Theorem supsrlem 9553

Description: Lemma for supremum theorem. (Contributed by NM, 21-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
supsrlem.1	|- B = { w | ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A }
supsrlem.2	|- C e. R.

Assertion

Ref	Expression
supsrlem	|- ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> E. x e. R. ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, w, A   x, B, y, z, w   x, C, y, z, w

Proof of Theorem supsrlem

Dummy variables v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supsrlem.2	. . . . . . 7 |- C e. R.
2		0idsr 9539	. . . . . . 7 |- ( C e. R. -> ( C +R 0R ) = C )
3	1, 2	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> ( C +R 0R ) = C )
4		simpl 464	. . . . . 6 |- ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> C e. A )
5	3, 4	eqeltrd 2549	. . . . 5 |- ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> ( C +R 0R ) e. A )
6		1pr 9458	. . . . . . 7 |- 1P e. P.
7	6	elexi 3041	. . . . . 6 |- 1P e. _V
8		opeq1 4158	. . . . . . . . . 10 |- ( w = 1P -> <. w , 1P >. = <. 1P , 1P >. )
9	8	eceq1d 7418	. . . . . . . . 9 |- ( w = 1P -> [ <. w , 1P >. ] ~R = [ <. 1P , 1P >. ] ~R )
10		df-0r 9503	. . . . . . . . 9 |- 0R = [ <. 1P , 1P >. ] ~R
11	9, 10	syl6eqr 2523	. . . . . . . 8 |- ( w = 1P -> [ <. w , 1P >. ] ~R = 0R )
12	11	oveq2d 6324	. . . . . . 7 |- ( w = 1P -> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = ( C +R 0R ) )
13	12	eleq1d 2533	. . . . . 6 |- ( w = 1P -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A <-> ( C +R 0R ) e. A ) )
14		supsrlem.1	. . . . . 6 |- B = { w | ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A }
15	7, 13, 14	elab2 3176	. . . . 5 |- ( 1P e. B <-> ( C +R 0R ) e. A )
16	5, 15	sylibr 217	. . . 4 |- ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> 1P e. B )
17		ne0i 3728	. . . 4 |- ( 1P e. B -> B =/= (/) )
18	16, 17	syl 17	. . 3 |- ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> B =/= (/) )
19		breq1 4398	. . . . . . . 8 |- ( y = C -> ( y <R x <-> C <R x ) )
20	19	rspccv 3133	. . . . . . 7 |- ( A. y e. A y <R x -> ( C e. A -> C <R x ) )
21		0lt1sr 9537	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0R <R 1R
22		m1r 9524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -1R e. R.
23		ltasr 9542	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -1R e. R. -> ( 0R <R 1R <-> ( -1R +R 0R ) <R ( -1R +R 1R ) ) )
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0R <R 1R <-> ( -1R +R 0R ) <R ( -1R +R 1R ) )
25	21, 24	mpbi 213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -1R +R 0R ) <R ( -1R +R 1R )
26		0idsr 9539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -1R e. R. -> ( -1R +R 0R ) = -1R )
27	22, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -1R +R 0R ) = -1R
28		m1p1sr 9534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -1R +R 1R ) = 0R
29	25, 27, 28	3brtr3i 4423	. . . . . . . . . . 11 |- -1R <R 0R
30		ltasr 9542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. R. -> ( -1R <R 0R <-> ( C +R -1R ) <R ( C +R 0R ) ) )
31	1, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( -1R <R 0R <-> ( C +R -1R ) <R ( C +R 0R ) )
32	29, 31	mpbi 213	. . . . . . . . . 10 |- ( C +R -1R ) <R ( C +R 0R )
33	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( C +R 0R ) = C
34	32, 33	breqtri 4419	. . . . . . . . 9 |- ( C +R -1R ) <R C
35		ltsosr 9536	. . . . . . . . . 10 |- <R Or R.
36		ltrelsr 9510	. . . . . . . . . 10 |- <R C_ ( R. X. R. )
37	35, 36	sotri 5233	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C +R -1R ) <R C /\ C <R x ) -> ( C +R -1R ) <R x )
38	34, 37	mpan 684	. . . . . . . 8 |- ( C <R x -> ( C +R -1R ) <R x )
39	1	map2psrpr 9552	. . . . . . . 8 |- ( ( C +R -1R ) <R x <-> E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x )
40	38, 39	sylib 201	. . . . . . 7 |- ( C <R x -> E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x )
41	20, 40	syl6 33	. . . . . 6 |- ( A. y e. A y <R x -> ( C e. A -> E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) )
42		breq2 4399	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> y <R x ) )
43	42	ralbidv 2829	. . . . . . . . 9 |- ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x -> ( A. y e. A y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> A. y e. A y <R x ) )
44	14	abeq2i 2583	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. B <-> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A )
45		breq1 4398	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
46	45	rspccv 3133	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. A y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A -> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
47	1	ltpsrpr 9551	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> w <P v )
48	46, 47	syl6ib 234	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y e. A y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A -> w <P v ) )
49	44, 48	syl5bi 225	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. A y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> ( w e. B -> w <P v ) )
50	49	ralrimiv 2808	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. A y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> A. w e. B w <P v )
51	43, 50	syl6bir 237	. . . . . . . 8 |- ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x -> ( A. y e. A y <R x -> A. w e. B w <P v ) )
52	51	com12 31	. . . . . . 7 |- ( A. y e. A y <R x -> ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x -> A. w e. B w <P v ) )
53	52	reximdv 2857	. . . . . 6 |- ( A. y e. A y <R x -> ( E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x -> E. v e. P. A. w e. B w <P v ) )
54	41, 53	syld 44	. . . . 5 |- ( A. y e. A y <R x -> ( C e. A -> E. v e. P. A. w e. B w <P v ) )
55	54	rexlimivw 2869	. . . 4 |- ( E. x e. R. A. y e. A y <R x -> ( C e. A -> E. v e. P. A. w e. B w <P v ) )
56	55	impcom 437	. . 3 |- ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> E. v e. P. A. w e. B w <P v )
57		supexpr 9497	. . 3 |- ( ( B =/= (/) /\ E. v e. P. A. w e. B w <P v ) -> E. v e. P. ( A. w e. B -. v <P w /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) )
58	18, 56, 57	syl2anc 673	. 2 |- ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> E. v e. P. ( A. w e. B -. v <P w /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) )
59	1	mappsrpr 9550	. . . . . . 7 |- ( ( C +R -1R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> v e. P. )
60	36	brel 4888	. . . . . . 7 |- ( ( C +R -1R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> ( ( C +R -1R ) e. R. /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) e. R. ) )
61	59, 60	sylbir 218	. . . . . 6 |- ( v e. P. -> ( ( C +R -1R ) e. R. /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) e. R. ) )
62	61	simprd 470	. . . . 5 |- ( v e. P. -> ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) e. R. )
63	62	adantl 473	. . . 4 |- ( ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) -> ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) e. R. )
64	35, 36	sotri 5233	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( C +R -1R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) -> ( C +R -1R ) <R y )
65	59, 64	sylanbr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. P. /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) -> ( C +R -1R ) <R y )
66	1	map2psrpr 9552	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C +R -1R ) <R y <-> E. w e. P. ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y )
67	65, 66	sylib 201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. P. /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) -> E. w e. P. ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y )
68		rexex 2843	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. w e. P. ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> E. w ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y )
69		df-ral 2761	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. w e. B -. v <P w <-> A. w ( w e. B -> -. v <P w ) )
70		19.29 1743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A. w ( w e. B -> -. v <P w ) /\ E. w ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y ) -> E. w ( ( w e. B -> -. v <P w ) /\ ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y ) )
71		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A <-> y e. A ) )
72	44, 71	syl5bb 265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( w e. B <-> y e. A ) )
73	1	ltpsrpr 9551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <-> v <P w )
74		breq2 4399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <-> ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
75	73, 74	syl5bbr 267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( v <P w <-> ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
76	75	notbid 301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( -. v <P w <-> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
77	72, 76	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( ( w e. B -> -. v <P w ) <-> ( y e. A -> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) ) )
78	77	biimpac 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( w e. B -> -. v <P w ) /\ ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y ) -> ( y e. A -> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
79	78	exlimiv 1784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. w ( ( w e. B -> -. v <P w ) /\ ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y ) -> ( y e. A -> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
80	70, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A. w ( w e. B -> -. v <P w ) /\ E. w ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y ) -> ( y e. A -> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
81	69, 80	sylanb 480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. w e. B -. v <P w /\ E. w ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y ) -> ( y e. A -> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
82	81	expcom 442	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. w ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( A. w e. B -. v <P w -> ( y e. A -> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) ) )
83	67, 68, 82	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. P. /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) -> ( A. w e. B -. v <P w -> ( y e. A -> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) ) )
84	83	impd 438	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v e. P. /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) -> ( ( A. w e. B -. v <P w /\ y e. A ) -> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
85	84	impancom 447	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. P. /\ ( A. w e. B -. v <P w /\ y e. A ) ) -> ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y -> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
86	85	pm2.01d 174	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. P. /\ ( A. w e. B -. v <P w /\ y e. A ) ) -> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y )
87	86	expr 626	. . . . . . . 8 |- ( ( v e. P. /\ A. w e. B -. v <P w ) -> ( y e. A -> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
88	87	ralrimiv 2808	. . . . . . 7 |- ( ( v e. P. /\ A. w e. B -. v <P w ) -> A. y e. A -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y )
89	88	ex 441	. . . . . 6 |- ( v e. P. -> ( A. w e. B -. v <P w -> A. y e. A -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
90	89	adantl 473	. . . . 5 |- ( ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) -> ( A. w e. B -. v <P w -> A. y e. A -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
91		r19.29 2912	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) /\ E. w e. P. ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y ) -> E. w e. P. ( ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) /\ ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y ) )
92		breq1 4398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
93	47, 92	syl5bbr 267	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( w <P v <-> y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
94	93	biimprd 231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> w <P v ) )
95		vex 3034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- u e. _V
96		opeq1 4158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( w = u -> <. w , 1P >. = <. u , 1P >. )
97	96	eceq1d 7418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w = u -> [ <. w , 1P >. ] ~R = [ <. u , 1P >. ] ~R )
98	97	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w = u -> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = ( C +R [ <. u , 1P >. ] ~R ) )
99	98	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w = u -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A <-> ( C +R [ <. u , 1P >. ] ~R ) e. A ) )
100	95, 99, 14	elab2 3176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( u e. B <-> ( C +R [ <. u , 1P >. ] ~R ) e. A )
101		breq2 4399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = ( C +R [ <. u , 1P >. ] ~R ) -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R z <-> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. u , 1P >. ] ~R ) ) )
102	1	ltpsrpr 9551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. u , 1P >. ] ~R ) <-> w <P u )
103	101, 102	syl6bb 269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = ( C +R [ <. u , 1P >. ] ~R ) -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R z <-> w <P u ) )
104	103	rspcev 3136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( C +R [ <. u , 1P >. ] ~R ) e. A /\ w <P u ) -> E. z e. A ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R z )
105	100, 104	sylanb 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( u e. B /\ w <P u ) -> E. z e. A ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R z )
106	105	rexlimiva 2868	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E. u e. B w <P u -> E. z e. A ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R z )
107		breq1 4398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R z <-> y <R z ) )
108	107	rexbidv 2892	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( E. z e. A ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R z <-> E. z e. A y <R z ) )
109	106, 108	syl5ib 227	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( E. u e. B w <P u -> E. z e. A y <R z ) )
110	94, 109	imim12d 76	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) )
111	110	impcom 437	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) /\ ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y ) -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) )
112	111	rexlimivw 2869	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. w e. P. ( ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) /\ ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y ) -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) )
113	91, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) /\ E. w e. P. ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y ) -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) )
114	66, 113	sylan2b 483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) /\ ( C +R -1R ) <R y ) -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) )
115	114	ex 441	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) -> ( ( C +R -1R ) <R y -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) )
116	115	adantl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. A /\ v e. P. ) /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) -> ( ( C +R -1R ) <R y -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) )
117	116	a1dd 46	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. A /\ v e. P. ) /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) -> ( ( C +R -1R ) <R y -> ( y e. R. -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) ) )
118	35, 36	sotri2 5235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. R. /\ -. ( C +R -1R ) <R y /\ ( C +R -1R ) <R C ) -> y <R C )
119	34, 118	mp3an3 1379	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. R. /\ -. ( C +R -1R ) <R y ) -> y <R C )
120		breq2 4399	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = C -> ( y <R z <-> y <R C ) )
121	120	rspcev 3136	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C e. A /\ y <R C ) -> E. z e. A y <R z )
122	121	ex 441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. A -> ( y <R C -> E. z e. A y <R z ) )
123	122	a1dd 46	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. A -> ( y <R C -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) )
124	119, 123	syl5 32	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. A -> ( ( y e. R. /\ -. ( C +R -1R ) <R y ) -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) )
125	124	expcomd 445	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. A -> ( -. ( C +R -1R ) <R y -> ( y e. R. -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) ) )
126	125	ad2antrr 740	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. A /\ v e. P. ) /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) -> ( -. ( C +R -1R ) <R y -> ( y e. R. -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) ) )
127	117, 126	pm2.61d 163	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. A /\ v e. P. ) /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) -> ( y e. R. -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) )
128	127	ralrimiv 2808	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. A /\ v e. P. ) /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) -> A. y e. R. ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) )
129	128	ex 441	. . . . . 6 |- ( ( C e. A /\ v e. P. ) -> ( A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) -> A. y e. R. ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) )
130	129	adantlr 729	. . . . 5 |- ( ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) -> ( A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) -> A. y e. R. ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) )
131	90, 130	anim12d 572	. . . 4 |- ( ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) -> ( ( A. w e. B -. v <P w /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) -> ( A. y e. A -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y /\ A. y e. R. ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) ) )
132		breq1 4398	. . . . . . . 8 |- ( x = ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> ( x <R y <-> ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
133	132	notbid 301	. . . . . . 7 |- ( x = ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> ( -. x <R y <-> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
134	133	ralbidv 2829	. . . . . 6 |- ( x = ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> ( A. y e. A -. x <R y <-> A. y e. A -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
135		breq2 4399	. . . . . . . 8 |- ( x = ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> ( y <R x <-> y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
136	135	imbi1d 324	. . . . . . 7 |- ( x = ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> ( ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) <-> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) )
137	136	ralbidv 2829	. . . . . 6 |- ( x = ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> ( A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) <-> A. y e. R. ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) )
138	134, 137	anbi12d 725	. . . . 5 |- ( x = ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> ( ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) <-> ( A. y e. A -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y /\ A. y e. R. ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) ) )
139	138	rspcev 3136	. . . 4 |- ( ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) e. R. /\ ( A. y e. A -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y /\ A. y e. R. ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) ) -> E. x e. R. ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) )
140	63, 131, 139	syl6an 554	. . 3 |- ( ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) -> ( ( A. w e. B -. v <P w /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) -> E. x e. R. ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) ) )
141	140	rexlimdva 2871	. 2 |- ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> ( E. v e. P. ( A. w e. B -. v <P w /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) -> E. x e. R. ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) ) )
142	58, 141	mpd 15	1 |- ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> E. x e. R. ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   A.wal 1450   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   {cab 2457   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   (/)c0 3722   <.cop 3965   class class class wbr 4395  (class class class)co 6308   [cec 7379   P.cnp 9302   1Pc1p 9303   <P cltp 9306   ~R cer 9307   R.cnr 9308   0Rc0r 9309   1Rc1r 9310   -1Rcm1r 9311   +R cplr 9312   <R cltr 9314

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-ec 7383  df-qs 7387  df-ni 9315  df-pli 9316  df-mi 9317  df-lti 9318  df-plpq 9351  df-mpq 9352  df-ltpq 9353  df-enq 9354  df-nq 9355  df-erq 9356  df-plq 9357  df-mq 9358  df-1nq 9359  df-rq 9360  df-ltnq 9361  df-np 9424  df-1p 9425  df-plp 9426  df-mp 9427  df-ltp 9428  df-enr 9498  df-nr 9499  df-plr 9500  df-mr 9501  df-ltr 9502  df-0r 9503  df-1r 9504  df-m1r 9505

This theorem is referenced by:  supsr  9554