Theorem supxrbnd 11519

Description: The supremum of a bounded-above nonempty set of reals is real. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
supxrbnd	|- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ sup ( A , RR* , < ) < +oo ) -> sup ( A , RR* , < ) e. RR )

Proof of Theorem supxrbnd

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressxr 9636	. . . . 5 |- RR C_ RR*
2		sstr 3512	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR /\ RR C_ RR* ) -> A C_ RR* )
3	1, 2	mpan2 671	. . . 4 |- ( A C_ RR -> A C_ RR* )
4		supxrcl 11505	. . . . . . 7 |- ( A C_ RR* -> sup ( A , RR* , < ) e. RR* )
5		pnfxr 11320	. . . . . . . . . 10 |- +oo e. RR*
6		xrltne 11365	. . . . . . . . . 10 |- ( ( sup ( A , RR* , < ) e. RR* /\ +oo e. RR* /\ sup ( A , RR* , < ) < +oo ) -> +oo =/= sup ( A , RR* , < ) )
7	5, 6	mp3an2 1312	. . . . . . . . 9 |- ( ( sup ( A , RR* , < ) e. RR* /\ sup ( A , RR* , < ) < +oo ) -> +oo =/= sup ( A , RR* , < ) )
8	7	necomd 2738	. . . . . . . 8 |- ( ( sup ( A , RR* , < ) e. RR* /\ sup ( A , RR* , < ) < +oo ) -> sup ( A , RR* , < ) =/= +oo )
9	8	ex 434	. . . . . . 7 |- ( sup ( A , RR* , < ) e. RR* -> ( sup ( A , RR* , < ) < +oo -> sup ( A , RR* , < ) =/= +oo ) )
10	4, 9	syl 16	. . . . . 6 |- ( A C_ RR* -> ( sup ( A , RR* , < ) < +oo -> sup ( A , RR* , < ) =/= +oo ) )
11		supxrunb2 11511	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ RR* -> ( A. x e. RR E. y e. A x < y <-> sup ( A , RR* , < ) = +oo ) )
12		ssel2 3499	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ RR* /\ y e. A ) -> y e. RR* )
13	12	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ y e. A ) -> y e. RR* )
14		rexr 9638	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR -> x e. RR* )
15	14	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ y e. A ) -> x e. RR* )
16		xrlenlt 9651	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. RR* /\ x e. RR* ) -> ( y <_ x <-> -. x < y ) )
17	16	con2bid 329	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. RR* /\ x e. RR* ) -> ( x < y <-> -. y <_ x ) )
18	13, 15, 17	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) /\ y e. A ) -> ( x < y <-> -. y <_ x ) )
19	18	rexbidva 2970	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) -> ( E. y e. A x < y <-> E. y e. A -. y <_ x ) )
20		rexnal 2912	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. A -. y <_ x <-> -. A. y e. A y <_ x )
21	19, 20	syl6bb 261	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A C_ RR* /\ x e. RR ) -> ( E. y e. A x < y <-> -. A. y e. A y <_ x ) )
22	21	ralbidva 2900	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ RR* -> ( A. x e. RR E. y e. A x < y <-> A. x e. RR -. A. y e. A y <_ x ) )
23	11, 22	bitr3d 255	. . . . . . . 8 |- ( A C_ RR* -> ( sup ( A , RR* , < ) = +oo <-> A. x e. RR -. A. y e. A y <_ x ) )
24		ralnex 2910	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. RR -. A. y e. A y <_ x <-> -. E. x e. RR A. y e. A y <_ x )
25	23, 24	syl6bb 261	. . . . . . 7 |- ( A C_ RR* -> ( sup ( A , RR* , < ) = +oo <-> -. E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) )
26	25	necon2abid 2721	. . . . . 6 |- ( A C_ RR* -> ( E. x e. RR A. y e. A y <_ x <-> sup ( A , RR* , < ) =/= +oo ) )
27	10, 26	sylibrd 234	. . . . 5 |- ( A C_ RR* -> ( sup ( A , RR* , < ) < +oo -> E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) )
28	27	imp 429	. . . 4 |- ( ( A C_ RR* /\ sup ( A , RR* , < ) < +oo ) -> E. x e. RR A. y e. A y <_ x )
29	3, 28	sylan 471	. . 3 |- ( ( A C_ RR /\ sup ( A , RR* , < ) < +oo ) -> E. x e. RR A. y e. A y <_ x )
30	29	3adant2 1015	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ sup ( A , RR* , < ) < +oo ) -> E. x e. RR A. y e. A y <_ x )
31		supxrre 11518	. . 3 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> sup ( A , RR* , < ) = sup ( A , RR , < ) )
32		suprcl 10502	. . 3 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> sup ( A , RR , < ) e. RR )
33	31, 32	eqeltrd 2555	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> sup ( A , RR* , < ) e. RR )
34	30, 33	syld3an3 1273	1 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ sup ( A , RR* , < ) < +oo ) -> sup ( A , RR* , < ) e. RR )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   supcsup 7899   RRcr 9490   +oocpnf 9624   RR*cxr 9626   < clt 9627   <_ cle 9628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7900  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807

This theorem is referenced by:  supxrgtmnf  11520  ovolunlem1  21659  uniioombllem1  21741