Theorem suprzcl 11004

Description: The supremum of a bounded-above set of integers is a member of the set. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
suprzcl	|- ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> sup ( A , RR , < ) e. A )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem suprzcl

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zssre 10933	. . . . . 6 |- ZZ C_ RR
2		sstr 3469	. . . . . 6 |- ( ( A C_ ZZ /\ ZZ C_ RR ) -> A C_ RR )
3	1, 2	mpan2 675	. . . . 5 |- ( A C_ ZZ -> A C_ RR )
4		suprcl 10558	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> sup ( A , RR , < ) e. RR )
5	3, 4	syl3an1 1297	. . . 4 |- ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> sup ( A , RR , < ) e. RR )
6	5	ltm1d 10528	. . 3 |- ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < sup ( A , RR , < ) )
7		peano2rem 9930	. . . . . 6 |- ( sup ( A , RR , < ) e. RR -> ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) e. RR )
8	4, 7	syl 17	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) e. RR )
9		suprlub 10560	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) e. RR ) -> ( ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < sup ( A , RR , < ) <-> E. z e. A ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) )
10	8, 9	mpdan 672	. . . 4 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> ( ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < sup ( A , RR , < ) <-> E. z e. A ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) )
11	3, 10	syl3an1 1297	. . 3 |- ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> ( ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < sup ( A , RR , < ) <-> E. z e. A ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) )
12	6, 11	mpbid 213	. 2 |- ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> E. z e. A ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z )
13		simpl1 1008	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> A C_ ZZ )
14	13	sselda 3461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) /\ w e. A ) -> w e. ZZ )
15	1, 14	sseldi 3459	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) /\ w e. A ) -> w e. RR )
16	5	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> sup ( A , RR , < ) e. RR )
17	16	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) /\ w e. A ) -> sup ( A , RR , < ) e. RR )
18		simprl 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> z e. A )
19	13, 18	sseldd 3462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> z e. ZZ )
20		zre 10930	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ZZ -> z e. RR )
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> z e. RR )
22		peano2re 9795	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. RR -> ( z + 1 ) e. RR )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> ( z + 1 ) e. RR )
24	23	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) /\ w e. A ) -> ( z + 1 ) e. RR )
25		suprub 10559	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ w e. A ) -> w <_ sup ( A , RR , < ) )
26	3, 25	syl3anl1 1312	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ w e. A ) -> w <_ sup ( A , RR , < ) )
27	26	adantlr 719	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) /\ w e. A ) -> w <_ sup ( A , RR , < ) )
28		simprr 764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z )
29		1red 9647	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> 1 e. RR )
30	16, 29, 21	ltsubaddd 10198	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> ( ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z <-> sup ( A , RR , < ) < ( z + 1 ) ) )
31	28, 30	mpbid 213	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> sup ( A , RR , < ) < ( z + 1 ) )
32	31	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) /\ w e. A ) -> sup ( A , RR , < ) < ( z + 1 ) )
33	15, 17, 24, 27, 32	lelttrd 9782	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) /\ w e. A ) -> w < ( z + 1 ) )
34	19	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) /\ w e. A ) -> z e. ZZ )
35		zleltp1 10976	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( w <_ z <-> w < ( z + 1 ) ) )
36	14, 34, 35	syl2anc 665	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) /\ w e. A ) -> ( w <_ z <-> w < ( z + 1 ) ) )
37	33, 36	mpbird 235	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) /\ w e. A ) -> w <_ z )
38	37	ralrimiva 2837	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> A. w e. A w <_ z )
39		suprleub 10562	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ z e. RR ) -> ( sup ( A , RR , < ) <_ z <-> A. w e. A w <_ z ) )
40	3, 39	syl3anl1 1312	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ z e. RR ) -> ( sup ( A , RR , < ) <_ z <-> A. w e. A w <_ z ) )
41	21, 40	syldan 472	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> ( sup ( A , RR , < ) <_ z <-> A. w e. A w <_ z ) )
42	38, 41	mpbird 235	. . . 4 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> sup ( A , RR , < ) <_ z )
43		suprub 10559	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ z e. A ) -> z <_ sup ( A , RR , < ) )
44	3, 43	syl3anl1 1312	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ z e. A ) -> z <_ sup ( A , RR , < ) )
45	44	adantrr 721	. . . 4 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> z <_ sup ( A , RR , < ) )
46	16, 21	letri3d 9766	. . . 4 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> ( sup ( A , RR , < ) = z <-> ( sup ( A , RR , < ) <_ z /\ z <_ sup ( A , RR , < ) ) ) )
47	42, 45, 46	mpbir2and 930	. . 3 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> sup ( A , RR , < ) = z )
48	47, 18	eqeltrd 2508	. 2 |- ( ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ ( z e. A /\ ( sup ( A , RR , < ) - 1 ) < z ) ) -> sup ( A , RR , < ) e. A )
49	12, 48	rexlimddv 2919	1 |- ( ( A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> sup ( A , RR , < ) e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1867   =/= wne 2616   A.wral 2773   E.wrex 2774   C_ wss 3433   (/)c0 3758   class class class wbr 4417  (class class class)co 6296   supcsup 7951   RRcr 9527   1c1 9529   + caddc 9531   < clt 9664   <_ cle 9665   - cmin 9849   ZZcz 10926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-sup 7953  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-n0 10859  df-z 10927

This theorem is referenced by:  suprfinzcl  11039  rpnnen1lem1  11279  rpnnen1lem2  11280  pgpssslw  17194  plyeq0lem  23029  fourierdlem20  37562  fourierdlem64  37606