MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suprub Structured version   Unicode version

Theorem suprub 10510
Description: A member of a nonempty bounded set of reals is less than or equal to the set's upper bound. (Contributed by NM, 12-Oct-2004.)
Assertion
Ref Expression
suprub  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  A )  ->  B  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
Distinct variable group:    x, y, A
Allowed substitution hints:    B( x, y)

Proof of Theorem suprub
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltso 9668 . . . . 5  |-  <  Or  RR
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  <  Or  RR )
3 sup3 10506 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
42, 3supub 7921 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( B  e.  A  ->  -.  sup ( A ,  RR ,  <  )  <  B ) )
54imp 429 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  A )  ->  -.  sup ( A ,  RR ,  <  )  <  B
)
6 simp1 997 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  A  C_  RR )
76sselda 3489 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  RR )
8 suprcl 10509 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
98adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
107, 9lenltd 9734 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  A )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  -.  sup ( A ,  RR ,  <  )  <  B ) )
115, 10mpbird 232 1  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  A )  ->  B  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 974    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794    C_ wss 3461   (/)c0 3770   class class class wbr 4437    Or wor 4789   supcsup 7902   RRcr 9494    < clt 9631    <_ cle 9632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813
This theorem is referenced by:  supmul1  10514  supmullem1  10515  supmul  10517  suprubii  10520  suprzcl  10948  rpnnen1lem5  11221  supicc  11677  supiccub  11678  flval3  11930  fseqsupubi  12067  sqrlem4  13058  sqrlem7  13061  isercolllem2  13467  climsup  13471  fsumcvg3  13530  supcvg  13646  mertenslem1  13672  mertenslem2  13673  ruclem12  13851  pgpssslw  16508  icccmplem2  21201  icccmplem3  21202  reconnlem2  21205  evth  21332  ivthlem2  21737  ivthlem3  21738  mbflimsup  21946  itg2mono  22033  itg2cnlem1  22041  c1liplem1  22270  plyeq0lem  22480  esumpcvgval  27957  erdszelem8  28515  supaddc  30016  supadd  30017  itg2addnclem2  30042  ftc1anclem7  30071  ftc1anc  30073  totbndbnd  30260  prdsbnd  30264  ubelsupr  31349  suprnmpt  31401  upbdrech  31454  ssfiunibd  31458  fourierdlem20  31798  fourierdlem31  31809  fourierdlem64  31842  fourierdlem79  31857  suprubd  37645
  Copyright terms: Public domain W3C validator