Theorem supsrlem 9281

Description: Lemma for supremum theorem. (Contributed by NM, 21-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
supsrlem.1	|- B = { w | ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A }
supsrlem.2	|- C e. R.

Assertion

Ref	Expression
supsrlem	|- ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> E. x e. R. ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, w, A   x, B, y, z, w   x, C, y, z, w

Proof of Theorem supsrlem

Dummy variables v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supsrlem.2	. . . . . . 7 |- C e. R.
2		0idsr 9267	. . . . . . 7 |- ( C e. R. -> ( C +R 0R ) = C )
3	1, 2	mp1i 12	. . . . . 6 |- ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> ( C +R 0R ) = C )
4		simpl 457	. . . . . 6 |- ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> C e. A )
5	3, 4	eqeltrd 2517	. . . . 5 |- ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> ( C +R 0R ) e. A )
6		1pr 9187	. . . . . . 7 |- 1P e. P.
7	6	elexi 2985	. . . . . 6 |- 1P e. _V
8		opeq1 4062	. . . . . . . . . 10 |- ( w = 1P -> <. w , 1P >. = <. 1P , 1P >. )
9		eceq1 7140	. . . . . . . . . 10 |- ( <. w , 1P >. = <. 1P , 1P >. -> [ <. w , 1P >. ] ~R = [ <. 1P , 1P >. ] ~R )
10	8, 9	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( w = 1P -> [ <. w , 1P >. ] ~R = [ <. 1P , 1P >. ] ~R )
11		df-0r 9234	. . . . . . . . 9 |- 0R = [ <. 1P , 1P >. ] ~R
12	10, 11	syl6eqr 2493	. . . . . . . 8 |- ( w = 1P -> [ <. w , 1P >. ] ~R = 0R )
13	12	oveq2d 6110	. . . . . . 7 |- ( w = 1P -> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = ( C +R 0R ) )
14	13	eleq1d 2509	. . . . . 6 |- ( w = 1P -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A <-> ( C +R 0R ) e. A ) )
15		supsrlem.1	. . . . . 6 |- B = { w | ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A }
16	7, 14, 15	elab2 3112	. . . . 5 |- ( 1P e. B <-> ( C +R 0R ) e. A )
17	5, 16	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> 1P e. B )
18		ne0i 3646	. . . 4 |- ( 1P e. B -> B =/= (/) )
19	17, 18	syl 16	. . 3 |- ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> B =/= (/) )
20		breq1 4298	. . . . . . . 8 |- ( y = C -> ( y <R x <-> C <R x ) )
21	20	rspccv 3073	. . . . . . 7 |- ( A. y e. A y <R x -> ( C e. A -> C <R x ) )
22		0lt1sr 9265	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0R <R 1R
23		m1r 9252	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -1R e. R.
24		ltasr 9270	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -1R e. R. -> ( 0R <R 1R <-> ( -1R +R 0R ) <R ( -1R +R 1R ) ) )
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0R <R 1R <-> ( -1R +R 0R ) <R ( -1R +R 1R ) )
26	22, 25	mpbi 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -1R +R 0R ) <R ( -1R +R 1R )
27		0idsr 9267	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -1R e. R. -> ( -1R +R 0R ) = -1R )
28	23, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -1R +R 0R ) = -1R
29		m1p1sr 9262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -1R +R 1R ) = 0R
30	26, 28, 29	3brtr3i 4322	. . . . . . . . . . 11 |- -1R <R 0R
31		ltasr 9270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. R. -> ( -1R <R 0R <-> ( C +R -1R ) <R ( C +R 0R ) ) )
32	1, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( -1R <R 0R <-> ( C +R -1R ) <R ( C +R 0R ) )
33	30, 32	mpbi 208	. . . . . . . . . 10 |- ( C +R -1R ) <R ( C +R 0R )
34	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( C +R 0R ) = C
35	33, 34	breqtri 4318	. . . . . . . . 9 |- ( C +R -1R ) <R C
36		ltsosr 9264	. . . . . . . . . 10 |- <R Or R.
37		ltrelsr 9241	. . . . . . . . . 10 |- <R C_ ( R. X. R. )
38	36, 37	sotri 5228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C +R -1R ) <R C /\ C <R x ) -> ( C +R -1R ) <R x )
39	35, 38	mpan 670	. . . . . . . 8 |- ( C <R x -> ( C +R -1R ) <R x )
40	1	map2psrpr 9280	. . . . . . . 8 |- ( ( C +R -1R ) <R x <-> E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x )
41	39, 40	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( C <R x -> E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x )
42	21, 41	syl6 33	. . . . . 6 |- ( A. y e. A y <R x -> ( C e. A -> E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) )
43		breq2 4299	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> y <R x ) )
44	43	ralbidv 2738	. . . . . . . . 9 |- ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x -> ( A. y e. A y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> A. y e. A y <R x ) )
45	15	abeq2i 2553	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. B <-> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A )
46		breq1 4298	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
47	46	rspccv 3073	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. A y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A -> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
48	1	ltpsrpr 9279	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> w <P v )
49	47, 48	syl6ib 226	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y e. A y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A -> w <P v ) )
50	45, 49	syl5bi 217	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. A y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> ( w e. B -> w <P v ) )
51	50	ralrimiv 2801	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. A y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> A. w e. B w <P v )
52	44, 51	syl6bir 229	. . . . . . . 8 |- ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x -> ( A. y e. A y <R x -> A. w e. B w <P v ) )
53	52	com12 31	. . . . . . 7 |- ( A. y e. A y <R x -> ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x -> A. w e. B w <P v ) )
54	53	reximdv 2830	. . . . . 6 |- ( A. y e. A y <R x -> ( E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x -> E. v e. P. A. w e. B w <P v ) )
55	42, 54	syld 44	. . . . 5 |- ( A. y e. A y <R x -> ( C e. A -> E. v e. P. A. w e. B w <P v ) )
56	55	rexlimivw 2840	. . . 4 |- ( E. x e. R. A. y e. A y <R x -> ( C e. A -> E. v e. P. A. w e. B w <P v ) )
57	56	impcom 430	. . 3 |- ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> E. v e. P. A. w e. B w <P v )
58		supexpr 9226	. . 3 |- ( ( B =/= (/) /\ E. v e. P. A. w e. B w <P v ) -> E. v e. P. ( A. w e. B -. v <P w /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) )
59	19, 57, 58	syl2anc 661	. 2 |- ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> E. v e. P. ( A. w e. B -. v <P w /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) )
60	1	mappsrpr 9278	. . . . . . 7 |- ( ( C +R -1R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> v e. P. )
61	37	brel 4890	. . . . . . 7 |- ( ( C +R -1R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> ( ( C +R -1R ) e. R. /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) e. R. ) )
62	60, 61	sylbir 213	. . . . . 6 |- ( v e. P. -> ( ( C +R -1R ) e. R. /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) e. R. ) )
63	62	simprd 463	. . . . 5 |- ( v e. P. -> ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) e. R. )
64	63	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) -> ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) e. R. )
65	36, 37	sotri 5228	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( C +R -1R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) -> ( C +R -1R ) <R y )
66	60, 65	sylanbr 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. P. /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) -> ( C +R -1R ) <R y )
67	1	map2psrpr 9280	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C +R -1R ) <R y <-> E. w e. P. ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y )
68	66, 67	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. P. /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) -> E. w e. P. ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y )
69		rexex 2778	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. w e. P. ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> E. w ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y )
70		df-ral 2723	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. w e. B -. v <P w <-> A. w ( w e. B -> -. v <P w ) )
71		19.29 1650	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A. w ( w e. B -> -. v <P w ) /\ E. w ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y ) -> E. w ( ( w e. B -> -. v <P w ) /\ ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y ) )
72		eleq1 2503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A <-> y e. A ) )
73	45, 72	syl5bb 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( w e. B <-> y e. A ) )
74	1	ltpsrpr 9279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <-> v <P w )
75		breq2 4299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <-> ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
76	74, 75	syl5bbr 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( v <P w <-> ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
77	76	notbid 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( -. v <P w <-> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
78	73, 77	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( ( w e. B -> -. v <P w ) <-> ( y e. A -> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) ) )
79	78	biimpac 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( w e. B -> -. v <P w ) /\ ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y ) -> ( y e. A -> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
80	79	exlimiv 1688	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. w ( ( w e. B -> -. v <P w ) /\ ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y ) -> ( y e. A -> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
81	71, 80	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A. w ( w e. B -> -. v <P w ) /\ E. w ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y ) -> ( y e. A -> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
82	70, 81	sylanb 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. w e. B -. v <P w /\ E. w ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y ) -> ( y e. A -> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
83	82	expcom 435	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. w ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( A. w e. B -. v <P w -> ( y e. A -> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) ) )
84	68, 69, 83	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. P. /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) -> ( A. w e. B -. v <P w -> ( y e. A -> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) ) )
85	84	impd 431	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v e. P. /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) -> ( ( A. w e. B -. v <P w /\ y e. A ) -> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
86	85	impancom 440	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. P. /\ ( A. w e. B -. v <P w /\ y e. A ) ) -> ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y -> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
87	86	pm2.01d 169	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. P. /\ ( A. w e. B -. v <P w /\ y e. A ) ) -> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y )
88	87	expr 615	. . . . . . . 8 |- ( ( v e. P. /\ A. w e. B -. v <P w ) -> ( y e. A -> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
89	88	ralrimiv 2801	. . . . . . 7 |- ( ( v e. P. /\ A. w e. B -. v <P w ) -> A. y e. A -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y )
90	89	ex 434	. . . . . 6 |- ( v e. P. -> ( A. w e. B -. v <P w -> A. y e. A -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
91	90	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) -> ( A. w e. B -. v <P w -> A. y e. A -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
92		r19.29 2860	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) /\ E. w e. P. ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y ) -> E. w e. P. ( ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) /\ ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y ) )
93		breq1 4298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
94	48, 93	syl5bbr 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( w <P v <-> y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
95	94	biimprd 223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> w <P v ) )
96		vex 2978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- u e. _V
97		opeq1 4062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( w = u -> <. w , 1P >. = <. u , 1P >. )
98		eceq1 7140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( <. w , 1P >. = <. u , 1P >. -> [ <. w , 1P >. ] ~R = [ <. u , 1P >. ] ~R )
99	97, 98	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w = u -> [ <. w , 1P >. ] ~R = [ <. u , 1P >. ] ~R )
100	99	oveq2d 6110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w = u -> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = ( C +R [ <. u , 1P >. ] ~R ) )
101	100	eleq1d 2509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w = u -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A <-> ( C +R [ <. u , 1P >. ] ~R ) e. A ) )
102	96, 101, 15	elab2 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( u e. B <-> ( C +R [ <. u , 1P >. ] ~R ) e. A )
103		breq2 4299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = ( C +R [ <. u , 1P >. ] ~R ) -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R z <-> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. u , 1P >. ] ~R ) ) )
104	1	ltpsrpr 9279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. u , 1P >. ] ~R ) <-> w <P u )
105	103, 104	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = ( C +R [ <. u , 1P >. ] ~R ) -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R z <-> w <P u ) )
106	105	rspcev 3076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( C +R [ <. u , 1P >. ] ~R ) e. A /\ w <P u ) -> E. z e. A ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R z )
107	102, 106	sylanb 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( u e. B /\ w <P u ) -> E. z e. A ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R z )
108	107	rexlimiva 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E. u e. B w <P u -> E. z e. A ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R z )
109		breq1 4298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R z <-> y <R z ) )
110	109	rexbidv 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( E. z e. A ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R z <-> E. z e. A y <R z ) )
111	108, 110	syl5ib 219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( E. u e. B w <P u -> E. z e. A y <R z ) )
112	95, 111	imim12d 74	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) )
113	112	impcom 430	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) /\ ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y ) -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) )
114	113	rexlimivw 2840	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. w e. P. ( ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) /\ ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y ) -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) )
115	92, 114	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) /\ E. w e. P. ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y ) -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) )
116	67, 115	sylan2b 475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) /\ ( C +R -1R ) <R y ) -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) )
117	116	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) -> ( ( C +R -1R ) <R y -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) )
118	117	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. A /\ v e. P. ) /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) -> ( ( C +R -1R ) <R y -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) )
119	118	a1dd 46	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. A /\ v e. P. ) /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) -> ( ( C +R -1R ) <R y -> ( y e. R. -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) ) )
120	36, 37	sotri2 5230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. R. /\ -. ( C +R -1R ) <R y /\ ( C +R -1R ) <R C ) -> y <R C )
121	35, 120	mp3an3 1303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. R. /\ -. ( C +R -1R ) <R y ) -> y <R C )
122		breq2 4299	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = C -> ( y <R z <-> y <R C ) )
123	122	rspcev 3076	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C e. A /\ y <R C ) -> E. z e. A y <R z )
124	123	ex 434	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. A -> ( y <R C -> E. z e. A y <R z ) )
125	124	a1dd 46	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. A -> ( y <R C -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) )
126	121, 125	syl5 32	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. A -> ( ( y e. R. /\ -. ( C +R -1R ) <R y ) -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) )
127	126	expcomd 438	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. A -> ( -. ( C +R -1R ) <R y -> ( y e. R. -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) ) )
128	127	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. A /\ v e. P. ) /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) -> ( -. ( C +R -1R ) <R y -> ( y e. R. -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) ) )
129	119, 128	pm2.61d 158	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. A /\ v e. P. ) /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) -> ( y e. R. -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) )
130	129	ralrimiv 2801	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. A /\ v e. P. ) /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) -> A. y e. R. ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) )
131	130	ex 434	. . . . . 6 |- ( ( C e. A /\ v e. P. ) -> ( A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) -> A. y e. R. ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) )
132	131	adantlr 714	. . . . 5 |- ( ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) -> ( A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) -> A. y e. R. ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) )
133	91, 132	anim12d 563	. . . 4 |- ( ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) -> ( ( A. w e. B -. v <P w /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) -> ( A. y e. A -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y /\ A. y e. R. ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) ) )
134		breq1 4298	. . . . . . . 8 |- ( x = ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> ( x <R y <-> ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
135	134	notbid 294	. . . . . . 7 |- ( x = ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> ( -. x <R y <-> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
136	135	ralbidv 2738	. . . . . 6 |- ( x = ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> ( A. y e. A -. x <R y <-> A. y e. A -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
137		breq2 4299	. . . . . . . 8 |- ( x = ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> ( y <R x <-> y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
138	137	imbi1d 317	. . . . . . 7 |- ( x = ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> ( ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) <-> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) )
139	138	ralbidv 2738	. . . . . 6 |- ( x = ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> ( A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) <-> A. y e. R. ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) )
140	136, 139	anbi12d 710	. . . . 5 |- ( x = ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> ( ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) <-> ( A. y e. A -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y /\ A. y e. R. ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) ) )
141	140	rspcev 3076	. . . 4 |- ( ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) e. R. /\ ( A. y e. A -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y /\ A. y e. R. ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) ) -> E. x e. R. ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) )
142	64, 133, 141	syl6an 545	. . 3 |- ( ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) -> ( ( A. w e. B -. v <P w /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) -> E. x e. R. ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) ) )
143	142	rexlimdva 2844	. 2 |- ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> ( E. v e. P. ( A. w e. B -. v <P w /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) -> E. x e. R. ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) ) )
144	59, 143	mpd 15	1 |- ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> E. x e. R. ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1367   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   {cab 2429   =/= wne 2609   A.wral 2718   E.wrex 2719   (/)c0 3640   <.cop 3886   class class class wbr 4295  (class class class)co 6094   [cec 7102   P.cnp 9029   1Pc1p 9030   <P cltp 9033   ~R cer 9036   R.cnr 9037   0Rc0r 9038   1Rc1r 9039   -1Rcm1r 9040   +R cplr 9041   <R cltr 9043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-inf2 7850

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-oadd 6927  df-omul 6928  df-er 7104  df-ec 7106  df-qs 7110  df-ni 9044  df-pli 9045  df-mi 9046  df-lti 9047  df-plpq 9080  df-mpq 9081  df-ltpq 9082  df-enq 9083  df-nq 9084  df-erq 9085  df-plq 9086  df-mq 9087  df-1nq 9088  df-rq 9089  df-ltnq 9090  df-np 9153  df-1p 9154  df-plp 9155  df-mp 9156  df-ltp 9157  df-plpr 9227  df-mpr 9228  df-enr 9229  df-nr 9230  df-plr 9231  df-mr 9232  df-ltr 9233  df-0r 9234  df-1r 9235  df-m1r 9236

This theorem is referenced by:  supsr  9282