MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrbnd1 Structured version   Unicode version

Theorem supxrbnd1 11509
Description: The supremum of a bounded-above set of extended reals is less than infinity. (Contributed by NM, 30-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
supxrbnd1  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  < +oo ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem supxrbnd1
StepHypRef Expression
1 ralnex 2910 . . . 4  |-  ( A. x  e.  RR  -.  A. y  e.  A  y  <  x  <->  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x
)
2 rexr 9635 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
3 ssel2 3499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR* )
4 xrlenlt 9648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <_  y  <->  -.  y  <  x ) )
52, 3, 4syl2anr 478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  y  e.  A )  /\  x  e.  RR )  ->  (
x  <_  y  <->  -.  y  <  x ) )
65an32s 802 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A )  ->  (
x  <_  y  <->  -.  y  <  x ) )
76rexbidva 2970 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  A  x  <_  y  <->  E. y  e.  A  -.  y  <  x ) )
8 rexnal 2912 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  A  -.  y  <  x  <->  -.  A. y  e.  A  y  <  x )
97, 8syl6rbb 262 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  A. y  e.  A  y  <  x  <->  E. y  e.  A  x  <_  y ) )
109ralbidva 2900 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A. x  e.  RR  -.  A. y  e.  A  y  <  x  <->  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y
) )
111, 10syl5bbr 259 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x  <->  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y ) )
12 supxrunb1 11507 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo ) )
13 supxrcl 11502 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
14 nltpnft 11363 . . . 4  |-  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo  <->  -.  sup ( A ,  RR* ,  <  )  < +oo ) )
1513, 14syl 16 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo  <->  -.  sup ( A ,  RR* ,  <  )  < +oo ) )
1611, 12, 153bitrd 279 . 2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x  <->  -.  sup ( A ,  RR* ,  <  )  < +oo ) )
1716con4bid 293 1  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  < +oo ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815    C_ wss 3476   class class class wbr 4447   supcsup 7896   RRcr 9487   +oocpnf 9621   RR*cxr 9623    < clt 9624    <_ cle 9625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator