MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrbnd2 Structured version   Unicode version

Theorem supxrbnd2 11517
Description: The supremum of a bounded-above set of extended reals is less than infinity. (Contributed by NM, 30-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
supxrbnd2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  < +oo ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem supxrbnd2
StepHypRef Expression
1 ralnex 2900 . . . 4  |-  ( A. x  e.  RR  -.  A. y  e.  A  y  <_  x  <->  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)
2 ssel2 3484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR* )
3 rexr 9628 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
4 xrlenlt 9641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
y  <_  x  <->  -.  x  <  y ) )
54con2bid 327 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
x  <  y  <->  -.  y  <_  x ) )
62, 3, 5syl2an 475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  y  e.  A )  /\  x  e.  RR )  ->  (
x  <  y  <->  -.  y  <_  x ) )
76an32s 802 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A )  ->  (
x  <  y  <->  -.  y  <_  x ) )
87rexbidva 2962 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  A  x  <  y  <->  E. y  e.  A  -.  y  <_  x ) )
9 rexnal 2902 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  A  -.  y  <_  x  <->  -.  A. y  e.  A  y  <_  x )
108, 9syl6rbb 262 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  A. y  e.  A  y  <_  x  <->  E. y  e.  A  x  <  y ) )
1110ralbidva 2890 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A. x  e.  RR  -.  A. y  e.  A  y  <_  x  <->  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <  y
) )
121, 11syl5bbr 259 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x  <->  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <  y ) )
13 supxrunb2 11515 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <  y  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo ) )
14 supxrcl 11509 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
15 nltpnft 11370 . . . 4  |-  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo  <->  -.  sup ( A ,  RR* ,  <  )  < +oo ) )
1614, 15syl 16 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo  <->  -.  sup ( A ,  RR* ,  <  )  < +oo ) )
1712, 13, 163bitrd 279 . 2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x  <->  -.  sup ( A ,  RR* ,  <  )  < +oo ) )
1817con4bid 291 1  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  < +oo ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805    C_ wss 3461   class class class wbr 4439   supcsup 7892   RRcr 9480   +oocpnf 9614   RR*cxr 9616    < clt 9617    <_ cle 9618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799
This theorem is referenced by:  ovolunlem1  22074
  Copyright terms: Public domain W3C validator