MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suprub Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem suprub 10559
Description: A member of a nonempty bounded set of reals is less than or equal to the set's upper bound. (Contributed by NM, 12-Oct-2004.)
Assertion
Ref Expression
suprub  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  A )  ->  B  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
Distinct variable group:    x, y, A
Allowed substitution hints:    B( x, y)

Proof of Theorem suprub
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltso 9701 . . . . 5  |-  <  Or  RR
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  <  Or  RR )
3 sup3 10555 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
42, 3supub 7960 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( B  e.  A  ->  -.  sup ( A ,  RR ,  <  )  <  B ) )
54imp 435 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  A )  ->  -.  sup ( A ,  RR ,  <  )  <  B
)
6 simp1 1009 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  A  C_  RR )
76sselda 3400 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  RR )
8 suprcl 10558 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
98adantr 471 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  A )  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
107, 9lenltd 9768 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  A )  ->  ( B  <_  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  -.  sup ( A ,  RR ,  <  )  <  B ) )
115, 10mpbird 240 1  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  A )  ->  B  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 375    /\ w3a 986    e. wcel 1891    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738    C_ wss 3372   (/)c0 3699   class class class wbr 4374    Or wor 4732   supcsup 7941   RRcr 9525    < clt 9662    <_ cle 9663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1673  ax-4 1686  ax-5 1762  ax-6 1809  ax-7 1855  ax-8 1893  ax-9 1900  ax-10 1919  ax-11 1924  ax-12 1937  ax-13 2092  ax-ext 2432  ax-sep 4497  ax-nul 4506  ax-pow 4554  ax-pr 4612  ax-un 6571  ax-resscn 9583  ax-1cn 9584  ax-icn 9585  ax-addcl 9586  ax-addrcl 9587  ax-mulcl 9588  ax-mulrcl 9589  ax-mulcom 9590  ax-addass 9591  ax-mulass 9592  ax-distr 9593  ax-i2m1 9594  ax-1ne0 9595  ax-1rid 9596  ax-rnegex 9597  ax-rrecex 9598  ax-cnre 9599  ax-pre-lttri 9600  ax-pre-lttrn 9601  ax-pre-ltadd 9602  ax-pre-mulgt0 9603  ax-pre-sup 9604
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1451  df-ex 1668  df-nf 1672  df-sb 1802  df-eu 2304  df-mo 2305  df-clab 2439  df-cleq 2445  df-clel 2448  df-nfc 2582  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3015  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-op 3943  df-uni 4169  df-br 4375  df-opab 4434  df-mpt 4435  df-id 4727  df-po 4733  df-so 4734  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-iota 5525  df-fun 5563  df-fn 5564  df-f 5565  df-f1 5566  df-fo 5567  df-f1o 5568  df-fv 5569  df-riota 6238  df-ov 6279  df-oprab 6280  df-mpt2 6281  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-sup 7943  df-pnf 9664  df-mnf 9665  df-xr 9666  df-ltxr 9667  df-le 9668  df-sub 9849  df-neg 9850
This theorem is referenced by:  supaddc  10563  supadd  10564  supmul1  10565  supmullem1  10566  supmul  10568  suprubii  10571  suprzcl  11005  rpnnen1lem5  11284  supicc  11771  supiccub  11772  flval3  12044  fseqsupubi  12185  sqrlem4  13320  sqrlem7  13323  isercolllem2  13740  climsup  13744  fsumcvg3  13806  supcvg  13925  mertenslem1  13951  mertenslem2  13952  ruclem12  14304  pgpssslw  17277  icccmplem2  21852  icccmplem3  21853  reconnlem2  21856  evth  21998  ivthlem2  22414  ivthlem3  22415  mbflimsup  22635  mbflimsupOLD  22636  itg2mono  22723  itg2cnlem1  22731  c1liplem1  22960  plyeq0lem  23176  esumpcvgval  28906  erdszelem8  29927  itg2addnclem2  31996  ftc1anclem7  32025  ftc1anc  32027  totbndbnd  32123  prdsbnd  32127  suprubd  36604  ubelsupr  37338  suprnmpt  37449  upbdrech  37554  ssfiunibd  37558  uzfissfz  37580  fourierdlem20  38046  fourierdlem31  38057  fourierdlem31OLD  38058  fourierdlem64  38091  fourierdlem79  38106  sge0isum  38328  hoicvr  38433  hoidmv1lelem1  38476  hoidmv1lelem3  38478  hoidmvlelem1  38480  hoidmvlelem4  38483
  Copyright terms: Public domain W3C validator