MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrbnd2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem supxrbnd2 11598
Description: The supremum of a bounded-above set of extended reals is less than infinity. (Contributed by NM, 30-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
supxrbnd2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  < +oo ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem supxrbnd2
StepHypRef Expression
1 ralnex 2815 . . . 4  |-  ( A. x  e.  RR  -.  A. y  e.  A  y  <_  x  <->  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)
2 ssel2 3395 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR* )
3 rexr 9673 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
4 xrlenlt 9686 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
y  <_  x  <->  -.  x  <  y ) )
54con2bid 335 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
x  <  y  <->  -.  y  <_  x ) )
62, 3, 5syl2an 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  y  e.  A )  /\  x  e.  RR )  ->  (
x  <  y  <->  -.  y  <_  x ) )
76an32s 818 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A )  ->  (
x  <  y  <->  -.  y  <_  x ) )
87rexbidva 2870 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  A  x  <  y  <->  E. y  e.  A  -.  y  <_  x ) )
9 rexnal 2817 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  A  -.  y  <_  x  <->  -.  A. y  e.  A  y  <_  x )
108, 9syl6rbb 270 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  A. y  e.  A  y  <_  x  <->  E. y  e.  A  x  <  y ) )
1110ralbidva 2809 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A. x  e.  RR  -.  A. y  e.  A  y  <_  x  <->  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <  y
) )
121, 11syl5bbr 267 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x  <->  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <  y ) )
13 supxrunb2 11596 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <  y  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo ) )
14 supxrcl 11590 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
15 nltpnft 11451 . . . 4  |-  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo  <->  -.  sup ( A ,  RR* ,  <  )  < +oo ) )
1614, 15syl 17 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo  <->  -.  sup ( A ,  RR* ,  <  )  < +oo ) )
1712, 13, 163bitrd 287 . 2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x  <->  -.  sup ( A ,  RR* ,  <  )  < +oo ) )
1817con4bid 299 1  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  < +oo ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1448    e. wcel 1891   A.wral 2737   E.wrex 2738    C_ wss 3372   class class class wbr 4374   supcsup 7941   RRcr 9525   +oocpnf 9659   RR*cxr 9661    < clt 9662    <_ cle 9663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1673  ax-4 1686  ax-5 1762  ax-6 1809  ax-7 1855  ax-8 1893  ax-9 1900  ax-10 1919  ax-11 1924  ax-12 1937  ax-13 2092  ax-ext 2432  ax-sep 4497  ax-nul 4506  ax-pow 4554  ax-pr 4612  ax-un 6571  ax-cnex 9582  ax-resscn 9583  ax-1cn 9584  ax-icn 9585  ax-addcl 9586  ax-addrcl 9587  ax-mulcl 9588  ax-mulrcl 9589  ax-mulcom 9590  ax-addass 9591  ax-mulass 9592  ax-distr 9593  ax-i2m1 9594  ax-1ne0 9595  ax-1rid 9596  ax-rnegex 9597  ax-rrecex 9598  ax-cnre 9599  ax-pre-lttri 9600  ax-pre-lttrn 9601  ax-pre-ltadd 9602  ax-pre-mulgt0 9603  ax-pre-sup 9604
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1451  df-ex 1668  df-nf 1672  df-sb 1802  df-eu 2304  df-mo 2305  df-clab 2439  df-cleq 2445  df-clel 2448  df-nfc 2582  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3015  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-op 3943  df-uni 4169  df-br 4375  df-opab 4434  df-mpt 4435  df-id 4727  df-po 4733  df-so 4734  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-iota 5525  df-fun 5563  df-fn 5564  df-f 5565  df-f1 5566  df-fo 5567  df-f1o 5568  df-fv 5569  df-riota 6238  df-ov 6279  df-oprab 6280  df-mpt2 6281  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-sup 7943  df-pnf 9664  df-mnf 9665  df-xr 9666  df-ltxr 9667  df-le 9668  df-sub 9849  df-neg 9850
This theorem is referenced by:  ovolunlem1  22461  supxrre3  37579
  Copyright terms: Public domain W3C validator