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Theorem suprnmpt 37276
Description: An explicit bound for the range of a bounded function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
suprnmpt.a  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
suprnmpt.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
suprnmpt.bnd  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  y )
suprnmpt.f  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
suprnmpt.c  |-  C  =  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
suprnmpt  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\ 
A. x  e.  A  B  <_  C ) )
Distinct variable groups:    x, A    y, F    ph, x, y
Allowed substitution hints:    A( y)    B( x, y)    C( x, y)    F( x)

Proof of Theorem suprnmpt
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suprnmpt.c . . 3  |-  C  =  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )
2 suprnmpt.b . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
32ralrimiva 2837 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  RR )
4 suprnmpt.f . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
54rnmptss 6059 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  RR  ->  ran  F  C_  RR )
63, 5syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  RR )
7 nfv 1751 . . . . 5  |-  F/ x ph
8 nfmpt1 4507 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  B )
94, 8nfcxfr 2580 . . . . . . 7  |-  F/_ x F
109nfrn 5089 . . . . . 6  |-  F/_ x ran  F
11 nfcv 2582 . . . . . 6  |-  F/_ x (/)
1210, 11nfne 2754 . . . . 5  |-  F/ x ran  F  =/=  (/)
13 suprnmpt.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
14 n0 3768 . . . . . 6  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  A )
1513, 14sylib 199 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. x  x  e.  A )
16 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
174elrnmpt1 5095 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  ran  F
)
1816, 2, 17syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  ran  F )
19 ne0i 3764 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ran  F  ->  ran  F  =/=  (/) )
2018, 19syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ran  F  =/=  (/) )
217, 12, 15, 20exlimdd 2034 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  F  =/=  (/) )
22 suprnmpt.bnd . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  y )
23 nfv 1751 . . . . . 6  |-  F/ y
ph
24 nfre1 2884 . . . . . 6  |-  F/ y E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  F  z  <_  y
25 simp2 1006 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR  /\  A. x  e.  A  B  <_  y
)  ->  y  e.  RR )
26 simpl1 1008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR  /\  A. x  e.  A  B  <_  y )  /\  z  e. 
ran  F )  ->  ph )
27 simpl3 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR  /\  A. x  e.  A  B  <_  y )  /\  z  e. 
ran  F )  ->  A. x  e.  A  B  <_  y )
28 vex 3081 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
294elrnmpt 5093 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  _V  ->  (
z  e.  ran  F  <->  E. x  e.  A  z  =  B ) )
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ran  F  <->  E. x  e.  A  z  =  B )
3130biimpi 197 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ran  F  ->  E. x  e.  A  z  =  B )
3231adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR  /\  A. x  e.  A  B  <_  y )  /\  z  e. 
ran  F )  ->  E. x  e.  A  z  =  B )
33 simp3 1007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  A  B  <_  y  /\  E. x  e.  A  z  =  B )  ->  E. x  e.  A  z  =  B )
34 nfra1 2804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x A. x  e.  A  B  <_  y
35 nfre1 2884 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x E. x  e.  A  z  =  B
367, 34, 35nf3an 1985 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( ph  /\  A. x  e.  A  B  <_  y  /\  E. x  e.  A  z  =  B )
37 nfv 1751 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x  z  <_  y
38 simp3 1007 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. x  e.  A  B  <_  y  /\  x  e.  A  /\  z  =  B )  ->  z  =  B )
39 rspa 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. x  e.  A  B  <_  y  /\  x  e.  A )  ->  B  <_  y )
40393adant3 1025 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. x  e.  A  B  <_  y  /\  x  e.  A  /\  z  =  B )  ->  B  <_  y )
4138, 40eqbrtrd 4438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. x  e.  A  B  <_  y  /\  x  e.  A  /\  z  =  B )  ->  z  <_  y )
42413exp 1204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  A  B  <_  y  ->  ( x  e.  A  ->  ( z  =  B  ->  z  <_  y ) ) )
43423ad2ant2 1027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  A  B  <_  y  /\  E. x  e.  A  z  =  B )  ->  ( x  e.  A  ->  ( z  =  B  ->  z  <_  y ) ) )
4436, 37, 43rexlimd 2907 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  A  B  <_  y  /\  E. x  e.  A  z  =  B )  ->  ( E. x  e.  A  z  =  B  ->  z  <_ 
y ) )
4533, 44mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  A  B  <_  y  /\  E. x  e.  A  z  =  B )  ->  z  <_  y )
4626, 27, 32, 45syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR  /\  A. x  e.  A  B  <_  y )  /\  z  e. 
ran  F )  -> 
z  <_  y )
4746ralrimiva 2837 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR  /\  A. x  e.  A  B  <_  y
)  ->  A. z  e.  ran  F  z  <_ 
y )
48 19.8a 1907 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  A. z  e.  ran  F  z  <_  y )  ->  E. y ( y  e.  RR  /\  A. z  e.  ran  F  z  <_ 
y ) )
4925, 47, 48syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR  /\  A. x  e.  A  B  <_  y
)  ->  E. y
( y  e.  RR  /\ 
A. z  e.  ran  F  z  <_  y )
)
50 df-rex 2779 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  F  z  <_  y  <->  E. y
( y  e.  RR  /\ 
A. z  e.  ran  F  z  <_  y )
)
5149, 50sylibr 215 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR  /\  A. x  e.  A  B  <_  y
)  ->  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  F  z  <_  y )
52513exp 1204 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  ->  ( A. x  e.  A  B  <_  y  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  F  z  <_  y ) ) )
5323, 24, 52rexlimd 2907 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  RR  A. x  e.  A  B  <_  y  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  F  z  <_  y ) )
5422, 53mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  F  z  <_  y )
55 suprcl 10565 . . . 4  |-  ( ( ran  F  C_  RR  /\ 
ran  F  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  F  z  <_ 
y )  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  RR )
566, 21, 54, 55syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )  e.  RR )
571, 56syl5eqel 2512 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
586adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ran  F 
C_  RR )
5954adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  F  z  <_  y )
60 suprub 10566 . . . . 5  |-  ( ( ( ran  F  C_  RR  /\  ran  F  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  F  z  <_  y )  /\  B  e. 
ran  F )  ->  B  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )
)
6158, 20, 59, 18, 60syl31anc 1267 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  <_  sup ( ran  F ,  RR ,  <  )
)
6261, 1syl6breqr 4458 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  <_  C )
6362ralrimiva 2837 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  <_  C )
6457, 63jca 534 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\ 
A. x  e.  A  B  <_  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1867    =/= wne 2616   A.wral 2773   E.wrex 2774   _Vcvv 3078    C_ wss 3433   (/)c0 3758   class class class wbr 4417    |-> cmpt 4476   ran crn 4847   supcsup 7952   RRcr 9534    < clt 9671    <_ cle 9672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4540  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6589  ax-resscn 9592  ax-1cn 9593  ax-icn 9594  ax-addcl 9595  ax-addrcl 9596  ax-mulcl 9597  ax-mulrcl 9598  ax-mulcom 9599  ax-addass 9600  ax-mulass 9601  ax-distr 9602  ax-i2m1 9603  ax-1ne0 9604  ax-1rid 9605  ax-rnegex 9606  ax-rrecex 9607  ax-cnre 9608  ax-pre-lttri 9609  ax-pre-lttrn 9610  ax-pre-ltadd 9611  ax-pre-mulgt0 9612  ax-pre-sup 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-opab 4477  df-mpt 4478  df-id 4761  df-po 4767  df-so 4768  df-xp 4852  df-rel 4853  df-cnv 4854  df-co 4855  df-dm 4856  df-rn 4857  df-res 4858  df-ima 4859  df-iota 5557  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6259  df-ov 6300  df-oprab 6301  df-mpt2 6302  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7954  df-pnf 9673  df-mnf 9674  df-xr 9675  df-ltxr 9676  df-le 9677  df-sub 9858  df-neg 9859
This theorem is referenced by:  ioodvbdlimc1lem1  37590  ioodvbdlimc1lem2  37591  ioodvbdlimc1lem1OLD  37592  ioodvbdlimc1lem2OLD  37593  ioodvbdlimc2lem  37595  ioodvbdlimc2lemOLD  37596
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