MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suprlub Structured version   Unicode version

Theorem suprlub 10406
Description: The supremum of a nonempty bounded set of reals is the least upper bound. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
suprlub  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  E. z  e.  A  B  <  z ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    z, A    z, B
Allowed substitution hints:    B( x, y)

Proof of Theorem suprlub
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltso 9569 . . . 4  |-  <  Or  RR
21a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  <  Or  RR )
3 sup3 10401 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  < 
x  ->  E. w  e.  A  y  <  w ) ) )
4 simp1 988 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  A  C_  RR )
52, 3, 4suplub2 7825 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  E. w  e.  A  B  <  w ) )
6 breq2 4407 . . 3  |-  ( w  =  z  ->  ( B  <  w  <->  B  <  z ) )
76cbvrexv 3054 . 2  |-  ( E. w  e.  A  B  <  w  <->  E. z  e.  A  B  <  z )
85, 7syl6bb 261 1  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  E. z  e.  A  B  <  z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800    C_ wss 3439   (/)c0 3748   class class class wbr 4403    Or wor 4751   supcsup 7804   RRcr 9395    < clt 9532    <_ cle 9533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-sup 7805  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712
This theorem is referenced by:  suprnub  10407  supmul1  10409  suprlubii  10416  suprzcl  10835  supicclub  11555  climsup  13268  supcvg  13439  prmreclem6  14103  icccmplem2  20535  ivthlem3  21072  mbfsup  21278  itg2monolem1  21364  esumpcvgval  26692  supaddc  28585  mblfinlem3  28598
  Copyright terms: Public domain W3C validator