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Theorem suprnmpt 37512
Description: An explicit bound for the range of a bounded function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
suprnmpt.a  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
suprnmpt.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
suprnmpt.bnd  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  y )
suprnmpt.f  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
suprnmpt.c  |-  C  =  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
suprnmpt  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\ 
A. x  e.  A  B  <_  C ) )
Distinct variable groups:    x, A    y, F    ph, x, y
Allowed substitution hints:    A( y)    B( x, y)    C( x, y)    F( x)

Proof of Theorem suprnmpt
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suprnmpt.c . . 3  |-  C  =  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )
2 suprnmpt.b . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
32ralrimiva 2809 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  RR )
4 suprnmpt.f . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
54rnmptss 6068 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  RR  ->  ran  F  C_  RR )
63, 5syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  RR )
7 nfv 1769 . . . . 5  |-  F/ x ph
8 nfmpt1 4485 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  B )
94, 8nfcxfr 2610 . . . . . . 7  |-  F/_ x F
109nfrn 5083 . . . . . 6  |-  F/_ x ran  F
11 nfcv 2612 . . . . . 6  |-  F/_ x (/)
1210, 11nfne 2742 . . . . 5  |-  F/ x ran  F  =/=  (/)
13 suprnmpt.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
14 n0 3732 . . . . . 6  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  A )
1513, 14sylib 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. x  x  e.  A )
16 simpr 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
174elrnmpt1 5089 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  ran  F
)
1816, 2, 17syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  ran  F )
19 ne0i 3728 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ran  F  ->  ran  F  =/=  (/) )
2018, 19syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ran  F  =/=  (/) )
217, 12, 15, 20exlimdd 2089 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  F  =/=  (/) )
22 suprnmpt.bnd . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  y )
23 nfv 1769 . . . . . 6  |-  F/ y
ph
24 nfre1 2846 . . . . . 6  |-  F/ y E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  F  z  <_  y
25 simp2 1031 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR  /\  A. x  e.  A  B  <_  y
)  ->  y  e.  RR )
26 simpl1 1033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR  /\  A. x  e.  A  B  <_  y )  /\  z  e. 
ran  F )  ->  ph )
27 simpl3 1035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR  /\  A. x  e.  A  B  <_  y )  /\  z  e. 
ran  F )  ->  A. x  e.  A  B  <_  y )
28 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
294elrnmpt 5087 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  _V  ->  (
z  e.  ran  F  <->  E. x  e.  A  z  =  B ) )
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ran  F  <->  E. x  e.  A  z  =  B )
3130biimpi 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ran  F  ->  E. x  e.  A  z  =  B )
3231adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR  /\  A. x  e.  A  B  <_  y )  /\  z  e. 
ran  F )  ->  E. x  e.  A  z  =  B )
33 simp3 1032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  A  B  <_  y  /\  E. x  e.  A  z  =  B )  ->  E. x  e.  A  z  =  B )
34 nfra1 2785 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x A. x  e.  A  B  <_  y
35 nfre1 2846 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x E. x  e.  A  z  =  B
367, 34, 35nf3an 2033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( ph  /\  A. x  e.  A  B  <_  y  /\  E. x  e.  A  z  =  B )
37 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x  z  <_  y
38 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. x  e.  A  B  <_  y  /\  x  e.  A  /\  z  =  B )  ->  z  =  B )
39 rspa 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. x  e.  A  B  <_  y  /\  x  e.  A )  ->  B  <_  y )
40393adant3 1050 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. x  e.  A  B  <_  y  /\  x  e.  A  /\  z  =  B )  ->  B  <_  y )
4138, 40eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. x  e.  A  B  <_  y  /\  x  e.  A  /\  z  =  B )  ->  z  <_  y )
42413exp 1230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  A  B  <_  y  ->  ( x  e.  A  ->  ( z  =  B  ->  z  <_  y ) ) )
43423ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  A  B  <_  y  /\  E. x  e.  A  z  =  B )  ->  ( x  e.  A  ->  ( z  =  B  ->  z  <_  y ) ) )
4436, 37, 43rexlimd 2866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  A  B  <_  y  /\  E. x  e.  A  z  =  B )  ->  ( E. x  e.  A  z  =  B  ->  z  <_ 
y ) )
4533, 44mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  A  B  <_  y  /\  E. x  e.  A  z  =  B )  ->  z  <_  y )
4626, 27, 32, 45syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR  /\  A. x  e.  A  B  <_  y )  /\  z  e. 
ran  F )  -> 
z  <_  y )
4746ralrimiva 2809 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR  /\  A. x  e.  A  B  <_  y
)  ->  A. z  e.  ran  F  z  <_ 
y )
48 19.8a 1955 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  A. z  e.  ran  F  z  <_  y )  ->  E. y ( y  e.  RR  /\  A. z  e.  ran  F  z  <_ 
y ) )
4925, 47, 48syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR  /\  A. x  e.  A  B  <_  y
)  ->  E. y
( y  e.  RR  /\ 
A. z  e.  ran  F  z  <_  y )
)
50 df-rex 2762 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  F  z  <_  y  <->  E. y
( y  e.  RR  /\ 
A. z  e.  ran  F  z  <_  y )
)
5149, 50sylibr 217 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR  /\  A. x  e.  A  B  <_  y
)  ->  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  F  z  <_  y )
52513exp 1230 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  ->  ( A. x  e.  A  B  <_  y  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  F  z  <_  y ) ) )
5323, 24, 52rexlimd 2866 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  y  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  F  z  <_  y ) )
5422, 53mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  F  z  <_  y )
55 suprcl 10591 . . . 4  |-  ( ( ran  F  C_  RR  /\ 
ran  F  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  F  z  <_ 
y )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  RR )
566, 21, 54, 55syl3anc 1292 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  RR )
571, 56syl5eqel 2553 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
586adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ran  F 
C_  RR )
5954adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  F  z  <_  y )
60 suprub 10592 . . . . 5  |-  ( ( ( ran  F  C_  RR  /\  ran  F  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  F  z  <_  y )  /\  B  e. 
ran  F )  ->  B  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )
)
6158, 20, 59, 18, 60syl31anc 1295 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )
)
6261, 1syl6breqr 4436 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  <_  C )
6362ralrimiva 2809 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  <_  C )
6457, 63jca 541 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\ 
A. x  e.  A  B  <_  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   (/)c0 3722   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ran crn 4840   supcsup 7972   RRcr 9556    < clt 9693    <_ cle 9694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883
This theorem is referenced by:  ioodvbdlimc1lem1  37900  ioodvbdlimc1lem2  37901  ioodvbdlimc1lem1OLD  37902  ioodvbdlimc1lem2OLD  37903  ioodvbdlimc2lem  37905  ioodvbdlimc2lemOLD  37906
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