MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suprzcl2 Structured version   Unicode version

Theorem suprzcl2 10966
Description: The supremum of a bounded-above set of integers is a member of the set. (This version of suprzcl 10742 avoids ax-pre-sup 9381.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
suprzcl2  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  A )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem suprzcl2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zsupss 10965 . 2  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
2 ssel2 3372 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  ZZ )
32zred 10768 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
4 ltso 9476 . . . . . . . . . 10  |-  <  Or  RR
54a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  <  Or  RR )
65eqsup 7727 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  =  x ) )
76trud 1378 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  =  x )
873expib 1190 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( A. y  e.  A  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  =  x ) )
93, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  x  e.  A )  ->  (
( A. y  e.  A  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  =  x ) )
10 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
11 eleq1 2503 . . . . . 6  |-  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  =  x  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  A  <->  x  e.  A ) )
1210, 11syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  x  e.  A )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  =  x  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  A ) )
139, 12syld 44 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  x  e.  A )  ->  (
( A. y  e.  A  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  A ) )
1413rexlimdva 2862 . . 3  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  A ) )
15143ad2ant1 1009 . 2  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  A ) )
161, 15mpd 15 1  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   T. wtru 1370    e. wcel 1756    =/= wne 2620   A.wral 2736   E.wrex 2737    C_ wss 3349   (/)c0 3658   class class class wbr 4313    Or wor 4661   supcsup 7711   RRcr 9302    < clt 9439    <_ cle 9440   ZZcz 10667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-sup 7712  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883
This theorem is referenced by:  suprzub  10967  gcdcllem3  13718  maxprmfct  13820  pcprecl  13927  prmreclem1  13998  0ram  14102  0ramcl  14105  gexex  16356
  Copyright terms: Public domain W3C validator