MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrbnd1 Structured version   Unicode version

Theorem supxrbnd1 11538
Description: The supremum of a bounded-above set of extended reals is less than infinity. (Contributed by NM, 30-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
supxrbnd1  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  < +oo ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem supxrbnd1
StepHypRef Expression
1 ralnex 2903 . . . 4  |-  ( A. x  e.  RR  -.  A. y  e.  A  y  <  x  <->  -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x
)
2 rexr 9656 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
3 ssel2 3494 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR* )
4 xrlenlt 9669 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  y  e.  RR* )  ->  (
x  <_  y  <->  -.  y  <  x ) )
52, 3, 4syl2anr 478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  y  e.  A )  /\  x  e.  RR )  ->  (
x  <_  y  <->  -.  y  <  x ) )
65an32s 804 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  /\  y  e.  A )  ->  (
x  <_  y  <->  -.  y  <  x ) )
76rexbidva 2965 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  A  x  <_  y  <->  E. y  e.  A  -.  y  <  x ) )
8 rexnal 2905 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  A  -.  y  <  x  <->  -.  A. y  e.  A  y  <  x )
97, 8syl6rbb 262 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  A. y  e.  A  y  <  x  <->  E. y  e.  A  x  <_  y ) )
109ralbidva 2893 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A. x  e.  RR  -.  A. y  e.  A  y  <  x  <->  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y
) )
111, 10syl5bbr 259 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x  <->  A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y ) )
12 supxrunb1 11536 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( A. x  e.  RR  E. y  e.  A  x  <_  y  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo ) )
13 supxrcl 11531 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR*  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
14 nltpnft 11392 . . . 4  |-  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo  <->  -.  sup ( A ,  RR* ,  <  )  < +oo ) )
1513, 14syl 16 . . 3  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( sup ( A ,  RR* ,  <  )  = +oo  <->  -.  sup ( A ,  RR* ,  <  )  < +oo ) )
1611, 12, 153bitrd 279 . 2  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( -.  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x  <->  -.  sup ( A ,  RR* ,  <  )  < +oo ) )
1716con4bid 293 1  |-  ( A 
C_  RR*  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <  x  <->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  < +oo ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808    C_ wss 3471   class class class wbr 4456   supcsup 7918   RRcr 9508   +oocpnf 9642   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator