MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrbnd1 Structured version   Unicode version

Theorem supxrbnd1 11371
Description: The supremum of a bounded-above set of extended reals is less than infinity. (Contributed by NM, 30-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
supxrbnd1  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  < +oo ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem supxrbnd1
StepHypRef Expression
1 ralnex 2841 . . . 4  |-  ( A. x  e.  RR  -.  A. y  e.  A  y  <  x  <->  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x
)
2 rexr 9516 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
3 ssel2 3435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR* )
4 xrlenlt 9529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <_  y  <->  -.  y  <  x ) )
52, 3, 4syl2anr 478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  y  e.  A )  /\  x  e.  RR )  ->  (
x  <_  y  <->  -.  y  <  x ) )
65an32s 802 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A )  ->  (
x  <_  y  <->  -.  y  <  x ) )
76rexbidva 2812 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  A  x  <_  y  <->  E. y  e.  A  -.  y  <  x ) )
8 rexnal 2842 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  A  -.  y  <  x  <->  -.  A. y  e.  A  y  <  x )
97, 8syl6rbb 262 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  A. y  e.  A  y  <  x  <->  E. y  e.  A  x  <_  y ) )
109ralbidva 2811 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A. x  e.  RR  -.  A. y  e.  A  y  <  x  <->  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y
) )
111, 10syl5bbr 259 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x  <->  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y ) )
12 supxrunb1 11369 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo ) )
13 supxrcl 11364 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
14 nltpnft 11225 . . . 4  |-  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo  <->  -.  sup ( A ,  RR* ,  <  )  < +oo ) )
1513, 14syl 16 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo  <->  -.  sup ( A ,  RR* ,  <  )  < +oo ) )
1611, 12, 153bitrd 279 . 2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x  <->  -.  sup ( A ,  RR* ,  <  )  < +oo ) )
1716con4bid 293 1  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  < +oo ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1757   A.wral 2792   E.wrex 2793    C_ wss 3412   class class class wbr 4376   supcsup 7777   RRcr 9368   +oocpnf 9502   RR*cxr 9504    < clt 9505    <_ cle 9506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446  ax-pre-sup 9447
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-op 3968  df-uni 4176  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-er 7187  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-sup 7778  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator