Theorem suprzcl 10721

Description: The supremum of a bounded-above set of integers is a member of the set. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
suprzcl	|- ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> sup ( A , RR , < ) e. A )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem suprzcl

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssre 10653	. . . . . 6 |- ZZ C_ RR
2		sstr 3364	. . . . . 6 |- ( ( A C_ ZZ /\ ZZ C_ RR ) -> A C_ RR )
3	1, 2	mpan2 671	. . . . 5 |- ( A C_ ZZ -> A C_ RR )
4		suprcl 10290	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> sup ( A , RR , < ) e. RR )
5	3, 4	syl3an1 1251	. . . 4 |- ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> sup ( A , RR , < ) e. RR )
6	5	ltm1d 10265	. . 3 |- ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < sup ( A , RR , < ) )
7		peano2rem 9675	. . . . . 6 |- ( sup ( A , RR , < ) e. RR -> ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) e. RR )
8	4, 7	syl 16	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) e. RR )
9		suprlub 10292	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) e. RR ) -> ( ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < sup ( A , RR , < ) <-> E. z e. A ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) )
10	8, 9	mpdan 668	. . . 4 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> ( ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < sup ( A , RR , < ) <-> E. z e. A ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) )
11	3, 10	syl3an1 1251	. . 3 |- ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> ( ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < sup ( A , RR , < ) <-> E. z e. A ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) )
12	6, 11	mpbid 210	. 2 |- ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> E. z e. A ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z )
13		simpl1 991	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> A C_ ZZ )
14	13	sselda 3356	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) /\ w e. A ) -> w e. ZZ )
15	1, 14	sseldi 3354	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) /\ w e. A ) -> w e. RR )
16	5	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> sup ( A , RR , < ) e. RR )
17	16	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) /\ w e. A ) -> sup ( A , RR , < ) e. RR )
18		simprl 755	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> z e. A )
19	13, 18	sseldd 3357	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> z e. ZZ )
20		zre 10650	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ZZ -> z e. RR )
21	19, 20	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> z e. RR )
22		peano2re 9542	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. RR -> ( z + 1 ) e. RR )
23	21, 22	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> ( z + 1 ) e. RR )
24	23	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) /\ w e. A ) -> ( z + 1 ) e. RR )
25		suprub 10291	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ w e. A ) -> w <_ sup ( A , RR , < ) )
26	3, 25	syl3anl1 1266	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ w e. A ) -> w <_ sup ( A , RR , < ) )
27	26	adantlr 714	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) /\ w e. A ) -> w <_ sup ( A , RR , < ) )
28		simprr 756	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z )
29		1red 9401	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> 1 e. RR )
30	16, 29, 21	ltsubaddd 9935	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> ( ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z <-> sup ( A , RR , < ) < ( z + 1 ) ) )
31	28, 30	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> sup ( A , RR , < ) < ( z + 1 ) )
32	31	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) /\ w e. A ) -> sup ( A , RR , < ) < ( z + 1 ) )
33	15, 17, 24, 27, 32	lelttrd 9529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) /\ w e. A ) -> w < ( z + 1 ) )
34	19	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) /\ w e. A ) -> z e. ZZ )
35		zleltp1 10695	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( w <_ z <-> w < ( z + 1 ) ) )
36	14, 34, 35	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) /\ w e. A ) -> ( w <_ z <-> w < ( z + 1 ) ) )
37	33, 36	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) /\ w e. A ) -> w <_ z )
38	37	ralrimiva 2799	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> A. w e. A w <_ z )
39		suprleub 10294	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ z e. RR ) -> ( sup ( A , RR , < ) <_ z <-> A. w e. A w <_ z ) )
40	3, 39	syl3anl1 1266	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ z e. RR ) -> ( sup ( A , RR , < ) <_ z <-> A. w e. A w <_ z ) )
41	21, 40	syldan 470	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> ( sup ( A , RR , < ) <_ z <-> A. w e. A w <_ z ) )
42	38, 41	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> sup ( A , RR , < ) <_ z )
43		suprub 10291	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ z e. A ) -> z <_ sup ( A , RR , < ) )
44	3, 43	syl3anl1 1266	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ z e. A ) -> z <_ sup ( A , RR , < ) )
45	44	adantrr 716	. . . 4 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> z <_ sup ( A , RR , < ) )
46	16, 21	letri3d 9516	. . . 4 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> ( sup ( A , RR , < ) = z <-> ( sup ( A , RR , < ) <_ z /\ z <_ sup ( A , RR , < ) ) ) )
47	42, 45, 46	mpbir2and 913	. . 3 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> sup ( A , RR , < ) = z )
48	47, 18	eqeltrd 2517	. 2 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> sup ( A , RR , < ) e. A )
49	12, 48	rexlimddv 2845	1 |- ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> sup ( A , RR , < ) e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2606   A.wral 2715   E.wrex 2716   C_ wss 3328   (/)c0 3637   class class class wbr 4292  (class class class)co 6091   supcsup 7690   RRcr 9281   1c1 9283   + caddc 9285   < clt 9418   <_ cle 9419   - cmin 9595   ZZcz 10646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647

This theorem is referenced by:  rpnnen1lem1  10979  rpnnen1lem2  10980  pgpssslw  16113  plyeq0lem  21678  suprfinzcl  30745