Theorem supsnALT 5682

Description: The supremum of a singleton. This version of supsn 5681 is proved directly.

Hypothesis

Ref	Expression
supsn.1	|- R Or A

Assertion

Ref	Expression
supsnALT	|- (B e. A -> sup({B}, A, R) = B)

Proof of Theorem supsnALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elsni 3066	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. {B} -> y = B)
2		breq2 3342	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = B -> (BRy <-> BRB))
3	2	notbid 673	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = B -> (-. BRy <-> -. BRB))
4		supsn.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- R Or A
5		sonr 3610	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((R Or A /\ B e. A) -> -. BRB)
6	4, 5	mpan 759	. . . . . . . . . . . 12 |- (B e. A -> -. BRB)
7	3, 6	syl5bir 227	. . . . . . . . . . 11 |- (y = B -> (B e. A -> -. BRy))
8	1, 7	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (y e. {B} -> (B e. A -> -. BRy))
9	8	com12 14	. . . . . . . . 9 |- (B e. A -> (y e. {B} -> -. BRy))
10	9	r19.21aiv 2175	. . . . . . . 8 |- (B e. A -> A.y e. {B} -. BRy)
11		breq2 3342	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z = B -> (yRz <-> yRB))
12	11	rcla4ev 2381	. . . . . . . . . . . 12 |- ((B e. {B} /\ yRB) -> E.z e. {B}yRz)
13		snidg 3067	. . . . . . . . . . . 12 |- (B e. A -> B e. {B})
14	12, 13	sylan 497	. . . . . . . . . . 11 |- ((B e. A /\ yRB) -> E.z e. {B}yRz)
15	14	ex 402	. . . . . . . . . 10 |- (B e. A -> (yRB -> E.z e. {B}yRz))
16	15	a1d 15	. . . . . . . . 9 |- (B e. A -> (y e. A -> (yRB -> E.z e. {B}yRz)))
17	16	r19.21aiv 2175	. . . . . . . 8 |- (B e. A -> A.y e. A (yRB -> E.z e. {B}yRz))
18	10, 17	jca 310	. . . . . . 7 |- (B e. A -> (A.y e. {B} -. BRy /\ A.y e. A (yRB -> E.z e. {B}yRz)))
19		breq1 3341	. . . . . . . . . . 11 |- (x = B -> (xRy <-> BRy))
20	19	notbid 673	. . . . . . . . . 10 |- (x = B -> (-. xRy <-> -. BRy))
21	20	ralbidv 2123	. . . . . . . . 9 |- (x = B -> (A.y e. {B} -. xRy <-> A.y e. {B} -. BRy))
22		breq2 3342	. . . . . . . . . . 11 |- (x = B -> (yRx <-> yRB))
23	22	imbi1d 675	. . . . . . . . . 10 |- (x = B -> ((yRx -> E.z e. {B}yRz) <-> (yRB -> E.z e. {B}yRz)))
24	23	ralbidv 2123	. . . . . . . . 9 |- (x = B -> (A.y e. A (yRx -> E.z e. {B}yRz) <-> A.y e. A (yRB -> E.z e. {B}yRz)))
25	21, 24	anbi12d 690	. . . . . . . 8 |- (x = B -> ((A.y e. {B} -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. {B}yRz)) <-> (A.y e. {B} -. BRy /\ A.y e. A (yRB -> E.z e. {B}yRz))))
26	25	rcla4ev 2381	. . . . . . 7 |- ((B e. A /\ (A.y e. {B} -. BRy /\ A.y e. A (yRB -> E.z e. {B}yRz))) -> E.x e. A (A.y e. {B} -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. {B}yRz)))
27	18, 26	mpdan 768	. . . . . 6 |- (B e. A -> E.x e. A (A.y e. {B} -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. {B}yRz)))
28	4	supmo 5666	. . . . . 6 |- E*x(x e. A /\ (A.y e. {B} -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. {B}yRz)))
29	27, 28	jctir 317	. . . . 5 |- (B e. A -> (E.x e. A (A.y e. {B} -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. {B}yRz)) /\ E*x(x e. A /\ (A.y e. {B} -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. {B}yRz)))))
30		reu5 2441	. . . . 5 |- (E!x e. A (A.y e. {B} -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. {B}yRz)) <-> (E.x e. A (A.y e. {B} -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. {B}yRz)) /\ E*x(x e. A /\ (A.y e. {B} -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. {B}yRz)))))
31	29, 30	sylibr 217	. . . 4 |- (B e. A -> E!x e. A (A.y e. {B} -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. {B}yRz)))
32	25	reuuni2 3811	. . . 4 |- ((B e. A /\ E!x e. A (A.y e. {B} -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. {B}yRz))) -> ((A.y e. {B} -. BRy /\ A.y e. A (yRB -> E.z e. {B}yRz)) <-> U.{x e. A | (A.y e. {B} -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. {B}yRz))} = B))
33	31, 32	mpdan 768	. . 3 |- (B e. A -> ((A.y e. {B} -. BRy /\ A.y e. A (yRB -> E.z e. {B}yRz)) <-> U.{x e. A | (A.y e. {B} -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. {B}yRz))} = B))
34	33, 10, 17	mpbi2and 801	. 2 |- (B e. A -> U.{x e. A | (A.y e. {B} -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. {B}yRz))} = B)
35		df-sup 5664	. 2 |- sup({B}, A, R) = U.{x e. A | (A.y e. {B} -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. {B}yRz))}
36	34, 35	syl5eq 1940	1 |- (B e. A -> sup({B}, A, R) = B)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E*wmo 1772  A.wral 2105  E.wrex 2106  E!wreu 2107  {crab 2108  {csn 3044  U.cuni 3177   class class class wbr 3338   Or wor 3590  supcsup 5663

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-po 3591  df-so 3604  df-sup 5664

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