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Theorem supsrlem 9553
Description: Lemma for supremum theorem. (Contributed by NM, 21-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
supsrlem.1  |-  B  =  { w  |  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A }
supsrlem.2  |-  C  e. 
R.
Assertion
Ref Expression
supsrlem  |-  ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, w, A    x, B, y, z, w    x, C, y, z, w

Proof of Theorem supsrlem
Dummy variables  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supsrlem.2 . . . . . . 7  |-  C  e. 
R.
2 0idsr 9539 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  R.  ->  ( C  +R  0R )  =  C )
31, 2mp1i 13 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  ( C  +R  0R )  =  C )
4 simpl 464 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  C  e.  A )
53, 4eqeltrd 2549 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  ( C  +R  0R )  e.  A )
6 1pr 9458 . . . . . . 7  |-  1P  e.  P.
76elexi 3041 . . . . . 6  |-  1P  e.  _V
8 opeq1 4158 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  1P  ->  <. w ,  1P >.  =  <. 1P ,  1P >. )
98eceq1d 7418 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  1P  ->  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R  )
10 df-0r 9503 . . . . . . . . 9  |-  0R  =  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R
119, 10syl6eqr 2523 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  1P  ->  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  =  0R )
1211oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( w  =  1P  ->  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  ( C  +R  0R ) )
1312eleq1d 2533 . . . . . 6  |-  ( w  =  1P  ->  (
( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A  <->  ( C  +R  0R )  e.  A ) )
14 supsrlem.1 . . . . . 6  |-  B  =  { w  |  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A }
157, 13, 14elab2 3176 . . . . 5  |-  ( 1P  e.  B  <->  ( C  +R  0R )  e.  A
)
165, 15sylibr 217 . . . 4  |-  ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  1P  e.  B )
17 ne0i 3728 . . . 4  |-  ( 1P  e.  B  ->  B  =/=  (/) )
1816, 17syl 17 . . 3  |-  ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  B  =/=  (/) )
19 breq1 4398 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  C  ->  (
y  <R  x  <->  C  <R  x ) )
2019rspccv 3133 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  A  y  <R  x  ->  ( C  e.  A  ->  C  <R  x ) )
21 0lt1sr 9537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0R  <R  1R
22 m1r 9524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -1R  e.  R.
23 ltasr 9542 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -1R 
e.  R.  ->  ( 0R 
<R  1R  <->  ( -1R  +R  0R )  <R  ( -1R 
+R  1R ) ) )
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0R 
<R  1R  <->  ( -1R  +R  0R )  <R  ( -1R 
+R  1R ) )
2521, 24mpbi 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -1R 
+R  0R )  <R 
( -1R  +R  1R )
26 0idsr 9539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -1R 
e.  R.  ->  ( -1R 
+R  0R )  =  -1R )
2722, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -1R 
+R  0R )  =  -1R
28 m1p1sr 9534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -1R 
+R  1R )  =  0R
2925, 27, 283brtr3i 4423 . . . . . . . . . . 11  |-  -1R  <R  0R
30 ltasr 9542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  R.  ->  ( -1R  <R  0R  <->  ( C  +R  -1R )  <R  ( C  +R  0R ) ) )
311, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -1R 
<R  0R  <->  ( C  +R  -1R )  <R  ( C  +R  0R ) )
3229, 31mpbi 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  +R  -1R )  <R 
( C  +R  0R )
331, 2ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  +R  0R )  =  C
3432, 33breqtri 4419 . . . . . . . . 9  |-  ( C  +R  -1R )  <R  C
35 ltsosr 9536 . . . . . . . . . 10  |-  <R  Or  R.
36 ltrelsr 9510 . . . . . . . . . 10  |-  <R  C_  ( R.  X.  R. )
3735, 36sotri 5233 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  +R  -1R )  <R  C  /\  C  <R  x )  ->  ( C  +R  -1R )  <R  x )
3834, 37mpan 684 . . . . . . . 8  |-  ( C 
<R  x  ->  ( C  +R  -1R )  <R  x )
391map2psrpr 9552 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  +R  -1R )  <R  x  <->  E. v  e.  P.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  =  x )
4038, 39sylib 201 . . . . . . 7  |-  ( C 
<R  x  ->  E. v  e.  P.  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  =  x )
4120, 40syl6 33 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  y  <R  x  ->  ( C  e.  A  ->  E. v  e.  P.  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  =  x ) )
42 breq2 4399 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  =  x  ->  ( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <->  y  <R  x ) )
4342ralbidv 2829 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  =  x  ->  ( A. y  e.  A  y  <R  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  <->  A. y  e.  A  y  <R  x ) )
4414abeq2i 2583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  B  <->  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A )
45 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( C  +R  [
<. w ,  1P >. ]  ~R  )  ->  (
y  <R  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  <->  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R 
( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  ) ) )
4645rspccv 3133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  A  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  (
( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A  ->  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
) )
471ltpsrpr 9551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  <->  w  <P  v )
4846, 47syl6ib 234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  A  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  (
( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A  ->  w  <P  v )
)
4944, 48syl5bi 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  A  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  (
w  e.  B  ->  w  <P  v ) )
5049ralrimiv 2808 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  A  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  A. w  e.  B  w  <P  v )
5143, 50syl6bir 237 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  =  x  ->  ( A. y  e.  A  y  <R  x  ->  A. w  e.  B  w  <P  v ) )
5251com12 31 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  A  y  <R  x  ->  ( ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  =  x  ->  A. w  e.  B  w  <P  v ) )
5352reximdv 2857 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  y  <R  x  ->  ( E. v  e.  P.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  =  x  ->  E. v  e.  P.  A. w  e.  B  w  <P  v
) )
5441, 53syld 44 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  A  y  <R  x  ->  ( C  e.  A  ->  E. v  e.  P.  A. w  e.  B  w  <P  v
) )
5554rexlimivw 2869 . . . 4  |-  ( E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x  ->  ( C  e.  A  ->  E. v  e.  P.  A. w  e.  B  w  <P  v
) )
5655impcom 437 . . 3  |-  ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  E. v  e.  P.  A. w  e.  B  w  <P  v
)
57 supexpr 9497 . . 3  |-  ( ( B  =/=  (/)  /\  E. v  e.  P.  A. w  e.  B  w  <P  v )  ->  E. v  e.  P.  ( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) ) )
5818, 56, 57syl2anc 673 . 2  |-  ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  E. v  e.  P.  ( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) ) )
591mappsrpr 9550 . . . . . . 7  |-  ( ( C  +R  -1R )  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <->  v  e.  P. )
6036brel 4888 . . . . . . 7  |-  ( ( C  +R  -1R )  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  (
( C  +R  -1R )  e.  R.  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  e.  R. ) )
6159, 60sylbir 218 . . . . . 6  |-  ( v  e.  P.  ->  (
( C  +R  -1R )  e.  R.  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  e.  R. ) )
6261simprd 470 . . . . 5  |-  ( v  e.  P.  ->  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  e.  R. )
6362adantl 473 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y 
<R  x )  /\  v  e.  P. )  ->  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  e.  R. )
6435, 36sotri 5233 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( C  +R  -1R )  <R  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y )  ->  ( C  +R  -1R )  <R 
y )
6559, 64sylanbr 481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  P.  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y )  -> 
( C  +R  -1R )  <R  y )
661map2psrpr 9552 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  +R  -1R )  <R  y  <->  E. w  e.  P.  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )
6765, 66sylib 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  P.  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y )  ->  E. w  e.  P.  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )
68 rexex 2843 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. w  e.  P.  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  E. w
( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )
69 df-ral 2761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  <->  A. w
( w  e.  B  ->  -.  v  <P  w
) )
70 19.29 1743 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. w ( w  e.  B  ->  -.  v  <P  w )  /\  E. w ( C  +R  [
<. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  ->  E. w
( ( w  e.  B  ->  -.  v  <P  w )  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y ) )
71 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A  <->  y  e.  A ) )
7244, 71syl5bb 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  ( w  e.  B  <->  y  e.  A ) )
731ltpsrpr 9551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [
<. w ,  1P >. ]  ~R  )  <->  v  <P  w )
74 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  ( ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <->  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y ) )
7573, 74syl5bbr 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  ( v  <P  w  <->  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R 
y ) )
7675notbid 301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  ( -.  v  <P  w  <->  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y
) )
7772, 76imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  ( ( w  e.  B  ->  -.  v  <P  w
)  <->  ( y  e.  A  ->  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y ) ) )
7877biimpac 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( w  e.  B  ->  -.  v  <P  w
)  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  ->  (
y  e.  A  ->  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y
) )
7978exlimiv 1784 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. w ( ( w  e.  B  ->  -.  v  <P  w )  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  ->  ( y  e.  A  ->  -.  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y
) )
8070, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. w ( w  e.  B  ->  -.  v  <P  w )  /\  E. w ( C  +R  [
<. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  ->  ( y  e.  A  ->  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y ) )
8169, 80sylanb 480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  /\  E. w ( C  +R  [
<. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  ->  ( y  e.  A  ->  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y ) )
8281expcom 442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. w ( C  +R  [
<. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  ( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  ->  ( y  e.  A  ->  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y ) ) )
8367, 68, 823syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  P.  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y )  -> 
( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  ->  ( y  e.  A  ->  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y ) ) )
8483impd 438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  e.  P.  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y )  -> 
( ( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  /\  y  e.  A )  ->  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y ) )
8584impancom 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  P.  /\  ( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  /\  y  e.  A )
)  ->  ( ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y  ->  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y ) )
8685pm2.01d 174 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  P.  /\  ( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  /\  y  e.  A )
)  ->  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y )
8786expr 626 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  e.  P.  /\  A. w  e.  B  -.  v  <P  w )  -> 
( y  e.  A  ->  -.  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y
) )
8887ralrimiv 2808 . . . . . . 7  |-  ( ( v  e.  P.  /\  A. w  e.  B  -.  v  <P  w )  ->  A. y  e.  A  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y
)
8988ex 441 . . . . . 6  |-  ( v  e.  P.  ->  ( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  ->  A. y  e.  A  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y
) )
9089adantl 473 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y 
<R  x )  /\  v  e.  P. )  ->  ( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  ->  A. y  e.  A  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y
) )
91 r19.29 2912 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u )  /\  E. w  e.  P.  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  ->  E. w  e.  P.  ( ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u )  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )
)
92 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <->  y 
<R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  ) ) )
9347, 92syl5bbr 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  ( w  <P  v  <->  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  ) ) )
9493biimprd 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  ( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  w  <P  v ) )
95 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  u  e. 
_V
96 opeq1 4158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  u  ->  <. w ,  1P >.  =  <. u ,  1P >. )
9796eceq1d 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  u  ->  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. u ,  1P >. ]  ~R  )
9897oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  u  ->  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  ( C  +R  [
<. u ,  1P >. ]  ~R  ) )
9998eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  u  ->  (
( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A  <->  ( C  +R  [ <. u ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A )
)
10095, 99, 14elab2 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  e.  B  <->  ( C  +R  [ <. u ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A )
101 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  ( C  +R  [
<. u ,  1P >. ]  ~R  )  ->  (
( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  z  <->  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [
<. u ,  1P >. ]  ~R  ) ) )
1021ltpsrpr 9551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [
<. u ,  1P >. ]  ~R  )  <->  w  <P  u )
103101, 102syl6bb 269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( C  +R  [
<. u ,  1P >. ]  ~R  )  ->  (
( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  z  <->  w 
<P  u ) )
104103rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( C  +R  [ <. u ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A  /\  w  <P  u )  ->  E. z  e.  A  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  z )
105100, 104sylanb 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( u  e.  B  /\  w  <P  u )  ->  E. z  e.  A  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  z )
106105rexlimiva 2868 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. u  e.  B  w 
<P  u  ->  E. z  e.  A  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R 
z )
107 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  z  <->  y 
<R  z ) )
108107rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  ( E. z  e.  A  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  z  <->  E. z  e.  A  y  <R  z ) )
109106, 108syl5ib 227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  ( E. u  e.  B  w  <P  u  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) )
11094, 109imim12d 76 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y  ->  ( ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u )  -> 
( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
111110impcom 437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u )  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  ->  ( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) )
112111rexlimivw 2869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. w  e.  P.  (
( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u )  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  ->  ( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) )
11391, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u )  /\  E. w  e.  P.  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  -> 
( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) )
11466, 113sylan2b 483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u )  /\  ( C  +R  -1R )  <R  y )  ->  (
y  <R  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) )
115114ex 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. w  e.  P.  (
w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u )  ->  ( ( C  +R  -1R )  <R 
y  ->  ( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
116115adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  A  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e. 
P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  ->  ( ( C  +R  -1R )  <R 
y  ->  ( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
117116a1dd 46 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  A  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e. 
P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  ->  ( ( C  +R  -1R )  <R 
y  ->  ( y  e.  R.  ->  ( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) ) )
11835, 36sotri2 5235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  R.  /\  -.  ( C  +R  -1R )  <R  y  /\  ( C  +R  -1R )  <R  C )  ->  y  <R  C )
11934, 118mp3an3 1379 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  R.  /\  -.  ( C  +R  -1R )  <R  y )  -> 
y  <R  C )
120 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  C  ->  (
y  <R  z  <->  y  <R  C ) )
121120rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  A  /\  y  <R  C )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z )
122121ex 441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  A  ->  (
y  <R  C  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) )
123122a1dd 46 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  A  ->  (
y  <R  C  ->  (
y  <R  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
124119, 123syl5 32 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  A  ->  (
( y  e.  R.  /\ 
-.  ( C  +R  -1R )  <R  y )  ->  ( y  <R 
( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
125124expcomd 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  A  ->  ( -.  ( C  +R  -1R )  <R  y  ->  (
y  e.  R.  ->  ( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) ) )
126125ad2antrr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  A  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e. 
P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  ->  ( -.  ( C  +R  -1R )  <R 
y  ->  ( y  e.  R.  ->  ( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) ) )
127117, 126pm2.61d 163 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  A  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e. 
P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  ->  ( y  e. 
R.  ->  ( y  <R 
( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
128127ralrimiv 2808 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  A  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e. 
P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  ->  A. y  e.  R.  ( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) )
129128ex 441 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  A  /\  v  e.  P. )  ->  ( A. w  e. 
P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u )  ->  A. y  e.  R.  ( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
130129adantlr 729 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y 
<R  x )  /\  v  e.  P. )  ->  ( A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u )  ->  A. y  e.  R.  ( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
13190, 130anim12d 572 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y 
<R  x )  /\  v  e.  P. )  ->  (
( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  /\  A. w  e. 
P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  ->  ( A. y  e.  A  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R 
( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) ) )
132 breq1 4398 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  (
x  <R  y  <->  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R 
y ) )
133132notbid 301 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  ( -.  x  <R  y  <->  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y ) )
134133ralbidv 2829 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  <->  A. y  e.  A  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y ) )
135 breq2 4399 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  (
y  <R  x  <->  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  ) ) )
136135imbi1d 324 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  (
( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z )  <->  ( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
137136ralbidv 2829 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  ( A. y  e.  R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z )  <->  A. y  e.  R.  ( y  <R 
( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
138134, 137anbi12d 725 . . . . 5  |-  ( x  =  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  (
( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e. 
R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) )  <-> 
( A. y  e.  A  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R 
( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) ) )
139138rspcev 3136 . . . 4  |-  ( ( ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  e.  R.  /\  ( A. y  e.  A  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R 
( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  (
y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
14063, 131, 139syl6an 554 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y 
<R  x )  /\  v  e.  P. )  ->  (
( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  /\  A. w  e. 
P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  (
y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) ) )
141140rexlimdva 2871 . 2  |-  ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  ( E. v  e.  P.  ( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  /\  A. w  e.  P.  (
w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) ) )
14258, 141mpd 15 1  |-  ( ( C  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376   A.wal 1450    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   {cab 2457    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   (/)c0 3722   <.cop 3965   class class class wbr 4395  (class class class)co 6308   [cec 7379   P.cnp 9302   1Pc1p 9303    <P cltp 9306    ~R cer 9307   R.cnr 9308   0Rc0r 9309   1Rc1r 9310   -1Rcm1r 9311    +R cplr 9312    <R cltr 9314
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-ec 7383  df-qs 7387  df-ni 9315  df-pli 9316  df-mi 9317  df-lti 9318  df-plpq 9351  df-mpq 9352  df-ltpq 9353  df-enq 9354  df-nq 9355  df-erq 9356  df-plq 9357  df-mq 9358  df-1nq 9359  df-rq 9360  df-ltnq 9361  df-np 9424  df-1p 9425  df-plp 9426  df-mp 9427  df-ltp 9428  df-enr 9498  df-nr 9499  df-plr 9500  df-mr 9501  df-ltr 9502  df-0r 9503  df-1r 9504  df-m1r 9505
This theorem is referenced by:  supsr  9554
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