MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrcl Structured version   Unicode version

Theorem supxrcl 11509
Description: The supremum of an arbitrary set of extended reals is an extended real. (Contributed by NM, 24-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
supxrcl  |-  ( A 
C_  RR*  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )

Proof of Theorem supxrcl
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 11350 . . 3  |-  <  Or  RR*
21a1i 11 . 2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  <  Or  RR* )
3 xrsupss 11503 . 2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
42, 3supcl 7909 1  |-  ( A 
C_  RR*  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1823    C_ wss 3461    Or wor 4788   supcsup 7892   RR*cxr 9616    < clt 9617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799
This theorem is referenced by:  supxrun  11510  supxrmnf  11512  supxrbnd1  11516  supxrbnd2  11517  supxrub  11519  supxrleub  11521  supxrre  11522  supxrbnd  11523  supxrgtmnf  11524  supxrre1  11525  supxrre2  11526  supxrss  11527  ixxub  11553  limsupgord  13377  limsupcl  13378  limsupgf  13380  prdsdsf  21036  xpsdsval  21050  xrge0tsms  21505  elovolm  22052  ovolmge0  22054  ovolgelb  22057  ovollb2lem  22065  ovolunlem1a  22073  ovoliunlem1  22079  ovoliunlem2  22080  ovoliun  22082  ovolscalem1  22090  ovolicc1  22093  ovolicc2lem4  22097  voliunlem2  22127  voliunlem3  22128  ioombl1lem2  22135  uniioovol  22154  uniiccvol  22155  uniioombllem1  22156  uniioombllem3  22160  itg2cl  22305  itg2seq  22315  itg2monolem2  22324  itg2monolem3  22325  itg2mono  22326  mdeglt  22631  mdegxrcl  22633  radcnvcl  22978  nmoxr  25879  nmopxr  26983  nmfnxr  26996  xrofsup  27816  supxrnemnf  27817  xrge0tsmsd  28010  mblfinlem3  30293  mblfinlem4  30294  ismblfin  30295  itg2addnclem  30306  itg2gt0cn  30310  binomcxplemdvbinom  31499  binomcxplemcvg  31500  binomcxplemnotnn0  31502
  Copyright terms: Public domain W3C validator