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Theorem supsrlem 9399
Description: Lemma for supremum theorem. (Contributed by NM, 21-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
supsrlem.1  |-  B  =  { w  |  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A }
supsrlem.2  |-  C  e. 
R.
Assertion
Ref Expression
supsrlem  |-  ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, w, A    x, B, y, z, w    x, C, y, z, w

Proof of Theorem supsrlem
Dummy variables  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supsrlem.2 . . . . . . 7  |-  C  e. 
R.
2 0idsr 9385 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  R.  ->  ( C  +R  0R )  =  C )
31, 2mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  ( C  +R  0R )  =  C )
4 simpl 455 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  C  e.  A )
53, 4eqeltrd 2470 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  ( C  +R  0R )  e.  A )
6 1pr 9304 . . . . . . 7  |-  1P  e.  P.
76elexi 3044 . . . . . 6  |-  1P  e.  _V
8 opeq1 4131 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  1P  ->  <. w ,  1P >.  =  <. 1P ,  1P >. )
98eceq1d 7266 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  1P  ->  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R  )
10 df-0r 9349 . . . . . . . . 9  |-  0R  =  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R
119, 10syl6eqr 2441 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  1P  ->  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  =  0R )
1211oveq2d 6212 . . . . . . 7  |-  ( w  =  1P  ->  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  ( C  +R  0R ) )
1312eleq1d 2451 . . . . . 6  |-  ( w  =  1P  ->  (
( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A  <->  ( C  +R  0R )  e.  A ) )
14 supsrlem.1 . . . . . 6  |-  B  =  { w  |  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A }
157, 13, 14elab2 3174 . . . . 5  |-  ( 1P  e.  B  <->  ( C  +R  0R )  e.  A
)
165, 15sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  1P  e.  B )
17 ne0i 3717 . . . 4  |-  ( 1P  e.  B  ->  B  =/=  (/) )
1816, 17syl 16 . . 3  |-  ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  B  =/=  (/) )
19 breq1 4370 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  C  ->  (
y  <R  x  <->  C  <R  x ) )
2019rspccv 3132 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  A  y  <R  x  ->  ( C  e.  A  ->  C  <R  x ) )
21 0lt1sr 9383 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0R  <R  1R
22 m1r 9370 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -1R  e.  R.
23 ltasr 9388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -1R 
e.  R.  ->  ( 0R 
<R  1R  <->  ( -1R  +R  0R )  <R  ( -1R 
+R  1R ) ) )
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0R 
<R  1R  <->  ( -1R  +R  0R )  <R  ( -1R 
+R  1R ) )
2521, 24mpbi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -1R 
+R  0R )  <R 
( -1R  +R  1R )
26 0idsr 9385 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -1R 
e.  R.  ->  ( -1R 
+R  0R )  =  -1R )
2722, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -1R 
+R  0R )  =  -1R
28 m1p1sr 9380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -1R 
+R  1R )  =  0R
2925, 27, 283brtr3i 4394 . . . . . . . . . . 11  |-  -1R  <R  0R
30 ltasr 9388 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  R.  ->  ( -1R  <R  0R  <->  ( C  +R  -1R )  <R  ( C  +R  0R ) ) )
311, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -1R 
<R  0R  <->  ( C  +R  -1R )  <R  ( C  +R  0R ) )
3229, 31mpbi 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  +R  -1R )  <R 
( C  +R  0R )
331, 2ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  +R  0R )  =  C
3432, 33breqtri 4390 . . . . . . . . 9  |-  ( C  +R  -1R )  <R  C
35 ltsosr 9382 . . . . . . . . . 10  |-  <R  Or  R.
36 ltrelsr 9356 . . . . . . . . . 10  |-  <R  C_  ( R.  X.  R. )
3735, 36sotri 5307 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  +R  -1R )  <R  C  /\  C  <R  x )  ->  ( C  +R  -1R )  <R  x )
3834, 37mpan 668 . . . . . . . 8  |-  ( C 
<R  x  ->  ( C  +R  -1R )  <R  x )
391map2psrpr 9398 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  +R  -1R )  <R  x  <->  E. v  e.  P.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  =  x )
4038, 39sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( C 
<R  x  ->  E. v  e.  P.  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  =  x )
4120, 40syl6 33 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  y  <R  x  ->  ( C  e.  A  ->  E. v  e.  P.  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  =  x ) )
42 breq2 4371 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  =  x  ->  ( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <->  y  <R  x ) )
4342ralbidv 2821 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  =  x  ->  ( A. y  e.  A  y  <R  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  <->  A. y  e.  A  y  <R  x ) )
4414abeq2i 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  B  <->  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A )
45 breq1 4370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( C  +R  [
<. w ,  1P >. ]  ~R  )  ->  (
y  <R  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  <->  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R 
( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  ) ) )
4645rspccv 3132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  A  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  (
( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A  ->  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
) )
471ltpsrpr 9397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  <->  w  <P  v )
4846, 47syl6ib 226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  A  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  (
( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A  ->  w  <P  v )
)
4944, 48syl5bi 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  A  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  (
w  e.  B  ->  w  <P  v ) )
5049ralrimiv 2794 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  A  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  A. w  e.  B  w  <P  v )
5143, 50syl6bir 229 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  =  x  ->  ( A. y  e.  A  y  <R  x  ->  A. w  e.  B  w  <P  v ) )
5251com12 31 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  A  y  <R  x  ->  ( ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  =  x  ->  A. w  e.  B  w  <P  v ) )
5352reximdv 2856 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  y  <R  x  ->  ( E. v  e.  P.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  =  x  ->  E. v  e.  P.  A. w  e.  B  w  <P  v
) )
5441, 53syld 44 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  A  y  <R  x  ->  ( C  e.  A  ->  E. v  e.  P.  A. w  e.  B  w  <P  v
) )
5554rexlimivw 2871 . . . 4  |-  ( E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x  ->  ( C  e.  A  ->  E. v  e.  P.  A. w  e.  B  w  <P  v
) )
5655impcom 428 . . 3  |-  ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  E. v  e.  P.  A. w  e.  B  w  <P  v
)
57 supexpr 9343 . . 3  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  E. v  e.  P.  A. w  e.  B  w  <P  v )  ->  E. v  e.  P.  ( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) ) )
5818, 56, 57syl2anc 659 . 2  |-  ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  E. v  e.  P.  ( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) ) )
591mappsrpr 9396 . . . . . . 7  |-  ( ( C  +R  -1R )  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <->  v  e.  P. )
6036brel 4962 . . . . . . 7  |-  ( ( C  +R  -1R )  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  (
( C  +R  -1R )  e.  R.  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  e.  R. ) )
6159, 60sylbir 213 . . . . . 6  |-  ( v  e.  P.  ->  (
( C  +R  -1R )  e.  R.  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  e.  R. ) )
6261simprd 461 . . . . 5  |-  ( v  e.  P.  ->  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  e.  R. )
6362adantl 464 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y 
<R  x )  /\  v  e.  P. )  ->  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  e.  R. )
6435, 36sotri 5307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( C  +R  -1R )  <R  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y )  ->  ( C  +R  -1R )  <R 
y )
6559, 64sylanbr 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  P.  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y )  -> 
( C  +R  -1R )  <R  y )
661map2psrpr 9398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  +R  -1R )  <R  y  <->  E. w  e.  P.  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )
6765, 66sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  P.  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y )  ->  E. w  e.  P.  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )
68 rexex 2839 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. w  e.  P.  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  E. w
( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )
69 df-ral 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  <->  A. w
( w  e.  B  ->  -.  v  <P  w
) )
70 19.29 1691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. w ( w  e.  B  ->  -.  v  <P  w )  /\  E. w ( C  +R  [
<. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  ->  E. w
( ( w  e.  B  ->  -.  v  <P  w )  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y ) )
71 eleq1 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A  <->  y  e.  A ) )
7244, 71syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  ( w  e.  B  <->  y  e.  A ) )
731ltpsrpr 9397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [
<. w ,  1P >. ]  ~R  )  <->  v  <P  w )
74 breq2 4371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  ( ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <->  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y ) )
7573, 74syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  ( v  <P  w  <->  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R 
y ) )
7675notbid 292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  ( -.  v  <P  w  <->  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y
) )
7772, 76imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  ( ( w  e.  B  ->  -.  v  <P  w
)  <->  ( y  e.  A  ->  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y ) ) )
7877biimpac 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  e.  B  ->  -.  v  <P  w
)  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  ->  (
y  e.  A  ->  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y
) )
7978exlimiv 1730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. w ( ( w  e.  B  ->  -.  v  <P  w )  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  ->  ( y  e.  A  ->  -.  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y
) )
8070, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. w ( w  e.  B  ->  -.  v  <P  w )  /\  E. w ( C  +R  [
<. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  ->  ( y  e.  A  ->  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y ) )
8169, 80sylanb 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  /\  E. w ( C  +R  [
<. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  ->  ( y  e.  A  ->  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y ) )
8281expcom 433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. w ( C  +R  [
<. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  ( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  ->  ( y  e.  A  ->  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y ) ) )
8367, 68, 823syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  P.  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y )  -> 
( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  ->  ( y  e.  A  ->  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y ) ) )
8483impd 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  e.  P.  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y )  -> 
( ( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  /\  y  e.  A )  ->  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y ) )
8584impancom 438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  P.  /\  ( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  /\  y  e.  A )
)  ->  ( ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y  ->  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y ) )
8685pm2.01d 169 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  P.  /\  ( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  /\  y  e.  A )
)  ->  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y )
8786expr 613 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  e.  P.  /\  A. w  e.  B  -.  v  <P  w )  -> 
( y  e.  A  ->  -.  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y
) )
8887ralrimiv 2794 . . . . . . 7  |-  ( ( v  e.  P.  /\  A. w  e.  B  -.  v  <P  w )  ->  A. y  e.  A  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y
)
8988ex 432 . . . . . 6  |-  ( v  e.  P.  ->  ( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  ->  A. y  e.  A  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y
) )
9089adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y 
<R  x )  /\  v  e.  P. )  ->  ( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  ->  A. y  e.  A  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y
) )
91 r19.29 2917 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u )  /\  E. w  e.  P.  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  ->  E. w  e.  P.  ( ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u )  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )
)
92 breq1 4370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <->  y 
<R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  ) ) )
9347, 92syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  ( w  <P  v  <->  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  ) ) )
9493biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  ( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  w  <P  v ) )
95 vex 3037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  u  e. 
_V
96 opeq1 4131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  u  ->  <. w ,  1P >.  =  <. u ,  1P >. )
9796eceq1d 7266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  u  ->  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. u ,  1P >. ]  ~R  )
9897oveq2d 6212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  u  ->  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  ( C  +R  [
<. u ,  1P >. ]  ~R  ) )
9998eleq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  u  ->  (
( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A  <->  ( C  +R  [ <. u ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A )
)
10095, 99, 14elab2 3174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  e.  B  <->  ( C  +R  [ <. u ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A )
101 breq2 4371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  ( C  +R  [
<. u ,  1P >. ]  ~R  )  ->  (
( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  z  <->  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [
<. u ,  1P >. ]  ~R  ) ) )
1021ltpsrpr 9397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [
<. u ,  1P >. ]  ~R  )  <->  w  <P  u )
103101, 102syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( C  +R  [
<. u ,  1P >. ]  ~R  )  ->  (
( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  z  <->  w 
<P  u ) )
104103rspcev 3135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( C  +R  [ <. u ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A  /\  w  <P  u )  ->  E. z  e.  A  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  z )
105100, 104sylanb 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( u  e.  B  /\  w  <P  u )  ->  E. z  e.  A  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  z )
106105rexlimiva 2870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. u  e.  B  w 
<P  u  ->  E. z  e.  A  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R 
z )
107 breq1 4370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  z  <->  y 
<R  z ) )
108107rexbidv 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  ( E. z  e.  A  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  z  <->  E. z  e.  A  y  <R  z ) )
109106, 108syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  ( E. u  e.  B  w  <P  u  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) )
11094, 109imim12d 74 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  ( ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u )  -> 
( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
111110impcom 428 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u )  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  ->  ( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) )
112111rexlimivw 2871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. w  e.  P.  (
( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u )  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  ->  ( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) )
11391, 112syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u )  /\  E. w  e.  P.  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  -> 
( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) )
11466, 113sylan2b 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u )  /\  ( C  +R  -1R )  <R  y )  ->  (
y  <R  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) )
115114ex 432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. w  e.  P.  (
w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u )  ->  ( ( C  +R  -1R )  <R 
y  ->  ( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
116115adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  A  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e. 
P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  ->  ( ( C  +R  -1R )  <R 
y  ->  ( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
117116a1dd 46 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  A  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e. 
P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  ->  ( ( C  +R  -1R )  <R 
y  ->  ( y  e.  R.  ->  ( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) ) )
11835, 36sotri2 5309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  R.  /\  -.  ( C  +R  -1R )  <R  y  /\  ( C  +R  -1R )  <R  C )  ->  y  <R  C )
11934, 118mp3an3 1311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  R.  /\  -.  ( C  +R  -1R )  <R  y )  -> 
y  <R  C )
120 breq2 4371 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  C  ->  (
y  <R  z  <->  y  <R  C ) )
121120rspcev 3135 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  A  /\  y  <R  C )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z )
122121ex 432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  A  ->  (
y  <R  C  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) )
123122a1dd 46 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  A  ->  (
y  <R  C  ->  (
y  <R  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
124119, 123syl5 32 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  A  ->  (
( y  e.  R.  /\ 
-.  ( C  +R  -1R )  <R  y )  ->  ( y  <R 
( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
125124expcomd 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  A  ->  ( -.  ( C  +R  -1R )  <R  y  ->  (
y  e.  R.  ->  ( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) ) )
126125ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  A  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e. 
P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  ->  ( -.  ( C  +R  -1R )  <R 
y  ->  ( y  e.  R.  ->  ( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) ) )
127117, 126pm2.61d 158 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  A  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e. 
P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  ->  ( y  e. 
R.  ->  ( y  <R 
( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
128127ralrimiv 2794 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  A  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e. 
P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  ->  A. y  e.  R.  ( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) )
129128ex 432 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  A  /\  v  e.  P. )  ->  ( A. w  e. 
P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u )  ->  A. y  e.  R.  ( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
130129adantlr 712 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y 
<R  x )  /\  v  e.  P. )  ->  ( A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u )  ->  A. y  e.  R.  ( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
13190, 130anim12d 561 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y 
<R  x )  /\  v  e.  P. )  ->  (
( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  /\  A. w  e. 
P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  ->  ( A. y  e.  A  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R 
( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) ) )
132 breq1 4370 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  (
x  <R  y  <->  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R 
y ) )
133132notbid 292 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  ( -.  x  <R  y  <->  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y ) )
134133ralbidv 2821 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  <->  A. y  e.  A  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y ) )
135 breq2 4371 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  (
y  <R  x  <->  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  ) ) )
136135imbi1d 315 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  (
( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z )  <->  ( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
137136ralbidv 2821 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  ( A. y  e.  R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z )  <->  A. y  e.  R.  ( y  <R 
( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
138134, 137anbi12d 708 . . . . 5  |-  ( x  =  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  (
( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e. 
R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) )  <-> 
( A. y  e.  A  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R 
( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) ) )
139138rspcev 3135 . . . 4  |-  ( ( ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  e.  R.  /\  ( A. y  e.  A  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R 
( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  (
y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
14063, 131, 139syl6an 543 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y 
<R  x )  /\  v  e.  P. )  ->  (
( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  /\  A. w  e. 
P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  (
y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) ) )
141140rexlimdva 2874 . 2  |-  ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  ( E. v  e.  P.  ( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  /\  A. w  e.  P.  (
w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) ) )
14258, 141mpd 15 1  |-  ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367   A.wal 1397    = wceq 1399   E.wex 1620    e. wcel 1826   {cab 2367    =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733   (/)c0 3711   <.cop 3950   class class class wbr 4367  (class class class)co 6196   [cec 7227   P.cnp 9148   1Pc1p 9149    <P cltp 9152    ~R cer 9153   R.cnr 9154   0Rc0r 9155   1Rc1r 9156   -1Rcm1r 9157    +R cplr 9158    <R cltr 9160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-omul 7053  df-er 7229  df-ec 7231  df-qs 7235  df-ni 9161  df-pli 9162  df-mi 9163  df-lti 9164  df-plpq 9197  df-mpq 9198  df-ltpq 9199  df-enq 9200  df-nq 9201  df-erq 9202  df-plq 9203  df-mq 9204  df-1nq 9205  df-rq 9206  df-ltnq 9207  df-np 9270  df-1p 9271  df-plp 9272  df-mp 9273  df-ltp 9274  df-enr 9344  df-nr 9345  df-plr 9346  df-mr 9347  df-ltr 9348  df-0r 9349  df-1r 9350  df-m1r 9351
This theorem is referenced by:  supsr  9400
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