MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxr2 Structured version   Unicode version

Theorem supxr2 11494
Description: The supremum of a set of extended reals. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.)
Assertion
Ref Expression
supxr2  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( A. x  e.  A  x  <_  B  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) )  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  B )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y

Proof of Theorem supxr2
StepHypRef Expression
1 ssel2 3492 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR* )
2 xrlenlt 9641 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
x  <_  B  <->  -.  B  <  x ) )
31, 2sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  x  e.  A )  /\  B  e.  RR* )  ->  (
x  <_  B  <->  -.  B  <  x ) )
43an32s 802 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  x  e.  A )  ->  (
x  <_  B  <->  -.  B  <  x ) )
54ralbidva 2893 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A. x  e.  A  x  <_  B  <->  A. x  e.  A  -.  B  <  x ) )
65anbi1d 704 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A. x  e.  A  x  <_  B  /\  A. x  e.  RR  ( x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) )  <-> 
( A. x  e.  A  -.  B  < 
x  /\  A. x  e.  RR  ( x  < 
B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) ) )
76biimpa 484 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( A. x  e.  A  x  <_  B  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) )  ->  ( A. x  e.  A  -.  B  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) )
8 supxr 11493 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( A. x  e.  A  -.  B  <  x  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) )  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  B )
97, 8syldan 470 1  |-  ( ( ( A  C_  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( A. x  e.  A  x  <_  B  /\  A. x  e.  RR  (
x  <  B  ->  E. y  e.  A  x  <  y ) ) )  ->  sup ( A ,  RR* ,  <  )  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808    C_ wss 3469   class class class wbr 4440   supcsup 7889   RRcr 9480   RR*cxr 9616    < clt 9617    <_ cle 9618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797
This theorem is referenced by:  nmopun  26595  branmfn  26686  pjnmopi  26729  xrofsup  27236  esumcst  27697  esumfsup  27702
  Copyright terms: Public domain W3C validator