Theorem suprzcl 13658

Description: The supremum of a bounded-above set of integers is a member of the set. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
suprzcl	|- ((A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <_ x) -> sup(A, RR, < ) e. A)

Distinct variable group:   x,A,y

Proof of Theorem suprzcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supminf 13656	. . 3 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <_ x) -> sup(A, RR, < ) = -usup({z e. RR | -uz e. A}, RR, `' < ))
2		zssre 7351	. . . 4 |- ZZ C_ RR
3		sstr 2625	. . . 4 |- ((A C_ ZZ /\ ZZ C_ RR) -> A C_ RR)
4	2, 3	mpan2 760	. . 3 |- (A C_ ZZ -> A C_ RR)
5	1, 4	syl3an1 1130	. 2 |- ((A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <_ x) -> sup(A, RR, < ) = -usup({z e. RR | -uz e. A}, RR, `' < ))
6		simp2 877	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((A C_ ZZ /\ x e. ZZ /\ A.y e. {z e. RR | -uz e. A}x <_ y) -> x e. ZZ)
7	6	a1d 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A C_ ZZ /\ x e. ZZ /\ A.y e. {z e. RR | -uz e. A}x <_ y) -> (w e. {z e. RR | -uz e. A} -> x e. ZZ))
8		ssrab2 2692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- {z e. ZZ | -uz e. A} C_ ZZ
9		eqreznegel 13654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (A C_ ZZ -> {z e. RR | -uz e. A} = {z e. ZZ | -uz e. A})
10	9	sseq1d 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (A C_ ZZ -> ({z e. RR | -uz e. A} C_ ZZ <-> {z e. ZZ | -uz e. A} C_ ZZ))
11	8, 10	mpbiri 211	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (A C_ ZZ -> {z e. RR | -uz e. A} C_ ZZ)
12	11	sseld 2619	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (A C_ ZZ -> (w e. {z e. RR | -uz e. A} -> w e. ZZ))
13	12	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A C_ ZZ /\ x e. ZZ /\ A.y e. {z e. RR | -uz e. A}x <_ y) -> (w e. {z e. RR | -uz e. A} -> w e. ZZ))
14		breq2 3342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (y = w -> (x <_ y <-> x <_ w))
15	14	rcla4v 2376	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (w e. {z e. RR | -uz e. A} -> (A.y e. {z e. RR | -uz e. A}x <_ y -> x <_ w))
16	15	com12 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (A.y e. {z e. RR | -uz e. A}x <_ y -> (w e. {z e. RR | -uz e. A} -> x <_ w))
17	16	3ad2ant3 899	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A C_ ZZ /\ x e. ZZ /\ A.y e. {z e. RR | -uz e. A}x <_ y) -> (w e. {z e. RR | -uz e. A} -> x <_ w))
18	7, 13, 17	3jcad 1051	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A C_ ZZ /\ x e. ZZ /\ A.y e. {z e. RR | -uz e. A}x <_ y) -> (w e. {z e. RR | -uz e. A} -> (x e. ZZ /\ w e. ZZ /\ x <_ w)))
19		eluz 7595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((x e. ZZ /\ w e. ZZ) -> (w e. (ZZ>=` x) <-> x <_ w))
20	19	biimpar 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((x e. ZZ /\ w e. ZZ) /\ x <_ w) -> w e. (ZZ>=` x))
21	20	3impa 1062	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. ZZ /\ w e. ZZ /\ x <_ w) -> w e. (ZZ>=` x))
22	18, 21	syl6 25	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A C_ ZZ /\ x e. ZZ /\ A.y e. {z e. RR | -uz e. A}x <_ y) -> (w e. {z e. RR | -uz e. A} -> w e. (ZZ>=` x)))
23	22	19.21aiv 1664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A C_ ZZ /\ x e. ZZ /\ A.y e. {z e. RR | -uz e. A}x <_ y) -> A.w(w e. {z e. RR | -uz e. A} -> w e. (ZZ>=` x)))
24		dfss2 2610	. . . . . . . . . . . . 13 |- ({z e. RR | -uz e. A} C_ (ZZ>=` x) <-> A.w(w e. {z e. RR | -uz e. A} -> w e. (ZZ>=` x)))
25	23, 24	sylibr 217	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A C_ ZZ /\ x e. ZZ /\ A.y e. {z e. RR | -uz e. A}x <_ y) -> {z e. RR | -uz e. A} C_ (ZZ>=` x))
26	25	3expb 1068	. . . . . . . . . . 11 |- ((A C_ ZZ /\ (x e. ZZ /\ A.y e. {z e. RR | -uz e. A}x <_ y)) -> {z e. RR | -uz e. A} C_ (ZZ>=` x))
27	26	adantlr 429	. . . . . . . . . 10 |- (((A C_ ZZ /\ A =/= (/)) /\ (x e. ZZ /\ A.y e. {z e. RR | -uz e. A}x <_ y)) -> {z e. RR | -uz e. A} C_ (ZZ>=` x))
28		negn0 13655	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/)) -> {z e. RR | -uz e. A} =/= (/))
29	28, 4	sylan 497	. . . . . . . . . . 11 |- ((A C_ ZZ /\ A =/= (/)) -> {z e. RR | -uz e. A} =/= (/))
30	29	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- (((A C_ ZZ /\ A =/= (/)) /\ (x e. ZZ /\ A.y e. {z e. RR | -uz e. A}x <_ y)) -> {z e. RR | -uz e. A} =/= (/))
31		infmssuzcl 7636	. . . . . . . . . 10 |- (({z e. RR | -uz e. A} C_ (ZZ>=` x) /\ {z e. RR | -uz e. A} =/= (/)) -> sup({z e. RR | -uz e. A}, RR, `' < ) e. {z e. RR | -uz e. A})
32	27, 30, 31	syl11anc 524	. . . . . . . . 9 |- (((A C_ ZZ /\ A =/= (/)) /\ (x e. ZZ /\ A.y e. {z e. RR | -uz e. A}x <_ y)) -> sup({z e. RR | -uz e. A}, RR, `' < ) e. {z e. RR | -uz e. A})
33	32	ex 402	. . . . . . . 8 |- ((A C_ ZZ /\ A =/= (/)) -> ((x e. ZZ /\ A.y e. {z e. RR | -uz e. A}x <_ y) -> sup({z e. RR | -uz e. A}, RR, `' < ) e. {z e. RR | -uz e. A}))
34	33	exp3a 405	. . . . . . 7 |- ((A C_ ZZ /\ A =/= (/)) -> (x e. ZZ -> (A.y e. {z e. RR | -uz e. A}x <_ y -> sup({z e. RR | -uz e. A}, RR, `' < ) e. {z e. RR | -uz e. A})))
35	34	r19.23adv 2215	. . . . . 6 |- ((A C_ ZZ /\ A =/= (/)) -> (E.x e. ZZ A.y e. {z e. RR | -uz e. A}x <_ y -> sup({z e. RR | -uz e. A}, RR, `' < ) e. {z e. RR | -uz e. A}))
36	35	3impia 1064	. . . . 5 |- ((A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E.x e. ZZ A.y e. {z e. RR | -uz e. A}x <_ y) -> sup({z e. RR | -uz e. A}, RR, `' < ) e. {z e. RR | -uz e. A})
37		ublbneg 13653	. . . . . 6 |- (E.x e. RR A.y e. A y <_ x -> E.x e. RR A.y e. {z e. RR | -uz e. A}x <_ y)
38		ssrab2 2692	. . . . . . 7 |- {z e. RR | -uz e. A} C_ RR
39		lbzbi 13657	. . . . . . 7 |- ({z e. RR | -uz e. A} C_ RR -> (E.x e. RR A.y e. {z e. RR | -uz e. A}x <_ y <-> E.x e. ZZ A.y e. {z e. RR | -uz e. A}x <_ y))
40	38, 39	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (E.x e. RR A.y e. {z e. RR | -uz e. A}x <_ y <-> E.x e. ZZ A.y e. {z e. RR | -uz e. A}x <_ y)
41	37, 40	sylib 215	. . . . 5 |- (E.x e. RR A.y e. A y <_ x -> E.x e. ZZ A.y e. {z e. RR | -uz e. A}x <_ y)
42	36, 41	syl3an3 1132	. . . 4 |- ((A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <_ x) -> sup({z e. RR | -uz e. A}, RR, `' < ) e. {z e. RR | -uz e. A})
43		negeq 6514	. . . . . 6 |- (z = x -> -uz = -ux)
44	43	eleq1d 1963	. . . . 5 |- (z = x -> (-uz e. A <-> -ux e. A))
45	44	cbvrabv 2422	. . . 4 |- {z e. RR | -uz e. A} = {x e. RR | -ux e. A}
46	42, 45	syl6eleq 1981	. . 3 |- ((A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <_ x) -> sup({z e. RR | -uz e. A}, RR, `' < ) e. {x e. RR | -ux e. A})
47		negeq 6514	. . . . . 6 |- (x = sup({z e. RR | -uz e. A}, RR, `' < ) -> -ux = -usup({z e. RR | -uz e. A}, RR, `' < ))
48	47	eleq1d 1963	. . . . 5 |- (x = sup({z e. RR | -uz e. A}, RR, `' < ) -> (-ux e. A <-> -usup({z e. RR | -uz e. A}, RR, `' < ) e. A))
49	48	elrab 2414	. . . 4 |- (sup({z e. RR | -uz e. A}, RR, `' < ) e. {x e. RR | -ux e. A} <-> (sup({z e. RR | -uz e. A}, RR, `' < ) e. RR /\ -usup({z e. RR | -uz e. A}, RR, `' < ) e. A))
50	49	simprbi 353	. . 3 |- (sup({z e. RR | -uz e. A}, RR, `' < ) e. {x e. RR | -ux e. A} -> -usup({z e. RR | -uz e. A}, RR, `' < ) e. A)
51	46, 50	syl 12	. 2 |- ((A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <_ x) -> -usup({z e. RR | -uz e. A}, RR, `' < ) e. A)
52	5, 51	eqeltrd 1971	1 |- ((A C_ ZZ /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <_ x) -> sup(A, RR, < ) e. A)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106  {crab 2108   C_ wss 2593  (/)c0 2875   class class class wbr 3338  `'ccnv 3985  ` cfv 3998  supcsup 5663  RRcr 6385  -ucneg 6446   <_ cle 6448  ZZcz 6451   < clt 6653  ZZ>=cuz 7586

This theorem is referenced by:  gcdcllem3 13720

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587

Copyright terms: Public domain