MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrcl Structured version   Unicode version

Theorem supxrcl 11298
Description: The supremum of an arbitrary set of extended reals is an extended real. (Contributed by NM, 24-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
supxrcl  |-  ( A 
C_  RR*  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )

Proof of Theorem supxrcl
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltso 11139 . . 3  |-  <  Or  RR*
21a1i 11 . 2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  <  Or  RR* )
3 xrsupss 11292 . 2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
42, 3supcl 7729 1  |-  ( A 
C_  RR*  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756    C_ wss 3349    Or wor 4661   supcsup 7711   RR*cxr 9438    < clt 9439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-sup 7712  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619
This theorem is referenced by:  supxrun  11299  supxrmnf  11301  supxrbnd1  11305  supxrbnd2  11306  supxrub  11308  supxrleub  11310  supxrre  11311  supxrbnd  11312  supxrgtmnf  11313  supxrre1  11314  supxrre2  11315  supxrss  11316  ixxub  11342  limsupgord  12971  limsupcl  12972  limsupgf  12974  prdsdsf  19964  xpsdsval  19978  xrge0tsms  20433  elovolm  20980  ovolmge0  20982  ovolgelb  20985  ovollb2lem  20993  ovolunlem1a  21001  ovoliunlem1  21007  ovoliunlem2  21008  ovoliun  21010  ovolscalem1  21018  ovolicc1  21021  ovolicc2lem4  21025  voliunlem2  21054  voliunlem3  21055  ioombl1lem2  21062  uniioovol  21081  uniiccvol  21082  uniioombllem1  21083  uniioombllem3  21087  itg2cl  21232  itg2seq  21242  itg2monolem2  21251  itg2monolem3  21252  itg2mono  21253  mdeglt  21558  mdegxrcl  21560  radcnvcl  21904  nmoxr  24188  nmopxr  25292  nmfnxr  25305  xrofsup  26077  supxrnemnf  26078  xrge0tsmsd  26275  mblfinlem3  28456  mblfinlem4  28457  ismblfin  28458  itg2addnclem  28469  itg2gt0cn  28473
  Copyright terms: Public domain W3C validator