MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suprzub Structured version   Unicode version

Theorem suprzub 11218
Description: The supremum of a bounded-above set of integers is greater than any member of the set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
suprzub  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  B  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B
Allowed substitution hint:    B( y)

Proof of Theorem suprzub
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 999 . . 3  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  B  e.  A )
2 ltso 9696 . . . . 5  |-  <  Or  RR
32a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  <  Or  RR )
4 simp1 997 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  A  C_  ZZ )
5 zssre 10912 . . . . . 6  |-  ZZ  C_  RR
64, 5syl6ss 3454 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  A  C_  RR )
7 ne0i 3744 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  A  ->  A  =/=  (/) )
81, 7syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  A  =/=  (/) )
9 simp2 998 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x
)
10 zsupss 11216 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
114, 8, 9, 10syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
12 ssrexv 3504 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
136, 11, 12sylc 59 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
143, 13supub 7952 . . 3  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  ( B  e.  A  ->  -.  sup ( A ,  RR ,  <  )  <  B ) )
151, 14mpd 15 . 2  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  -.  sup ( A ,  RR ,  <  )  <  B )
166, 1sseldd 3443 . . 3  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  B  e.  RR )
17 suprzcl2 11217 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  A )
184, 8, 9, 17syl3anc 1230 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  A )
196, 18sseldd 3443 . . 3  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
2016, 19lenltd 9763 . 2  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  -.  sup ( A ,  RR ,  <  )  <  B ) )
2115, 20mpbird 232 1  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  B  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2754   E.wrex 2755    C_ wss 3414   (/)c0 3738   class class class wbr 4395    Or wor 4743   supcsup 7934   RRcr 9521    < clt 9658    <_ cle 9659   ZZcz 10905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128
This theorem is referenced by:  gcdcllem3  14360  pcprendvds  14573  pcpremul  14576  prmreclem1  14643  0ram  14747  gexex  17183  fourierdlem25  37282
  Copyright terms: Public domain W3C validator