Theorem suprcl 10566

Description: Closure of supremum of a nonempty bounded set of reals. (Contributed by NM, 12-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
suprcl	|- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> sup ( A , RR , < ) e. RR )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem suprcl

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 9711	. . 3 |- < Or RR
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> < Or RR )
3		sup3 10563	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
4	2, 3	supcl 7969	1 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> sup ( A , RR , < ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 984   e. wcel 1886   =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737   C_ wss 3403   (/)c0 3730   class class class wbr 4401   Or wor 4753   supcsup 7951   RRcr 9535   < clt 9672   <_ cle 9673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-sup 7953  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860

This theorem is referenced by:  suprub  10567  suprleub  10570  supaddc  10571  supadd  10572  supmul1  10573  supmullem1  10574  supmullem2  10575  supmul  10576  suprclii  10578  infmrclOLD  10590  suprzcl  11012  supminf  11247  supminfOLD  11248  rpnnen1lem4  11290  supxrre  11610  supxrbnd  11611  supicc  11777  flval3  12047  sqrlem4  13302  climsup  13726  supcvg  13907  mertenslem1  13933  ruclem12  14286  prmreclem6  14858  icccmplem2  21834  icccmplem3  21835  reconnlem2  21838  evth  21980  ivthlem2  22396  ivthlem3  22397  ioombl1lem4  22507  mbfsup  22613  mbflimsup  22616  mbflimsupOLD  22617  itg2monolem1  22701  itg2mono  22704  itg2cnlem1  22712  c1liplem1  22941  nmcexi  27672  rge0scvg  28748  ismblfin  31974  itg2addnclem2  31987  ftc1anclem7  32016  ftc1anc  32018  suprcld  36597  ubelsupr  37335  suprnmpt  37433  upbdrech  37517  suprltrp  37545  supsubc  37570