MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrcl Structured version   Unicode version

Theorem supxrcl 11506
Description: The supremum of an arbitrary set of extended reals is an extended real. (Contributed by NM, 24-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
supxrcl  |-  ( A 
C_  RR*  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )

Proof of Theorem supxrcl
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 11347 . . 3  |-  <  Or  RR*
21a1i 11 . 2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  <  Or  RR* )
3 xrsupss 11500 . 2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
42, 3supcl 7918 1  |-  ( A 
C_  RR*  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767    C_ wss 3476    Or wor 4799   supcsup 7900   RR*cxr 9627    < clt 9628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808
This theorem is referenced by:  supxrun  11507  supxrmnf  11509  supxrbnd1  11513  supxrbnd2  11514  supxrub  11516  supxrleub  11518  supxrre  11519  supxrbnd  11520  supxrgtmnf  11521  supxrre1  11522  supxrre2  11523  supxrss  11524  ixxub  11550  limsupgord  13258  limsupcl  13259  limsupgf  13261  prdsdsf  20633  xpsdsval  20647  xrge0tsms  21102  elovolm  21649  ovolmge0  21651  ovolgelb  21654  ovollb2lem  21662  ovolunlem1a  21670  ovoliunlem1  21676  ovoliunlem2  21677  ovoliun  21679  ovolscalem1  21687  ovolicc1  21690  ovolicc2lem4  21694  voliunlem2  21724  voliunlem3  21725  ioombl1lem2  21732  uniioovol  21751  uniiccvol  21752  uniioombllem1  21753  uniioombllem3  21757  itg2cl  21902  itg2seq  21912  itg2monolem2  21921  itg2monolem3  21922  itg2mono  21923  mdeglt  22228  mdegxrcl  22230  radcnvcl  22574  nmoxr  25385  nmopxr  26489  nmfnxr  26502  xrofsup  27278  supxrnemnf  27279  xrge0tsmsd  27466  mblfinlem3  29658  mblfinlem4  29659  ismblfin  29660  itg2addnclem  29671  itg2gt0cn  29675
  Copyright terms: Public domain W3C validator