MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suprzcl Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem suprzcl 11038
Description: The supremum of a bounded-above set of integers is a member of the set. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
suprzcl  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  A )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem suprzcl
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zssre 10968 . . . . . 6  |-  ZZ  C_  RR
2 sstr 3426 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  ZZ  C_  RR )  ->  A  C_  RR )
31, 2mpan2 685 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  A  C_  RR )
4 suprcl 10591 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
53, 4syl3an1 1325 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
65ltm1d 10561 . . 3  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
7 peano2rem 9961 . . . . . 6  |-  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  e.  RR )
84, 7syl 17 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  e.  RR )
9 suprlub 10593 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  e.  RR )  ->  ( ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  E. z  e.  A  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  - 
1 )  <  z
) )
108, 9mpdan 681 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  E. z  e.  A  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  - 
1 )  <  z
) )
113, 10syl3an1 1325 . . 3  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  E. z  e.  A  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  - 
1 )  <  z
) )
126, 11mpbid 215 . 2  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. z  e.  A  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z )
13 simpl1 1033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  A  C_  ZZ )
1413sselda 3418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  ZZ )
151, 14sseldi 3416 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  RR )
165adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
1716adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  /\  w  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
18 simprl 772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  z  e.  A )
1913, 18sseldd 3419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  z  e.  ZZ )
20 zre 10965 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  RR )
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  z  e.  RR )
22 peano2re 9824 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  RR  ->  (
z  +  1 )  e.  RR )
2321, 22syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  ( z  +  1 )  e.  RR )
2423adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
z  +  1 )  e.  RR )
25 suprub 10592 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  w  e.  A )  ->  w  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
263, 25syl3anl1 1340 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  w  e.  A )  ->  w  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
2726adantlr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  /\  w  e.  A )  ->  w  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
28 simprr 774 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z )
29 1red 9676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  1  e.  RR )
3016, 29, 21ltsubaddd 10230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  ( ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z  <->  sup ( A ,  RR ,  <  )  <  ( z  +  1 ) ) )
3128, 30mpbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  <  ( z  +  1 ) )
3231adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  /\  w  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  <  ( z  +  1 ) )
3315, 17, 24, 27, 32lelttrd 9810 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  /\  w  e.  A )  ->  w  <  ( z  +  1 ) )
3419adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  /\  w  e.  A )  ->  z  e.  ZZ )
35 zleltp1 11011 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( w  <_  z  <->  w  <  ( z  +  1 ) ) )
3614, 34, 35syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  /\  w  e.  A )  ->  (
w  <_  z  <->  w  <  ( z  +  1 ) ) )
3733, 36mpbird 240 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  /\  w  e.  A )  ->  w  <_  z )
3837ralrimiva 2809 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  A. w  e.  A  w  <_  z )
39 suprleub 10595 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  z  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  z  <->  A. w  e.  A  w  <_  z ) )
403, 39syl3anl1 1340 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  z  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  z  <->  A. w  e.  A  w  <_  z ) )
4121, 40syldan 478 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  z  <->  A. w  e.  A  w  <_  z ) )
4238, 41mpbird 240 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  z )
43 suprub 10592 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  z  e.  A )  ->  z  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
443, 43syl3anl1 1340 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  z  e.  A )  ->  z  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
4544adantrr 731 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  z  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
4616, 21letri3d 9794 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  =  z  <->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  z  /\  z  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) ) ) )
4742, 45, 46mpbir2and 936 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  =  z )
4847, 18eqeltrd 2549 . 2  |-  ( ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( z  e.  A  /\  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  -  1 )  <  z ) )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  A )
4912, 48rexlimddv 2875 1  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757    C_ wss 3390   (/)c0 3722   class class class wbr 4395  (class class class)co 6308   supcsup 7972   RRcr 9556   1c1 9558    + caddc 9560    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   ZZcz 10961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962
This theorem is referenced by:  suprfinzcl  11073  rpnnen1lem1  11313  rpnnen1lem2  11314  pgpssslw  17344  plyeq0lem  23243  fourierdlem20  38101  fourierdlem64  38146
  Copyright terms: Public domain W3C validator