MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suprzcl Structured version   Unicode version

Theorem suprzcl 11004
Description: The supremum of a bounded-above set of integers is a member of the set. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
suprzcl  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  A )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem suprzcl
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zssre 10933 . . . . . 6  |-  ZZ  C_  RR
2 sstr 3469 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  ZZ  C_  RR )  ->  A  C_  RR )
31, 2mpan2 675 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  A  C_  RR )
4 suprcl 10558 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
53, 4syl3an1 1297 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
65ltm1d 10528 . . 3  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
7 peano2rem 9930 . . . . . 6  |-  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  e.  RR )
84, 7syl 17 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  e.  RR )
9 suprlub 10560 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  e.  RR )  ->  ( ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  E. z  e.  A  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  - 
1 )  <  z
) )
108, 9mpdan 672 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  E. z  e.  A  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  - 
1 )  <  z
) )
113, 10syl3an1 1297 . . 3  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  E. z  e.  A  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  - 
1 )  <  z
) )
126, 11mpbid 213 . 2  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. z  e.  A  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z )
13 simpl1 1008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  A  C_  ZZ )
1413sselda 3461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  ZZ )
151, 14sseldi 3459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  RR )
165adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
1716adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  /\  w  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
18 simprl 762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  z  e.  A )
1913, 18sseldd 3462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  z  e.  ZZ )
20 zre 10930 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  RR )
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  z  e.  RR )
22 peano2re 9795 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  RR  ->  (
z  +  1 )  e.  RR )
2321, 22syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  ( z  +  1 )  e.  RR )
2423adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
z  +  1 )  e.  RR )
25 suprub 10559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  w  e.  A )  ->  w  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
263, 25syl3anl1 1312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  w  e.  A )  ->  w  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
2726adantlr 719 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  /\  w  e.  A )  ->  w  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
28 simprr 764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z )
29 1red 9647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  1  e.  RR )
3016, 29, 21ltsubaddd 10198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  ( ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z  <->  sup ( A ,  RR ,  <  )  <  ( z  +  1 ) ) )
3128, 30mpbid 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  <  ( z  +  1 ) )
3231adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  /\  w  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  <  ( z  +  1 ) )
3315, 17, 24, 27, 32lelttrd 9782 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  /\  w  e.  A )  ->  w  <  ( z  +  1 ) )
3419adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  /\  w  e.  A )  ->  z  e.  ZZ )
35 zleltp1 10976 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( w  <_  z  <->  w  <  ( z  +  1 ) ) )
3614, 34, 35syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
w  <_  z  <->  w  <  ( z  +  1 ) ) )
3733, 36mpbird 235 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  /\  w  e.  A )  ->  w  <_  z )
3837ralrimiva 2837 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  A. w  e.  A  w  <_  z )
39 suprleub 10562 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  z  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  z  <->  A. w  e.  A  w  <_  z ) )
403, 39syl3anl1 1312 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  z  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  z  <->  A. w  e.  A  w  <_  z ) )
4121, 40syldan 472 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  z  <->  A. w  e.  A  w  <_  z ) )
4238, 41mpbird 235 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  z )
43 suprub 10559 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  z  e.  A )  ->  z  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
443, 43syl3anl1 1312 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  z  e.  A )  ->  z  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
4544adantrr 721 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  z  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
4616, 21letri3d 9766 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  =  z  <->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  z  /\  z  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) ) ) )
4742, 45, 46mpbir2and 930 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  =  z )
4847, 18eqeltrd 2508 . 2  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  A )
4912, 48rexlimddv 2919 1  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616   A.wral 2773   E.wrex 2774    C_ wss 3433   (/)c0 3758   class class class wbr 4417  (class class class)co 6296   supcsup 7951   RRcr 9527   1c1 9529    + caddc 9531    < clt 9664    <_ cle 9665    - cmin 9849   ZZcz 10926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-sup 7953  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-n0 10859  df-z 10927
This theorem is referenced by:  suprfinzcl  11039  rpnnen1lem1  11279  rpnnen1lem2  11280  pgpssslw  17194  plyeq0lem  23029  fourierdlem20  37562  fourierdlem64  37606
  Copyright terms: Public domain W3C validator