Theorem suprzcl 10948

Description: The supremum of a bounded-above set of integers is a member of the set. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
suprzcl	|- ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> sup ( A , RR , < ) e. A )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem suprzcl

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssre 10877	. . . . . 6 |- ZZ C_ RR
2		sstr 3497	. . . . . 6 |- ( ( A C_ ZZ /\ ZZ C_ RR ) -> A C_ RR )
3	1, 2	mpan2 671	. . . . 5 |- ( A C_ ZZ -> A C_ RR )
4		suprcl 10509	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> sup ( A , RR , < ) e. RR )
5	3, 4	syl3an1 1262	. . . 4 |- ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> sup ( A , RR , < ) e. RR )
6	5	ltm1d 10484	. . 3 |- ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < sup ( A , RR , < ) )
7		peano2rem 9891	. . . . . 6 |- ( sup ( A , RR , < ) e. RR -> ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) e. RR )
8	4, 7	syl 16	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) e. RR )
9		suprlub 10511	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) e. RR ) -> ( ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < sup ( A , RR , < ) <-> E. z e. A ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) )
10	8, 9	mpdan 668	. . . 4 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> ( ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < sup ( A , RR , < ) <-> E. z e. A ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) )
11	3, 10	syl3an1 1262	. . 3 |- ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> ( ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < sup ( A , RR , < ) <-> E. z e. A ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) )
12	6, 11	mpbid 210	. 2 |- ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> E. z e. A ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z )
13		simpl1 1000	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> A C_ ZZ )
14	13	sselda 3489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) /\ w e. A ) -> w e. ZZ )
15	1, 14	sseldi 3487	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) /\ w e. A ) -> w e. RR )
16	5	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> sup ( A , RR , < ) e. RR )
17	16	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) /\ w e. A ) -> sup ( A , RR , < ) e. RR )
18		simprl 756	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> z e. A )
19	13, 18	sseldd 3490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> z e. ZZ )
20		zre 10874	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ZZ -> z e. RR )
21	19, 20	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> z e. RR )
22		peano2re 9756	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. RR -> ( z + 1 ) e. RR )
23	21, 22	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> ( z + 1 ) e. RR )
24	23	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) /\ w e. A ) -> ( z + 1 ) e. RR )
25		suprub 10510	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ w e. A ) -> w <_ sup ( A , RR , < ) )
26	3, 25	syl3anl1 1277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ w e. A ) -> w <_ sup ( A , RR , < ) )
27	26	adantlr 714	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) /\ w e. A ) -> w <_ sup ( A , RR , < ) )
28		simprr 757	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z )
29		1red 9614	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> 1 e. RR )
30	16, 29, 21	ltsubaddd 10154	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> ( ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z <-> sup ( A , RR , < ) < ( z + 1 ) ) )
31	28, 30	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> sup ( A , RR , < ) < ( z + 1 ) )
32	31	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) /\ w e. A ) -> sup ( A , RR , < ) < ( z + 1 ) )
33	15, 17, 24, 27, 32	lelttrd 9743	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) /\ w e. A ) -> w < ( z + 1 ) )
34	19	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) /\ w e. A ) -> z e. ZZ )
35		zleltp1 10920	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( w <_ z <-> w < ( z + 1 ) ) )
36	14, 34, 35	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) /\ w e. A ) -> ( w <_ z <-> w < ( z + 1 ) ) )
37	33, 36	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) /\ w e. A ) -> w <_ z )
38	37	ralrimiva 2857	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> A. w e. A w <_ z )
39		suprleub 10513	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ z e. RR ) -> ( sup ( A , RR , < ) <_ z <-> A. w e. A w <_ z ) )
40	3, 39	syl3anl1 1277	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ z e. RR ) -> ( sup ( A , RR , < ) <_ z <-> A. w e. A w <_ z ) )
41	21, 40	syldan 470	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> ( sup ( A , RR , < ) <_ z <-> A. w e. A w <_ z ) )
42	38, 41	mpbird 232	. . . 4 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> sup ( A , RR , < ) <_ z )
43		suprub 10510	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ z e. A ) -> z <_ sup ( A , RR , < ) )
44	3, 43	syl3anl1 1277	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ z e. A ) -> z <_ sup ( A , RR , < ) )
45	44	adantrr 716	. . . 4 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> z <_ sup ( A , RR , < ) )
46	16, 21	letri3d 9730	. . . 4 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> ( sup ( A , RR , < ) = z <-> ( sup ( A , RR , < ) <_ z /\ z <_ sup ( A , RR , < ) ) ) )
47	42, 45, 46	mpbir2and 922	. . 3 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> sup ( A , RR , < ) = z )
48	47, 18	eqeltrd 2531	. 2 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> sup ( A , RR , < ) e. A )
49	12, 48	rexlimddv 2939	1 |- ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> sup ( A , RR , < ) e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 974   = wceq 1383   e. wcel 1804   =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794   C_ wss 3461   (/)c0 3770   class class class wbr 4437  (class class class)co 6281   supcsup 7902   RRcr 9494   1c1 9496   + caddc 9498   < clt 9631   <_ cle 9632   - cmin 9810   ZZcz 10870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-n0 10802  df-z 10871

This theorem is referenced by:  suprfinzcl  10983  rpnnen1lem1  11217  rpnnen1lem2  11218  pgpssslw  16508  plyeq0lem  22480  fourierdlem20  31798  fourierdlem64  31842