MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suprzcl2 Structured version   Unicode version

Theorem suprzcl2 11161
Description: The supremum of a bounded-above set of integers is a member of the set. (This version of suprzcl 10929 avoids ax-pre-sup 9559.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
suprzcl2  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  A )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem suprzcl2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zsupss 11160 . 2  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
2 ssel2 3492 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  ZZ )
32zred 10955 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
4 ltso 9654 . . . . . . . . . 10  |-  <  Or  RR
54a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  <  Or  RR )
65eqsup 7905 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  =  x ) )
76trud 1383 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  =  x )
873expib 1194 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( A. y  e.  A  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  =  x ) )
93, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  x  e.  A )  ->  (
( A. y  e.  A  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  =  x ) )
10 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
11 eleq1 2532 . . . . . 6  |-  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  =  x  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  A  <->  x  e.  A ) )
1210, 11syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  x  e.  A )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  =  x  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  A ) )
139, 12syld 44 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  x  e.  A )  ->  (
( A. y  e.  A  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  A ) )
1413rexlimdva 2948 . . 3  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  A ) )
15143ad2ant1 1012 . 2  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  A ) )
161, 15mpd 15 1  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374   T. wtru 1375    e. wcel 1762    =/= wne 2655   A.wral 2807   E.wrex 2808    C_ wss 3469   (/)c0 3778   class class class wbr 4440    Or wor 4792   supcsup 7889   RRcr 9480    < clt 9617    <_ cle 9618   ZZcz 10853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072
This theorem is referenced by:  suprzub  11162  gcdcllem3  13999  maxprmfct  14102  pcprecl  14211  prmreclem1  14282  0ram  14386  0ramcl  14389  gexex  16645
  Copyright terms: Public domain W3C validator