Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supsr Structured version   Unicode version

Theorem supsr 9490
 Description: A nonempty, bounded set of signed reals has a supremum. (Contributed by NM, 21-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
supsr
Distinct variable group:   ,,,

Proof of Theorem supsr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3794 . . 3
2 ltrelsr 9446 . . . . . . . . . . . . 13
32brel 5048 . . . . . . . . . . . 12
43simpld 459 . . . . . . . . . . 11
54ralimi 2857 . . . . . . . . . 10
6 dfss3 3494 . . . . . . . . . 10
75, 6sylibr 212 . . . . . . . . 9
87sseld 3503 . . . . . . . 8
98rexlimivw 2952 . . . . . . 7
109impcom 430 . . . . . 6
11 eleq1 2539 . . . . . . . . 9
1211anbi1d 704 . . . . . . . 8
1312imbi1d 317 . . . . . . 7
14 opeq1 4213 . . . . . . . . . . . 12
1514eceq1d 7349 . . . . . . . . . . 11
1615oveq2d 6301 . . . . . . . . . 10
1716eleq1d 2536 . . . . . . . . 9
1817cbvabv 2610 . . . . . . . 8
19 1sr 9459 . . . . . . . . 9
2019elimel 4002 . . . . . . . 8
2118, 20supsrlem 9489 . . . . . . 7
2213, 21dedth 3991 . . . . . 6
2310, 22mpcom 36 . . . . 5
2423ex 434 . . . 4
2524exlimiv 1698 . . 3
261, 25sylbi 195 . 2
2726imp 429 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 369   wceq 1379  wex 1596   wcel 1767  cab 2452   wne 2662  wral 2814  wrex 2815   wss 3476  c0 3785  cif 3939  cop 4033   class class class wbr 4447  (class class class)co 6285  cec 7310  c1p 9239   cer 9243  cnr 9244  c1r 9246   cplr 9248   cltr 9250 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-omul 7136  df-er 7312  df-ec 7314  df-qs 7318  df-ni 9251  df-pli 9252  df-mi 9253  df-lti 9254  df-plpq 9287  df-mpq 9288  df-ltpq 9289  df-enq 9290  df-nq 9291  df-erq 9292  df-plq 9293  df-mq 9294  df-1nq 9295  df-rq 9296  df-ltnq 9297  df-np 9360  df-1p 9361  df-plp 9362  df-mp 9363  df-ltp 9364  df-enr 9434  df-nr 9435  df-plr 9436  df-mr 9437  df-ltr 9438  df-0r 9439  df-1r 9440  df-m1r 9441 This theorem is referenced by:  axpre-sup  9547
 Copyright terms: Public domain W3C validator