MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suprzcl2 Structured version   Unicode version

Theorem suprzcl2 11217
Description: The supremum of a bounded-above set of integers is a member of the set. (This version of suprzcl 10983 avoids ax-pre-sup 9600.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
suprzcl2  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  A )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem suprzcl2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zsupss 11216 . 2  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
2 ssel2 3437 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  ZZ )
32zred 11008 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
4 ltso 9696 . . . . . . . . . 10  |-  <  Or  RR
54a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  <  Or  RR )
65eqsup 7949 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  =  x ) )
76trud 1414 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  =  x )
873expib 1200 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( A. y  e.  A  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  =  x ) )
93, 8syl 17 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  x  e.  A )  ->  (
( A. y  e.  A  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  =  x ) )
10 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
11 eleq1 2474 . . . . . 6  |-  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  =  x  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  A  <->  x  e.  A ) )
1210, 11syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  x  e.  A )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  =  x  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  A ) )
139, 12syld 42 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  x  e.  A )  ->  (
( A. y  e.  A  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  A ) )
1413rexlimdva 2896 . . 3  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  A ) )
15143ad2ant1 1018 . 2  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  A ) )
161, 15mpd 15 1  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405   T. wtru 1406    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2754   E.wrex 2755    C_ wss 3414   (/)c0 3738   class class class wbr 4395    Or wor 4743   supcsup 7934   RRcr 9521    < clt 9658    <_ cle 9659   ZZcz 10905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128
This theorem is referenced by:  suprzub  11218  gcdcllem3  14360  maxprmfct  14463  pcprecl  14572  prmreclem1  14643  0ram  14747  0ramcl  14750  gexex  17183
  Copyright terms: Public domain W3C validator