Theorem supxrbnd 11531

Description: The supremum of a bounded-above nonempty set of reals is real. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
supxrbnd	|- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ sup ( A , RR* , < ) < +oo ) -> sup ( A , RR* , < ) e. RR )

Proof of Theorem supxrbnd

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressxr 9640	. . . . 5 |- RR C_ RR*
2		sstr 3497	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR /\ RR C_ RR* ) -> A C_ RR* )
3	1, 2	mpan2 671	. . . 4 |- ( A C_ RR -> A C_ RR* )
4		supxrcl 11517	. . . . . . 7 |- ( A C_ RR* -> sup ( A , RR* , < ) e. RR* )
5		pnfxr 11332	. . . . . . . . . 10 |- +oo e. RR*
6		xrltne 11377	. . . . . . . . . 10 |- ( ( sup ( A , RR* , < ) e. RR* /\ +oo e. RR* /\ sup ( A , RR* , < ) < +oo ) -> +oo =/= sup ( A , RR* , < ) )
7	5, 6	mp3an2 1313	. . . . . . . . 9 |- ( ( sup ( A , RR* , < ) e. RR* /\ sup ( A , RR* , < ) < +oo ) -> +oo =/= sup ( A , RR* , < ) )
8	7	necomd 2714	. . . . . . . 8 |- ( ( sup ( A , RR* , < ) e. RR* /\ sup ( A , RR* , < ) < +oo ) -> sup ( A , RR* , < ) =/= +oo )
9	8	ex 434	. . . . . . 7 |- ( sup ( A , RR* , < ) e. RR* -> ( sup ( A , RR* , < ) < +oo -> sup ( A , RR* , < ) =/= +oo ) )
10	4, 9	syl 16	. . . . . 6 |- ( A C_ RR* -> ( sup ( A , RR* , < ) < +oo -> sup ( A , RR* , < ) =/= +oo ) )
11		supxrunb2 11523	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ RR* -> ( A. x e. RR E. y e. A x < y <-> sup ( A , RR* , < ) = +oo ) )
12		ssel2 3484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ RR* /\ y e. A ) -> y e. RR* )
13	12	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ y e. A ) -> y e. RR* )
14		rexr 9642	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR -> x e. RR* )
15	14	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ y e. A ) -> x e. RR* )
16		xrlenlt 9655	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. RR* /\ x e. RR* ) -> ( y <_ x <-> -. x < y ) )
17	16	con2bid 329	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. RR* /\ x e. RR* ) -> ( x < y <-> -. y <_ x ) )
18	13, 15, 17	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ y e. A ) -> ( x < y <-> -. y <_ x ) )
19	18	rexbidva 2951	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) -> ( E. y e. A x < y <-> E. y e. A -. y <_ x ) )
20		rexnal 2891	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. A -. y <_ x <-> -. A. y e. A y <_ x )
21	19, 20	syl6bb 261	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) -> ( E. y e. A x < y <-> -. A. y e. A y <_ x ) )
22	21	ralbidva 2879	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ RR* -> ( A. x e. RR E. y e. A x < y <-> A. x e. RR -. A. y e. A y <_ x ) )
23	11, 22	bitr3d 255	. . . . . . . 8 |- ( A C_ RR* -> ( sup ( A , RR* , < ) = +oo <-> A. x e. RR -. A. y e. A y <_ x ) )
24		ralnex 2889	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. RR -. A. y e. A y <_ x <-> -. E. x e. RR A. y e. A y <_ x )
25	23, 24	syl6bb 261	. . . . . . 7 |- ( A C_ RR* -> ( sup ( A , RR* , < ) = +oo <-> -. E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) )
26	25	necon2abid 2697	. . . . . 6 |- ( A C_ RR* -> ( E. x e. RR A. y e. A y <_ x <-> sup ( A , RR* , < ) =/= +oo ) )
27	10, 26	sylibrd 234	. . . . 5 |- ( A C_ RR* -> ( sup ( A , RR* , < ) < +oo -> E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) )
28	27	imp 429	. . . 4 |- ( ( A C_ RR* /\ sup ( A , RR* , < ) < +oo ) -> E. x e. RR A. y e. A y <_ x )
29	3, 28	sylan 471	. . 3 |- ( ( A C_ RR /\ sup ( A , RR* , < ) < +oo ) -> E. x e. RR A. y e. A y <_ x )
30	29	3adant2 1016	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ sup ( A , RR* , < ) < +oo ) -> E. x e. RR A. y e. A y <_ x )
31		supxrre 11530	. . 3 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> sup ( A , RR* , < ) = sup ( A , RR , < ) )
32		suprcl 10510	. . 3 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> sup ( A , RR , < ) e. RR )
33	31, 32	eqeltrd 2531	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> sup ( A , RR* , < ) e. RR )
34	30, 33	syld3an3 1274	1 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ sup ( A , RR* , < ) < +oo ) -> sup ( A , RR* , < ) e. RR )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 974   = wceq 1383   e. wcel 1804   =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794   C_ wss 3461   (/)c0 3770   class class class wbr 4437   supcsup 7902   RRcr 9494   +oocpnf 9628   RR*cxr 9630   < clt 9631   <_ cle 9632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813

This theorem is referenced by:  supxrgtmnf  11532  ovolunlem1  21886  uniioombllem1  21968