Theorem supsrlem 9399

Description: Lemma for supremum theorem. (Contributed by NM, 21-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
supsrlem.1	|- B = { w | ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A }
supsrlem.2	|- C e. R.

Assertion

Ref	Expression
supsrlem	|- ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> E. x e. R. ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, w, A   x, B, y, z, w   x, C, y, z, w

Proof of Theorem supsrlem

Dummy variables v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supsrlem.2	. . . . . . 7 |- C e. R.
2		0idsr 9385	. . . . . . 7 |- ( C e. R. -> ( C +R 0R ) = C )
3	1, 2	mp1i 12	. . . . . 6 |- ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> ( C +R 0R ) = C )
4		simpl 455	. . . . . 6 |- ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> C e. A )
5	3, 4	eqeltrd 2470	. . . . 5 |- ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> ( C +R 0R ) e. A )
6		1pr 9304	. . . . . . 7 |- 1P e. P.
7	6	elexi 3044	. . . . . 6 |- 1P e. _V
8		opeq1 4131	. . . . . . . . . 10 |- ( w = 1P -> <. w , 1P >. = <. 1P , 1P >. )
9	8	eceq1d 7266	. . . . . . . . 9 |- ( w = 1P -> [ <. w , 1P >. ] ~R = [ <. 1P , 1P >. ] ~R )
10		df-0r 9349	. . . . . . . . 9 |- 0R = [ <. 1P , 1P >. ] ~R
11	9, 10	syl6eqr 2441	. . . . . . . 8 |- ( w = 1P -> [ <. w , 1P >. ] ~R = 0R )
12	11	oveq2d 6212	. . . . . . 7 |- ( w = 1P -> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = ( C +R 0R ) )
13	12	eleq1d 2451	. . . . . 6 |- ( w = 1P -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A <-> ( C +R 0R ) e. A ) )
14		supsrlem.1	. . . . . 6 |- B = { w | ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A }
15	7, 13, 14	elab2 3174	. . . . 5 |- ( 1P e. B <-> ( C +R 0R ) e. A )
16	5, 15	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> 1P e. B )
17		ne0i 3717	. . . 4 |- ( 1P e. B -> B =/= (/) )
18	16, 17	syl 16	. . 3 |- ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> B =/= (/) )
19		breq1 4370	. . . . . . . 8 |- ( y = C -> ( y <R x <-> C <R x ) )
20	19	rspccv 3132	. . . . . . 7 |- ( A. y e. A y <R x -> ( C e. A -> C <R x ) )
21		0lt1sr 9383	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0R <R 1R
22		m1r 9370	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -1R e. R.
23		ltasr 9388	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -1R e. R. -> ( 0R <R 1R <-> ( -1R +R 0R ) <R ( -1R +R 1R ) ) )
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0R <R 1R <-> ( -1R +R 0R ) <R ( -1R +R 1R ) )
25	21, 24	mpbi 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -1R +R 0R ) <R ( -1R +R 1R )
26		0idsr 9385	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -1R e. R. -> ( -1R +R 0R ) = -1R )
27	22, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -1R +R 0R ) = -1R
28		m1p1sr 9380	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -1R +R 1R ) = 0R
29	25, 27, 28	3brtr3i 4394	. . . . . . . . . . 11 |- -1R <R 0R
30		ltasr 9388	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. R. -> ( -1R <R 0R <-> ( C +R -1R ) <R ( C +R 0R ) ) )
31	1, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( -1R <R 0R <-> ( C +R -1R ) <R ( C +R 0R ) )
32	29, 31	mpbi 208	. . . . . . . . . 10 |- ( C +R -1R ) <R ( C +R 0R )
33	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( C +R 0R ) = C
34	32, 33	breqtri 4390	. . . . . . . . 9 |- ( C +R -1R ) <R C
35		ltsosr 9382	. . . . . . . . . 10 |- <R Or R.
36		ltrelsr 9356	. . . . . . . . . 10 |- <R C_ ( R. X. R. )
37	35, 36	sotri 5307	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C +R -1R ) <R C /\ C <R x ) -> ( C +R -1R ) <R x )
38	34, 37	mpan 668	. . . . . . . 8 |- ( C <R x -> ( C +R -1R ) <R x )
39	1	map2psrpr 9398	. . . . . . . 8 |- ( ( C +R -1R ) <R x <-> E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x )
40	38, 39	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( C <R x -> E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x )
41	20, 40	syl6 33	. . . . . 6 |- ( A. y e. A y <R x -> ( C e. A -> E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) )
42		breq2 4371	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> y <R x ) )
43	42	ralbidv 2821	. . . . . . . . 9 |- ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x -> ( A. y e. A y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> A. y e. A y <R x ) )
44	14	abeq2i 2509	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. B <-> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A )
45		breq1 4370	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
46	45	rspccv 3132	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. A y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A -> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
47	1	ltpsrpr 9397	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> w <P v )
48	46, 47	syl6ib 226	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y e. A y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A -> w <P v ) )
49	44, 48	syl5bi 217	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. A y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> ( w e. B -> w <P v ) )
50	49	ralrimiv 2794	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. A y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> A. w e. B w <P v )
51	43, 50	syl6bir 229	. . . . . . . 8 |- ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x -> ( A. y e. A y <R x -> A. w e. B w <P v ) )
52	51	com12 31	. . . . . . 7 |- ( A. y e. A y <R x -> ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x -> A. w e. B w <P v ) )
53	52	reximdv 2856	. . . . . 6 |- ( A. y e. A y <R x -> ( E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x -> E. v e. P. A. w e. B w <P v ) )
54	41, 53	syld 44	. . . . 5 |- ( A. y e. A y <R x -> ( C e. A -> E. v e. P. A. w e. B w <P v ) )
55	54	rexlimivw 2871	. . . 4 |- ( E. x e. R. A. y e. A y <R x -> ( C e. A -> E. v e. P. A. w e. B w <P v ) )
56	55	impcom 428	. . 3 |- ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> E. v e. P. A. w e. B w <P v )
57		supexpr 9343	. . 3 |- ( ( B =/= (/) /\ E. v e. P. A. w e. B w <P v ) -> E. v e. P. ( A. w e. B -. v <P w /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) )
58	18, 56, 57	syl2anc 659	. 2 |- ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> E. v e. P. ( A. w e. B -. v <P w /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) )
59	1	mappsrpr 9396	. . . . . . 7 |- ( ( C +R -1R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> v e. P. )
60	36	brel 4962	. . . . . . 7 |- ( ( C +R -1R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> ( ( C +R -1R ) e. R. /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) e. R. ) )
61	59, 60	sylbir 213	. . . . . 6 |- ( v e. P. -> ( ( C +R -1R ) e. R. /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) e. R. ) )
62	61	simprd 461	. . . . 5 |- ( v e. P. -> ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) e. R. )
63	62	adantl 464	. . . 4 |- ( ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) -> ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) e. R. )
64	35, 36	sotri 5307	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( C +R -1R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) -> ( C +R -1R ) <R y )
65	59, 64	sylanbr 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. P. /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) -> ( C +R -1R ) <R y )
66	1	map2psrpr 9398	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C +R -1R ) <R y <-> E. w e. P. ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y )
67	65, 66	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. P. /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) -> E. w e. P. ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y )
68		rexex 2839	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. w e. P. ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> E. w ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y )
69		df-ral 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. w e. B -. v <P w <-> A. w ( w e. B -> -. v <P w ) )
70		19.29 1691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A. w ( w e. B -> -. v <P w ) /\ E. w ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y ) -> E. w ( ( w e. B -> -. v <P w ) /\ ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y ) )
71		eleq1 2454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A <-> y e. A ) )
72	44, 71	syl5bb 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( w e. B <-> y e. A ) )
73	1	ltpsrpr 9397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <-> v <P w )
74		breq2 4371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <-> ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
75	73, 74	syl5bbr 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( v <P w <-> ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
76	75	notbid 292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( -. v <P w <-> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
77	72, 76	imbi12d 318	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( ( w e. B -> -. v <P w ) <-> ( y e. A -> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) ) )
78	77	biimpac 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( w e. B -> -. v <P w ) /\ ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y ) -> ( y e. A -> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
79	78	exlimiv 1730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. w ( ( w e. B -> -. v <P w ) /\ ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y ) -> ( y e. A -> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
80	70, 79	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A. w ( w e. B -> -. v <P w ) /\ E. w ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y ) -> ( y e. A -> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
81	69, 80	sylanb 470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. w e. B -. v <P w /\ E. w ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y ) -> ( y e. A -> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
82	81	expcom 433	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. w ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( A. w e. B -. v <P w -> ( y e. A -> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) ) )
83	67, 68, 82	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. P. /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) -> ( A. w e. B -. v <P w -> ( y e. A -> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) ) )
84	83	impd 429	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v e. P. /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) -> ( ( A. w e. B -. v <P w /\ y e. A ) -> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
85	84	impancom 438	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v e. P. /\ ( A. w e. B -. v <P w /\ y e. A ) ) -> ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y -> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
86	85	pm2.01d 169	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. P. /\ ( A. w e. B -. v <P w /\ y e. A ) ) -> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y )
87	86	expr 613	. . . . . . . 8 |- ( ( v e. P. /\ A. w e. B -. v <P w ) -> ( y e. A -> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
88	87	ralrimiv 2794	. . . . . . 7 |- ( ( v e. P. /\ A. w e. B -. v <P w ) -> A. y e. A -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y )
89	88	ex 432	. . . . . 6 |- ( v e. P. -> ( A. w e. B -. v <P w -> A. y e. A -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
90	89	adantl 464	. . . . 5 |- ( ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) -> ( A. w e. B -. v <P w -> A. y e. A -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
91		r19.29 2917	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) /\ E. w e. P. ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y ) -> E. w e. P. ( ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) /\ ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y ) )
92		breq1 4370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
93	47, 92	syl5bbr 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( w <P v <-> y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
94	93	biimprd 223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> w <P v ) )
95		vex 3037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- u e. _V
96		opeq1 4131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( w = u -> <. w , 1P >. = <. u , 1P >. )
97	96	eceq1d 7266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w = u -> [ <. w , 1P >. ] ~R = [ <. u , 1P >. ] ~R )
98	97	oveq2d 6212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w = u -> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = ( C +R [ <. u , 1P >. ] ~R ) )
99	98	eleq1d 2451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w = u -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A <-> ( C +R [ <. u , 1P >. ] ~R ) e. A ) )
100	95, 99, 14	elab2 3174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( u e. B <-> ( C +R [ <. u , 1P >. ] ~R ) e. A )
101		breq2 4371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = ( C +R [ <. u , 1P >. ] ~R ) -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R z <-> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. u , 1P >. ] ~R ) ) )
102	1	ltpsrpr 9397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. u , 1P >. ] ~R ) <-> w <P u )
103	101, 102	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = ( C +R [ <. u , 1P >. ] ~R ) -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R z <-> w <P u ) )
104	103	rspcev 3135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( C +R [ <. u , 1P >. ] ~R ) e. A /\ w <P u ) -> E. z e. A ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R z )
105	100, 104	sylanb 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( u e. B /\ w <P u ) -> E. z e. A ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R z )
106	105	rexlimiva 2870	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E. u e. B w <P u -> E. z e. A ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R z )
107		breq1 4370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R z <-> y <R z ) )
108	107	rexbidv 2893	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( E. z e. A ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R z <-> E. z e. A y <R z ) )
109	106, 108	syl5ib 219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( E. u e. B w <P u -> E. z e. A y <R z ) )
110	94, 109	imim12d 74	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y -> ( ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) )
111	110	impcom 428	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) /\ ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y ) -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) )
112	111	rexlimivw 2871	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. w e. P. ( ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) /\ ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y ) -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) )
113	91, 112	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) /\ E. w e. P. ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = y ) -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) )
114	66, 113	sylan2b 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) /\ ( C +R -1R ) <R y ) -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) )
115	114	ex 432	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) -> ( ( C +R -1R ) <R y -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) )
116	115	adantl 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C e. A /\ v e. P. ) /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) -> ( ( C +R -1R ) <R y -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) )
117	116	a1dd 46	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. A /\ v e. P. ) /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) -> ( ( C +R -1R ) <R y -> ( y e. R. -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) ) )
118	35, 36	sotri2 5309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. R. /\ -. ( C +R -1R ) <R y /\ ( C +R -1R ) <R C ) -> y <R C )
119	34, 118	mp3an3 1311	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. R. /\ -. ( C +R -1R ) <R y ) -> y <R C )
120		breq2 4371	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = C -> ( y <R z <-> y <R C ) )
121	120	rspcev 3135	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C e. A /\ y <R C ) -> E. z e. A y <R z )
122	121	ex 432	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. A -> ( y <R C -> E. z e. A y <R z ) )
123	122	a1dd 46	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. A -> ( y <R C -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) )
124	119, 123	syl5 32	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. A -> ( ( y e. R. /\ -. ( C +R -1R ) <R y ) -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) )
125	124	expcomd 436	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. A -> ( -. ( C +R -1R ) <R y -> ( y e. R. -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) ) )
126	125	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. A /\ v e. P. ) /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) -> ( -. ( C +R -1R ) <R y -> ( y e. R. -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) ) )
127	117, 126	pm2.61d 158	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. A /\ v e. P. ) /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) -> ( y e. R. -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) )
128	127	ralrimiv 2794	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. A /\ v e. P. ) /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) -> A. y e. R. ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) )
129	128	ex 432	. . . . . 6 |- ( ( C e. A /\ v e. P. ) -> ( A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) -> A. y e. R. ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) )
130	129	adantlr 712	. . . . 5 |- ( ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) -> ( A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) -> A. y e. R. ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) )
131	90, 130	anim12d 561	. . . 4 |- ( ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) -> ( ( A. w e. B -. v <P w /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) -> ( A. y e. A -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y /\ A. y e. R. ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) ) )
132		breq1 4370	. . . . . . . 8 |- ( x = ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> ( x <R y <-> ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
133	132	notbid 292	. . . . . . 7 |- ( x = ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> ( -. x <R y <-> -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
134	133	ralbidv 2821	. . . . . 6 |- ( x = ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> ( A. y e. A -. x <R y <-> A. y e. A -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y ) )
135		breq2 4371	. . . . . . . 8 |- ( x = ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> ( y <R x <-> y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
136	135	imbi1d 315	. . . . . . 7 |- ( x = ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> ( ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) <-> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) )
137	136	ralbidv 2821	. . . . . 6 |- ( x = ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> ( A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) <-> A. y e. R. ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) )
138	134, 137	anbi12d 708	. . . . 5 |- ( x = ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> ( ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) <-> ( A. y e. A -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y /\ A. y e. R. ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) ) )
139	138	rspcev 3135	. . . 4 |- ( ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) e. R. /\ ( A. y e. A -. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <R y /\ A. y e. R. ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) -> E. z e. A y <R z ) ) ) -> E. x e. R. ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) )
140	63, 131, 139	syl6an 543	. . 3 |- ( ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) -> ( ( A. w e. B -. v <P w /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) -> E. x e. R. ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) ) )
141	140	rexlimdva 2874	. 2 |- ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> ( E. v e. P. ( A. w e. B -. v <P w /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) -> E. x e. R. ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) ) )
142	58, 141	mpd 15	1 |- ( ( C e. A /\ E. x e. R. A. y e. A y <R x ) -> E. x e. R. ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   A.wal 1397   = wceq 1399   E.wex 1620   e. wcel 1826   {cab 2367   =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733   (/)c0 3711   <.cop 3950   class class class wbr 4367  (class class class)co 6196   [cec 7227   P.cnp 9148   1Pc1p 9149   <P cltp 9152   ~R cer 9153   R.cnr 9154   0Rc0r 9155   1Rc1r 9156   -1Rcm1r 9157   +R cplr 9158   <R cltr 9160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-omul 7053  df-er 7229  df-ec 7231  df-qs 7235  df-ni 9161  df-pli 9162  df-mi 9163  df-lti 9164  df-plpq 9197  df-mpq 9198  df-ltpq 9199  df-enq 9200  df-nq 9201  df-erq 9202  df-plq 9203  df-mq 9204  df-1nq 9205  df-rq 9206  df-ltnq 9207  df-np 9270  df-1p 9271  df-plp 9272  df-mp 9273  df-ltp 9274  df-enr 9344  df-nr 9345  df-plr 9346  df-mr 9347  df-ltr 9348  df-0r 9349  df-1r 9350  df-m1r 9351

This theorem is referenced by:  supsr  9400