Theorem suprcl 10499

Description: Closure of supremum of a nonempty bounded set of reals. (Contributed by NM, 12-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
suprcl	|- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> sup ( A , RR , < ) e. RR )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem suprcl

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 9661	. . 3 |- < Or RR
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> < Or RR )
3		sup3 10496	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
4	2, 3	supcl 7914	1 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> sup ( A , RR , < ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 973   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   Or wor 4799   supcsup 7896   RRcr 9487   < clt 9624   <_ cle 9625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804

This theorem is referenced by:  suprub  10500  suprleub  10503  supmul1  10504  supmullem1  10505  supmullem2  10506  supmul  10507  suprclii  10509  infmrcl  10518  suprzcl  10936  supminf  11165  rpnnen1lem4  11207  supxrre  11515  supxrbnd  11516  supicc  11664  flval3  11915  sqrlem4  13038  climsup  13451  supcvg  13626  mertenslem1  13652  ruclem12  13831  prmreclem6  14294  icccmplem2  21063  icccmplem3  21064  reconnlem2  21067  evth  21194  ivthlem2  21599  ivthlem3  21600  ioombl1lem4  21706  mbfsup  21806  mbflimsup  21808  itg2monolem1  21892  itg2mono  21895  itg2cnlem1  21903  c1liplem1  22132  nmcexi  26621  rge0scvg  27567  supaddc  29618  supadd  29619  ismblfin  29632  itg2addnclem2  29644  ftc1anclem7  29673  ftc1anc  29675  ubelsupr  30973  suprnmpt  31029  upbdrech  31082