Theorem suprcl 10545

Description: Closure of supremum of a nonempty bounded set of reals. (Contributed by NM, 12-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
suprcl	|- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> sup ( A , RR , < ) e. RR )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem suprcl

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 9698	. . 3 |- < Or RR
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> < Or RR )
3		sup3 10542	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
4	2, 3	supcl 7953	1 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> sup ( A , RR , < ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 976   e. wcel 1844   =/= wne 2600   A.wral 2756   E.wrex 2757   C_ wss 3416   (/)c0 3740   class class class wbr 4397   Or wor 4745   supcsup 7936   RRcr 9523   < clt 9660   <_ cle 9661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602

This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-sup 7937  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846

This theorem is referenced by:  suprub  10546  suprleub  10549  supmul1  10550  supmullem1  10551  supmullem2  10552  supmul  10553  suprclii  10555  infmrcl  10564  suprzcl  10985  supminf  11216  rpnnen1lem4  11258  supxrre  11574  supxrbnd  11575  supicc  11724  flval3  11990  sqrlem4  13230  climsup  13643  supcvg  13821  mertenslem1  13847  ruclem12  14185  prmreclem6  14650  icccmplem2  21622  icccmplem3  21623  reconnlem2  21626  evth  21753  ivthlem2  22158  ivthlem3  22159  ioombl1lem4  22265  mbfsup  22365  mbflimsup  22367  itg2monolem1  22451  itg2mono  22454  itg2cnlem1  22462  c1liplem1  22691  nmcexi  27371  rge0scvg  28397  supaddc  31426  supadd  31427  ismblfin  31440  itg2addnclem2  31453  ftc1anclem7  31482  ftc1anc  31484  suprcld  36001  ubelsupr  36788  suprnmpt  36839  upbdrech  36887