MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suprzub Structured version   Unicode version

Theorem suprzub 10945
Description: The supremum of a bounded-above set of integers is greater than any member of the set. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
suprzub  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  B  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B
Allowed substitution hint:    B( y)

Proof of Theorem suprzub
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 990 . . 3  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  B  e.  A )
2 ltso 9454 . . . . 5  |-  <  Or  RR
32a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  <  Or  RR )
4 simp1 988 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  A  C_  ZZ )
5 zssre 10652 . . . . . 6  |-  ZZ  C_  RR
64, 5syl6ss 3367 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  A  C_  RR )
7 ne0i 3642 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  A  ->  A  =/=  (/) )
81, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  A  =/=  (/) )
9 simp2 989 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x
)
10 zsupss 10943 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
114, 8, 9, 10syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
12 ssrexv 3416 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
136, 11, 12sylc 60 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
143, 13supub 7708 . . 3  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  ( B  e.  A  ->  -.  sup ( A ,  RR ,  <  )  <  B ) )
151, 14mpd 15 . 2  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  -.  sup ( A ,  RR ,  <  )  <  B )
166, 1sseldd 3356 . . 3  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  B  e.  RR )
17 suprzcl2 10944 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  A )
184, 8, 9, 17syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  A )
196, 18sseldd 3356 . . 3  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
2016, 19lenltd 9519 . 2  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  -.  sup ( A ,  RR ,  <  )  <  B ) )
2115, 20mpbird 232 1  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  B  e.  A
)  ->  B  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1756    =/= wne 2605   A.wral 2714   E.wrex 2715    C_ wss 3327   (/)c0 3636   class class class wbr 4291    Or wor 4639   supcsup 7689   RRcr 9280    < clt 9417    <_ cle 9418   ZZcz 10645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-sup 7690  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861
This theorem is referenced by:  gcdcllem3  13696  pcprendvds  13906  pcpremul  13909  prmreclem1  13976  0ram  14080  gexex  16334
  Copyright terms: Public domain W3C validator