e. wcel 1842   A.wral 2753   E.wrex 2754    C_ wss 3413   class class class wbr 4394   supcsup 7933   RR*cxr 9656    < clt 9657    <_ cle 9658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843
This theorem is referenced by:  supxrre  11571  supxrss  11576  ixxub  11602  limsupgord  13442  limsupgle  13447  prdsxmetlem  21161  ovollb2lem  22189  ovolunlem1  22198  ovoliunlem2  22204  ovolscalem1  22214  ovolicc1  22217  voliunlem2  22251  voliunlem3  22252  uniioovol  22278  uniioombllem3  22284  volsup2  22304  itg2leub  22431  itg2seq  22439  itg2mono  22450  itg2gt0  22457  itg2cn  22460  mdegleb  22754  radcnvlt1  23103  nmoubi  26087  nmopub  27226  nmfnleub  27243  esumgect  28523  prdsbnd  31551  rrnequiv  31593
  Copyright terms: Public domain W3C validator