Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  suprnmpt Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem suprnmpt 37439
Description: An explicit bound for the range of a bounded function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
suprnmpt.a  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
suprnmpt.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
suprnmpt.bnd  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  y )
suprnmpt.f  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
suprnmpt.c  |-  C  =  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
suprnmpt  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\ 
A. x  e.  A  B  <_  C ) )
Distinct variable groups:    x, A    y, F    ph, x, y
Allowed substitution hints:    A( y)    B( x, y)    C( x, y)    F( x)

Proof of Theorem suprnmpt
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suprnmpt.c . . 3  |-  C  =  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )
2 suprnmpt.b . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
32ralrimiva 2802 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  RR )
4 suprnmpt.f . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
54rnmptss 6052 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  RR  ->  ran  F  C_  RR )
63, 5syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  RR )
7 nfv 1761 . . . . 5  |-  F/ x ph
8 nfmpt1 4492 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  B )
94, 8nfcxfr 2590 . . . . . . 7  |-  F/_ x F
109nfrn 5077 . . . . . 6  |-  F/_ x ran  F
11 nfcv 2592 . . . . . 6  |-  F/_ x (/)
1210, 11nfne 2723 . . . . 5  |-  F/ x ran  F  =/=  (/)
13 suprnmpt.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
14 n0 3741 . . . . . 6  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  A )
1513, 14sylib 200 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. x  x  e.  A )
16 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
174elrnmpt1 5083 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  ran  F
)
1816, 2, 17syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  ran  F )
19 ne0i 3737 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ran  F  ->  ran  F  =/=  (/) )
2018, 19syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ran  F  =/=  (/) )
217, 12, 15, 20exlimdd 2070 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  F  =/=  (/) )
22 suprnmpt.bnd . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  y )
23 nfv 1761 . . . . . 6  |-  F/ y
ph
24 nfre1 2848 . . . . . 6  |-  F/ y E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  F  z  <_  y
25 simp2 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR  /\  A. x  e.  A  B  <_  y
)  ->  y  e.  RR )
26 simpl1 1011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR  /\  A. x  e.  A  B  <_  y )  /\  z  e. 
ran  F )  ->  ph )
27 simpl3 1013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR  /\  A. x  e.  A  B  <_  y )  /\  z  e. 
ran  F )  ->  A. x  e.  A  B  <_  y )
28 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
294elrnmpt 5081 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  _V  ->  (
z  e.  ran  F  <->  E. x  e.  A  z  =  B ) )
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ran  F  <->  E. x  e.  A  z  =  B )
3130biimpi 198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ran  F  ->  E. x  e.  A  z  =  B )
3231adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR  /\  A. x  e.  A  B  <_  y )  /\  z  e. 
ran  F )  ->  E. x  e.  A  z  =  B )
33 simp3 1010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  A  B  <_  y  /\  E. x  e.  A  z  =  B )  ->  E. x  e.  A  z  =  B )
34 nfra1 2769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x A. x  e.  A  B  <_  y
35 nfre1 2848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x E. x  e.  A  z  =  B
367, 34, 35nf3an 2013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( ph  /\  A. x  e.  A  B  <_  y  /\  E. x  e.  A  z  =  B )
37 nfv 1761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x  z  <_  y
38 simp3 1010 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. x  e.  A  B  <_  y  /\  x  e.  A  /\  z  =  B )  ->  z  =  B )
39 rspa 2755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. x  e.  A  B  <_  y  /\  x  e.  A )  ->  B  <_  y )
40393adant3 1028 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. x  e.  A  B  <_  y  /\  x  e.  A  /\  z  =  B )  ->  B  <_  y )
4138, 40eqbrtrd 4423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. x  e.  A  B  <_  y  /\  x  e.  A  /\  z  =  B )  ->  z  <_  y )
42413exp 1207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  A  B  <_  y  ->  ( x  e.  A  ->  ( z  =  B  ->  z  <_  y ) ) )
43423ad2ant2 1030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  A  B  <_  y  /\  E. x  e.  A  z  =  B )  ->  ( x  e.  A  ->  ( z  =  B  ->  z  <_  y ) ) )
4436, 37, 43rexlimd 2871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  A  B  <_  y  /\  E. x  e.  A  z  =  B )  ->  ( E. x  e.  A  z  =  B  ->  z  <_ 
y ) )
4533, 44mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  A  B  <_  y  /\  E. x  e.  A  z  =  B )  ->  z  <_  y )
4626, 27, 32, 45syl3anc 1268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR  /\  A. x  e.  A  B  <_  y )  /\  z  e. 
ran  F )  -> 
z  <_  y )
4746ralrimiva 2802 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR  /\  A. x  e.  A  B  <_  y
)  ->  A. z  e.  ran  F  z  <_ 
y )
48 19.8a 1935 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  A. z  e.  ran  F  z  <_  y )  ->  E. y ( y  e.  RR  /\  A. z  e.  ran  F  z  <_ 
y ) )
4925, 47, 48syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR  /\  A. x  e.  A  B  <_  y
)  ->  E. y
( y  e.  RR  /\ 
A. z  e.  ran  F  z  <_  y )
)
50 df-rex 2743 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  F  z  <_  y  <->  E. y
( y  e.  RR  /\ 
A. z  e.  ran  F  z  <_  y )
)
5149, 50sylibr 216 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR  /\  A. x  e.  A  B  <_  y
)  ->  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  F  z  <_  y )
52513exp 1207 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  ->  ( A. x  e.  A  B  <_  y  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  F  z  <_  y ) ) )
5323, 24, 52rexlimd 2871 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  y  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  F  z  <_  y ) )
5422, 53mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  F  z  <_  y )
55 suprcl 10569 . . . 4  |-  ( ( ran  F  C_  RR  /\ 
ran  F  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  F  z  <_ 
y )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  RR )
566, 21, 54, 55syl3anc 1268 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  RR )
571, 56syl5eqel 2533 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
586adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ran  F 
C_  RR )
5954adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  F  z  <_  y )
60 suprub 10570 . . . . 5  |-  ( ( ( ran  F  C_  RR  /\  ran  F  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  F  z  <_  y )  /\  B  e. 
ran  F )  ->  B  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )
)
6158, 20, 59, 18, 60syl31anc 1271 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )
)
6261, 1syl6breqr 4443 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  <_  C )
6362ralrimiva 2802 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  <_  C )
6457, 63jca 535 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\ 
A. x  e.  A  B  <_  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444   E.wex 1663    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045    C_ wss 3404   (/)c0 3731   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   ran crn 4835   supcsup 7954   RRcr 9538    < clt 9675    <_ cle 9676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863
This theorem is referenced by:  ioodvbdlimc1lem1  37803  ioodvbdlimc1lem2  37804  ioodvbdlimc1lem1OLD  37805  ioodvbdlimc1lem2OLD  37806  ioodvbdlimc2lem  37808  ioodvbdlimc2lemOLD  37809
  Copyright terms: Public domain W3C validator