Theorem supxrgelem 37514

Description: If an extended real number can be approximated from below by members of a set, then it is smaller or equal to the supremum of the set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
supxrgelem.xph	|- F/ x ph
supxrgelem.a	|- ( ph -> A C_ RR* )
supxrgelem.b	|- ( ph -> B e. RR* )
supxrgelem.y	|- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. y e. A B < ( y +e x ) )

Assertion

Ref	Expression
supxrgelem	|- ( ph -> B <_ sup ( A , RR* , < ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   ph, y

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem supxrgelem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supxrgelem.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. RR* )
2		pnfge 11439	. . . . 5 |- ( B e. RR* -> B <_ +oo )
3	1, 2	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> B <_ +oo )
4	3	adantr 466	. . 3 |- ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> B <_ +oo )
5		id 22	. . . . 5 |- ( sup ( A , RR* , < ) = +oo -> sup ( A , RR* , < ) = +oo )
6	5	eqcomd 2430	. . . 4 |- ( sup ( A , RR* , < ) = +oo -> +oo = sup ( A , RR* , < ) )
7	6	adantl 467	. . 3 |- ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> +oo = sup ( A , RR* , < ) )
8	4, 7	breqtrd 4448	. 2 |- ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> B <_ sup ( A , RR* , < ) )
9		simpl 458	. . 3 |- ( ( ph /\ -. sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> ph )
10		1rp 11313	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR+
11		nfcv 2580	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x 1
12		supxrgelem.xph	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x ph
13		nfv 1755	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x 1 e. RR+
14	12, 13	nfan 1988	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x ( ph /\ 1 e. RR+ )
15		nfv 1755	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x E. y e. A B < ( y +e 1 )
16	14, 15	nfim 1980	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( ( ph /\ 1 e. RR+ ) -> E. y e. A B < ( y +e 1 ) )
17		eleq1 2495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 1 -> ( x e. RR+ <-> 1 e. RR+ ) )
18	17	anbi2d 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 1 -> ( ( ph /\ x e. RR+ ) <-> ( ph /\ 1 e. RR+ ) ) )
19		oveq2 6313	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = 1 -> ( y +e x ) = ( y +e 1 ) )
20	19	breq2d 4435	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 1 -> ( B < ( y +e x ) <-> B < ( y +e 1 ) ) )
21	20	rexbidv 2936	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 1 -> ( E. y e. A B < ( y +e x ) <-> E. y e. A B < ( y +e 1 ) ) )
22	18, 21	imbi12d 321	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 1 -> ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. y e. A B < ( y +e x ) ) <-> ( ( ph /\ 1 e. RR+ ) -> E. y e. A B < ( y +e 1 ) ) ) )
23		supxrgelem.y	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. y e. A B < ( y +e x ) )
24	11, 16, 22, 23	vtoclgf 3137	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. RR+ -> ( ( ph /\ 1 e. RR+ ) -> E. y e. A B < ( y +e 1 ) ) )
25	10, 24	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ 1 e. RR+ ) -> E. y e. A B < ( y +e 1 ) )
26	10, 25	mpan2 675	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. y e. A B < ( y +e 1 ) )
27	26	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> E. y e. A B < ( y +e 1 ) )
28		mnfxr 11421	. . . . . . . . . . 11 |- -oo e. RR*
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. A /\ B < ( y +e 1 ) ) -> -oo e. RR* )
30		supxrgelem.a	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A C_ RR* )
31	30	sselda 3464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y e. RR* )
32	31	3adant3 1025	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. A /\ B < ( y +e 1 ) ) -> y e. RR* )
33		supxrcl 11607	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ RR* -> sup ( A , RR* , < ) e. RR* )
34	30, 33	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sup ( A , RR* , < ) e. RR* )
35	34	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. A /\ B < ( y +e 1 ) ) -> sup ( A , RR* , < ) e. RR* )
36		simpl3 1010	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. A /\ B < ( y +e 1 ) ) /\ -. -oo < y ) -> B < ( y +e 1 ) )
37		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. A ) /\ -. -oo < y ) -> -. -oo < y )
38	31	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. A ) /\ -. -oo < y ) -> y e. RR* )
39		ngtmnft 11469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. RR* -> ( y = -oo <-> -. -oo < y ) )
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. A ) /\ -. -oo < y ) -> ( y = -oo <-> -. -oo < y ) )
41	37, 40	mpbird 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. A ) /\ -. -oo < y ) -> y = -oo )
42	41	oveq1d 6320	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. A ) /\ -. -oo < y ) -> ( y +e 1 ) = ( -oo +e 1 ) )
43		1re 9649	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. RR
44	43	rexri 9700	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. RR*
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. A ) /\ -. -oo < y ) -> 1 e. RR* )
46		renepnf 9695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 e. RR -> 1 =/= +oo )
47	43, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 =/= +oo
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. A ) /\ -. -oo < y ) -> 1 =/= +oo )
49		xaddmnf2 11529	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. RR* /\ 1 =/= +oo ) -> ( -oo +e 1 ) = -oo )
50	45, 48, 49	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. A ) /\ -. -oo < y ) -> ( -oo +e 1 ) = -oo )
51	42, 50	eqtrd 2463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. A ) /\ -. -oo < y ) -> ( y +e 1 ) = -oo )
52	51	3adantl3 1163	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. A /\ B < ( y +e 1 ) ) /\ -. -oo < y ) -> ( y +e 1 ) = -oo )
53	36, 52	breqtrd 4448	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. A /\ B < ( y +e 1 ) ) /\ -. -oo < y ) -> B < -oo )
54		nltmnf 11438	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. RR* -> -. B < -oo )
55	1, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> -. B < -oo )
56	55	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. -oo < y ) -> -. B < -oo )
57	56	3ad2antl1 1167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. A /\ B < ( y +e 1 ) ) /\ -. -oo < y ) -> -. B < -oo )
58	53, 57	condan 801	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. A /\ B < ( y +e 1 ) ) -> -oo < y )
59	30	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> A C_ RR* )
60		simpr 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y e. A )
61		supxrub 11617	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ RR* /\ y e. A ) -> y <_ sup ( A , RR* , < ) )
62	59, 60, 61	syl2anc 665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y <_ sup ( A , RR* , < ) )
63	62	3adant3 1025	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. A /\ B < ( y +e 1 ) ) -> y <_ sup ( A , RR* , < ) )
64	29, 32, 35, 58, 63	xrltletrd 11465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. A /\ B < ( y +e 1 ) ) -> -oo < sup ( A , RR* , < ) )
65	64	3exp 1204	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y e. A -> ( B < ( y +e 1 ) -> -oo < sup ( A , RR* , < ) ) ) )
66	65	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> ( y e. A -> ( B < ( y +e 1 ) -> -oo < sup ( A , RR* , < ) ) ) )
67	66	rexlimdv 2912	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> ( E. y e. A B < ( y +e 1 ) -> -oo < sup ( A , RR* , < ) ) )
68	27, 67	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> -oo < sup ( A , RR* , < ) )
69		simpr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> -. sup ( A , RR* , < ) = +oo )
70		nltpnft 11468	. . . . . . . . 9 |- ( sup ( A , RR* , < ) e. RR* -> ( sup ( A , RR* , < ) = +oo <-> -. sup ( A , RR* , < ) < +oo ) )
71	34, 70	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sup ( A , RR* , < ) = +oo <-> -. sup ( A , RR* , < ) < +oo ) )
72	71	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> ( sup ( A , RR* , < ) = +oo <-> -. sup ( A , RR* , < ) < +oo ) )
73	69, 72	mtbid 301	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> -. -. sup ( A , RR* , < ) < +oo )
74	73	notnotrd 116	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> sup ( A , RR* , < ) < +oo )
75	68, 74	jca 534	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> ( -oo < sup ( A , RR* , < ) /\ sup ( A , RR* , < ) < +oo ) )
76	34	adantr 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> sup ( A , RR* , < ) e. RR* )
77		xrrebnd 11470	. . . . 5 |- ( sup ( A , RR* , < ) e. RR* -> ( sup ( A , RR* , < ) e. RR <-> ( -oo < sup ( A , RR* , < ) /\ sup ( A , RR* , < ) < +oo ) ) )
78	76, 77	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> ( sup ( A , RR* , < ) e. RR <-> ( -oo < sup ( A , RR* , < ) /\ sup ( A , RR* , < ) < +oo ) ) )
79	75, 78	mpbird 235	. . 3 |- ( ( ph /\ -. sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> sup ( A , RR* , < ) e. RR )
80		simpl 458	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ -. B <_ sup ( A , RR* , < ) ) -> ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) )
81		simpr 462	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ -. B <_ sup ( A , RR* , < ) ) -> -. B <_ sup ( A , RR* , < ) )
82	34	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. B <_ sup ( A , RR* , < ) ) -> sup ( A , RR* , < ) e. RR* )
83	1	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. B <_ sup ( A , RR* , < ) ) -> B e. RR* )
84		xrltnle 9708	. . . . . . . 8 |- ( ( sup ( A , RR* , < ) e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( sup ( A , RR* , < ) < B <-> -. B <_ sup ( A , RR* , < ) ) )
85	82, 83, 84	syl2anc 665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. B <_ sup ( A , RR* , < ) ) -> ( sup ( A , RR* , < ) < B <-> -. B <_ sup ( A , RR* , < ) ) )
86	85	adantlr 719	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ -. B <_ sup ( A , RR* , < ) ) -> ( sup ( A , RR* , < ) < B <-> -. B <_ sup ( A , RR* , < ) ) )
87	81, 86	mpbird 235	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ -. B <_ sup ( A , RR* , < ) ) -> sup ( A , RR* , < ) < B )
88		simpll 758	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) -> ph )
89	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) -> -oo e. RR* )
90	88, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) -> sup ( A , RR* , < ) e. RR* )
91	88, 1	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) -> B e. RR* )
92		mnfle 11442	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( sup ( A , RR* , < ) e. RR* -> -oo <_ sup ( A , RR* , < ) )
93	34, 92	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> -oo <_ sup ( A , RR* , < ) )
94	93	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) -> -oo <_ sup ( A , RR* , < ) )
95		simpr 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) -> sup ( A , RR* , < ) < B )
96	89, 90, 91, 94, 95	xrlelttrd 11464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) -> -oo < B )
97		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ph )
98	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 e. RR+ )
99	97, 98, 25	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> E. y e. A B < ( y +e 1 ) )
100	99	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) -> E. y e. A B < ( y +e 1 ) )
101	1	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. A /\ B < ( y +e 1 ) ) -> B e. RR* )
102	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ y e. A /\ B < ( y +e 1 ) ) -> 1 e. RR* )
103	32, 102	jca 534	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ y e. A /\ B < ( y +e 1 ) ) -> ( y e. RR* /\ 1 e. RR* ) )
104		xaddcl 11537	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR* /\ 1 e. RR* ) -> ( y +e 1 ) e. RR* )
105	103, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. A /\ B < ( y +e 1 ) ) -> ( y +e 1 ) e. RR* )
106		pnfxr 11419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- +oo e. RR*
107	106	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. A /\ B < ( y +e 1 ) ) -> +oo e. RR* )
108		simp3 1007	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. A /\ B < ( y +e 1 ) ) -> B < ( y +e 1 ) )
109	31, 44, 104	sylancl 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( y +e 1 ) e. RR* )
110		pnfge 11439	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y +e 1 ) e. RR* -> ( y +e 1 ) <_ +oo )
111	109, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( y +e 1 ) <_ +oo )
112	111	3adant3 1025	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. A /\ B < ( y +e 1 ) ) -> ( y +e 1 ) <_ +oo )
113	101, 105, 107, 108, 112	xrltletrd 11465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. A /\ B < ( y +e 1 ) ) -> B < +oo )
114	113	3exp 1204	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( y e. A -> ( B < ( y +e 1 ) -> B < +oo ) ) )
115	114	rexlimdv 2912	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( E. y e. A B < ( y +e 1 ) -> B < +oo ) )
116	88, 115	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) -> ( E. y e. A B < ( y +e 1 ) -> B < +oo ) )
117	100, 116	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) -> B < +oo )
118	96, 117	jca 534	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) -> ( -oo < B /\ B < +oo ) )
119		xrrebnd 11470	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. RR* -> ( B e. RR <-> ( -oo < B /\ B < +oo ) ) )
120	91, 119	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) -> ( B e. RR <-> ( -oo < B /\ B < +oo ) ) )
121	118, 120	mpbird 235	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) -> B e. RR )
122		simpr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) -> sup ( A , RR* , < ) e. RR )
123	122	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) -> sup ( A , RR* , < ) e. RR )
124	121, 123	resubcld 10054	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) -> ( B - sup ( A , RR* , < ) ) e. RR )
125	26, 115	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B < +oo )
126	125	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) -> B < +oo )
127	96, 126	jca 534	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) -> ( -oo < B /\ B < +oo ) )
128	127, 120	mpbird 235	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) -> B e. RR )
129	123, 128	posdifd 10207	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) -> ( sup ( A , RR* , < ) < B <-> 0 < ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) )
130	95, 129	mpbid 213	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) -> 0 < ( B - sup ( A , RR* , < ) ) )
131	124, 130	elrpd 11345	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) -> ( B - sup ( A , RR* , < ) ) e. RR+ )
132		ovex 6333	. . . . . . . 8 |- ( B - sup ( A , RR* , < ) ) e. _V
133		nfcv 2580	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ( B - sup ( A , RR* , < ) )
134		nfv 1755	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x ( B - sup ( A , RR* , < ) ) e. RR+
135	12, 134	nfan 1988	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( ph /\ ( B - sup ( A , RR* , < ) ) e. RR+ )
136		nfv 1755	. . . . . . . . . 10 |- F/ x E. y e. A B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) )
137	135, 136	nfim 1980	. . . . . . . . 9 |- F/ x ( ( ph /\ ( B - sup ( A , RR* , < ) ) e. RR+ ) -> E. y e. A B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) )
138		eleq1 2495	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( B - sup ( A , RR* , < ) ) -> ( x e. RR+ <-> ( B - sup ( A , RR* , < ) ) e. RR+ ) )
139	138	anbi2d 708	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( B - sup ( A , RR* , < ) ) -> ( ( ph /\ x e. RR+ ) <-> ( ph /\ ( B - sup ( A , RR* , < ) ) e. RR+ ) ) )
140		oveq2 6313	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( B - sup ( A , RR* , < ) ) -> ( y +e x ) = ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) )
141	140	breq2d 4435	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( B - sup ( A , RR* , < ) ) -> ( B < ( y +e x ) <-> B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) ) )
142	141	rexbidv 2936	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( B - sup ( A , RR* , < ) ) -> ( E. y e. A B < ( y +e x ) <-> E. y e. A B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) ) )
143	139, 142	imbi12d 321	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( B - sup ( A , RR* , < ) ) -> ( ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> E. y e. A B < ( y +e x ) ) <-> ( ( ph /\ ( B - sup ( A , RR* , < ) ) e. RR+ ) -> E. y e. A B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) ) ) )
144	133, 137, 143, 23	vtoclgf 3137	. . . . . . . 8 |- ( ( B - sup ( A , RR* , < ) ) e. _V -> ( ( ph /\ ( B - sup ( A , RR* , < ) ) e. RR+ ) -> E. y e. A B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) ) )
145	132, 144	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B - sup ( A , RR* , < ) ) e. RR+ ) -> E. y e. A B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) )
146	88, 131, 145	syl2anc 665	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) -> E. y e. A B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) )
147		ltpnf 11429	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( sup ( A , RR* , < ) e. RR -> sup ( A , RR* , < ) < +oo )
148	147	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( sup ( A , RR* , < ) e. RR /\ y = +oo ) -> sup ( A , RR* , < ) < +oo )
149		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = +oo -> y = +oo )
150	149	eqcomd 2430	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = +oo -> +oo = y )
151	150	adantl 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( sup ( A , RR* , < ) e. RR /\ y = +oo ) -> +oo = y )
152	148, 151	breqtrd 4448	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( sup ( A , RR* , < ) e. RR /\ y = +oo ) -> sup ( A , RR* , < ) < y )
153	152	adantll 718	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ y = +oo ) -> sup ( A , RR* , < ) < y )
154	153	ad5ant15 1241	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. A ) /\ B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) ) /\ y = +oo ) -> sup ( A , RR* , < ) < y )
155		simplll 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. A ) /\ B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) ) /\ -. y = +oo ) -> ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) )
156		simpl 458	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. A ) /\ B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) ) /\ -. -oo < y ) -> ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. A ) /\ B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) ) )
157	88, 41	sylanl1 654	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. A ) /\ -. -oo < y ) -> y = -oo )
158	157	adantlr 719	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. A ) /\ B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) ) /\ -. -oo < y ) -> y = -oo )
159		simplr 760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. A ) /\ B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) ) /\ y = -oo ) -> B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) )
160		oveq1 6312	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = -oo -> ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) = ( -oo +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) )
161	160	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. A ) /\ B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) ) /\ y = -oo ) -> ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) = ( -oo +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) )
162	128, 123	resubcld 10054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) -> ( B - sup ( A , RR* , < ) ) e. RR )
163	162	rexrd 9697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) -> ( B - sup ( A , RR* , < ) ) e. RR* )
164	163	ad3antrrr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. A ) /\ B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) ) /\ y = -oo ) -> ( B - sup ( A , RR* , < ) ) e. RR* )
165		renepnf 9695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( B - sup ( A , RR* , < ) ) e. RR -> ( B - sup ( A , RR* , < ) ) =/= +oo )
166	124, 165	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) -> ( B - sup ( A , RR* , < ) ) =/= +oo )
167	166	ad3antrrr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. A ) /\ B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) ) /\ y = -oo ) -> ( B - sup ( A , RR* , < ) ) =/= +oo )
168		xaddmnf2 11529	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( B - sup ( A , RR* , < ) ) e. RR* /\ ( B - sup ( A , RR* , < ) ) =/= +oo ) -> ( -oo +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) = -oo )
169	164, 167, 168	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. A ) /\ B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) ) /\ y = -oo ) -> ( -oo +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) = -oo )
170	161, 169	eqtrd 2463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. A ) /\ B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) ) /\ y = -oo ) -> ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) = -oo )
171	159, 170	breqtrd 4448	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. A ) /\ B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) ) /\ y = -oo ) -> B < -oo )
172	156, 158, 171	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. A ) /\ B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) ) /\ -. -oo < y ) -> B < -oo )
173	55	ad5antr 738	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. A ) /\ B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) ) /\ -. -oo < y ) -> -. B < -oo )
174	172, 173	condan 801	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. A ) /\ B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) ) -> -oo < y )
175	174	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. A ) /\ B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) ) /\ -. y = +oo ) -> -oo < y )
176		simp3 1007	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. A /\ -. y = +oo ) -> -. y = +oo )
177	31	3adant3 1025	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ y e. A /\ -. y = +oo ) -> y e. RR* )
178		nltpnft 11468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. RR* -> ( y = +oo <-> -. y < +oo ) )
179	177, 178	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. A /\ -. y = +oo ) -> ( y = +oo <-> -. y < +oo ) )
180	176, 179	mtbid 301	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. A /\ -. y = +oo ) -> -. -. y < +oo )
181	180	notnotrd 116	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. A /\ -. y = +oo ) -> y < +oo )
182	181	3adant1r 1257	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ y e. A /\ -. y = +oo ) -> y < +oo )
183	182	ad5ant135 1252	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. A ) /\ B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) ) /\ -. y = +oo ) -> y < +oo )
184	175, 183	jca 534	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. A ) /\ B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) ) /\ -. y = +oo ) -> ( -oo < y /\ y < +oo ) )
185	31	adantlr 719	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ y e. A ) -> y e. RR* )
186	185	ad5ant13 1239	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. A ) /\ B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) ) /\ -. y = +oo ) -> y e. RR* )
187		xrrebnd 11470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. RR* -> ( y e. RR <-> ( -oo < y /\ y < +oo ) ) )
188	186, 187	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. A ) /\ B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) ) /\ -. y = +oo ) -> ( y e. RR <-> ( -oo < y /\ y < +oo ) ) )
189	184, 188	mpbird 235	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. A ) /\ B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) ) /\ -. y = +oo ) -> y e. RR )
190		simplr 760	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. A ) /\ B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) ) /\ -. y = +oo ) -> B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) )
191	121	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. RR ) /\ B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) ) -> B e. RR )
192		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. RR ) -> y e. RR )
193	124	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. RR ) -> ( B - sup ( A , RR* , < ) ) e. RR )
194		rexadd 11532	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. RR /\ ( B - sup ( A , RR* , < ) ) e. RR ) -> ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) = ( y + ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) )
195	192, 193, 194	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. RR ) -> ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) = ( y + ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) )
196	192, 193	readdcld 9677	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. RR ) -> ( y + ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) e. RR )
197	195, 196	eqeltrd 2507	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. RR ) -> ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) e. RR )
198	197	adantr 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. RR ) /\ B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) ) -> ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) e. RR )
199		simpr 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. RR ) /\ B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) ) -> B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) )
200	191, 198, 191, 199	ltsub1dd 10232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. RR ) /\ B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) ) -> ( B - B ) < ( ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) - B ) )
201	121	recnd 9676	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) -> B e. CC )
202	201	subidd 9981	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) -> ( B - B ) = 0 )
203	202	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. RR ) /\ B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) ) -> ( B - B ) = 0 )
204	192	recnd 9676	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. RR ) -> y e. CC )
205	201	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. RR ) -> B e. CC )
206	122	recnd 9676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) -> sup ( A , RR* , < ) e. CC )
207	206	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. RR ) -> sup ( A , RR* , < ) e. CC )
208	204, 205, 207	addsub12d 10016	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. RR ) -> ( y + ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) = ( B + ( y - sup ( A , RR* , < ) ) ) )
209	195, 208	eqtrd 2463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. RR ) -> ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) = ( B + ( y - sup ( A , RR* , < ) ) ) )
210	209	oveq1d 6320	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. RR ) -> ( ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) - B ) = ( ( B + ( y - sup ( A , RR* , < ) ) ) - B ) )
211	204, 207	subcld 9993	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. RR ) -> ( y - sup ( A , RR* , < ) ) e. CC )
212	205, 211	pncan2d 9995	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. RR ) -> ( ( B + ( y - sup ( A , RR* , < ) ) ) - B ) = ( y - sup ( A , RR* , < ) ) )
213	210, 212	eqtrd 2463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. RR ) -> ( ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) - B ) = ( y - sup ( A , RR* , < ) ) )
214	213	adantr 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. RR ) /\ B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) ) -> ( ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) - B ) = ( y - sup ( A , RR* , < ) ) )
215	203, 214	breq12d 4436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. RR ) /\ B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) ) -> ( ( B - B ) < ( ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) - B ) <-> 0 < ( y - sup ( A , RR* , < ) ) ) )
216	200, 215	mpbid 213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. RR ) /\ B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) ) -> 0 < ( y - sup ( A , RR* , < ) ) )
217	123	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. RR ) /\ B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) ) -> sup ( A , RR* , < ) e. RR )
218		simplr 760	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. RR ) /\ B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) ) -> y e. RR )
219	217, 218	posdifd 10207	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. RR ) /\ B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) ) -> ( sup ( A , RR* , < ) < y <-> 0 < ( y - sup ( A , RR* , < ) ) ) )
220	216, 219	mpbird 235	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. RR ) /\ B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) ) -> sup ( A , RR* , < ) < y )
221	155, 189, 190, 220	syl21anc 1263	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. A ) /\ B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) ) /\ -. y = +oo ) -> sup ( A , RR* , < ) < y )
222	154, 221	pm2.61dan 798	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. A ) /\ B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) ) -> sup ( A , RR* , < ) < y )
223	222	ex 435	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) /\ y e. A ) -> ( B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) -> sup ( A , RR* , < ) < y ) )
224	223	reximdva 2897	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) -> ( E. y e. A B < ( y +e ( B - sup ( A , RR* , < ) ) ) -> E. y e. A sup ( A , RR* , < ) < y ) )
225	146, 224	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ sup ( A , RR* , < ) < B ) -> E. y e. A sup ( A , RR* , < ) < y )
226	80, 87, 225	syl2anc 665	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ -. B <_ sup ( A , RR* , < ) ) -> E. y e. A sup ( A , RR* , < ) < y )
227	59, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> sup ( A , RR* , < ) e. RR* )
228	31, 227	xrlenltd 9707	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( y <_ sup ( A , RR* , < ) <-> -. sup ( A , RR* , < ) < y ) )
229	62, 228	mpbid 213	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> -. sup ( A , RR* , < ) < y )
230	229	ralrimiva 2836	. . . . . 6 |- ( ph -> A. y e. A -. sup ( A , RR* , < ) < y )
231		ralnex 2868	. . . . . 6 |- ( A. y e. A -. sup ( A , RR* , < ) < y <-> -. E. y e. A sup ( A , RR* , < ) < y )
232	230, 231	sylib 199	. . . . 5 |- ( ph -> -. E. y e. A sup ( A , RR* , < ) < y )
233	232	ad2antrr 730	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) /\ -. B <_ sup ( A , RR* , < ) ) -> -. E. y e. A sup ( A , RR* , < ) < y )
234	226, 233	condan 801	. . 3 |- ( ( ph /\ sup ( A , RR* , < ) e. RR ) -> B <_ sup ( A , RR* , < ) )
235	9, 79, 234	syl2anc 665	. 2 |- ( ( ph /\ -. sup ( A , RR* , < ) = +oo ) -> B <_ sup ( A , RR* , < ) )
236	8, 235	pm2.61dan 798	1 |- ( ph -> B <_ sup ( A , RR* , < ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   F/wnf 1661   e. wcel 1872   =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   _Vcvv 3080   C_ wss 3436   class class class wbr 4423  (class class class)co 6305   supcsup 7963   CCcc 9544   RRcr 9545   0cc0 9546   1c1 9547   + caddc 9549   +oocpnf 9679   -oocmnf 9680   RR*cxr 9681   < clt 9682   <_ cle 9683   - cmin 9867   RR+crp 11309   +ecxad 11414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-sup 7965  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-rp 11310  df-xadd 11417

This theorem is referenced by:  supxrge  37515